El teorema del índice de Atiyah - Singer

(1)

El teorema del ´ındice de

Atiyah-Singer

Trabajo de Tesis

presentado al

Departamento de Matem´

aticas

Presentado por:

Carlos Andr´es D´ıaz Carrillo.

Asesor: Paul Bressler.

Para optar por el t´ıtulo de

Pregrado en Matem´

aticas.

Universidad de Los Andes

Departamento de Matem´

aticas

(2)

´

_{Indice general}

1. Preliminares 1

1.1. K-teor´ıa . . . 1

1.2. El isomorﬁsmo de Thom . . . 4

1.3. K-teor´ıa equivariante . . . 6

1.4. Operadores pseudodiferenciales . . . 7

1.4.1. Espacios de Sobolev . . . 9

1.4.2. Levantamiento de operadores . . . 10

1.4.3. Acci´on de un grupo . . . 10

2. El ´ındice topol´ogico 13 2.1. Indice topol´ogico . . . 13

2.2. Axiomas que caracterizan al ´ındice topol´ogico . . . 15

3. El ´ındice anal´ıtico 17 3.1. El s´ımbolo de un operador . . . 17

3.2. El ´ındice anal´ıtico . . . 20

4. Prueba del teorema del ´ındice 23 4.1. Axiomas suplementarios . . . 24

4.2. Prueba del teorema del ´ındice . . . 25

4.2.1. Axioma de excisi´on . . . 25

4.2.2. Axioma de normalizaci´on . . . 26

4.2.3. Axioma de multiplicatividad . . . 30

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(4)

Introducci´

on

Ya ha pasado casi medio siglo desde que Michael Atiyah y Isidore Singer anun-ciaron la prueba de su teorema del ´ındice. Este teorema causó un gran impacto en la comunidad matemática, dado el gran número de herramientas y de maquinaria matemática usada. A partir de ah´ı, muchos estudios han surgido sobre el teorema del ´ındice, que involucran ramas de la matemática como la geometr´ıa diferencial, la topolog´ıa algebraica, el análisis funcional, entre otros. Además, varias pruebas del teorema del ´ındice han aparecido. Algunas de ellas usan como elementos principa-les el cobordismo, el heat kernel o la K-teor´ıa (entre otras). Sin duda alguna este teorema es uno de los resultados más profundos de las matemáticas de la segunda mitad del siglo XX. Por tal razón, se hace necesario para gran parte de la comunidad matemática saber al menos el enunciado del teorema y/o sus aplicaciones.

El teorema del ´ındice de Atiyah y Singer es un resultado que relaciona dos in-variantes: uno anal´ıtico y uno topológico. El teorema dice que para un operador diferencial el´ıptico sobre una variedad compacta, el ´ındice anal´ıtico (que se relacio-na con las soluciones a urelacio-na cierta ecuación diferencial) es igual al ´ındice topológico (un invariante relacionado con cierta información meramente topológica). En este escrito se pretende mostrar una prueba del teorema del ´ındice de Atiyah-Singer, que usa como elemento fundamental la K-teor´ıa. No todos los resultados se mostrarán en total detalle, para lo cual se sugiere más bien revisar [2].

Agradezco a mi familia y a mi novia Laura por su total apoyo a lo largo de mi carrera y por su comprensión en los momentos más dif´ıciles. También agradezco al profesor Paul Bressler por su confianza y por todo lo que me ha enseñado. Sin ellos este trabajo no hubiese sido posible.

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Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1. K-teor´ıa

Una de las partes de la fórmula para el ´ındice topológico (del que se hablará más adelante) involucra la evaluación de ciertas clases carater´ısticas de haces vectoriales en una variedad. Este proceso se puede representar como

Haces vectoriales→ clases caracter´ısticas→ n´umeros enteros

Para el propósito de probar el teorema del ´ındice será conveniente modificar el paso intermedio, reemplazando la cohomolog´ıaH∗(T X) del espacio tangente por el anillo K(T X) de haces vectoriales estables sobre T X. En esta sección se dará una breve descripción de este anillo. Para una presentación más completa, ver [1] o [7].

SeaX un espacio topológico. Las clases de isomorfismo de haces vectoriales com-plejos sobre X forman un semigrupo abeliano con la suma ⊕, y el grupo abeliano correspondiente se denota por K(X). Si E es un haz vectorial sobre X, su corres-pondiente clase en K(X) se denotará por [E]. Se puede ver que K(X) es un anillo con el producto inducido por la operación de semigrupo.

Un mapa continuo f : X → Y induce mediante el pullback un homomorfismo natural de anillos f∗ : K(Y) → K(X) que solo depende de la clase de homotop´ıa def. Además, si X =pt es un punto, es fácil ver que K(X)∼=Z.

Si X es un espacio con un punto P distinguido, entonces se deﬁne ˜K(X) como el kernel del homomorﬁsmo

K(X)→K(P) 1

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inducido por la inclusión i :P →X. Más aún, esta inclusión se parte, e induce una descomposición natural

K(X)∼= ˜K(X)⊕K(P)∼= ˜K(X)⊕Z

Si Y ⊂ X es un subespacio cerrado de X, se denota por X/Y al espacio con punto marcado obtenido al colapsar Y a un punto. As´ı, se deﬁne entonces

K(X, Y) = ˜K(X/Y)

Sea X un espacio localmente compacto. Se deﬁne la K-teor´ıa con soporte com-pacto Kc(X) como

Kc(X) = ˜K(X+)

donde X+ _{es la compactificaci´}_{on por un punto de} _X_{. Entonces en esta situaci´}_on se están considerando diferencias [E]−[F] de haces sobre X que tienen la misma dimensión en cada componente conexa de X, y tales que E y F son haces triviales en alguna vecindad del punto en el infinito (i.e en el complemento de algún subcon-junto compacto de X).

Hay una manera alternativa de definir esta K-teor´ıa con soporte compacto que será muy útil a lo largo de este trabajo. En vez de diferencias [E]−[F], uno considera triplasE →α F, donde α es un homomorfismo de haces vectoriales que tiene soporte

compacto (donde el soporte es el conjunto {x ∈ X : αx :Ex →Fx no es

isomorﬁs-mo). Dos triplas E →α F y E′ α

′

→ F′ con soporte compacto son equivalentes si α es homot´opico a α′ por medio de triplas con soporte compacto sobre X. El conjunto

C(X) de triplas con soporte compacto sobre X es un semigrupo abeliano con la operaci´on ⊕. As´ı, se puede mostrar que el cociente de C(X) por el sub-semigrupo de las triplas con soporte vac´ıo es isomorfo a Kc(X) (ver [7]).

