Universidad de los Andes
Tesis de Maestr´ıa en Ingenier´ıa
Modelamiento de un n´
ucleo hecho de
honeycomb en una configuraci´
on tipo
sandwich ante cargas explosivas
Author:
Ing. Diego A. Nu˜
nez V.
Supervisor:
PhD. Juan P. Casas R.
Departamento de Ingenieria Mec´
anica
Bogot´
a D.C.
Hay una fuerza motriz m´as poderosa que el vapor, la electricidad y la energ´ıa at´omica: La voluntad. Albert Einstein
Agradecimientos
Expreso mis agradecimientos a:
El profesor Juan Pablo Casas por su decidido y continuo apoyo a este estudio,
aportes, conocimiento y paciencia. Sin su ayuda esta investigaci´on no podr´ıa haber
sido concluida.
Al profesor Edgar Alejandro Mara˜non por sus observaciones constructivas.
Resumen
Este trabajo presenta el an´alisis mediante m´etodos num´ericos del
comporta-miento de un sandwich con n´ucleo de honeycomb y placas de acero frente a un
evento explosivo al aire libre. El modelamiento num´erico propuesto del n´ucleo se
hizo teniendo en cuenta el comportamiento hidroest´atico del material descrito por
una ecuaci´on de estado (Modelo P −α), el comportamiento deviatorico basado en una ecuaci´on constitutiva Johnson & Cook y el l´ımite de falla del material lo
describe un limite de tensi´on hidrodin´amica m´ınima. Con el fin de entender el
com-portamiento de las presiones generadas por el evento explosivo y disminuir el costo
computacional de las simulaciones, se model´o el evento aplicando a la estructura
a estudiar una condici´on de frontera de presi´on. Buscando validar los modelos,
se compar´o el comportamiento de la simulaci´on con una experimentaci´on
realiza-da y reportarealiza-da por otros autores y en la cual se usa un p´endulo bal´ıstico como
instrumento de medici´on del impulso. Adicionalmente se estudi´o la deformaci´on
modi-ficando el factor de escalamiento Z. Se obtuvo como resultado una metodolog´ıa
para determinar los par´ametros de la Ecuaci´on de estado y la Ecuaci´on
constitu-tiva del honeycomb; adem´as, se determin´o una condici´on de frontera localizada
que gener´o el mismo impulso y compresi´on que el evento explosivo simulado. Por
otra parte, se evidenci´o la importancia de de tener en cuenta el comportamiento
deviat´orico del material a diferentes tasas de deformaci´on al momento de modelar
el honeycomb. Se identific´o que la deflexi´on al modificar el factor de escalamiento
Z no es directamente proporcional ni lineal. Finalmente se determin´o que el
in-cremento del espesor del n´ucleo retrasa la densificaci´on del honeycomb y genera
Tabla de Contenido
Lista de Figuras IV
Lista de Tablas VII
1. Introducci´on 1
2. Revisi´on literaria 4
2.1. Experimentaci´on . . . 5
2.2. Absorci´on de energ´ıa . . . 8
2.3. Escalamiento del evento explosivo . . . 12
2.4. Simulaci´on con elementos finitos . . . 14
2.5. Modelaci´on Matem´atica del honeycomb . . . 16
2.5.1. Ecuaci´on de estado y el modelo P-α . . . 18
2.5.2. Ecuaci´on Constitutiva . . . 21
2.7. Determinaci´on computacional de los par´ametros de la ecuaci´on
constitutiva . . . 26
2.8. Resumen . . . 30
3. Metodolog´ıa 32 3.1. Condici´on de frontera . . . 33
3.2. Modelamiento matem´atico del honeycomb . . . 39
3.2.1. Ecuaci´on de Estado . . . 40
3.2.2. Ecuaci´on constitutiva . . . 41
3.2.3. Modelo de falla . . . 44
3.3. Simulaci´on del evento y optimizaci´on . . . 44
3.4. Comportamiento de diferentes espesores ante variaci´on de carga explosiva . . . 50
3.5. Resumen . . . 52
4. Resultados y discusi´on 53 4.1. Condici´on de frontera . . . 54
4.2. Modelos constitutivos del honeycomb . . . 58
4.2.1. Ecuaci´on de estado . . . 58
4.2.2. Modelo de Johnson & Cook . . . 60
4.3. Optimizaci´on de par´ametros . . . 62
5. Conclusiones 70
Lista de Figuras
2.1. Esquem´atico del p´endulo bal´ıstico [12] Fotograf´ıa de la
configura-ci´on del experimento . . . 8
2.2. Esquem´atico de la escala de tiempo de la respuesta del p´endulo ante una carga explosiva [15]. . . 8
2.3. Esquem´atico del montaje de experimentaci´on [14] . . . 9
2.4. Sucesivos plegados de las paredes de un honeycomb [20] . . . 11
2.5. Deflexi´on de un honeycomb de aluminio [17] . . . 11
2.6. Compresi´on de una celda. (A). Curva Fuerza vs. desplazamiento. (B). Compresi´on de la celda. [18] . . . 11
2.7. Curva caracter´ıstica esfuerzo deformaci´on de un honeycomb a com-presi´on [19] . . . 12
2.8. Curvas de comportamiento P-αde compactaci´on el´astica y pl´astica de un material celular d´uctil [47]. . . 20
2.10. Esquem´atico de la distribuci´on de presiones a trav´es del radio. (a)
Carga localizada; (b) Carga distribuida. [50] . . . 25
3.1. Esquematico de la metodolog´ıa . . . 33
3.2. Descripci´on general de la simulaci´on . . . 34
3.3. Diagrama de flujo de la obtenci´on de la condici´on de frontera. . . 36
3.4. Entorno de simulaci´on P´endulo Explosivo . . . 36
3.5. Presi´on en las Galga y normalizaci´on de la presi´on . . . 37
3.6. Simulaci´on Explosivo placa de aluminio Condici´on de Frontera . . 38
3.7. Simulaci´on Explosivo placa de aluminio (Euler+Lagrange) . . . . 39
3.8. Diagrama de flujo de la obtenci´on de los par´ametros de la Ecuaci´on Constitutiva Johnson Cook . . . 42
3.9. Diagrama de flujo de la metodolog´ıa de la simulaci´on y optimizaci´on de la estructura. . . 45
3.10. Diagrama de flujo de la obtenci´on del m´ınimo error en la optimizaci´on. 48 3.11. Simulaci´on del sistema de protecci´on . . . 49
3.12. Configuraci´on de la simulaci´on . . . 52
4.1. Perfiles de presi´on causados por la carga. . . 56
4.2. Perfiles de cargas. A). Localizadas; B). Distribuidas . . . 57
4.3. Esfuerzo vs deformaci´on calculado del honeycomb a diferentes tasas de deformaci´on. . . 60
4.4. Comportamiento a tasa de deformaci´on 0.003s−1. Comportamiento
experimental y ajuste. . . 61
4.5. A). Esfuerzo - deformaci´on; B). Tasa de deformaci´on vs
deforma-ci´on de cada configuraci´on propuesta. . . 64
4.6. Energ´ıa absorbida en funci´on del tiempo y del Factor Z . . . 68
Lista de Tablas
2.1. Caracter´ıstica de la experimentaci´on [14] . . . 6
2.2. Mediciones de la experimentaci´on [14] . . . 9
3.1. Rango de valores de la optimizaci´on . . . 49
3.2. Datos de las simulaciones para evaluar la absorci´on de energ´ıa . . 51
4.1. Impulso generado por cada carga explosiva simulada. . . 54
4.2. Resumen de par´ametros de condici´on de frontera . . . 55
4.3. Resultado de la comparaci´on Simulaci´on Euler+Lagrange vs
Con-dici´on de frontera . . . 57
4.4. Tiempo de duraci´on de simulaciones Euler+Lagrange y Condici´on
de frontera. . . 58
4.5. Par´ametros de la Ecuaci´on de estado del honeycomb . . . 59
4.6. Resumen de valores de par´ametros de Johnson & Cook . . . 62
preli-4.8. Par´ametros ajustados para cada carga explosiva . . . 63
4.9. Valores obtenidos en la optimizaci´on . . . 65
Cap´ıtulo 1
Introducci´
on
En la actualidad el uso de materiales celulares en aplicaciones de ingenier´ıa (
automotriz , mar´ıtima, art´ıculos deportivos, aeron´autica, espacial y militar ) se
ha ido incrementado debido a la relaci´on resistencia-peso que ofrecen. Dentro de
este tipo de materiales se encuentran los materiales porosos, los cuales son usados
frecuentemente en el n´ucleo de una configuraci´on tipo sandwich ( n´ucleo en medio
de placas monol´ıticas ) [1]. Esta configuraci´on es de uso frecuente debido a las
ventajas que ofrece en comparaci´on a otras estructuras, como sus bajas
deforma-ciones laterales, resistencia a la deflexion, alta rigidez vs peso [2].Adicionalmente
la estructura de un n´ucleo poroso da la habilidad de soportar altas deformaciones
pl´asticas cercanas a esfuerzos constantes y por esto puede disipar altas cantidades
tipo sandwich ante una onda explosiva variando el material celular del n´ucleo
[1,5–8]; esto con el fin de determinar la configuraci´on ideal que sirva de protecci´on
ante una onda explosiva.
