UNIDAD 12
LA RECTA Y SUS ECUACIONES
EJERCICIOS RESUELTOS
Objetivo general.
Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas
correspondientes a las rectas en el plano y sus ecuaciones.
Objetivo 1. Recordarás a qué se llama sistema de coordenadas rectangulares, ejes coordenados y cuadrantes, y cómo se localizan los puntos en el plano.
Ejercicios resueltos:
1.) Gráficamente ¿qué puntos tienen abscisa 3?
Como la abscisa es constante, son todos los puntos que se encuentran a 3 unidades a la derecha del eje y, en una recta paralela a él.
2.) ¿Donde quedan situados los puntos que tienen la abscisa igual a la ordenada?
Si la abscisa y la ordenada son siempre iguales, se trata de una recta a 45º que cruza los cuadrantes I y III
3.) Tres vértices de un rectángulo son A(-3, 0), B(3, 0) y C(3, 3) ¿cuáles son las coordenadas del cuarto vértice y cuál es su perímetro y su área?
Para completar el rectángulo, el otro vértice tiene que encontrarse al desplazarse en ángulo recto a partir de los dos extremos, de modo que:
El punto buscado es D(-3, 3)
Perímetro: 2(6) + 2(3) = 12 + 6 = 18 unidades.
Área: b x h = 6 x 3 = 18 unidades cuadradas.
Objetivo 2. Recordarás y aplicarás las fórmulas para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano coordenado y las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón r.
Ejercicios resueltos:
1.) Encuentra la distancia del origen al punto A(a, b)
2
2 0 0 a b d = a2 b22.) Encuentra el valor de x necesario para que el punto P(x, 3) sea equidistante de los puntos A(3, –2) y B(7, 4).
2
2 3 2 3 x dPA =
3x
2 25
2
2 3 4 7 x dPB =
7x
2 1Para que P equidiste de A de B:
PB PA d d
3x
2 25 =
7x
2 1
3x
2 25 =
7x
2 1 1 14 49 25 6 9 2 2 x x x x 25 9 1 49 14 6 2 2 x x x x 16 8x 2 xEl punto P(2, 3) equidista de los puntos A(3, –2) y B(7, 4).
3.) Si los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(2, 3) y B(5, 8), calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo que limita.
Diámetro = dAB
52
2
83
2 = 32 52 = 34Circunferencia = d= 34 ; aproximadamente 18.3185 unidades
2 34 r ; 4 34 2 r
Área del círculo = r2 =
4 34
4.) Si A(2, 3) es un extremo del segmento cuyo punto medio es P(5, 4), encuentra las coordenadas del otro extremo, B.
2 2 1 x x x ; 2 2 5 x2 ; 102x2 ; 8 2 x 2 2 1 y y y ; 2 3 4 y2 ; 83y2 ; 5 2 y de modo que: B(8, 5)
5.) Encuentra la longitud de la mediana del lado AB del triángulo cuyos vértices son A(–2, –2), B(6, 0) y C(2,8). (La mediana es la recta que une el punto medio de un lado del triángulo con el vértice opuesto).
Coordenadas del punto medio del segmentoAB:
2 2 1 x x x = 2 6 2 = 2
2 2 1 y y y = 2 0 2 = –1 P(2, -1)
Distancia del punto P al vértice C
2
2 8 1 2 2 PC d = 0
9
2 = 81 = 9La mediana del lado AB al vértice C tiene una longitud de 9 unidades.
6.) Los extremos de un segmento son los puntos A(7, 4) y B(-1, -4) . Encuentra la razón AP
PB en que el punto P(1, –2) divide al segmento.
r rx x x 1 2 1
1 r
x1 rx2 x 1 2 x rx rx x
x x
x x r 2 1 2 1 x x x x r
1 1 1 7 r = 2 6 = 3La razón en que el punto P(1, –2) divide al segmento AB es 3.
(Un caso para este valor de r es que sea el último de los tres puntos que dividen al segmento en cuatro partes iguales: 3
1
Objetivo 4. Recordarás y aplicarás las diferentes formas de la ecuación de una recta, dadas dos condiciones que la definen.
Ejercicios resueltos:
1.) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(–2, –3) y B(5, 1)
1
1 2 1 2 1 x x x x y y y y
2
2
5 3 1 3 x y
2
2 5 3 1 3 x y
2
7 4 3 x y
3
4
2
7 y x 8 4 21 7y x 13 4 7y x2.) Encuentra la ecuación de la recta que intersecta al eje de las ordenadas 7 unidades hacia abajo del origen y tiene una pendiente de
5 2 5 2 m ; b = –7; b mx y 7 5 2 y
3.) Tres vértices de un paralelogramo son los puntos A ,0 2 11 , B(0, 5) y C(–5, 8). Encuentra las ecuaciones de los lados que pasan por AB y por BC.
