INTRODUCCIÓN A LAS ONDAS EN LOS MEDIOS CONTINUOS Ondas en Varillas

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INTRODUCCI ´

ON A LAS ONDAS EN LOS MEDIOS

CONTINUOS

Ondas en Varillas

Prof. Dr. Alejandro G. Gonz ´alez

1 de abril de 2008

Contenidos . . . 2

Ondas 3 ¿Que es una Onda? . . . 4

Propiedades el ´asticas de algunos materiales . . . 5

Propiedades el ´asticas geof´ısicas . . . 6

Ondas longitudinales 7 Ecuaci ´on de ondas longitudinales . . . 8

Ecuaci ´on de ondas longitudinales II . . . 9

Condiciones de contorno . . . 10

Condiciones de contorno II. . . 11

Reflexi ´on de ondas longitudinales: Pared r´ıgida . . . 12

Reflexi ´on de ondas longitudinales: Dos barras . . . 13

Coeficientes de Fresnel . . . 14

Ondas torsionales 15 Ecuaci ´on de ondas torsionales. . . 16

Ecuaci ´on de ondas torsionales II . . . 17

Ondas de flexi ón 18 Ecuaci ón de ondas de flexi ón. . . 19

Ecuaci ´on de ondas de flexi ´on II . . . 20

Aproximaci ´on para ondas de flexi ´on. . . 21

Propiedades de ondas de flexi ´on . . . 22

Propiedades de ondas de flexi ´on II . . . 23

Velocidad de Grupo 24 Velocidad de Grupo y dispersi ´on . . . 25

Velocidad de Grupo y dispersi ´on II . . . 26

Propiedades el ´asticas de un medio 27 Relaciones constitutivas . . . 28

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Contenidos Ondas Ondas longitudinales Ondas torsionales Ondas de flexi ´on Velocidad de Grupo

Propiedades el ´asticas de un medio

Introducci ´on a las Ondas - Ondas en varillas 2 / 28

Ondas

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¿Que es una Onda?

No es una mera oscilaci ón o vibraci ón. No es un transporte de materia. Una propagaci ón de un fen ómeno.

Puede estar ligada a una ecuaci ón hiperb ólica en forma directa o en una indirecta. Casos m ás conocidos:

• Ondas ac ´usticas lineales en gases ideales • Ondas electromagn ´eticas (luz, etc)

Problemas con estos ejemplos

• Un solo modo (para ondas ac ´usticas en gas)

• No depende de medio material (para ondas e.m. en vac´ıo) Ventajas de estudiar medios el ´asticos

Tipos de ondas en un medio: transversales y longitudinales

Propiedades el ´asticas de algunos materiales

Propiedades el ´asticas de materiales comunes. Unidades paraλ, µ, K, E:1011_{N m}−2

. Material λ µ K E ν Aluminio 0.60 0.265 0.775 0.715 0.35 Cobre 1.09 0.45 1.39 1.22 0.355 N´ıquel 1.39 0.76 1.90 2.01 0.32 Plomo 0.38 0.074 0.43 0.21 0.42 Oro 1.48 0.28 1.67 0.795 0.42 Plata 0.82 0.27 1.00 0.755 0.37 Hierro 1.18 0.83 1.73 2.145 0.29 Molibdeno 1.66 1.60 2.73 4.02 0.255

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Propiedades el ´asticas geof´ısicas

Propiedades de capas de la Tierra

Profundidad λ µ K E ν

2500 km 4.195 2.723 6.011 7.096 0.303 1000 km 2.180 1.820 3.420 4.630 0.272 20 km 0.429 0.323 0.645 0.830 0.285

Ondas longitudinales

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Ecuaci ´on de ondas longitudinales

Distintos modos de generar ondas Golpeo una barra en su direcci ´on axial

Hallar desplazamiento de una secci ón en la direcci ón axial Ley de Hooke diferencial para secci ón enx