Con el fin de entender el efecto de cambiar aspectos geom´etricos del sistema
de protecci´on, se requiere tener una descripci´on matem´atica del comportamiento
del sandwich. Esta descripci´on matem´atica tambi´en ayuda al momento de simular
los sistemas de protecci´on en software de elementos finitos y con esto, disminuir
los recursos que implica la experimentaci´on con material explosivo.
En la actualidad, al momento de crear el modelo CAD del material celular para
el an´alisis en software de elementos finitos, se genera un modelo detallado
(mi-cromec´anico) de cada celda (Capitulo 2),lo que influye en el costo computacional
que esto implica al querer hacer simulaciones que involucren geometr´ıas complejas
fabricadas con materiales celulares( por ejemplo: cabinas de aeronaves) por lo que
es valioso generar una forma de disminuir el costo computacional de este tipo de
simulaciones y el tiempo que requiere crear este tipo de estructuras en el software.
Debido a lo descrito anteriormente el objetivo de este estudio es proponer un
modelo num´erico del comportamiento de una estructura tipo sandwich con n´ucleo
de honeycomb ante una carga explosiva; como objetivos espec´ıficos se tienen:
determinar el modelo de falla, la ecuaci´on constitutiva y la ecuaci´on de estado
del n´ucleo del honeycomb; validar los modelos matem´aticos con experimentaci´on
al variar algunas dimensiones del sistema.
En base a los objetivos anteriores, este estudio se divide en cuatro secciones.
La primera secci´on muestra el estado del arte referente a esta tem´atica en cuanto a
desarrollos experimentales y modelos matem´aticos. La segunda secci´on describe la
metodolog´ıa usada para el desarrollo del modelamiento matem´atico de la
estruc-tura. La tercera secci´on indica los resultados num´ericos obtenidos al simular una
experimentaci´on reportada. Finalmente la cuarta secci´on presenta las conclusiones
Cap´ıtulo 2
Revisi´
on literaria
La siguiente revisi´on literaria resume los resultados de algunas investigaciones
reportadas que se tuvieron en cuenta para el desarrollo de este estudio. La divisi´on
de este capitulo se hace en ocho secciones, la primera describe algunos estudios
experimentales realizados en donde comparan el comportamiento del sandwich
al cambiar el material del n´ucleo. La segunda parte describe el
comportamien-to din´amico del honeycomb y su capacidad de absorci´on de energ´ıa. La tercera
parte expone los estudios de escalamiento de eventos explosivos en el aire. La
cuarta secci´on detalla los conceptos necesarios para la simulaci´on del evento y la
homogenizaci´on. La quinta parte expone el an´alisis y modelos matem´aticos que
hacen parte de este estudio. La sexta secci´on explica los conceptos referentes a la
condici´on de frontera de presi´on. La septima parte describe los m´etodos
algunas t´ecnicas de optimizaci´on.Finalmente se resume los aspectos m´as
impor-tantes que se tienen en cuenta de este cap´ıtulo.
2.1.
Experimentaci´
on
Dentro de los sistemas de protecci´on se encuentran los sistemas con n´ucleos
basados en espumas met´alicas [9], espumas polim´ericas [10], estructuras con
relle-nos polim´ericos [11] y honeycombs de diferentes materiales [12]. Al comparar cada
una de estas configuraciones se determina que debido al aumento del impulso y
energ´ıa transmitido al sistema de medici´on de los n´ucleos fabricados con espumas
met´alicas [9], al menor desempe˜no que estas espumas tienen en comparaci´on a
honeycombs de aluminio ante cargas explosivas [13] y a las ventajas en cuanto a
absorci´on de energ´ıa de los honeycomb sobre las espumas polim´ericas [10]. Se
de-termina que el objetivo de este trabajo es el estudio de un honeycomb de aluminio
como n´ucleo de un sandwich debido a las ventajas anteriormente indicadas y a el
constante uso de este tipo de configuraci´on en la industria.
Una vez determinado el tipo de n´ucleo del sistema, el paso siguiente es
estu-diar el comportamiento de una estructura honeycomb ante una carga explosiva.
En la literatura est´an reportadas varias experimentaciones en donde estudian el
comportamiento de estructuras tipo sandwich con n´ucleo honeycomb. Debido a
mat´ematicos que describen el comportamiento del honeycomb, es necesario contar
con resultados experimentales que ayuden a validar los modelos mat´ematicos. En
este estudio se opta por tomar como base de experimentaci´on la realizada por
Chi [14]. En esta experimentaci´on se estudia el comportamiento de un sandwich
compuesto de honeycomb de aluminio y paneles de acero ante cargas explosivas
midiendo la compresi´on que sufri´o el n´ucleo y el impulso residual. Para esto se
fija el sandwich en un marco sujeto a un p´endulo balistico, luego se detona la
car-ga explosiva, despu´es de la detonaci´on, la onda generada comprime el sandwich;
este sandwich absorbe energ´ıa, la energ´ıa residual genera un impulso que hace
que el p´endulo se desplace. En la experimentaci´on se var´ıa la masa del explosivo
(C4) ,el tama˜no de celda del n´ucleo y el espesor. La distancia entre el explosivo
y la muestra se mantuvo constante (150 mm) la Tabla 2.1 resume los valores que
se consideraron para este estudio. El funcionamiento del p´endulo bal´ıstico y la
evaluaci´on de los paneles se explica a continuaci´on.
Tabla 2.1: Caracter´ıstica de la experimentaci´on [14] No. De Espesor Masa de Espesor del Prueba de placa la carga honeycomb
(mm) (gr) (mm)
1 1,6 16 13
2 1,6 9 13
3 1,6 7 13
4 1,6 5 13
(Figura 2.1). Una vez ha finalizado la explosi´on el p´endulo empieza a moverse
exclusivamente por la inercia causada por el evento (Figura 2.2), debido a esto
se asume que existe una velocidad inicial bajo una carga impulsiva [15]; adem´as
el estudio hecho por Humphreys [16] demuestra que toda la deformaci´on de los
paneles a estudiar se generan antes que inicie el movimiento del p´endulo, por lo
que se asume el p´endulo como un cuerpo r´ıgido. La medici´on de la oscilaci´on del
p´endulo indica la altura m´axima alcanzada por el p´endulo y la energ´ıa potencial
m´axima del sistema despu´es de la disipaci´on de energ´ıa causada por el sandwich. El
valor de esta energ´ıa potencial m´axima puede ser usada para calcular la velocidad
en el momento en que el p´endulo se encuentra en la posici´on inicial; el momento
lineal asociado con la masa del p´endulo en el este momento es igual al impulso
inicial generado por el explosivo. Debido a esto la oscilaci´on del p´endulo genera
una medici´on precisa y exacta del impulso aplicado.
Durante el evento explosivo, el momento es transferido al p´endulo causando
un balanceo, este balanceo es medido con la ayuda de un marcador fijado al
extremo del p´endulo y el impulso es calculado como se explico anteriormente. En
cuanto a la evaluaci´on de los paneles, este se realiz´o fijando el sandwich a probar
con tornillos al marco del p´endulo, con el fin de direccionar la onda de carga,
la detonaci´on se hace dentro de un tubo de acero a una distancia determinada
Figura 2.1: Esquem´atico del p´endulo bal´ıstico [12] Fotograf´ıa de la configuraci´on del experimento
Esfuer
zo/def
or
mación
en el ma
ter
ial
Propagación de la
onda en el material Movimiento del péndulo
Tiempo después de la incidencia de la onda
Figura 2.2: Esquem´atico de la escala de tiempo de la respuesta del p´endulo ante una carga explosiva [15].
experimentaci´on lo resume la Tabla 2.2.
2.2.
