Superfluidos, topología y un premio Nobel

Superfluidos, topología y un premio Nobel

Estira y afloje

La topología es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de la deformación de los cuerpos geométricos, además de los mapeos de estos objetos. El ejemplo típico de mapeo fácilmente visible es el de los mapas terrestres y en ellos se pretende trasladar características geométricas generales de la superficie de una esfera, o sea la Tierra, a una superficie plana y que se puedan visualizar los mares, continentes, ríos, montañas, bosques, ciudades, etc. (figura 1).

Figura 1. Mapeo Imagen extraída de:

http://www.ign.es/ign/resources/cartografiaensenanza/conceptoscarto/descargas/concepto s_cartograficos_def.pdf

Se dice que los inicios de la topología se pueden rastrear desde 1679, cuando Leibnitz, matemático alemán –entre otras cosas– publicó un escrito con el título de Característica Geométrica. En él propuso estudiar los cuerpos geométricos más allá de sus propiedades básicas como la longitud de sus lados, los radios o los ángulos formados entre sus vértices. Posteriormente Euler, un renombrado físico y matemático suizo del siglo XVIII, contribuyó a este campo con sus estudios sobre poliedros al resolver el famoso problema de los siete puentes (ver “Redes, puentes, y carteros” en Cienciorama); pero no fue hasta finales del siglo XIX cuando se conformó el campo de la topología gracias al científico francés Henri Poincaré, quien publicó su artículo titulado “Analysis Situs”. En él, Poincaré planteó crear una geometría con n dimensiones, donde n puede tomar distintos valores, n=1, 2, 3, 4, 5, 6…

Si tomamos el valor de n=1 tenemos el caso unidimensional en el que sólo podemos tratar con líneas rectas, mientras que el caso n=2 corresponde a la geometría de dos dimensiones y hay figuras como círculos, triángulos, rectas, etc., en un mismo plano. Cuando n toma el valor de 3, estamos en el caso tridimensional que es el mundo que conocemos y nos es bastante familiar; pero con valores de n mayores a 3, los problemas surgen porque se trata de espacios que no podemos visualizar directamente y tenemos que recurrir al ingenio para poder recrear su geometría.

Figura 2. Dimensiones espaciales, las flechas de las figuras indican las dimensiones del espacio, largo, ancho y profundidad. Imagen extraída de

A finales del siglo XIX ya se vislumbraban en la física posibilidades de abordar los fenómenos naturales con las herramientas de la topología. El mismo Maxwell, a quien le debemos el desarrollo de la teoría electromagnética, afirmaba que además del cálculo se podía usar la topología para estudiar los campos electromagnéticos a través de los patrones geométricos que se observan cuando se utiliza limadura de hierro para visualizarlos (figura 3).

a) b)

Figura 3. Campo eléctrico y campos magnéticos. a) Los campos eléctricos son aquellos que se generan por la presencia de cargas eléctricas como los electrones. b) Los campos magnéticos se generan por medio de cargas eléctricas en movimiento, es decir, corrientes

eléctricas. La fuente más usual que conocemos para los campos magnéticos son los imanes (figura de la derecha). La figura izquierda se extrajo de

http://www.mailxmail.com/curso-electricidad-sistemas-electricos-republica-dominicana/algunas-definiciones y la figura derecha de

http://jacobo.tarrio.org/es/know/como-funcionan-las-tarjetas-de-banda-magnetica

Además de Maxwell se pueden mencionar otros científicos que con sus trabajos describieron fenómenos naturales con topología, entre ellos está Peter Guthrie Tait, matemático escocés que estudió las propiedades de ciertas curvas que están unidas en sus extremos, es decir que son cerradas, y que se les conoce como nudos; la rama de las matemáticas que los estudia se denomina teoría de nudos. Con esta teoría podemos visualizar

espacios como cordones o curvas cerrados que no pueden cortarse pero sí entrecruzarse, es decir que se pueden enredar en formas caprichosas. El nudo más simple que podríamos encontrar es una liga, un trozo circular de un material elástico (figura 4a).

La teoría de los nudos resultó aplicable a diversos campos como la química, para modelar ciertas moléculas, y también en la biología para estudiar por ejemplo el ADN (figura 4b). El físico alemán Gustav Kirchoff, conocido por sus trabajos sobre circuitos eléctricos, propuso abordarlos con la teoría de redes, también conocida como teoría de grafos (ver “Redes, puentes, y carteros” en Cienciorama), misma que desarrolló Euler para el problema de los puentes (figura 4c).

a) b)

c)

Figura 4. Figura de nudos (kelvin) imagen extraída de la referencia 1. Figura de nudo y ADN (imagen extraída de http://wwwf.imperial.ac.uk/~dbuck/AMSDNATopology.pdf), figura de dos circuitos (izquierda) y su representación como gráfica (derecha) Imagen extraída

de la referencia 1.