De manera m´as general, esta construcci´on se puede extender a complejos de haces vectoriales

0→E0 →α E1 → · · ·α →α En→0

donde Ei es un haz vectorial sobre X y los α son homomorﬁsmos tales que

α2 _{= 0. Aqu´ı, el soporte de un complejo ser´ıa el conjunto de los}_x _∈_X _{tales que la} sucesi´on

0→E_x0 →αx E_x1 → · · ·αx →αx E_xn→0

no es exacta. Nuevamente queremos entonces complejos son soporte compacto. Dos complejos E y F son homot´opicos si existe un complejo G sobre X ×I (donde

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1.1. K-TEOR´IA 3

cociente mencionado para el caso de triplas, se obtiene un grupo isomorfo aK(X). También se puede definir una multiplicación entre complejos. Para efectos de este trabajo solo se mostrará cómo hacerlo en el caso de triplas. El producto tensorial induce un producto

Kc(X)⊗Kc(Y)→Kc(X×Y)

tal que si E0 _→α _E1 _y _F0 _→β _F1 _{son triplas con soporte compacto sobre} _X_, entonces su producto tensorial es el complejo

0→E0⊗F0 →φ E1⊗F0⊕E0⊗F1 →ψ E1 ⊗F1 →0

donde φ = α ⊗1 + 1⊗β y ψ = −1⊗β +α⊗1. Esto se puede representar mediante la tripla

0→E0⊗F0⊕E1⊗F1 →θ E1⊗F0 ⊕E0 ⊗F1 →0 donde

θ =

(

α⊗1 −1⊗β∗

1⊗β α∗⊗1

)

En gran parte del texto se usar´an grupos de la forma Kc(V), dondeV es un haz

vectorial sobre X. Considere E y F haces vectoriales sobre X. Sea π∗E el pullback deE respecto a π (dondeπ:V →X es la proyección). La fibra (π∗E)v se identifica

con Eπ(v). Un homomorﬁsmo α:π∗E →π∗F se dice que es homog´eneo de grado m si

αλv =λmαv ∈Hom(Eπ(v), Fπ(v))

Luego si se fija una métrica enV, un homomorfismo homogéneo está determinado por su restricción al fibrado en esferas S(V). La siguiente proposición es útil pues reduce el estudio de triplas con soporte compacto a triplas donde el α cumple esta propiedad de homogeneidad:

Proposici´on 1.1.1. Toda tripla π∗E →α π∗F con soporte compacto es homot´opica a una tripla π∗E αm

→π∗F, donde αm es homog´eneo de grado m (para cualquier m).

Demostración. Sea B(V) el fibrado en discos sobre V con respecto a una métrica tal que el soporte deα está contenido en el interior deB(V). SeaS(V) el correspon-diente fibrado en esferas. En primer lugar, se pondrá αm = α sobre S(V), y luego

se extenderá αm sobre V bajo la condición de ser homogéneo de grado m.

Como cada homomorfismo de haces se puede deformar en el homomorfismo nulo, es claro queαyαmson homotópicos. Además, comoB(V) es compacto, la restricción

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de esta homotop´ıa a B(V) tiene soporte compacto. Por otro lado, el espacio D(V) de vectores en V de longitud mayor o igual a 1 es homot´opicamente equivalente a

S(V). Como los soportes de α y αm no comparten elementos con este conjunto, se

sigue que α y αm con homot´opicos sobre D(V) (con soporte vac´ıo). Claramente,

cada una de estas homotop´ıas se puede escoger de modo que sea la identidad sobre

S(V), lo cual da la homotop´ıa que se quer´ıa sobre todo V.

Note que la anterior prueba no funciona cuandoX no es compacto. Sin embargo, existen argumentos que permiten obtener este mismo resultado para el caso m = 0 (ver [2]).

1.2. El isomorfismo de Thom

Sea Xuna variedad yπ :E →X un haz vectorial sobreX. Se definirá el espacio de Thom de la siguiente manera: para cada fibra de E, se hace la compactificación por un punto de ella, y luego se identifican todos los puntos especiales de cada com-pactificación. Resulta un espacio con punto marcado, al cual se le denotará como

XE_{. Para este caso, siguiendo la notaci´}_{on usada se deﬁne}_K

c(E) = ˜K(XE).

En primer lugar, considere el producto

Kc(E)⊗Kc(X)→Kc(E×X)

y el mapa Kc(E ×X) → Kc(E⊕X) inducido por el mapa E ⊕X → E ×X

que es inducido por el mapa diagonal E → E ×Ey por la proyecci´on E → X. Al componer los dos homomorﬁsmos de K−teor´ıa se obtiene uno

Kc(E)⊗Kc(X)→Kc(E⊕X)

por lo tanto, Kc(E) es unKc(X)−m´odulo.

Ahora se establecer´a uno de los teoremas m´as importantes de la K-teor´ıa. SeaX

un espacio localmente compacto, y seaE un haz vectorial complejo de dimensi´onn

sobreX. Seaπ :E →Xla proyección. El pullbackπ∗E es un haz vectorial complejo sobre E. Se denotará por Λ(E) a la sucesión

0→ 0

∧

π∗E α0

→

1

∧

π∗E α1

→ · · ·αn−1

→

n

∧

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1.2. EL ISOMORFISMO DE THOM 5

donde para cada v ∈E y w∈Λi_E

αi(v, w) = (v, v∧w)

Como la sucesi´on anterior es exacta excepto en v = 0, el soporte de Λ(E) es la secci´on cero. As´ı, note que Λ(E) no siempre tiene soporte compacto. Sin embargo, es cierto que si F es un complejo sobre X con soporte compacto, entonces Λ(E)⊗F

tiene soporte compacto. As´ı, como Kc(E) es un Kc(X)−m´odulo, la multiplicaci´on

por la clase de Λ(E) define un homomorfismo de Kc(X)−módulos

ϕ :Kc(X)→Kc(E)

Elteorema de periodicidad de Bottpermite entonces establecer el siguiente teorema:

Teorema 1.2.1. Sea X un espacio localmente compacto de Hausdorﬀ, y sea E un haz vectorial complejo sobre X. Entonces el homomorﬁsmo

ϕ :Kc(X)→Kc(E)

es un isomorﬁsmo

A este homomorﬁsmo se le conoce como el isomorﬁsmo de Thom. Cuando X es compacto, Λ(E) tiene soporte comapcto y su elemento correspondiente enKc(E) se

llama la clase de Thom deE, y se denota por λE.

A continuaci´on, dos ejemplos muy importantes:

Ejemplo 1.2.2. Sea X =pt un punto y sea E el haz trivial π :Cn _→_pt_{. La clase}

de Thom de E es la clase λn ∈ Kc(Cn), representada sobre cada ξ ∈ Cn por la

sucesi´on

0→ 0

∧

Cn_→α

1

∧

Cn_{→ · · ·}α _→α n

∧

Cn_→₀

donde α(v) = ξ ∧v. Como la compactificación por un punto de Cn es S2n, se puede pensar λn como un elemento de K˜(S2n). Por lo tanto, por el isomorfismo de

Thom se sigue que

Z∼=K(pt)∼= ˜K(S2n)

de donde K˜(S2n₎ _{es el grupo abeliano libre en}_λ

n. A esteλnse le llama una clase

de Bott.

Ejemplo 1.2.3. Sea X una variedad compacta y T X su haz tangente. Hay un ele-mento muy importanteρX ∈Kc(T X)que es la clase de ¨el s´ımbolo de de Rham”. Se

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Al levantarla a T se obtiene un complejo de haces vectoriales (exacto fuera de la sección cero). La complexificación de este complejo define entonces el elemento ρX

mencionado.

Este elemento est´a ´ıntimamente relacionado con el elemento λE deﬁnido

ante-riormente, pues si T_C=T X ⊗_RC, y i:T X →T_C es la inclusi´on, entonces

ρX =i∗(λT_C)

1.3. K-teor´ıa equivariante

Hay una generalizaci´on de la K-teor´ıa para la categor´ıa de losG−espacios, donde

G es un grupo compacto de Lie. Sea X un G−espacio compacto (i.e. un espacio compacto con una cierta acci´on de G sobreX). La noci´on de haz vectorial se puede generalizar como sigue:

Definici´on. UnG−espacioEse dice que es un G−haz vectorialsobre unG−espacio

X si

E es un haz vectorial sobre X.