Absorci´
on de energ´ıa
Una de las caracter´ısticas sobresalientes del uso de honeycomb es la absorci´on
de energ´ıa, esta cualidad esta fundamentada en el comportamiento de las celdas
Figura 2.3: Esquem´atico del montaje de experimentaci´on [14]
Tabla 2.2: Mediciones de la experimentaci´on [14]
Espesor Espesor Carga Impulso Espesor final
del nucleo de placa del nucleo
(mm) (mm) (gramos) (Ns) (mm)
13 1.6 16 31.20 4.16
13 1.6 9 21.90 4.16
13 1.6 7 17.70 7.49
13 1.6 5 13.51 7.55
de la celdas y influencia que tienen los mecanismos de falla en la absorci´on de
energ´ıa. Nurick et.al. [17] estudi´o el comportamiento de un honeycomb de
alu-minio en una estructura sandwich con paneles de acero ante cargas explosivas y
determin´o que existen dos modos de falla del honeycomb: La ondulaci´on de las
celdas (Figura 2.4) y la deflexi´on del material (Figura 2.5). Durante la aplicaci´on
progresiva. La Figura 2.6 indica la curva de fuerza versus compactaci´on de una
celda. Despu´es del pico inicial de carga empiezan a formarse dobleces en la
es-tructura, cada par de picos en la gr´afica corresponde a la formaci´on de un doblez.
Este fen´omeno es llamado ondulaci´on progresiva. Esta caracter´ıstica es deseable
en el momento del dise˜no de estructuras de protecci´on debido a que el material
ofrece una constante desaceleraci´on durante el evento y una mayor absorci´on de
energ´ıa [18]. El comportamiento esfuerzo deformaci´on de un panel sujeto a una
compresi´on axial se muestra en la Figura 2.7 donde se refleja que existe una zona
el´astica al inicio de la deformaci´on y a medida que se aumenta la deformaci´on
este comportamiento sigue hasta un esfuerzo de cedencia. Despu´es de este punto
las celdas empiezan a ondularse progresivamente deformando permanentemente
el honeycomb. Como anteriormente se mencion´o, cada pico indica la formaci´on
de un doblez, el promedio de la fluctuaci´on durante la ondulaci´on progresiva se
conoce como el esfuerzo de meseta, este esfuerzo se describe como un esfuerzo
largo y plano en la curva esfuerzo deformaci´on [4] [19].
Este comportamiento sigue hasta llegar a un aproximado de 70-75 % de
defor-maci´on, esta regi´on es llamada de densificaci´on y el honeycomb posee la misma
densidad que el material con el cual fue manufacturada cada celda.
El trabajo hecho en comprimir un honeycomb es absorbido por la ondulaci´on
de cada celda. Cada uno de estos mecanismos de colapso es precedido por una
Figura 2.4: Sucesivos plegados de las paredes de un honeycomb [20]
Figura 2.5: Deflexi´on de un honeycomb de aluminio [17]
Figura 2.6: Compresi´on de una celda. (A). Curva Fuerza vs. desplazamiento. (B). Compresi´on de la celda. [18]
Figura 2.7: Curva caracter´ıstica esfuerzo deformaci´on de un honeycomb a com-presi´on [19]
la carga se eleva abruptamente. La energ´ıa absorbida por unidad de volumen
hasta una deformaci´on, ε, es como lo indica la Ecuaci´on 2.1, donde W es la energ´ıa absorbida por unidad de volumen, σ es el esfuerzo que depende, como
se mencion´o en la Secci´on 2.5.2, de la deformaci´on, la tasa de deformaci´on y la
temperatura.
W =
Z ε
0
σ(ε)dε (2.1)
2.3.
Escalamiento del evento explosivo
Otro aspecto que se tiene en cuenta en este estudio es la dificultad y los costos
sistema de protecci´on. Este tipo de experimentaci´on involucra aspectos econ´
omi-cos considerables en cuanto a la preparaci´on,toma de datos, material requerido,
infraestructura y ambientes adaptados para este tipo de pruebas. En base a
es-to, la experimentaci´on a baja escala es deseable. El objetivo es obtener id´enticas
relaciones entre cantidades que caractericen el evento original y el fen´omeno
es-calado [21].
En la literatura se encuentran los estudios hechos por Wen & Jones [22]
quie-nes investigaron el escalamiento del comportamiento de placas met´alicas sujetas
a impactos y concluyeron que el escalamiento es viable para este tipo de fen´
ome-nos. Jacob et al. [23] investigaron aspectos del escalamiento de placas met´alicas
cuadradas sujetas a una carga explosiva localizada. Los efectos de variar la masa
de la carga y la deformaci´on de la placa fueron descritos y analizados adem´as de
la introducci´on de un n´umero adimensional para representar el comportamiento
de la placa ante diferentes masas de carga. La validez de los anteriores estudios es
limitada a peque˜nas geometr´ıas y cargas. El estudio de Neuberger et al [24]
invo-lucr´o cargas mayores a las de Wen & Jones [22] y Jacob et al [23] usando el factor
de escalamiento de Hopkinson [25] - Cranz [26] o la ley de escalamiento de la ra´ız
c´ubica tal como lo indica Baker [27]. Esta ley de escalamiento propone que la
mis-ma onda explosiva es generada por diferentes mis-masas del mismo mis-material variando
involucra las propiedades del material a estudiar tal como lo demostr´o Jones [18].
Z = R
W1/3, τ ∗
= τ
W1/3, ζ = I
W1/3 (2.2)
Donde Z es el factor de escalamiento, τ∗ es el tiempo de la onda explosiva escalada, ζ es el impulso escalado, R es la distancia desde el explosivo hasta la placa a estudiar yE es la masa del explosivo equivalente en TNT. En este estudio se utiliz´o el factor que tiene en cuenta la distancia R.
2.4.
Simulaci´
on con elementos finitos
Anteriormente se explic´o el mecanismo de absorci´on de energ´ıa del honeycomb,
el cual se basa en la compactaci´on progresiva de las celdas. A causa de esto, en
el momento de crear una simulaci´on de este comportamiento es necesario que el
enmallado de las paredes sea lo suficientemente refinado para que los elementos
generen los dobleces esperados [28]. Este tipo de enmallado se ve en los estudios de
Fan et.al. [29], Aktay et. al. [30], Yin & Wen [28], Chawla et.al. [31], Vaziri et.al.
[11], Nayak et.al. [32] entre otros. Vale recordar que el timestep de la simulaci´on esta ligado al tama˜no de la malla y al definir una malla refinada y teniendo en
cuenta que la estructura de honeycomb esta configurada de multitud de paredes,
se tiene como resultado un tiempo de simulaci´on extenso. Con el objetivo de
s´olido (sin estructura de celdas) con las mismas dimensiones del honeycomb y con
un comportamiento similar; este proceso de igualar el comportamiento del solido
con el del material celular se define como homogenizaci´on.
Diversos estudios se ha efectuado con base en la homogenizaci´on de
honey-combs. Nguyen et. al. [33] generaron un modelo de honeycomb aprovechando el
software SANDMESH deTechnical University of Dresden el cual fue creado para el estudio de impactos y el cual requiere un enmallado refinado para la simulaci´on
de la compactaci´on. Por otra parte Aktay et.al. [30] modelaron un honeycomb de
aluminio y de Nomex de dos formas diferentes. Primero desarrollaron un modelo
homogenizado de los honeycomb que quitaba un elemento del enmallado cuando
el elemento sufr´ıa una presi´on determinada, generando discontinuidades en la
ma-lla. La otra opci´on fue generar un modelo SPH (Smooth Particle Hydrodynamics)
el cual gener´o que un elemento del enmallado se subdividiera y se convirtiera en
part´ıculas al sentir una presi´on determinada.
Debido a la poca informaci´on acerca del modelamiento matem´atico
homoge-nizado de honeycomb como n´ucleo de un sandwich en donde se determinen las
ecuaciones de estado, modelos constitutivos y modelos de falla de este tipo de
ma-terial celular. Por todo lo anterior se determina que el enfoque de este estudio es
generar este tipo de modelos matem´aticos y con ´estos analizar el comportamiento
2.5.
Modelaci´
on Matem´
atica del honeycomb
En el modelamiento del comportamiento din´amico de materiales las ecuaciones
que lo describen deben tener en cuenta el equilibrio termodin´amico del material.