F S = E

∂u ∂x Calculo fuerzas totales en un elemento entrexyx + dx

∆F = ∆x∂F ∂x

Ecuaci ´on de ondas longitudinales II

Inercia y ley de Newton

ρS∆x∂ 2_u ∂t2 = ∆x ∂F ∂x Se halla finalmente ∂2_u ∂t2 = c 2∂2u ∂x2

Velocidad de propagaci ´on c2 _{= E/ρ}

Soluciones conocidas

u(x, t) = f (x − ct) + g(x + ct) Ondas no dispersivas y lineales

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Condiciones de contorno

Las barras no son infinitas

Elementos no uniformes (e.g. diferentes constantes) Casos simples

• Paredes absolutamente r´ıgidas • Frontera libre

• Contacto entre dos barras diferentes Paredes absolutamente r´ıgidas

• No hay desplazamientos materiales

u(x0, t) = 0, en el punto de frontera con la pared x0

• Idealiza cuando la barra est á empotrada en pared masiva con gran m ódulo de Young Introducci ón a las Ondas - Ondas en varillas 10 / 28

Condiciones de contorno II

Frontera libre

• Idealiza caso de frontera con vac´ıo • Los esfuerzos se anulan en la frontera

F |_x=x₀ = 0 • Por Ley de Hooke

∂u/∂x|_x=x₀ = 0 Contacto entre dos barras diferentes con igual secci ´on • Desplazamientos y esfuerzos iguales

(u1− u2)x0 = 0

(E1∂u1/∂x − E2∂u2/∂x)x0 = 0

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Reflexi ´on de ondas longitudinales: Pared r´ıgida

Linealidad y soluciones arm ´onicas Descomposici ´on de Fourier de un pulso

Onda arm ´onica propagante que viene de−∞hacia bordex = 0 ui(x, t) = Aiexp[i(kx − ωt)], k = ω/c

Pared r´ıgida: reflexi ´on de onda para cumplir condici ´on de contorno ur(x, t) = Arexp[i(krx + ωrt)], kr= ωr/c

r = Ar/Ai, coeficiente de reflexi ´on

En el borde se cumpleexp[i(ω − ωr)t] = −r

Se tieneω = ωr, con lo cualk = kr

Reflexi ´on de ondas longitudinales: Dos barras

Onda arm ´onica propagante que viene de−∞hacia bordex = 0 ui(x, t) = Aiexp[i(kx − ωt)], k = ω/c1

Contacto con otra barra: reflexi ón de onda y transmisi ón a otra barra para cumplir condici ón de contorno

ur(x, t) = Arexp[i(krx + ωrt)], kr = ωr/c1 parax < 0

ut(x, t) = Atexp[i(ktx + ωtt)], kt= ωt/c2 parax > 0

Se tieneω = ωr= ωt, con lo cualk = kr perok 6= kt

Pido condiciones de contorno

1 + r = t, kE1(1 − r) = ktE2t

Coeficientes de Fresnel

´Indice de refracci´onn = c1/c2

Raz ´on de densidadesm = ρ2/ρ1

F ´ormulas de Fresnel r = n − m n + m t = 2n n + m Modos Normales

• Ondas estacionarias entre dos nodos • Frecuencias de resonancia

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Ondas torsionales

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Ecuaci ´on de ondas torsionales

Sea una barra de secci ón circular sujeta a torques. El ángulo de torsi ónφpuede variar conx

∆φ = ∆x∂φ/∂x Por la ley de Torsiones

M (x) = f ∆φ = µπa

4

2 ∂φ ∂x La diferencia de torques nos lleva a

∆M = µπa

4

2 ∆x ∂2φ ∂x2

Ecuaci ´on de ondas torsionales II

La ley de momentos me lleva a que (I = ρπa4_∆x/2)

∂2φ ∂t2 = c

2∂2φ

∂x2

La velocidad de propagaci ´on esc2= µ/ρy no depende del radio de la varilla. Semejanza formal con ondas longitudinales.