La proyecci´onπ :E →X es equivariante (es decir, conmuta con la acci´on del grupo G) y

se tiene que, para cada g ∈G, el mapa deﬁnido por G Ex→Eg(x)

es una transformaci´on lineal de espacios vectoriales.

SiG= 1 entonces claramente todo espacio es unG−espacio y todo haz vectorial es un G−haz vectorial. En el otro extremo, cuandoX =pt es un punto claramente

X siempre es unG−espacio, y un G−haz vectorial es un espacio de representación para G (de dimensión finita). As´ı, se puede formar con los G−haces vectoriales el grupo KG(X) (con soporte compacto) al igual que se form´o en el caso anterior.

Las propiedades elementales de la K-teor´ıa siguen cumpli´endose para laKG−teor´ıa,

y las pruebas son similares (ver [7]). El teorema de periodicidad de Bott sigue cumpliéndose (con algunas modificaciones), pero la prueba no es similar a las pruebas clásicas. Sin embargo, presentamos un caso que se usará constantemente a lo largo de este trabajo (y cuya prueba se puede ver en [7]), que es un caso particular del isomorfismo de Thom:

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1.4. OPERADORES PSEUDODIFERENCIALES 7

Teorema 1.3.1. Sea G un grupo compacto de Lie, y V un G−m´odulo (i.e. un

G−haz vectorial sobre X =pt). Entonces el homomorﬁsmo

ϕ :KG(pt)→KG(V)

dado por ϕ(x) = x·λV es un isomorﬁsmo.

Note que KG(pt)∼=R(G), dondeR(G) es el anillo de las representaciones deG,

luego para efectos de lo que se va a estudiar es suﬁciente considerarG abeliano. Uno de los casos m´as importantes que se presentan en la KG−teor´ıa es cuando

G act´ua de manera libre sobre X (se recuerda que una acci´on es libre si para cada

x∈X, g·x=x implica que g = 1). En este caso, se puede ver que

KG(X)∼=Kc(X/G)

De manera más general, si G×H actúa sobre X y H actúa de manera libre, entonces

KG×H(X)∼=KG(X/H)

Ejemplo 1.3.2. El segundo ejemplo dado en la sección anterior también se puede definir de la misma manera para el caso equivariante. Si X es una G−variedad,

G act´ua de manera natural sobre Λ∗(T), de donde ρX ∈ KG(T X). Por ejemplo,

si X = Sn _y _G ₌ _O₍_n₎_{, entonces se tiene un elemento} _ρ

Sn ∈ K_O₍_n₎(T Sn). Este

elemento ser´a muy importante en la prueba del teorema del ´ındice que se dar´a.

1.4. Operadores pseudodiferenciales

Para poder definir de manera correcta el ´ındice anal´ıtico (a definir en el cap´ıtulo 3), no es suficiente considerar operadores diferenciales. La razón (que tendrá más sentido cuando se hagan las definiciones pertinentes) es que no todo elemento de

Kc(T∗X) es el s´ımbolo de un operador diferencial. Por lo tanto, se hace necesario

expandir la clase de los operadores el´ıpticos que se van a considerar. La clave para esto est´a en que, por medio de la transformada de Fourier, los operadores diferen-ciales pardiferen-ciales corresponden a polinomios p(x, ξ) en ciertas variables ξ1, ξ2, . . . , ξn.

Al remover la restricci´on de que p(x, ξ) sea un polinomio, se puede construir una clase m´as grande de operadores.

De manera más precisa, sea ˆf = F(f) la transformada de Fourier de f, donde estáf es una función en Rn _{con soporte compacto:}

ˆ

f(ξ) = 1 (2π)n

∫

Rn

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donde <, > es el producto interno usual en Rn_{. Se sabe que la transformada}

de Fourier ¨convierte derivadas en productos”, en el sentido que si Dj = −i

∂ ∂xj

entonces

F(Djf) = ξjF(f)

Más aún, la fórmula de inversión de Fourier nos dice queF−1 _{existe y que}

F−1

(g)(x) =

∫

Rn

ei<x,ξ>ˆg(ξ)dξ

Por lo tanto, si P = ∑

|α|≤m

aα(x)Dα es un operador diferencial parcial y p(x, ξ) =

∑

|α|≤m

aα(x)ξα, entonces

(P f)(x) =

∫

Rn

ei<x,ξ>p(x, ξ) ˆf(ξ)dξ

Uno podr´ıa, de hecho, tomar esta ecuación como la definición del operador di-ferencial parcial P, al menos en el espacio de las funciones con soporte compacto. Si uno permite que p(x, ξ) sea una clase más grande de funciones que polinomios, entonces se obtiene una clase más grande de operadores P.

De acuerdo a esto, sea p(x, ξ) una función suave y defina P = p(x, D) como se hizo anteriormente. Para que P lleve funciones suaves con soporte compacto a funciones suaves, es necesario imponer la condición de crecimiento

|Dβ_xD_ξαp(x, ξ)| ≤Cα,β(1 +|ξ|)m−|α|

donde Dα ξ =

(

−i ∂ ∂ξ1

)α1(

−i ∂ ∂ξ2

)α2

· · ·

(

−i ∂ ∂ξn

)αn

, |α| = ∑αi y Cα,β es una

constante que depende de α, β y p. Un operador lineal P : C_c∞(Rn₎ → _C∞₍Rn₎

se dice que es un operador pseudodiferencial de orden m si localmente cumple las condiciones descritas anteriormente. De manera m´as precisa, para todof ∈C_c∞(Rn_),

existe un pf que satisface la condici´on de crecimiento y

P(f u) = pf(x, D)u

para todo u ∈ C_c∞(Rn_{). Una manera equivalente de formular esto es que} _P _es

un operador lineal continuo y

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es suave y satisface la condición de crecimiento descrita (ver [3]). Para nuestro caso, nos interesará un tipo especial de operadores pseudodiferenciales: se conside-rará el conjuntoPm _{de operadores pseudodiferenciales}_P _{de orden}_m_{tales que, para}

cada pf, el l´ımite

lim

λ→∞

pf(x, λξ)

λm

existe. En general, decimos que un operador P :C_c∞(X;E) →C∞(X;F) sobre secciones suaves es pseudodiferencial de orden m si, para alg´un cubrimiento (Ui) de

X por abiertos que trivialice T∗X, E y F, los operadores locales Pi obtenidos al

restringir P a funciones con soporte compacto sobre Ui son pseudodiferenciales de

orden m sobre Rn_{(en el sentido decsrito previamente). En particular, tiene sentido}

hablar de Pm(X;E, F) sobre secciones.

1.4.1. Espacios de Sobolev

Para efectos de poder definir el ´ındice anal´ıtico de modo que sea finito, se nece-sitará que tanto kerP comocokerP sean de dimensión finita para los operadoresP

que se van a considerar. Para esto, se hace necesario que tanto el dominio como el rango deP sean espacios completos (ver [8]). Como los espacios de secciones suaves

C∞(X;E) yC∞(X;F) no son espacios completos, éstos deben ser reemplazados por sus completaciones respecto a alguna métrica. Más aún, esta métrica debe ser tal que las dimensiones de kerP y cokerP se mantengan (para que el ´ındice esté bien definido).