Seg´un Carrol & Holt [34] la forma de obtener un modelo que tenga en cuenta
este equilibrio es analizar un modelo que relacione el esfuerzo, la deformaci´on y
la energ´ıa interna. En muchos casos, el tensor de esfuerzos puede ser separado en
una presi´on hidrost´atica uniforme y un tensor de esfuerzos deviat´oricos. Donde la
relaci´on entre la presi´on hidrost´atica , el volumen especifico y la energ´ıa interna es
conocida como una Ecuaci´on de Estado. En la pr´actica la ´unica forma de obtener
datos del comportamiento del material a altas tasas de deformaci´on es llevando
a cabo experimentaci´on de caracterizaci´on din´amica como los realizados por
Her-mann [35], Carroll & Holt [34], Liu [36] entre otros. Como se di´o a conocer en la
Secci´on 1 existen varios estudios en donde se generan modelos homogenizados del
honeycomb sin tener en cuenta su capacidad de densificaci´on, la propuesta hecha
por Herrmann [35] y Carroll & Holt [34] si tienen en cuenta esta propiedad del
material celular y describen la Ecuaci´on de Estado como una relaci´on exponencial
del esfuerzo de cedencia, la densidad y la porosidad inicial. Basado en esto, este
modelo fue utilizado en este estudio.
En cuanto al comportamiento deviat´orico se tiene en cuenta las descripciones
hay una relaci´on del esfuerzo de cedencia con la deformaci´on y tasa de
deforma-ci´on a la que es sometido un material; debido a que en un evento explosivo se
involucran tasas de deformaci´on de alrededor de 103s−1 [37] se ve la necesidad
de implementar un modelo fenomenol´ogico que incluya la tasa de deformaci´on.
Existen varios modelos fenomenol´ogicos que son dependientes de la tasa de
defor-maci´on e intentan describir este comportamiento como lo son el modelo de Huh
& Kang [38], Johnson & Cook [39], Cowper & Symonds [40] y Allen et.al. [41]
entre otros. El determinar cual de estos describe un comportamiento m´as realista
fue un trabajo realizado por Schwer [42] en donde compar´o estos modelos y
de-termin´o que el modelo que mejor se ajustaba al comportamiento de un material
a diferentes tasas de deformaci´on (10−4s−1 a 3∗103s−1) era el modelo propuesto
por Johnson & Cook. Debido a esto, este modelo ha demostrado ser muy popular
y ha sido ampliamente usado en investigaciones militares, publicas y privadas que
estudian altas tasas de deformaci´on [43]. Adicionalmente en el estudio de Liu et.
al. [36] donde se detalla la influencia del endurecimiento del esfuerzo de meseta
por la tasa de deformaci´on en un honeycomb, se identifica que el comportamiento
del esfuerzo de cedencia describe la forma planteada por Johnson & Cook.
Adem´as de determinar la ecuaci´on de estado del material y su ecuaci´on
cons-titutiva, es necesario determinar hasta que punto el material soportar´a una carga,
mo-existen criterios limitantes como el del esfuerzo m´aximo. Se han hecho estudios
en donde este ´ultimo criterio ha sido aplicado debido a su simplicidad y
efecti-vidad comprobada esto lo demuestra el estudio hecho por Kee et.al. [46], donde
marca el esfuerzo m´aximo como un punto de referencia donde empieza a fallar el
honeycomb. En base a este criterio se toma el esfuerzo m´aximo como un criterio
de falla del material.
2.5.1.
Ecuaci´
on de estado y el modelo P-
α
Herrmann [35] propuso una relaci´on constitutiva fenomenol´ogica para la
com-pactaci´on din´amica de materiales porosos d´uctiles. Su trabajo da una descripci´on
detallada del comportamiento de compactaci´on irreversible y predice el
compor-tamiento termodin´amico a altas presiones para el material poroso completamente
compactado.Los efectos de los esfuerzos cortantes fueron considerados secundarios
y no se tuvieron en cuenta en el an´alisis. Esta ecuaci´on de estado determinan la
presi´onp como una funci´on de la densidad del instante ρ y la energ´ıa internaEm
seg´un lo indica la Ecuaci´on 2.3.
p=f(ρ, Em) (2.3)
Otro factor a considerar es que el modelo P-α es un modelo isotr´opico y
dispersos. La Ecuaci´on de estado propuesta por Herrmann introduce un escalar
variable α que indica la relaci´on entre la densidad del material celular ρ y la
densidad del material solido del cual fue hecho ρs, la Ecuaci´on 2.4 indica esta
relaci´on.
α= ρ
ρs
(2.4)
El comportamiento de compactaci´on el´astico y pl´astico de un material celular
modelado de la forma P-α se muestra en la Figura 2.8. Seg´un la gr´afica, a0
co-rresponde a la porosidad inicial del material celular y ae esta relacionado con un
cambio permanente del volumen. En el r´egimen pl´astico, una descarga de un
es-tado parcialmente compaces-tado sigue una nueva curva el´astica en donde el modulo
va aumentando a medida que α aumenta. El t´ermino pe define el l´ımite el´astico
del material yps es la presi´on de compactaci´on a la cual ocurre una compactaci´on
completa. Apl(p) describe el comportamiento pl´astico de acuerdo a la Ecuaci´on
2.5.
Apl(p) = 1 + (αe−1)
ps−p ps−pe
n
(2.5)
Seg´un el trabajo hecho por Butcher et.al [48] el factorn para materiales celu-lares met´alicos es igual a dos (2).
Figura 2.8: Curvas de comportamiento P-α de compactaci´on el´astica y pl´astica de un material celular d´uctil [47].
parcialmente-compactado y se rige por la Ecuaci´on 2.6.
dAel dp (α) =
α2 Ko
1− 1
h2(α)
(2.6)
Ko= M´odulo bulk el´astico del material s´olido.
h(α) = 1 + (ce−cs)(α−1)
cs(α0−a)
Donde:
cs: La velocidad del sonido del material s´olido.
ce: La velocidad del sonido del material celular.
com-portamiento descrito por la Ecuacion de estado Mie-Gr¨uneisen del material s´olido.
2.5.2.
Ecuaci´
on Constitutiva
La mayoria de los materiales exhiben un comportamiento el´astico o pl´astico
dependiendo de la cantidad de deformaci´on y la velocidad a la cual se comporta
esta deformaci´on. El comportamiento el´astico es usualmente descrito por la ley
de Hooke donde el esfuerzo y la deformaci´on est´an linealmente relacionados por
el m´odulo de elasticidad siempre y cuando el esfuerzo se aplique debajo del
es-fuerzo de fluencia. En el r´egimen pl´astico, a medida que el material se deforma
la resistencia y la deformaci´on se incrementa. Este efecto es conocido como
en-durecimiento por deformaci´on. En el estudio que hicieron Jhonson & Cook [39]
demostraron que la temperatura y la tasa de deformaci´on a la cual es sometida el
material tambi´en influyen en el comportamiento pl´astico del material.
La Ecuaci´on 2.7 es la expresi´on matem´atica formulada por Johnson & Cook.
σy = (A+Bεn) (1 +Clnε˙∗) (1−T∗m) (2.7)
Donde:
ε: Es la deformaci´on pl´astica.
˙
(usualmente 1s−1) y descrito por la Ecuaci´on 2.8.
˙
ε∗ = ε˙ ˙
ε0
(2.8)
˙
ε0 = 1,0s−1
A: Esfuerzo de cedencia a una tasa de deformaci´on de 1s−1 .
B: Constante de endurecimiento por deformaci´on.
C: Constante de endurecimiento por tasa d deformaci´on.
n: Exponente por endurecimiento por deformaci´on.
m: Exponente de ablandamiento por temperatura.
T∗ : Es el factor de ablandamiento a causa de la temperatura y esta descrito por
la Ecuaci´on 2.9. DondeT es la temperatura
T∗ = T −Tambiente
Tf usion−Tambiente
(2.9)
2.5.3.
Modelo de falla
La falla del material es modelada separadamente y ocurre cuando el material
no esta en la capacidad de soportar esfuerzos a tensi´on excediendo la resistencia
local tensional del material. En este punto el material empieza a comportarse
como un fluido sin tener una resistencia a los esfuerzos cortantes. Este modelo
determinado en las experimentaciones hechas por Chih [14] y su valor se debe
agregar a las propiedades del material en el momento de simularlo [47].
Usualmente las simulaciones con explosivos en el aire implican usar
soluciona-dores tipo Lagrange para piezas s´olidas y tipo Euler para el aire y el explosivo [47].
Esto implica que las simulaciones conllevan una interacci´on de solucionadores
Eu-ler+Lagrange, este tipo de an´alisis consume un tiempo de computo considerable.
Debido a que este estudio requiere varias simulaciones, es necesario crear una
con-dici´on de frontera que se asemeje a las presiones causadas del explosivo en el aire
(tipo Euler) con el fin de omitir este entorno y acelerar el proceso computacional.
2.6.