Sin embargo, no son desplazamientos longitudinales

Ondas de flexi ´

on

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Ecuaci ´on de ondas de flexi ´on

Peque ˜nas flexiones de una varilla o soga

Dos balances necesarios: de fuerzas y momentos Balance de Fuerzas ρS∆x∂ 2_ζ ∂t2 = ∆F Balance de momentos M (x) = EI∂ 2_ζ ∂x2 ∆M = ∆x ∂ ∂x EI∂ 2_ζ ∂x2

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Ecuaci ´on de ondas de flexi ´on II

El momento total es

MT = F ∆x + ∆M

Balancea con inercia ante rotaciones

ρI∆x∂

2_α

∂t2

dondeα = ∂ζ/∂x

Usando los resultados anteriores y derivando respecto ax

ρI ∂ 4_ζ ∂t2_∂x2 = EI ∂4ζ ∂x4 + ρS ∂2ζ ∂t2

Es usual despreciar la inercia rotacional

Aproximaci ´on para ondas de flexi ´on

Momento de inerciaI ≈ r2₀S conr0: radio de inercia

Efecto inercia rotacional

ρI ∂ 4_ζ ∂t2_∂x2 ≈ r₀2Sρζ l2_τ2 Momento de fuerzaF ρS∂ 2_ζ ∂t2 ≈ ρSζ τ2

Sir0/l << 1las distancias de la longitud de onda mucho mayores a las del radio de varilla,

estoy justificado.

Ecuaci ´on de ondas de flexi ´on usual r₀2E ρ ∂4ζ ∂x4 + ∂2ζ ∂t2 = 0

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Propiedades de ondas de flexi ´on

Son lineales pero la ecuaci ´on es de cuarto orden. Son dispersivas

Condiciones de contorno m ´as complejas

• Borde empotrado:ζ y su derivada primera nulas.

• Borde libre:M yF nulas (i.e. derivadas segundas y terceras nulas) Soluciones generales

ζ(x, t) = A1ei(kx−ωt)+ A2e

−i(kx+ωt)

+ B1e(kx−iωt)+ B2e(−kx−iωt)

Relaci ´on de dispersi ´on

k = s

ω r _ρ

Er₀2

Propiedades de ondas de flexi ´on II

Tengo dos ondas propagantes dispersivas (soluciones enAi)

Sus velocidades de fase son

vf = ± v u u tω s Er2₀ ρ

Dos soluciones oscilatorias no propagantes con amplitudes crecientes o decrecientes ´

Utiles cerca de bordes.

Velocidad de Grupo

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Velocidad de Grupo y dispersi ´on

Recordemos que la velocidad de grupo de ondas dispersivas no es igual a la de fase Sea una perturbaci ´on formada por arm ´onicas moduladas

f (x, t) = F (x, t)ei(k0x−ω0t)

F (x, t)var´ıa poco en tiempo y espacio frente aei(k0x−ω0t)

Sea una perturbaci ´on inicial con banda estrecha f (x, 0) =

Z ∞ −∞

f (k)eikxdk

conf (k) ≈ 0si|k − k0| > ∆k,∆k << k0

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Velocidad de Grupo y dispersi ´on II Inicialmentef (x, 0) = F0(x)eik0x Desarrollo cerca dek0 F0(x) = Z ∞ −∞ f (k0+ κ)eiκxdκ

Hago un desarrollo de Taylor para la frecuencia f (x, t) ≈ ei(k0x−ω0t) Z ∞ −∞ f (k0+ κ) exp n iκhx − dω dk k0t io dκ

Tengof (x, t) ≈ F0(x − vgt)ei(k0x−ω0t)

Con velocidad de grupovg= dω_dk

k0

En ondas de flexi ´onvg = 2vf

Propiedades el ´asticas de un medio

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Relaciones constitutivas

Relaciones constitutivas: esfuerzo = funcional (deformaci ´on)

Posibilidades restringidas por postulados esenciales de importancia f´ısica y matem ´atica • Determinismo: Esfuerzo entdepende solo de la historia de la deformaci ´on hasta ese

momemto y no de valores futuros.

• Acci ´on local: Esfuerzo enxparatdepende solo de la deformaci ´on en el entorno dex • Objetividad material: Relaciones constitutivas son invariantes de forma respecto a

movimientos r´ıgidos del marco de referencia espacial

• Invariancia material (Simetr´ıa): Relaciones constitutivas son invariantes de forma respecto a un grupo de simetr´ıa. Para los s ´olidos son las transformaciones ortogonales de las coordenadas materiales.

Material con memoria (visoel ´asticos): pl ´asticos, manto terrestre superior.