Para este prop´osito, uno introduce los espacios de Sobolev Hs. Se asumir´a que

X es un espacio compacto. SiE es un haz vectorial sobreX, y sis≥0 es un entero no negativo, se denota por Hs(X;E) al espacio de las secciones distibucionales u

tales que Du∈L2 para todo operador diferencialD de orden menor o igual a s. Si se tienen coordenadas locales (xj)j y una base local (ei)i para E se tiene que, para

u=∑ui(x)ei,

u∈Hs ⇐⇒

(

∂ ∂x

)α

ui ∈L2

para todo α con |α| ≤ s. Los operadores pseudodiferenciales se comportan bien respecto a los espaciosHs, en el sentido de la siguiente propiedad:

Proposici´on 1.4.1. Si X es una variedad compacta y suave, todo operador pseu-dodiferencial

(14)

en Pm₍_X_;_{E, F}₎ _{se extiende, para todo} _s_{, a un operador lineal continuo}

Ps :Hs(X;E)→Hs−m(X;F).

As´ı, si denotamos por Opm_s (X;E, F) al conjunto de mapas continuos lineales

Hs(X;E)→Hs−m(X;F), la proposici´on anterior deﬁne un mapa Pm →Opms dado

porP →Ps. As´ı, deﬁnimos el conjunto Psm como la imagen de Pm bajo este mapa.

1.4.2. Levantamiento de operadores

M´as que el mismo conjunto Pm_{, algunas veces nos interesar´}_{a m´}_{as a´}_{un su}

clau-sura Pm_{. La raz´}_{on principal para introducirlo se debe al comportamiento de los}

operadores pseudodiferenciales respecto a productos de variedades. En este sentido, considere dos variedades X y Y. Suponga que E y F son haces vectoriales sobre

X, y G es un haz vectorial sobre Y. Si P : C_c∞(X;E) → C∞(X;F) es un mapa continuo lineal, se puede deﬁnir su levantado P˜ como el ´unico mapa continuo de

C_c∞(X×Y;E⊗G)→C∞(X×Y;F ⊗G) tal que ˜

P(u(x)⊗v(y)) =P u(x)⊗v(y)

En general no es cierto que P ∈ Pm implica ˜P ∈ Pm. Sin embargo la siguiente proposici´on nos dice que este resultado es cierto sobre la clausura Pm_:

Proposici´on 1.4.2. Para m > 0, si P ∈ Pm₍_X_;_{E, F}₎ _entonces _P˜ ∈ Pm₍_X ×

Y;E⊗G, F ×G).

1.4.3. Acci´

on de un grupo

Finalmente, la última situación que se quiere considerar corresponde al caso en que se tiene la acción de un grupo G sobre X. Sea X una variedad compacta, y G

un grupo compacto de Lie que act´ua de manera suave sobre X y sobre los haces vectoriales E y F sobre X. EntoncesG act´ua sobre el espacio Pm₍_X_;_{E, F}_{) gracias}

a la invarianza dePm _{bajo difeomorﬁsmo. Si}_g ∈_G_y_P ∈ Pm_{, se denotar´}_{a la acci´}_on

de g por g(P). As´ı, si u es una secci´on sobre E y u → gu es la acci´on de G sobre las secciones, entonces

g(P)u=gP g−1u

Se puede ver en [2] que, para P ∈ Pm_{, el mapa} _G→ Pm _{dado por} _g →_g₍_P_{) es}

continuo. As´ı, se deﬁne entonces elpromedio de P como

Av(P) =

∫

G

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dondedgdenota la medida de Haar (normalizada) sobreG. SiP ∈ Pm_{, entonces}

(16)

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Cap´ıtulo 2

El ´ındice topol´

ogico

2.1. Indice topol´

ogico

Suponga que X y Y son variedades con X ⊂ Y y X compacta. Sea i: X →Y

la inclusión. Se va a definir un homomorfismo

i! :Kc(T X)→Kc(T Y)

también llamado como unmapa de Gysin. Para esto, escoja una métrica rieman-niana sobre Y y escoja una vecindad tubular abierta N de X en Y. Esta variedad se puede identificar con el haz normal de la inmersión de X en Y, que es un haz vectorial real sobre X. Si tomamos el espacio tangenteT X, éste es una subvariedad cerrada de T Y, y tiene a T N como una vecindad tubular de T X en T Y (que es abierta en T Y, por supuesto). Además, T N es un haz vectorial sobre T X (que se puede identificar con π∗(N ⊕N)).

Por lo tanto, se deﬁne el homomorﬁsmo

i! :Kc(T X)→Kc(T Y)

como la composici´on del isomorﬁsmo de Thom

ϕ:Kc(T X)→Kc(T N)

con el mapa de extensi´on

h:Kc(T N)→Kc(T Y)

note que este mapa de extensi´on se puede deﬁnir pues T N es abierto en T Y, luego cualquier tripla sobre T N se puede extender a una tripla sobreT Y.

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Observaci´on. Note que para deﬁnir i! se necesita hacerlo para espacios tangentes,

pues no siempre se le puede dar una estructura compleja al haz vectorial N. Sin embargo, aT N siempre se puede. Gracias a la identificación entreN⊕N yN⊗_RC, se puede identificar T N con π∗(N ⊗_RC), lo que le induce una estructura compleja a T N.

No es dif´ıcil ver que i! no depende de la escogencia deN ni de la métrica usada. Además, si i:X →X es la identidad, entonces i! es el homomorfismo identidad. Si

i:X →Y yj :Y →Z, entonces se sigue de la f´ormula Λ(V ⊕W) = Λ(V)⊗Λ(W) y de la transitividad del isomorﬁsmo de Thom que (ji)!=j!i!. Note que, en particular, cuandoX =pt es un punto y Y =Rk_{, entonces}_T₍_pt_{) =} _pt _y _N ₌_Rk_{. Entonces en}

este caso i! :Kc(pt)→Kc(TRN) es justamente el isomorﬁsmo de Thom.

Ahora, sea X una variedad compacta suave. Por el teorema de Whitney, existe una inmersión i:X →RN para un N suficientemente grande. Se definirá el ´ındice topológico de la siguiente manera:

Definición. Se define el´ındice topológico t−ind como la composición

Kc(T X) i!

→Kc(TRN) j−_! 1

→ Kc(pt) = Z

donde j! :Kc(pt)→Kc(TRN) es el isomorﬁsmo de Thom inducido por la

inclu-si´on j :pt→RN_.

Más aún, este ´ındice topológico se puede generalizar al caso equivariante:

Definici´on. Sea X una G−variedad compacta y suave, y sea i :X → E un embe-bimiento equivariante diferenciable de X en un espacio de representaci´on real E de

G. Sea j : pt →E la inclusión de un punto en E. Se define el´ındice topológico

t−ind como la composici´on

KG(T X) i!

→KG(T E) j−_! 1

→ KG(T(pt)) = R(G)

Observaci´on. La existencia del embebimiento equivariante es una consecuen-cia del teorema de Peter-Weyl (para una prueba, ver [5]).

En este caso,j! sigue siendo el homomorﬁsmo de Thom (de manera similar al

caso en que G= 1). Por lo dicho en el teorema 1.3.1, se sabe que el homomor-fismo de Thom mencionado en esta definición sigue siendo un isomorfismo.

Es fácil probar (ver [2]) que t−ind no depende de la escogencia de la inmersión de X en un espacio eucl´ıdeo (o en un espacio de representación). As´ı, el ´ındice to-pológico está bien definido.