Condici´
on de frontera
La simulaci´on con elementos finitos de eventos explosivos requiere el uso de
solucionadores tipo Lagrange para estructuras s´olidas y solucionadores tipo Euler
para fluidos como lo es el aire [49]. En la simulaci´on de explosiones al aire libre
se requiere crear el entorno (aire) lo suficientemente grande para evitar errores
en la modelaci´on matem´atica y con tama˜no de elementos lo m´as peque˜nos
posi-bles [49], este requerimiento dimensional afecta el tiempo de simulaci´on del evento
extendi´endolo, ya que el paso m´ınimo de tiempo de la simulaci´on (timestep) esta relacionado con el tama˜no del elemento y entre mayor n´umero de elementos,
la forma de omitir el entorno (fluido) y aplicar una condici´on de frontera sobre el
objeto estudiado con el fin de disminuir el costo computacional de la simulaci´on y
comprender el efecto de una onda explosiva sobre el objeto de estudio. Los
ante-riores estudios han propuesto dos formas de modelar la condici´on de frontera, en
ambas el comportamiento de la presi´on a trav´es del tiempo sigue la forma P e−t/τ
donde P es la presi´on m´axima recibida, t se refiere al tiempo y τ es la constan-te de tiempo(Figura 2.9); la primera propuesta asume que el perfil de presiones
es constante a lo largo de la placa expuesta al explosivo (carga distribuida) y la
segunda propuesta declara que existe un perfil de presiones constantes y luego
empieza a decaer de forma exponencial la magnitud del pico de presi´on a medida
que va aumentando el radio de la placa expuesta (carga localizada) [50] seg´un
como lo indica la Figura 2.10, donde r0 es el radio del explosivo, R es el radio
de la placa, h es el espesor de la placa de acero y c el espesor del n´ucleo. Las dos formas de distribuci´on de presiones se puede expresar seg´un la propuesta por
Nurick & Balden [52] (Ecuaci´on 2.10).
Figura 2.10: Esquem´atico de la distribuci´on de presiones a trav´es del radio. (a) Carga localizada; (b) Carga distribuida. [50]
Im = 2π
Z tb
0
Z Rmax
0
f(r)P e−Ktdrdt (2.10)
Donde:
Im: Impulso medido.
tb: Tiempo que dura el evento.
Rmax: Radio m´aximo expuesto.
f(r): Comportamiento de la presi´on a trav´es del radio.
La funci´on f(r) sigue el comportamiento expuesto por Karagiozova et.al [50]
el cual expresa la Ecuaci´on 2.11. El valor deg se obtiene al determinar como varia el pico de presi´on a lo largo del radio.
Carga Distribuida →f(r) =
(
1
Carga Localizada →f(r) =
1 0≤r≤r0
e−g(r−r0) r
0 < r≤Rmax
(2.11)
Donde:
g: Exponente de ca´ıda de presi´on a trav´es del radio.
r: Radio actual.
ro: Radio del explosivo.
2.7.
Determinaci´
on computacional de los par´
ametros de la
ecuaci´
on constitutiva
La caracterizaci´on computacional de materiales en t´erminos de determinar los
par´ametros de la ecuaci´on constitutiva ha sido tema de varias investigaciones.
Usualmente los m´etodos de caracterizaci´on computacional se basan en
implemen-tar una experimentaci´on cuasi-est´atica en combinaci´on con simulaciones y t´ecnicas
de optimizaci´on con el fin de obtener el valor de los par´ametros. Investigaciones
al [56]. Kucharski & Mr´oz [57], Springmann & Kuna [58] entre otros, desarrollaron
t´ecnicas experimentales y num´ericas para determinar los par´ametros del material
para diferentes modelos. Estos procedimientos usualmente utilizan curvas
fuerza-desplazamiento.
En a˜nos recientes, las investigaciones se han enfocado en la caracterizaci´on
din´amica de materiales. Las metodolog´ıas propuestas se han encauzado en utilizar
t´ecnicas experimentales que evidencian la dependencia de la tasa de deformaci´on
de algunos materiales y generan una estimaci´on precisa de las constantes de los
materiales.Soares et al. [59] presentaron una t´ecnica de caracterizaci´on para
prede-cir las propiedades mec´anicas de placas compuestas. Esta t´ecnica usa un proceso
de optimizaci´on para minimizar las diferencias entre la predicci´on num´erica de
las frecuencia naturales con la respuesta vibracional de las placas. Esta t´ecnica
fue igualmente utilizada por Araujo et al. [60] para determinar el m´odulo el´
asti-co del material para materiales asti-compuestos. Aunque estas aproximaciones fueron
eficientes no estimaron el esfuerzo de fluencia del material. Otras t´ecnicas
tam-bi´en usaron deformaci´on din´amica c´ıclica para caracterizar materiales. Yoshida
et al. [61] propusieron un m´etodo que utiliza momentos de deflexi´on de l´amina
met´alicas para modelar los efectos del endurecimiento por deformaci´on e
identi-ficar los par´ametros del material para un modelo elasto-pl´astico. Shi et al. [62]
resonancia como una t´ecnica no destructiva para caracterizar materiales.
Existen varias investigaciones que involucran t´ecnicas de optimizaci´on. Huber
and Tsakmakis [63] emplearon redes neuronales para determinar el valor de los
par´ametros. esta red neuronal utiliz´o simulaciones con elementos finitos de
iden-taciones esf´ericas para ajustar las constantes del material para que concordara el
comportamiento del material con las experimentaci´on. Liu et al. [64] generaron
un algoritmo gen´etico en combinaci´on con la t´ecnica de m´ınimos cuadrados para
optimizar el desplazamiento din´amico de una placa compuesta. Han et al. [65]
desarrollaron un procedimiento utilizando redes neuronales. En este estudio el
valor de los par´ametros del material se hall´o utilizando la respuesta de cilindros
de material compuesto ante una onda el´astica. Feng et al. [66] propusieron un
algoritmo h´ıbrido para el reconocimiento de par´ametros de un modelo de material
visco-el´astico. Este algoritmo usa una combinaci´on de algoritmos gen´eticos y
ruti-nas de optimizaci´on para determinar las constantes del material. Zain-ul-abdein et
al. [67] utilizaron un algoritmo gen´etico que tiene como entrada el comportamiento
a tensi´on del material ante diferentes tasas de deformaci´on y temperatura.
De la anterior revisi´on se evidencia la existencia de varias t´ecnicas num´ericas
para determinar los par´ametros de un material. Estas t´ecnicas se basan en la
com-binaci´on de la experimentaci´on con estrategias de optimizaci´on. En general estas
t´ecnicas ofrecen buenos resultados comprobados al compararlos con los
n´umero de pruebas experimentales.
Este trabajo presenta una t´ecnica de caracterizaci´on din´amica de un
honey-comb de aluminio basada en que el esfuerzo de fluencia del material se incrementa
de acuerdo a la deformaci´on y tasa de deformaci´on [20, 68]. En donde no existe
un gran n´umero de pruebas experimentales y no hay registro en tiempo real del
comportamiento din´amico del material durante el evento explosivo. Para esto, se
hace uso de simulaci´on con elementos finitos y una optimizaci´on no lineal sin
res-tricciones; esta optimizaci´on se basa en la b´usqueda de par´ametros que mejor se
ajusten a un comportamiento esperado. El uso de esta t´ecnica de optimizaci´on
ha sido referenciado por Mesquita [69] en donde caracteriza algunas propiedades
mec´anicas de estructuras sandwich fabricadas con tecnolog´ıa OpenCell. De igual
forma R´ebillat et al. [70] utiliza este tipo de optimizaci´on para validar num´
erica-mente un m´etodo para medir las propiedades el´asticas y disipativas de estructuras
tipo sandwich. En base a los buenos resultados que ha generado esta tipo de
opti-mizaci´on, en esta investigaci´on se toman como base las simulaciones con elementos
finitos donde se modifican los par´ametros del material hasta tener una
respues-ta deseada para cada carga explosiva y la optimizaci´on ajusta los valores de los
par´ametros para obtener un ´unico valor. Esto se detalla en las Secciones 3.2.2 y
3.3. En cuanto a la optimizaci´on no lineal sin restricciones, existe este tipo de
por un punto inicial estimado. Esta funci´on es de la forma que indica la Ecuaci´on
2.12. Donde f(Λ, β, η,Ω) es la ecuaci´on constitutiva objetivo (Ecuaci´on 2.7); ϑ es el dato objetivo y el punto inicial(Λ, β, η,Ω) es el punto inicial donde empieza la b´usqueda del m´ınimo error. Con el fin de obtener un error general y no uno
local es necesario implementar bastantes b´usquedas variando el punto inicial de
b´usqueda.
error =F minSearch(f(Λ, β, η,Ω)−ϑ,puntos inicial(Λ, β, η,Ω)) (2.12)
2.8.
