Instituto de Física
Facultad de Ingeniería – UdelaR
TITULODINAMICA DEL CARRETEL
AUTORES
Santiago Duarte, Nicolás Puppo y Juan Manuel Del Barrio
INTRODUCCIÓN
En este problema se analiza la dinámica rotacional y traslacional de un carretel unido mediante una cuerda que pasa por una polea con masa a un cuerpo que cuelga. Para resolver el
problema aplicamos las leyes de Newton a ambos cuerpos y usamos las ecuaciones de torque en la polea y el carretel. Para poder despejar las incógnitas tuvimos que usar ecuaciones de vínculo como la de rodadura sin deslizar y el largo constante de la cuerda.
LETRA DEL PROBLEMA
Sea un carretel formado por 2 discos de masa M y radio R (cada uno) y un eje de radio r de masa despreciable, una polea de radio r y masa m, y una caja de masa m, vinculados por un hilo inextensible de masa despreciable. El carretel se encuentra sobre una superficie con fricción como se muestra en la figura. Plantea las ecuaciones que permitirían calcular la aceleración del centro de masa del carretel. Si deseas, puedes resolver analíticamente el problema considerando: R = 3r y M = 3m
Sugerencia: El momento de inercia de la polea puede aproximarse al momento de inercia de un disco. Para que el hilo no deslice respecto de la polea, ésta gira sometida a un torque neto dado por tensiones diferentes en el tramo horizontal y vertical del hilo.
- 2 -
Fundamento Teórico.
Mecánica del sólido rígido
La mecánica de un sólido rígido es aquella que estudia el movimiento y equilibrio de
sólidos materiales ignorando sus deformaciones. Se trata, por tanto, de un modelo
matemático útil para estudiar una parte de la mecánica de sólidos, ya que todos los
sólidos reales son deformables. Se entiende por sólido rígido un conjunto de puntos
del espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las distancias entre ellos,
sea cual sea la fuerza actuante.
Centro de masas
El centro de masas de un sistema continuo es el punto geométrico definido como:
M
dm
r
dm
dm
r
R
CM∫
∫
∫
→ → →=
=
En mecánica del sólido rígido, el centro de masa es importante porque la energía
cinética total
K
puede expresarse como
K
=
MV
2+
K
rot2
1
, siendo
M
la masa total del
cuerpo,
V
la velocidad de traslación del centro de masas y
K
rotla energía de rotación
del cuerpo, expresable en términos de la velocidad angular y el tensor de inercia.
La segunda ley de Newton o ley de la interacción y la fuerza
"La variación del momento lineal del centro de masa de un cuerpo es proporcional a la
resultante total de las fuerzas actuando sobre dicho cuerpo y se produce en la
dirección en que actúan las fuerzas."
Esta ley explica las condiciones necesarias para modificar el estado de movimiento o
reposo de un cuerpo. Según Newton estas modificaciones sólo tienen lugar si se
produce una interacción entre dos cuerpos, entrando o no en contacto (por ejemplo, la
gravedad actúa sin que haya contacto físico). Según la segunda ley, las interacciones
producen variaciones en el momento lineal del centro de masa, a razón de
dt
p
d
F
→ →=
Siendo
→F
la fuerza,
→p
Torque
En mecánica newtoniana, se denomina torque, [respecto a un punto fijo O] a la
magnitud que viene dada por el producto vectorial de una fuerza por un vector director.
Si se denomina F a una fuerza, aplicada en un punto A, su momento respecto a otro
punto O viene dado por:
→
→
→
×
=
Τ
r
AO
F
Momento angular o cinético
El momento angular es una magnitud física importante porque en muchos sistemas
físicos constituye una magnitud conservada. En otras palabras, bajo ciertas
condiciones de las fuerzas y sus torques, es posible asociarle una ley de
conservación. El hecho de que el momento angular sea bajo ciertas circunstancias una
magnitud cuyo valor permanece constante puede ser aprovechado en la resolución de
las ecuaciones de movimiento. En un instante dado, y fijado un punto del espacio O,
se define el momento angular L
Ode un sistema de partículas respecto a ese punto
como:
→ → →×
=
r
P
L
0y
→ → → →Τ
=
×
=
r
F
dt
L
d
En el caso de que actúen torques externos el momento angular de un cuerpo no se conserva, por lo que los objetos que rotan tendrán aceleración angular.
- 4 - Newton a la masa colgando:
1.
mg
−
T
1=
ma
y Torque a la polea: 2. 2 2 2 12
⋅
α
=
⋅
−
⋅
r
T
r
mr
T
Newton al carretel en el eje y: 3.
2
N
=
2
Mg
Newton al carretel en el eje x: 4.
T
2−
2
F
s=
2
Ma
x Torque al carretel: 5.2
F
s⋅
R
−
T
2⋅
r
=
MR
2⋅
α
1 RSD: 6.a
x=
α
1⋅
R
7.a
y=
α
2⋅
r
Vinculo: 8.a
y=
a
x−
α
1⋅
r
N
Mg
Fs
T1
T2
mg
x
y
k
α
1
α
2
Usando las ec. 4 y 5, despejando y sustituyendo Fs, nos queda una ec. (9) en términos de T2 y ax.
Si ponemos la 6 en la 8, nos queda una ec. (10) en términos de ay y ax, y si esa ec. (10) la ponemos en la 7, nos queda una ec. (11) en términos de ax y alfa2.
Si esa la ponemos en la ec. 2 nos queda una ec. (12) en términos de T1, T2 y ay Si ponemos la ec. 10 en la 12 nos queda una ec. (13) en términos de T1, T2 y ax Si ponemos la ec. 10 en la ec. 1 nos queda una ec. (14) en términos de T1 y ax. Si ponemos la ec. 14 en la ec. 13 nos queda una ec. (15) en términos de T2 y ax. Usando las ec. 9 y 15, despejando y sustituyendo T2, logramos hallar ax.
Si tomamos M=3m y R=3r nos queda:
29
2g
a
x=
CONCLUSION
La aceleración del centro de masa del carretel depende exclusivamente de las masas y de los radios del propio carretel y la polea a la que esta vinculada, y de la masa del objeto que cuelga. La aceleración no depende del coeficiente de rozamiento.
El valor de la aceleración es de 2g/29
Si el coeficiente de rozamiento es menor a 5/58 el carretel desliza con respecto al piso
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Wikipedia 100%.