(19)

2.2. AXIOMAS QUE CARACTERIZAN AL ´INDICE TOPOL ´OGICO 15

2.2. Axiomas que caracterizan al ´ındice topol´

ogi-co

Para comenzar, se va a dar una definición que en cierto sentido captura la idea de qué es un ”´ındice”:

Definición. Sea X una G−variedad compacta y suave. Una función ´ındice ind es un R(G)−homomorfismo

indX_G :KG(T X)→R(G)

tal que es funtorial respecto a difeomorfismos equivariantes y a homomorfismos en G. Es decir, que si f : X → Y es un difeomorfismo equivariante entonces el diagrama

KG(T X) f∗ _/_/

indX G MMM&&

M M M M M M

M KG(T Y)

indY G

R(G)

conmuta, y si φ:G→G′ es un homomorﬁsmo entonces el diagrama

KG(T X) φ∗ _/_/

indX G

K_G′(T X)

indX G′

R(G) φ∗ //R(G′)

conmuta.

Los siguientes dos axiomas van a ser el punto de partida para establecer el teorema del ´ındice, pues estos caracterizan al ´ındice topológico. En todos ellos, ind será una función ´ındice:

Axioma 1:Si X =pt, entonces ind es la identidad deR(G).

(20)

Lema 2.2.1. El ´ındice topol´ogico t−ind satisface los axiomas 1 y 2.

Demostración. El axioma 1 se tiene por definición, pues en la manera de definir el ´ındice topológico como una composición, en este caso la composición resulta siendo

la identidad. El axioma 2 se sigue por la transitividad del mapa i!.

La proposici´on que sigue se puede pensar entonces como el punto de partida de la prueba del teorema del ´ındice que se va a presentar:

Proposici´on 2.2.2. Si ind es una funci´on ´ındice que satisface los axiomas 1 y 2, entonces ind=t−ind.

Demostraci´on. DadoXse puede tomar el embebimientoi:X →E, dondeEes un

G−módulo. Sea E+ la compactificación por un punto de E. Uno puede asumir que

Gactúa de manera ortogonal, por lo queGactúa de manera suave sobreE+_{. As´ı, se} sigue queE+ _{es una}_G−_{variedad. Considere entonces el embebimiento}_i+ _:_X →_E+ inducido pori. De manera similar considere j+ :pt→E+ inducido por la inclusión

j :pt→E. Se tiene entonces el diagrama

KG(T E)

KG(T X) i! 8 8 p p p p p p p p p p p _i+

! //

indX G NNN&&

N N N N N N N

N KG(T E+)

indE+ G

KG(T(pt)) =R(G) j!

i

RRRRRRR_RRRRRR

j_!+

o

indpt_G

u

llllllll lllllll

R(G)

Es claro que los dos tri´angulos que se forman conmutan. Adem´as, indP_G es la identidad (axioma 1). Por lo tanto, el diagrama muestra que t−ind coincide con indX

G.

As´ı, la proposición anterior sugiere una l´ınea de ataque para probar el teorema del ´ındice. Si se prueba que el ´ındice anal´ıtico (que se definirá en el siguiente cap´ıtulo) satisface los axiomas 1 y 2, entonces esta proposición asegura que los dos ´ındices son iguales, que es precisamente lo que establece el teorema del ´ındice.

(21)

Cap´ıtulo 3

El ´ındice anal´ıtico

3.1. El s´ımbolo de un operador

A lo largo de este cap´ıtulo, las clases de operadores que más se usarán serán

Pm _{(y su clausura} _Pm_{), y}Pm

s (junto son su clausura), presentadas en el cap´ıtulo 1

(sección 1.4). En la clase Pm se tiene la siguiente definición clave:

Definici´on. Seap(x, ξ)∈C_c∞(U×Rn₎₍_U _{abierto en}_Rn_{) tal que cumple la condici´}_on

de crecimiento mencionada en la secci´on 1.4 para un cierto orden m, y tal que el l´ımite

σ(p)(x, ξ) = lim

λ→∞

p(x, λξ)

λm

existe. Se deﬁne el s´ımbolo de p, denotado por σ(p), por la ecuaci´on dada an-teriormente.

Note que el s´ımbolo es entonces una función suave de (x, ξ) excepto en ξ = 0, que además es homogénea de grado m enξ (i.e. σ(p)(x, λξ) = λm_σ₍_p₎₍_{x, ξ}_)).

As´ı, se puede deﬁnir el s´ımbolo para cualquier operador pseudodiferencial sobre funciones suaves:

Definici´on. Sea P ∈ Pm un operador pseudodiferencial

P :C_c∞(U ×Rn)→C∞(U ×Rn)

se deﬁne el s´ımbolo de P, denotado por σ(P), como

σ(P)(x, ξ) = σ(pf)(x, ξ)

(22)

Observaci´on. Se puede ver de manera detallada en [4] que el valor del s´ımbolo

σ(pf)(x, ξ) es independiente de la funci´onf escogida. As´ı, el s´ımbolo σ(P)est´a bien

deﬁnido.

Ahora, sea X una variedad compacta y seanE y F haces vectoriales complejos sobre X. Sobre el espacio Pm₍_X_;_{E, F}_{) tambi´}_{en se puede deﬁnir el s´ımbolo de un}

operador. Localmente, si se escojen coordenadas para X y bases para E y F, un operadorP ∈ Pm₍_X_;_{E, F}_{) est´}_{a dado por una matriz}_p

ij(x, D) de operadores enPm

(sobre un espacio eucl´ıdeo). As´ı, si se escoge un cubrimiento de X por abiertos (Ui)

que trivialice E,F y T∗X, los s´ımbolos correspondientes σ(Pi) (donde los Pi est´an

deﬁnidos al restringir P a funciones con soporte compacto sobre los Ui) deﬁnen un

s´ımbolo global (ver [3])

σ(P) :π∗E →π∗F

donde π:T∗X →X es la proyección del haz cotangente sobre X (sin la sección cero). En cada fibra de T∗X, σ(P) es homogéneo de grado m.

En adelante, por comodidad se deﬁnir´a Symbm₍_X_;_{E, F}_{) como el conjunto de}

ho-momorfismosπ∗E →π∗F homogéneos de gradom, definidos fuera de la sección cero y que sonC∞. As´ı, se tiene que siP ∈ Pm(X;E, F), entoncesσ(P)∈Symbm(X;E, F).

Algunas de las propiedades que cumple este s´ımbolo son las siguientes:

σ(P ◦Q) =σ(P)σ(Q).

σ(P∗) = σ(P)∗, dondeP∗ ∈ Pm(X;F, E) es el operador adjunto (en el sentido usual de an´alisis funcional) de P.

SiX es compacto, el s´ımbolo

σ:Pm(X;E, F)→Symbm(X;E, F)

es un mapa continuo (respecto a la norma del supremo en la esfera unitaria deT∗X).

Ejemplo 3.1.1. Sea P el operador continuo lineal deﬁnido en S1 _como

P(einx) =

{

einx

0

n ≥0

n <0

Es decir, que P act´ua en funciones suaves sobreS1 _{quitando la parte negativa de}

su expansi´on de Fourier. Se puede ver en [2] queP es un operador pseudodiferencial de orden cero, y que

(23)

3.1. EL S´IMBOLO DE UN OPERADOR 19

σ(pf)(x, ξ) = lim

λ→∞pf(x, λξ) =

{

f(x) 0

ξ >0

ξ <0

Por lo tanto, el s´ımbolo de P est´a dado localmente por

σ(P)(x, ξ) =

{

1 0

ξ >0

ξ <0

Este operador será de importancia más adelante, y se mencionará nuevamente luego.