Resumen
En resumen, estudios experimentales han determinado que el sistema tipo
sandwich compuesto de n´ucleo de honeycomb en medio de placas met´alicas tiene
el mejor desempe˜no en cuanto a absorci´on de energ´ıa (Secci´on 2.1) debido al
comportamiento de las celdas al ser aplicada una carga(Secci´on 2.2); en base a este
comportamiento de las celdas, las simulaciones de este tipo de estructuras tiene
un costo computacional alto; en la b´usqueda de disminuir este costo se determina
homogenizar el honeycomb, ya que este modo de caracterizar el material aporta
un menor consumo computacional al momento de simular debido a que disminuye
el n´umero de elementos de la geometr´ıa, aumenta el tama˜no de los elementos
el costo computacional y comprender mejor las presiones ejercidas por le evento
explosivo es el el uso de condiciones de frontera, t´ecnica ampliamente usada y
validada en este tipo de estudios. Este estudio tiene en cuenta el modelamiento
mat´ematico del honeycomb con la ecuaci´on de estado P −α para materiales celulares, una ecuaci´on constitutiva de la forma Johnson & Cook y un modelo
de falla que tiene en cuenta la tensi´on hidrodin´amica m´ınima(Secci´on 2.5). Para
finalizar, se hace un recuento de t´ecnicas utilizadas de optimizaci´on al momento
de modelar el material y se propone una t´ecnica basada en el comportamiento
deseado del material al variar la deformaci´on y la tasa de deformaci´on (todo en
un ambiente simulado) y la cual utiliza un m´etodo de optimizaci´on no lineal sin
Cap´ıtulo 3
Metodolog´ıa
Una vez descrita la base te´orica a utilizar en este estudio, el siguiente paso
es el desarrollo metodol´ogico, el cual se hizo teniendo en cuenta dos aspectos.
La configuraci´on de la condici´on de frontera y el modelamiento del sandwich.
Ambos se desarrollaron con ayuda del software explicito de elementos finitos Ansys
Autodyn [71].
La Figura 3.1 expone un diagrama de la metodolog´ıa del estudio. La primera
etapa describe la obtenci´on de la condici´on de frontera, la cual consta de una
descripci´on de la geometr´ıa de la simulaci´on, la obtenci´on de los valores de presi´on
equivalentes del evento explosivo y la selecci´on del perfil de carga. La segunda
etapa detalla el modelamiento matem´atico de la estructura, el modelamiento se
basa en una ecuaci´on de estado, una ecuaci´on constitutiva y un modelo de falla. La
al modificar el espesor del n´ucleo, este an´alisis se realiza modificando el factor de
escalamiento Z y el modelo num´erico del honeycomb y las placas. En el transcurso
de este cap´ıtulo se describe cada una de estas etapas.
Figura 3.1: Esquematico de la metodolog´ıa
3.1.
Condici´
on de frontera
La presente investigaci´on propone una metodolog´ıa para definir una condici´on
de frontera en situaciones en que se detone un explosivo al aire libre y las presiones
generadas por el evento generen una deflexi´on y compresi´on de un panel
ubica-do perpendicularmente a la onda y en la cual se utiliza la definici´on de impulso
me-matem´aticos de los materiales que el software define y que han sido ampliamente
usados en diferentes investigaciones [72–75]
En el desarrollo de la condici´on de frontera se siguen varios pasos con el fin
de obtener una condici´on que genere los mismos impulsos y deflexiones que la
carga estudiada. Primero se modela el p´endulo (Figura 3.2). Se determina que
el material con el cual se modela este dispositivo es un Acero 4340, como se
mencion´o anteriormente, los par´ametros del modelo num´erico del Acero 4340 son
los que posee la base de datos del software [71]. Las dimensiones del p´endulo
se basan en que exista un shock tube con la misma longitud y di´ametro interno reportado en la experimentaci´on [14] y que la masa total del p´endulo sea de 129.32
Kg.
218 442.2
273.1
150
21
106
4340
C4
AIRE
Los elementos s´olidos como el p´endulo usualmente se simulan utilizando
so-lucionadores tipo Lagrange [49], al simular fluidos como el aire generalmente el
solucionador es tipo Euler [49]. Ambas caracter´ısticas se tiene en cuenta en la
si-mulaci´on de este estudio. Dentro de la modelaci´on del p´endulo se adicionan puntos
de medici´on conocidos como sensores o galgas en el frente y dentro del p´endulo
con el fin de determinar el perfil de presi´on y el impulso generado por el explosivo.
Con el objetivo de definir la deflexi´on causada por el frente de onda del explosivo
simulado, se ubica una placa de aluminio a la misma distancia con que
separa-ron la carga del sandwich en la experimentaci´on (150 mm). Una vez determinado
el impulso y la deflexi´on generada por el explosivo, se analizan los dos posibles
perfiles de presiones que en anteriores estudios han trabajado y as´ı determinar
cual ofrece una respuesta con el menor porcentaje de error. La Figura 3.3 explica
gr´aficamente los pasos ha seguir para la obtenci´on de la condici´on de frontera.
La primera parte para definir la condici´on de frontera es determinar el impulso
que cada explosivo genera, para esto se desarrolla una simulaci´on en donde el
explosivo se ubica a 150 mm de la cara de una pieza con igual masa que la masa
del p´endulo de la experimentaci´on y con la misma configuraci´on de Shock Tube
(Figura 3.4) luego de detonar la carga se determina la velocidad alcanzada por la
masa, con esta velocidad y la masa se determina el impulso generado por la onda
Figura 3.3: Diagrama de flujo de la obtenci´on de la condici´on de frontera.
Figura 3.4: Entorno de simulaci´on P´endulo Explosivo
Impulsogenerado =masapendulo∗vel (3.1)
Una vez determinado el impulso y siguiendo la expresi´on seg´un la Ecuaci´on
condici´on de frontera (distribuida y la localizada). La determinaci´on del tiempo
que dura el evento (tb) y K se hace ubicando galgas en el frente de cara de la
masa(p´endulo) y capturando los frentes de presi´on (Figura 3.5).
Figura 3.5: Presi´on en las Galga y normalizaci´on de la presi´on
Como se menciono con anterioridad la funci´on f(r) es igual a uno (1) en el
caso del an´alisis de carga distribuida; en caso del an´alisis con carga localizada la
funci´onf(r) sigue el comportamiento de la Ecuaci´on 2.11. El valor deg se obtiene al determinar como var´ıa el pico de presi´on a lo largo del radio.
Teniendo los valores deIm,K ytb se determina el valor de P seg´un la Ecuaci´on
P = Im 2πRtb
0 Rmaxe
−Ktdt Carga distribuida
P = Im
2πRtb 0
RRmax 0 f(r)e
−Ktdrdt Carga localizada
(3.2)
Una vez hallado el valor de la presi´on para cada una de las condiciones de
frontera (localizada o distribuida) se reemplaza el entorno Euler (Aire + explosivo)
por la condici´on de frontera (Figura 3.6).
Figura 3.6: Simulaci´on Explosivo placa de aluminio Condici´on de Frontera
Despu´es se comparan los datos obtenidos por la Simulaci´on Euler+Lagrange
versus la simulaci´on con una condici´on de frontera sobre una platina de aluminio
con el fin de determinar si la condici´on de frontera genera las mismas deflexiones
que una simulaci´on Euler+Lagrange. Para las simulaciones con cargas de 16 y 9
gramos el espesor de la placa de aluminio varia con respecto al espesor utilizado
Los anteriores pasos se realizan para cada carga de explosivo, obteniendo al
final cuatro condiciones de frontera equivalentes a las cuatro cargas explosivas.
Figura 3.7: Simulaci´on Explosivo placa de aluminio (Euler+Lagrange)
3.2.
Modelamiento matem´
atico del honeycomb
Una vez generadas las condiciones de frontera, el paso a seguir es el
modela-miento matem´atico del sandwich. Este modelamiento tiene varias etapas. Se inicia
determinando el comportamiento hidr´ostatico del material descrito por la
Ecua-ci´on de Estado. Luego, se analiza el comportamiento deviat´orico del honeycomb
y se finaliza determinando el modelo de falla. Una vez definidos los par´ametros
de comportamiento del material, se desarrollan simulaciones del sistema sandwich
y se analizan los primeros resultados, para finalmente ajustar los par´ametros al
3.2.1.