Ecuación del lado que pasa por A y B: 2 11 a ; b5; 1 b y a x 1 5 2 11 y x 1 5 11 2 y x
Ecuación del lado que pasa por B y C:
B(0, 5); C(–5, 8);
1
1 2 1 2 1 x x x x y y y y
0
0 5 5 8 5 x y x y 5 3 5 5 5 3 x y4.) Encuentra la ecuación de una recta perpendicular a eje y, que pase por el punto (h, k) α = 0º; tan α = 0
1
1 m x x y y
x h
k y 0 0 k y k y Objetivo 5. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una recta y las condiciones necesarias y suficientes para las posiciones relativas entre dos rectas en el plano.
Ejercicios resueltos:
1.) Determina la posición relativa de las rectas R1: 14x10y10 y
R2: 3 14 5 2 y x Para R1: 14x10y10 5 7 10 14 m Para R2: 3 14 5 2 y x 0 3 2 14 5 y x
14 3 14 0 2 14 14 5 14 y x 0 42 7 5x y 7 5 7 5 B A m 2 1 1 R R m m 2.) Demuestra que las rectas R1: 5x y60, R2: x5y220,
R3: 5xy320 y R4: x5y40 forman un cuadrado.
Posiciones relativas entre las rectas:
5 1 5 1 R m ; 5 1 2 R m ; 5 1 5 3 R m ; 5 1 4 R m
R1 y R3 son paralelas; R2 y R4, son paralelas.
R1 es perpendicular con R2 y con R4;
R3 es perpendicular con R2 y con R4.
Punto de intersección entre R1 y R2:
0 6 5xy ; 6 5 x y 0 22 5 y x ;
5 6
22 0 5 x x ; 0 22 30 26x ; 26 52 x = 2
2 6 5 y = 4 → P1(2, 4)Con el mismo procedimiento, los otros puntos de intersección son: R1 y R4: P2(1, –1)
R3 y R2: P3(7, 3)
R3 y R4: P4(6, –2)
Longitudes de los lados:
2
2 2 1P 21 41 P = 125 26
2
2 3 1P 27 43 P = 251 26
2
2 4 2P 16 12 P = 251 26
2
2 43P 76 32
P = 125 26
Los cuatro lados tienen la misma longitud, y las rectas forman un cuadrado.
Para graficar se pueden determinar otros puntos sobre cada recta: En R1: 5xy60. Si x = 3 y = 9 → A(3, 9); En R2: x5y220. Si x = –3 y = 5 → B(–3, 5);
En R3: 5x y320. Si x = 8 y = 8 → C(8, 8);
En R4: x5y40. Si x = -4 y = 0 → D(-4, 0)
Objetivo 6. Recordarás la definición y aplicaciones de la expresión de una recta en la forma normal y cómo obtenerla a partir de la forma general.
1.) Calcula la longitud del radio de la circunferencia con centro en el punto (2, 3) y que es tangente a la recta 4x3y30
Radio de la circunferencia = distancia del centro de la circunferencia a la tangente.
1 1 2 2 Ax By C d A B = 2 2 3 4 3 ) 3 ( 3 ) 2 ( 4 = 25 3 9 8 = 5 20 = 4
radio = 4 (unidades de longitud)
2.) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son P1(2, 1), P2(8, 2) y P3 (3, 6)
Base del triángulo: cualquiera de los tres lados, por ejemplo, P1P2 . Usando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados:
2
2 8 1 2 1 x y
2
6 1 1 x y 2 6 6y x 0 4 6 y x Longitud de la base: distancia
2 1
2 2 1 2 2 1P (x x ) y y P = (82)2 (21)2 = 361 = 37Altura del triángulo: distancia del otro vértice, P3 (3, 6), a la base:
1 1 2 2 Ax By C d A B = 2 2 ) 6 ( 1 4 ) 6 )( 6 ( 3 = 37 4 36 3 = 37 29 = 37 29
Área del triángulo = 2 h b = 2 37 29 37 = 2 29 (unidades de superficie)
3.) La distancia dirigida de la recta 2x5y100 a un punto P es –3. Si la abscisa de P es 2, encuentra su ordenada. Distancia dirigida: 2 2 1 1 B A C By Ax d
C < 0 signo del radical positivo, y para el punto P (2, y):
2 2 5 2 10 5 ) 2 ( 2 3 y 29 6 5 3 y 6 5 ) 29 )( 3 ( y 29 3 6 5y La ordenada es: 5 29 3 6 y