Ahora, lo interesante es que más allá de la tercera propiedad mencionada, ésta se puede extender en el siguiente sentido:

Proposici´on 3.1.2. El s´ımbolo σ se puede extender a un s´ımbolo

σs :Ps m

(X;E, F)→Symbm₍_X_;_{E, F}₎

el cual es sobreyectivo, y tiene a los operadores compactos Hs →Hs−m como kernel.

Para ver la prueba de este hecho, se puede ver [3]. Usando el lema de Sobolev, se sabe que paraX compacto,C∞(X;E) =∩Hs. Por lo tanto, la anterior proposici´on

se puede expresar como

Proposici´on 3.1.3. El s´ımbolo σ se puede extender por continuidad a un s´ımbolo

σ:Pm₍_X_;_{E, F}₎→_Symbm₍_X_;_{E, F}₎

el cual es sobreyectivo, y tiene a los operadores compactos Hs → Hs−m (para todo

s) como kernel.

Esta última proposición es muy importante, y se usará repetidas veces a lo largo de la prueba del teorema del ´ındice.

Finalmente, se establecerán dos propiedades más que cumple el s´ımbolo, relacio-nadas son el levantamiento de operadores (sección 1.4.2) y la acción de un grupoG

(secci´on 1.4.3):

Sean X y Y variedades. Sean E, F haces vectoriales sobre X, y sea G un haz vectorial sobre Y. Si ˜P ∈ Pm₍_X ×_Y_;_E⊗_{G, F} ⊗_G_{) es el levantado de}

P ∈ Pm₍_X_;_{E, F}_{), entonces}_σ_{( ˜}_P_{) = ˜}_σ₍_P_{), donde ˜}_σ _{se deﬁne como}

˜

σ(ξ,η)(e⊗g) =σξ(e)⊗g

(24)

El s´ımbolo σ:Pm₍_X_;_{E, F}₎→_Symbm₍_X_;_{E, F}_{) conmuta con la operaci´}_{on de}

sacar promedio (secci´on 1.4.3):

σ(Av(P)) =Av(σ(P)).

(se tiene un resultado similar paraPm

s (X;E, F)).

3.2. El ´ındice anal´ıtico

Sea X una variedad compacta, y sean E y F haces vectoriales sobre X. La siguiente deﬁnici´on abarca el tipo de operadores que estudia el teorema del ´ındice:

Definici´on. Un operador P ∈ Pm(X;E, F) se llama el´ıptico de orden m si σ(P)

es invertible en Symbm_.

SiP es el´ıptico, uno puede construir una especie de ¨inversa”paraP en el sentido que existe unQ∈ P−m(X;F, E) tal queP Q−1 yQP−1 sean operadores compactos. Gracias a esto, se tiene el siguiente resultado importante:

Proposición 3.2.1. Si P es un operador el´ıptico, entonces P tiene rango cerrado, ker P y coker P son de dimensión finita, ker P ∼= ker Ps y coker P ∼= cokerPs ∼=

ker P_s∗.

Gracias a esta proposición, se puede hacer la siguiente definición fundamental:

Definici´on. Para un operador el´ıpticoP, el´ındice de P se deﬁne como

indexP = dim kerP −dimcokerP.

Se tienen entonces algunas propiedades iniciales sencillas que cumple este ´ındice:

En vista de la proposici´on inicial, se tiene que indexP = index Ps.

index(P ⊕Q) = indexP+ index Q.

index(P+K) = index P para un operador el´ıptico P y un operador compacto

K.

Por propiedades estándar de los operadores de Fredholm (ver [6]), el ´ındice es una función continua. Por tal razón, usando la proposición 3.1.2 se tiene que el ´ındice index P de un operador solo depende de la clase de homotop´ıa del s´ımboloσ(P) en el espacio de s´ımbolos invertibles de cierto orden.

(25)

3.2. EL ´INDICE ANAL´ITICO 21

Ejemplo 3.2.2. Considere el elemento a ∈ Kc(T S1) representado por la tripla

E →α F, donde E y F son haces de l´ınea triviales y α est´a dado por

α(θ, ξ) =

{

eiθ_ξ

ξ

ξ≥0

ξ <0

donde −π < θ ≤ π parametriza a S1_{. Se puede ver en [2] que el operador}

pseudodiferencial

A=eiθP + (1−P)

donde P se deﬁni´o en el ejemplo 3.1.1 cumple que σ(A) =a y indexA=−1.

Por lo tanto, siP ∈ Pm

s (X;E, F), entoncesσ(P) deﬁne un elemento enKc(T∗X) =

Kc(T X) y, gracias a la ´ultima propiedad de las vistas recientemente, index P

so-lo depende de la clase de σ(P) en Kc(T X). As´ı, podemos hacer la otra deﬁnici´on

central de este trabajo:

Definici´on. Sea X una variedad compacta, y sea P ∈ Pm₍_X_;_{E, F}₎_{. Se deﬁne el}

´ındice anal´ıtico como el mapa

a−ind:Kc(T X)→Z

inducido por la asignaci´on P 7→ index P.

El hecho que este ´ındice no depende de m ni de s (al referirnos aPm

s (X;E, F))

es f´acil de ver (para mayor detalle, revisar [2]).

Finalmente, se presentar´a el ´ındice anal´ıtico para el caso equivariante. Para este caso, note que siP :H→H′ es un operador de Fredholm G−invariante (con H, H′

espacios de Hilbert), entonces ker P y coker P siguen siendo de dimensión finita (ahora G−módulos). Por lo tanto, se puede establecer la siguiente definición: Definición. SiP :H →H′ es un operador de FredholmG−invariante, dondeH, H′

son espacio de Hilbert con una acci´on de G, entonces el´ındice de P est´a dado por

indexP = [kerP]−[cokerP]∈R(G)

(para ver que las propiedades b´asicas se siguen cumpliendo, ver [2]). As´ı, se pue-de pue-deﬁnir el ´ındice anal´ıtico a−ind: KG(T X) →R(G) de la misma manera en que

se deﬁni´o previamente.

Una vez establecidas todas las herramientas necesarias, se presenta el enunciado del Teorema del ´ındice de Atiyah-Singer:

(26)

Teorema 3.2.3. Como homomorﬁsmos KG(T X)→R(G) se tiene que

t−ind=a−ind.

Como se adelantó en cap´ıtulos anteriores, la estrategia de ahora en adelante para probar el teorema del ´ındice será mostrar que el ´ındice anal´ıtico cumple ciertos axiomas que caracterizan de manera única al ´ındice topológico.

(27)

Cap´ıtulo 4

Prueba del teorema del ´ındice

En el cap´ıtulo 2 se establecieron dos axiomas importantes que caracterizan al ´ındice topológico de manera única. Después, con la definición del ´ındice anal´ıtico en el cap´ıtulo 3, surge una estrategia clara para probar el teorema del ´ındice: mostrar que el ´ındice anal´ıtico satisface estos dos axiomas.

El hecho que

a−ind: KG(T X)→R(G)

es funtorial para G−difeomorﬁsmos de X y para homomorﬁsmos de grupos

G → G′ es inmediato de la naturalidad de la construcción de éste. Luego es claro que el ´ındice anal´ıtico es una función ´ındice.