Ecuaci´
on de Estado
Con el fin de determinar el comportamiento hidrost´atico del honeycomb antes
de estar 100 % compactado siguiendo una ecuaci´on de tipo P −α, se requieren los valores de la densidad, la velocidad del sonido, la presi´on inicial de
compac-taci´on,la presi´on final de compactaci´on y el exponente de compactaci´on. Una vez
el honeycomb ha sido compactado este sigue el comportamiento hidrost´atico del
aluminio el cual se basa en el modelo de Mie Gr¨uneisen que relaciona la velocidad
de part´ıcula y la velocidad a la cual se propaga la onda de choque (Ecuaci´on 3.3)
.
U =co+Sup (3.3)
Donde:
U = Velocidad con lo que se propaga la onda de choque.
co = Velocidad del sonido del material.
S = Constante de proporcionalidad.
3.2.2.
Ecuaci´
on constitutiva
Una vez determinada la ecuaci´on de estado del n´ucleo, es necesario hallar
la ecuaci´on constitutiva (Secci´on 2.5.2), la metodolog´ıa utilizada para hallar los
par´ametros de la ecuaci´on constitutiva se basa en la realizada por Hubert et al. [76]
el cual se basa en conocer el comportamiento cuasi-est´atico y din´amico del n´ucleo
para determinar el valor de los par´ametros de la ecuaci´on constitutiva. En este
modelamiento se asume que el material esta a condiciones ambientales y no sufre
de ablandamiento por temperatura.
La Figura 3.8 presenta un diagrama de flujo que explica los pasos a seguir en
la consecuci´on de los par´ametros de la Ecuaci´on Constitutiva y los cuales tiene
en cuenta la forma de la ecuaci´on constitutiva, el comportamiento a condiciones
cuasi-est´aticas del material y el comportamiento a varias tasas de deformaci´on.
Todos los anteriores aspectos son detallados a continuaci´on.
Teniendo el comportamiento a condiciones cuasi-est´aticas del honeycomb
des-critos en la experimentaci´on hecha por Chi [14] el primer paso para modelar
el comportamiento deviat´orico del honeycomb es determinar los valores de los
par´ametros A, B y n los cuales son el primer termino entre par´entesis descri-to en la ecuaci´on de Johnson & Cook. Estos valores se hallan determinando el
Determinación del comportamiento
cuasi-estático
En base a la experimentación
Selección del modelo matemático
Definición de los valores de los párametros
A, B y n
Determinar el valor de los parámetros que describen el comportamiento cuasi-estático ( A+Bεn)
Descripción del comportamiento a diferentes tasas de deformación
Según [21] [60] existe un incremento en el esfuerzo de cedencia con respecto al comportamiento
cuasi-estático, con base en esos incrementos se determina el comportamiento del material a diferentes
tasas de deformación.
Definición del valor del parámetro C de la ecuación constitutiva
Determinar el valor del parámetro de endurecimiento por tasa de deformación (C) con el fin de expresar el esfuerzo de fluencia
según Johnson - Cook:
A B+ n CLn
(
ε)
(
1+ ( )ε)
Modelo constitutivo Johnson & Cook
A B+ n CLn
(
ε)
(
1+ ( )ε)
1
2
3
4
5
Figura 3.8: Diagrama de flujo de la obtenci´on de los par´ametros de la Ecuaci´on Constitutiva Johnson Cook
comparaci´on es descrita por la Ecuaci´on 3.4. Dondeεi eS la deformaci´oni yβi es
δ δA
X
i
((A+Bεni)−βi)2 = 0 δ
δB
X
i
((A+Bεni)−βi)2 = 0 δ
δn
X
i
((A+Bεni)−βi)2 = 0
(3.4)
Teniendo los valores A, B y n de la Ecuaci´on constitutiva, es necesario de-terminar el valor de la constante de endurecimiento por tasa de deformaci´on (C) (Ecuaci´on 2.7), con el fin de conocer como act´ua el honeycomb a diferentes tasas
de deformaci´on. Para hallar este valor se recurre a estudios anteriores [20] [68] que
infieren que a una tasa de deformaci´on de alrededor de 200/s el incremento en el
esfuerzo es de alrededor de 17 % con respecto al comportamiento cuasi-est´atico,
mientras que para una tasa de 777/s el incremento es de 35 % en honeycombs
parecidos a los de este estudio.
Con el fin de determinar el valor de la constante de tasa de deformaci´on (C), se eval´ua el comportamiento a diferentes tasas de deformaci´on y a diferentes
de-formaciones del material. La Ecuaci´on 3.5 indica la formula como se detecta el
valor del par´ametro C. Donde j determina las diferentes tasas de deformaci´on,
i las diferentes deformaciones y γji es comportamiento del material a la tasa de
δ δC
X
j
X
i
((A+Bεni)(1 +Clnε˙∗)−γji)2 = 0 (3.5)
3.2.3.
Modelo de falla
El modelo de falla Hydro (Pmin) requiere el valor de tensi´on hidrost´atica m´aximo que el material soporta, para el n´ucleo estudiado se toma el valor de 1
GPa. seg´un indica la experimentaci´on hecha por [14] y la literatura [71].
3.3.
Simulaci´
on del evento y optimizaci´
on
Como se indic´o en la Secci´on 2.7, este estudio propone una metodolog´ıa para
determinar el valor de los par´ametros de la ecuaci´on constitutiva del material
basandose en simulaci´on con elementos finitos y un m´etodo de optimizaci´on no
lineal sin restricciones. La Figura 3.9 expone un diagrama de flujo que generaliza
la metodolog´ıa de la simulaci´on y optimizaci´on de la estructura sandwich de este
estudio. Cada una de las fases expuestas se detallan a continuaci´on.
Definidos la condici´on de frontera y los modelos constitutivos del material, el
paso siguiente es simular y estudiar el comportamiento del sandwich ante cargas
explosivas. El sandwich consta de un n´ucleo de honeycomb de aluminio entre dos
paneles de acero tal como lo indica la Figura 3.11. En la placa anterior se adiciona
Simulacion Preliminar Simulación hecha con los modelos matemáticos determinados en la Sección 3.2
Verificación del error Derminación del error de la Preliminar vs experimentación.Simulación
Modificación del Parámetro de endurecimiento por tasa de deformación(C)
Por cada carga explosiva se modifica el valor de la constante de endurecimiento por tasa de deformación C , con el fin que la simulación se aproxime a los valores
experimentales. Se determinan 4 valores de C, equivalente a 4 Ecuaciones Constitutivas.
El material tiene una ÚNICA ecuación constitutiva
En base a las 4 ecuaciones constitutivas que se determinaron anteriormente (Paso 3), se determina una única ecuación
constitutiva (Figura 3.10)
Optimización de valores de la Ecuación Constitutiva
En base a un valor inicial de los Parámetros de la Ecuación Constitutiva. Se determina el mínimo error cuadrado entre el comportamiento de esos valores iniciales vs el comportamiento
que se espera. Se varía el valor de los Parámetors hasta hallar el mínimo error.
Simulación de nuevos Parámetros Simulación de los nuevos Parámetros con los valores hallados en la Optimización.
Comparación de resultados. Se valida el valor de los nuevos parámetros con los datos experimentales.
1
2
3
4
5
6
7
Figura 3.9: Diagrama de flujo de la metodolog´ıa de la simulaci´on y optimizaci´on de la estructura.
y la compactaci´on del n´ucleo y se hace una comparaci´on con la experimentaci´on
Se comparan los valores obtenidos por la simulaci´on preliminar contra los datos experimentales y se ve la necesidad de ajustar los par´ametros de la ecuaci´on
constitutiva (Ecuaci´on 2.7) con el fin de obtener un ´unico valor.
Estudios previos han determinado la gran influencia del endurecimiento por
efectos de la tasa de deformaci´on(Secci´on 2.5). En este estudio se determina el
com-portamiento cuasi-estatico del material seg´un el estudio hecho por Chi [14](Secci´on
3.2.2 ) el cual determina los par´ametros A,B y n de la Ecuaci´on 2.7. Al no tener
informaci´on espec´ıfica del comportamiento del material a diferentes tasas de
de-formaci´on, se asume un incremento del esfuerzo de fluencia del honeycomb como
lo sugiere Zhao et al. [20, 68](Secci´on 3.2.2). Asumir lo anterior determina que el
par´ametro de endurecimiento por tasa de deformaci´on (C) es el factor que ge-nera la diferencia de comportamientos entre la simulaci´on y la experimentaci´on.
Debido a lo anterior se opta por desarrollar m´ultiples simulaciones manteniendo
fijos los valores deA, B y n y variando la tasa de deformaci´on (variando la carga explosiva) y el par´ametroC (Ecuaci´on 2.7) hasta que los valores de respuesta de la simulaci´on y la experimentaci´on se asemejen.
Una vez determinados los valores de los par´ametros de la ecuaci´on constitutiva,
es necesario determinar por medio de un m´etodo de optimizaci´on un ´unico valor
de cada par´ametro de la ecuaci´on. Como se mencion´o en la Secci´on 2.7 para tal
fin se determina el uso de una optimizaci´on no lineal multivariable no restringida
cual es el valor que genera la ecuaci´on constitutiva con los valores ya conocidos
de A, B, n y C para cada carga explosiva) a una deformaci´on i y una tasa de deformaci´on j y los resta con la funci´on objetivo la cual tiene la forma que se espera (Ecuaci´on 2.7)y cuyos par´ametros Λ, β, η y Ω son los valores resultado
de la optimizaci´on; la funci´on de optimizaci´on empieza con un valor inicial para
Λ, β, η y Ω y empieza a variar estos valores hasta encontrar un valor de error
m´ınimo. Como se mencion´o en la Secci´on 2.7 ´esta b´usqueda de error m´ınimo se
debe hacer teniendo en cuenta un gran n´umero de puntos iniciales de b´usqueda
con el fin de hallar un error m´ınimo general y no uno local.
X
j
X
i
((Λ+βεηi)(1 + Ωlnε˙j∗)−ϕij)2 = valor m´ınimo (3.6)
Como se mencion´o en la Secci´on 2.7 este tipo de optimizaci´on ha sido
im-plementado por el software Matlab con una funci´on llamada FminSearch la cual
realiza una b´usqueda de los par´ametros que generan el m´ınimo error a partir de
un punto inicial. La Figura 3.10 muestra un diagrama de flujo de la obtenci´on del
m´ınimo error y del valor de los par´ametros de la ecuaci´on constitutiva.
Con el fin de obtener un m´ınimo error absoluto y no un m´ınimo error local,se
considera un gran n´umero de puntos iniciales de b´usqueda en el mayor rango de
Determinación de un
punto de búsqueda
Determinar un valor de punto inicial de búsqueda; dandole un valor inicial a cada parámetros ∆, β, η, Ω. Cada valor inicial está
dentro de un rango establecido por estudios anteriores [71-73]. En total existen 810,000
puntos iniciales de búsqueda a evaluar.
Existen 4 ecuaciones constitutivas. En base al punto inicial de búsqueda se determina los valores de los parámetros (∆, β, η, Ω) que generan un mínimo error
al compararlos con las4 ecuaciones existentes.
Detección de un
error mínimo
Comparacion
de errores
Si el error mínimo es el menor error hasta ahora encontrado: grabar el error y el valor de los
parámetros.
Figura 3.10: Diagrama de flujo de la obtenci´on del m´ınimo error en la optimizaci´on.
valores se determina teniendo en cuenta el valor de los par´ametros de materiales
celulares (Espumas polim´ericas, espumas met´alicas y honeycombs) referenciados
en estudios previos [77–79]. La b´usqueda arroja como resultado un ´unico valor
para cada par´ametro de la ecuaci´on constitutiva. Con estos nuevos valores se
rea-lizan las simulaciones para cada carga en el software de elementos finitos ANSYS
Figura 3.11: Simulaci´on del sistema de protecci´on
Tabla 3.1: Rango de valores de la optimizaci´on
Par´ametro Unidades Variaci´on de valores M´ınimo M´aximo
A Mpa 1 5
B Kpa 0 200
n - 0 1,5
3.4.
Comportamiento de diferentes espesores ante variaci´
on de
carga explosiva
Una vez se determina el modelo constitutivo del material, se implementa un
estudio acerca del comportamiento del honeycomb a diferentes cargas, variando
la distancia entre la carga y el sandwich y modificando el espesor del n´ucleo,
con el fin de determinar los rangos de protecci´on que el sandwich ofrece. En el
momento de comparaci´on se utiliza el factor de escalamiento Hopkinson Cranz (Z)
ya que este implica una forma de relacionar la longitud de la carga al objetivo y la
masa del explosivo y as´ı poder relacionar estos aspectos al espesor del sistema de
protecci´on. La Figura 3.12 indica la configuraci´on de la simulaci´on, los aspectos
que se tienen en cuenta son espesor del honeycomb(Eh), distancia del objetivo
(L) y masa equivalente en TNT de la carga (W). Se realizan 16 simulaciones
con el fin de estudiar el comportamiento de la estructura. La Tabla 3.2 indica los
aspectos que se tienen en cuenta en cada simulaci´on. Los resultados obtenidos se
muestran en una gr´afica que relaciona el comportamiento de la energ´ıa absorbida
Tabla 3.2: Datos de las simulaciones para evaluar la absorci´on de energ´ıa
No.
Distancia (L) C4 W Factor Z Eh Peso Simulaci´on
(mm) (gramos) (gramos) (m/Kg1/3) (mm) (Kg)
Espesor 18
1 74.00 27.20 35.09 0.22 18.00 1.66 2 76.00 27.20 35.09 0.23 18.00 1.66 3 80.00 27.20 35.09 0.24 18.00 1.66 4 83.00 27.20 35.09 0.25 18.00 1.66 5 101.00 27.20 35.09 0.31 18.00 1.66 6 119.00 27.20 35.09 0.36 18.00 1.66 7 137.00 27.20 35.09 0.41 18.00 1.66
Espesor 24
8 74.00 27.20 35.09 0.22 24.00 1.69 9 76.00 27.20 35.09 0.23 24.00 1.69 10 80.00 27.20 35.09 0.24 24.00 1.69 11 83.00 27.20 35.09 0.25 24.00 1.69 12 101.00 27.20 35.09 0.31 24.00 1.69 13 119.00 27.20 35.09 0.36 24.00 1.69 14 137.00 27.20 35.09 0.41 24.00 1.69
Espesor 30
15 74.00 27.20 35.09 0.22 30.00 1.72 16 76.00 27.20 35.09 0.23 30.00 1.72 17 80.00 27.20 35.09 0.24 30.00 1.72 18 83.00 27.20 35.09 0.25 30.00 1.72 19 101.00 27.20 35.09 0.31 30.00 1.72 20 119.00 27.20 35.09 0.36 30.00 1.72 21 137.00 27.20 35.09 0.41 30.00 1.72
Espesor 36
22 74.00 27.20 35.09 0.22 36.00 1.75 23 76.00 27.20 35.09 0.23 36.00 1.75 24 80.00 27.20 35.09 0.24 36.00 1.75 25 83.00 27.20 35.09 0.25 36.00 1.75 26 101.00 27.20 35.09 0.31 36.00 1.75 27 119.00 27.20 35.09 0.36 36.00 1.75 28 137.00 27.20 35.09 0.41 36.00 1.75
Núcleo de honey
comb
Eh L W
Galgas
Explosivo
Placas de acero Espesor 2mm.
Figura 3.12: Configuraci´on de la simulaci´on
3.5.
Resumen
En resumen, la metodolog´ıa que se plantea en este estudio consta del an´alisis
de la condici´on de frontera para determinar cual de los dos opciones (Distribuida y localizada) genera mejores resultados. Adem´as se describe los pasos a seguir con el fin de determinar la ecuaci´on de estado ( P - α), la ecuaci´on constitutiva
(Johnson & Cook) y el modelo de falla (tensi´on hidrost´atica m´axima) del n´ucleo
del sandwich. Una vez determinado el modelamiento matem´atico se opta por
optimizar el valor de los par´ametros de la ecuaci´on constitutiva.Terminando con
el planteamiento del estudio del comportamiento del sandwich ante diferentes
eventos explosivos escalados con el factor Hopkinson Cranz modificando el espesor
Cap´ıtulo 4
Resultados y discusi´
on
Este Capitulo presenta los resultados obtenidos de todo el an´alisis matem´
ati-co y simulaciones realizadas durante la investigaci´on. Se analizan los dos tipos de
condici´on de frontera y sus efectos en cuanto a impulso transmitido y deflexi´on
ge-nerada. Adem´as se determina el efecto de los modelos del material implementados
en t´erminos de impulso y compresi´on del n´ucleo. Tambi´en describe la variaci´on
del comportamiento de la estructura al modificar el valor de los par´ametros de la
ecuaci´on constitutiva y los resultados de la optimizaci´on de estos valores. Por
ul-timo se detalla el comportamiento del sandwich ante diferentes eventos explosivos