El axioma 1 es f´acil de ver para el ´ındice anal´ıtico. De hecho, un operador el´ıptico

P sobre un punto es solamente un mapa lineal equivariante P : V → W entre

G−módulos de dimensión finita. Asi, se tiene que

[σ(P)] = [V]−[W] =a−ind(P)∈R(G)

de lo que se deduce que a−ind es la identidad en este caso. Faltar´ıa verificar que el axioma 2 se cumple para el ´ındice anal´ıtico. Sin embargo, en general es dif´ıcil verificarlo as´ı como está planteado. Por lo tanto, en la sección siguiente se establecerán unos axiomas más simples que permiten probar el axioma 2 en completa generalidad.

(28)

4.1. Axiomas suplementarios

Suponga queX es una G−variedad compacta y diferenciable, y que se tiene una funci´on ´ındice (ver secci´on 2.2)

ind: KG(T X)→R(G)

Se establecer´an los siguientes axiomas suplementarios:

Axioma de excisi´on: Sea U (no compacto en general) una G−variedad, y sean

j :U →X j′ :U →X′

dosG−embebimientos enG−variedades compactasX, X′. Entonces el siguien-te diagrama conmuta

KG(T X) indX_G

% % K K K K K K K K K K

KG(T U)

j∗_qqqqq88

q q q q q q

(j′)∗ MMM&& M M M M M M

M R(G)

KG(T X

′ ) ind X′ G 9 9 s s s s s s s s s

En otras palabras, el ´ındice indU_G :KG(T U)→R(G) est´a bien deﬁnido.

Axioma de normalizaci´on: Sea j! : R(O(n))→ KO(n)(TRn) el

homomor-ﬁsmo inducido por la inclusi´on j : P → Rn_{, donde} _P _{es el origen. Entonces}

ind(j!(1)) = 1.

Axioma de multiplicatividad:Si indF_G_×_H(b)∈R(G)⊂R(G×H), entonces

indY_G(ab) = indX_G(a)·indF_G_×_H(b)

Establecidos los axiomas, se proceder´a entonces con la comprobaci´on de cada uno de ellos.

(29)

4.2. PRUEBA DEL TEOREMA DEL ´INDICE 25

4.2. Prueba del teorema del ´ındice

Se va a mostrar en primer lugar que el ´ındice anal´ıtico satisface el axioma de excisi´on.

4.2.1. Axioma de excisi´

on

Sea U ⊂X abierto. Se sabe gracias a la proposici´on 1.1.1 que todoa∈KG(T U)

se puede representar mediante un complejo sobre T U

0→π∗E →τ π∗F →0

donde E y F son haces vectoriales sobre U, τ es homog´eneo de grado cero y, afuera de un compacto C deU, se tienen isomorﬁsmos

α:E|U−C →(U −C)×Cn

β :F|U−C →(U−C)×Cn

tales que τ = π∗(β−1α). Más aun, como todo es G−invariante se puede asumir queτ es suave (y si se quiere, se puede asumir gracias a argumentos de aproximación que E y F son suaves). Se hará una representación local para un operador pseudo-diferencial G−invariante con s´ımbolo a. Escoja un cubrimiento de X que trivialice

E, F y T∗X, y deﬁna p(x, ξ) como

p(x, ξ) =φ(ξ)τ(x, ξ)

dondeφes una función suave que es igual a cero en una vecindad de 0 y es igual a 1 fuera de ella. Se sigue entonces de la homogeneidad deτ quep(x, ξ) satisface las condiciones de crecimiento requeridas en la definición de operador pseudodiferencial. Más aun, lim

λ→∞p(x, λξ) =τ, luego los operadoresp(x, D) son representaciones locales

de un operador pseudodiferencial P. As´ı, con ayuda de particiones de la unidad se obtiene un operador pseudodiferencial P ∈ P(U;E, F) tal que σ(P) =τ, y tal que

P es inducido por β−1_α _{afuera de un compacto} _C

1 ⊃ C. Tomando promedio, se sigue que Av(P) esG−invariante y tiene la propiedad requerida . Note que la pro-piedad del promedio Av de preservar la clase P0 _{solo se mencion´}_{o para variedades} compactas, sin embargo para abiertos en general se puede arreglar la prueba para deﬁnir el operador Av(P) sobre ellos (ver [2]).

Ahora se probará el axioma de excisión. Suponga queU es un abiertoG−invariante de laG−variedad compacta X, y seaj :U →X la inclusión. Entoncesj induce un mapa

(30)

j_∗ : KG(T∗U)→KG(T∗X)

Sea a ∈ KG(T∗U). Por el argumento anterior se sabe que existe un operador

el´ıpticoP ∈ P0₍_U_;_{E, F}_), _G−_{invariante con [}_σ₍_P_{)] =} _a_{, tal que se tienen}

α:E|U−L→(U −L)×Cn

β :F|U−L→(U −L)×Cn

isomorﬁsmos de G− haces vectoriales afuera de alg´un compacto L, y para u ∈ C_c∞(U −L;E), se tiene que

P u=β−1αu (4.2.1.1) Entonces el funtor asociado a j_∗ permite extender E y F sobre T∗U a haces vectoriales j_∗E y j_∗F sobre T∗X usando α y β, y tambi´en P a un operador G−

invariantej_∗P enX. Adem´as, se extiendeP afuera deU como en 4.2.1.1. Claramente se tiene que

[σj_∗(P)] =j_∗[σ(P)] = j_∗(a)∈KG(T X)

Por otro lado, si u∈C_c∞(X;j_∗E), 4.2.1.1 muestra que (j_∗P)u= 0 =⇒ supp(u)⊂U y P u= 0

Luego kerP ∼= kerj_∗P y similarmente para la adjunta P∗. Luego

a−ind(j_∗P) = [kerP]−[kerP∗]∈R(G)

Esto muestra que el ´ındice a−ind(j_∗P) se puede calcular por el operador P en

U, de donde se sigue que no depende deX. As´ı, se ha probado entonces el axioma de excisi´on.

Ahora se proceder´a a probar el axioma de normalizaci´on.

4.2.2. Axioma de normalizaci´

on

Para esta prueba, se har´a fuerte uso de la clase del s´ımbolo de de Rham ρX ∈

KG(T X) introducida en el cap´ıtulo 1 (secciones 1.2 y 1.3). En primer lugar, se

probará esta proposición que es el pilar de la demostración del axioma:

Proposici´on 4.2.1. Las siguientes identidades son ciertas:

(31)

a−ind(ρS1) = 1−ξ ∈ R(O(1)), donde ξ : O(1) → U(1) es la representaci´on

est´andar.

a−ind(j!(1)) = 1∈Z, donde j : P →S1 es la inclusi´on de un punto. Demostraci´on. En primer lugar, se tiene que

a−ind(ρE) =χ(E) =

∑

(−1)i[Hi(E)]

Averiguemos entonces los ´ındices que se piden en la proposici´on:

a-ind(ρS1) = 1−ξ: Se tendr´ıa que

a−ind(ρS1) = [H0(S1)]−[H1(S1)] = [ker d]−[coker d]∈R(O(1))

Ahora note que, six es un parámetro para S1_{, el generador de}_O_{(1) (es decir,} la matriz −1) se puede ver como el mapa x 7→ −x. En ker d este generador actúa como la identidad, pues ker d son las funciones constantes (que no se afectan por el mapa antipodal). Encoker dsabemos que hay un solo generador (que es la clase dedxen el cociente correspondiente), y la manera como actúa el generador deO(1) esdx 7→ −dx (más precisamente, con dxse quiere referir a la clase dedx). Por lo tanto, se sigue que [ker d] = 1∈R(O(1)) y [coker d] =

ξ∈R(O(1)), de donde

a−ind(ρS1) = 1−ξ

a-ind(ρS2) = 2: Considerando el complejo de de Rham correspondiente

0→Ω0(S2)→d0 Ω1(S2)→d1 Ω2(S2)→0 se tiene que

a−ind(ρS2) = [ker d0]−([ker d1]−[im d0]) + [coker d1]∈R(SO(2))

En primer lugar, es claro que ker d0 son funciones constantes enS2, ycoker d1

est´a generado por la (clase de la) forma de volumen en Ω2₍_S2_{). En estos casos,} se sabe que tanto las funciones constantes como la forma de volumen son inva-riantes bajo rotaciones, luegoSO(2) act´ua trivialmente en ker d0 ycoker d1 y se sigue que [ker d0_{] + [}_{coker d}1_{] = 1 + 1 = 2}_∈_R₍_SO_{(2)). Se mostrar´}_{a adem´}_as que ker d1 ₌ _{im d}0_{. Esto se reduce a mostrar que, si} _ω ∈ _Ω1₍_S2_{) es tal que}

dω = 0, entoncesω=df para f ∈Ω0(S2). Note que, siU+ y U− son los abier-tos obtenidos al quitarle a S2 _{su polo sur y su polo norte, respectivamente,}

(32)

entonces existen f+ y f− en Ω0(U+) y Ω0(U−) tales que ω = df+ y ω = df− (m´as precisamente, las restricciones de ω) por el lema de Poincar´e (pues U+ y

U₋ son contr´actiles). Luego d(f+−f−) = 0, es decir quef+=f−+cte. Por lo tanto, se puede ver quef+ ∈Ω0(S2) y se cumple queω =df+, como se quer´ıa. Se concluye entonces que ker d1 ₌_{im d}0_{, de donde}_a₋_ind(_ρ

S2) = 2.

a-ind(j!(1)) = 1: En primer lugar, note que, gracias al axioma de excisi´on se tiene que el mapa inducido por la inclusi´on j : R→S1

j_∗. Kc(TR)→Kc(T S1)

satisface que a−ind(j_∗(j!(1))) = a−ind(j!(1)). Por lo tanto, para calcular

a−ind(j!(1)) se calcular´a m´as bien a−ind(j_∗(j!(1))). Se tiene que j!(1) se puede representar por la tripla E

β

→F, donde E yF son haces de l´ınea triviales yβ(x, ξ) es la multiplicación por z =x+iξ (ver, [2]). Deformeβ a través de homomorfismos con soporte compacto hasta obtener el homomorfismo β′(x, ξ), donde β′ se define para −π < x < π como

β′(x, ξ) =

{

−e−ix

1

ξ >0

ξ <0

y para x < −π o x > π como β′(x, ξ) = 1. Se puede extender β′ a T S1 deﬁ-niendo β′(∞, ξ) = 1 para todo ξ. Es claro entonces que E →β′ F representa a

j_∗(j!(1)). Ahora efectúe un cambio de coordenadas enS1 de modo que los pun-tos se representen por un parámetro −π < θ ≤π (dondex =∞ corresponde a θ=π). Entonces β′ es homotópico (con soporte compacto) a

β′′(θ, ξ) =

{

−e−iθξ ξ

ξ ≥0

ξ <0

Finalmente, se tiene una homotop´ıa clara entreβ′′ y α, donde

α(θ, ξ) =

{

e−iθξ ξ

ξ ≥0

(33)

Pero α es el adjunto de α, donde α es el s´ımbolo del operador A visto en el ejemplo 3.2.2. Se sigue entonces que j_∗(j!(1)) =σ(A∗), de donde

a−ind(j!(1)) =a−ind(j∗(j!(1))) =a−ind(A∗) = −(a−ind(A)) = 1 Como se quer´ıa.

Adem´as de esta proposici´on, se tiene el siguiente lema, cuya prueba se puede encontrar en [2]:

Lema 4.2.2. Sea ind una función ´ındice que satisface los axiomas de excisión y multiplicatividad. Si ind satisface la proposición 4.2.1, entoncesind(j!(1)) = 1donde

j! puede ser

j!: R(O(1))→KO(1)(TR)

o

j!: R(SO(2))→KSO(2)(TR2) Finalmente, comprobamos el axioma de normalizaci´on:

Se va a asumir que el ´ındice anal´ıtico satisface el axioma de multiplicatividad (de todas maneras la prueba de éste no requerirá el axioma de normalización, entonces no se crea un c´ırculo vicioso).

Se quiere mostrar que a−ind(j!(1)) = 1. Por el axioma de multiplicatividad, se tiene en particular que si X y F son G−variedades y a ∈ KG(T X), b ∈ KG(T F)

entonces

a−indX_G×F(ab) = (a−ind_GX(a))·(a−indF_G(b))

Ahora, gracias al axioma de excisi´on este resultado se puede extender para con-juntos abiertos en variedades compactas. En efecto, si ai ∈KGi(T Ui) conUi abierto enXi (i= 1,2, . . . , k), entonces

a−ind(∏ai

)

=∏a−ind(ai)

En particular, haciendo Ui = Rni y G ⊂ O(ni) se tiene que ai = j!i(1) (donde

ji _: _pt → Rni _{es la inclusi´}_{on). Ahora, si todos los} _n

i son 1 o 2 y los Gi son O(1) o

SO(2), el lema anterior nos asegura quea−ind(ai) = 1 (y el lema se tiene gracias a

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que a−ind(∏ai) = 1.

Por otro lado, se tiene que∏ai es la restricci´on dej!(1)∈KO(n)(TRn). De aqui se deduce que a−indj!(1) = 1 cuando uno se restringe a cualquier subgrupo de la forma G1×G2× · · · ×Gk deO(n), conGi =O(1) o SO(2). Como estos subgrupos

contienen a todos los subgrupos c´ıclicos de O(n), ellos determinan un caracter de

O(n). Se sigue entonces que a−indj!(1) = 1, como se quer´ıa. Finalmente se comprobar´a el axioma de multiplicatividad.

4.2.3. Axioma de multiplicatividad

En primer lugar, se mostrará para el caso en que G = H = 1, y luego se mos-trará como proceder a partir de éste en el caso general.

Sean X y F variedades compactas, y sea X×F la variedad producto de ellas. Si a ∈K(T X) y b ∈ K(T F), entonces las proyecciones de T(X ×F) =T X ×T F

en sus factores se puede usar para deﬁnir un producto ab∈K(T(X×F)). Proposici´on 4.2.3. Sean a∈K(T X) y b∈K(T F). Entonces

a−ind(ab) = (a−ind(a))·(a−ind(b)) Demostraci´on. Sean a y b representados por triplas π_X∗E0

α

→ π∗_XE1 y πF∗G0

α

→

π_F∗G1, respectivamente. De acuerdo a la construcción hecha en la proposición 1.1.1, se puede asumir que α y β son homogéneos de grado uno. El producto ab se puede representar por la tripla

˜

E0⊗G˜0⊕E˜1⊗G˜1

γ

→_E˜₁_⊗_G˜₀_⊕_E˜₀ _⊗_G˜₁

donde∼se refiere al levantamiento de los haces vectoriales y los homomorfismos a T(X×F), y γ está dado por

γ =

(

˜

α0 −β˜1

∗

˜

β0 α˜1∗

)

donde ˜α0 = ˜α⊗id_G˜₀, etc. Es fácil verificar que el soporte deγ es la sección cero (que se puede identificar con el conjunto compacto X×F).