Behind every beautiful thing, there's some kind of pain (Bob Dylan) A pesar de que a principios del siglo XX los problemas que traían de cabeza a los físicos eran la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad, en 1931

el físico británico Paul Dirac hizo grandes aportaciones cuando propuso que tal vez podían existir los monopolos magnéticos, que son un tipo de defectos topológicos puntuales. La propuesta de Dirac sobre los monopolos magnéticos, consiste en imaginar una fuente de campos magnéticos similar a un imán; pero que sea de longitud infinita y sin grosor. En el arreglo anterior es posible visualizar a los extremos como las fuentes puntuales del campo magnético (ver figura 5b) de donde surgen las líneas de campo similares a las que generan las cargas eléctricas para el campo eléctrico (ver figura 3a).

a) b)

Figura 5. a) Se muestra un imán como fuente de campos magnéticos. Las líneas de campo apuntan hacia dentro del imán en el polo sur y hacia afuera de éste en el polo norte. b) Las líneas en zigzag representan al imán de longitud infinita y sus extremos son

las fuentes puntuales de campo magnético (monopolos magnéticos).

Los monopolos serían partículas que de manera análoga a las cargas eléctricas pueden generar campos eléctricos (figura 3a) Sin embargo, hasta ahora no se han encontrado en la naturaleza partículas que generen campos magnéticos y se ha observado que estos últimos se generan por corrientes eléctricas.

Aunque se dice que donde hubo fuego sólo quedan cenizas, esta relación entre la topología y la física resurgió en el premio Nobel del 2016. Después del artículo de Dirac de 1931, pasaron 45 años para que se volvieran a

utilizar en física herramientas topológicas, éstas siguieron desarrollándose en el S.XX pero en la matemática. En 1976 físicos de la Universidad de París-Sur Toulouse, y Kléman, (físicos de Reino Unido y Francia, respectivamente) aplicaron la matemática de la topología al estudio de la superfluidez del 3_{He, un estado de la materia que se presenta a muy bajas temperaturas} (-273.148 °C).

El 3_{He es un átomo de helio con dos protones y un neutrón que forman el} núcleo y dos electrones orbitando alrededor de él. Los átomos, y en general las partículas, tienen una propiedad denominada espín relacionada con su momento angular. En la mecánica clásica el momento angular se relaciona con las rotaciones de los cuerpos sólidos, como puede ser cuando lanzamos un trompo. Por otro lado, en la mecánica cuántica se puede caracterizar a las partículas por los giros que den. Por ejemplo, los electrones al orbitar alrededor de un núcleo tienen asociada la propiedad denominada momento angular orbital.

También hay otro tipo de giros asociados con las vueltas que da una

partícula –como los electrones– sobre su propio eje, como el caso del trompo, al que se le conoce como el espín. El espín puede tomar dos tipos de valores: enteros (1,2,3,4, …) o fraccionarios (½, 3/2, 5/2, …) y

dependiendo de estos valores las partículas se comportan de una u otra forma. A las partículas con espín entero se les denomina bosones y a las de espín fraccionario fermiones. Por último, es importante señalar que con estos dos tipos de giros –momento angular orbital y el espín– es posible determinar las propiedades magnéticas de las partículas o los átomos.

Figura 6. Ilustración de un protón con su espín y de un electrón orbitando alrededor de él. El electrón también tiene espín y además tiene momento angular orbital.

De la superconductividad a la superfluidez

Existen ciertos materiales que conducen la electricidad sin presentar resistencia eléctrica y con muy poca pérdida de energía, que tienen propiedades superiores a las de los conductores eléctricos normales, como los metales. Estos materiales se conocen como superconductores. La superconductividad se presenta comúnmente a bajas temperaturas y en este fenómeno se acoplan dos electrones con espín fraccionario para formar un par ligado, conocido como pares de Cooper, que tienen espín entero. Los pares de Cooper son los responsables de que en la conducción eléctrica se lleve a cabo casi sin resistencia.

De forma similar sucede con los átomos de 3_{He, que son eléctricamente} neutros. Éstos se acoplan por pares para que el fluido de 3_{He adquiera} propiedades inusuales, por ejemplo que fluya sin tener resistencia con las paredes que lo contienen debido a su baja viscosidad, razón por la cual se les denomina superfluidos (ver “Superfluidos y superconductores: la física de la materia fría” en Cienciorama).

Figura 7. Ilustración de pares de Cooper. Imagen extraída de

http://www.berkeley.edu/news/media/releases/2004/08/16_Lanzara.shtml.

La superfluidez en el 3_{He es un fenómeno de gran interés, porque desde su} descubrimiento experimental en 1972 ha servido para entender a fondo las transiciones de fase o cambios de estado de la materia para todo rango de temperaturas (ver “Juegos termodinámicos: el agua” en Cienciorama). Las propiedades de la supefluidez se han estudiado para entender la forma como fluye el 3_{He a bajas temperaturas, además de la generación de vórtices} (o defectos topológicos) cuando se pone a rotar el superfluido.

El estudio de los vórtices en un superfluido es de gran importancia, ya que con ellos es posible desordenar este estado de la materia a tal punto que puede abandonar la superfluidez. Tales vórtices se consideran excitaciones que llevan a un sistema de un estado a otro y son conocidos como excitaciones topológicas o defectos topológicos, por lo que se utilizan métodos topológicos para comprenderlas y esto fue lo que estudiaron y describieron Kosterlitz y Thouless. Ellos analizaron los vórtices en el superfluido de 3_{He para explicar transiciones de fase o cambios de estado} en sistemas de dos dimensiones, es decir superficies. Tiempo después, en un artículo de 1983, Duncan Haldane contribuyó al estudio de las excitaciones topológicas en sistemas magnéticos unidimensionales, mismo que finalizó con una generalización en menos de tres líneas, para más dimensiones. Así, después de un largo camino y tras mucho penar se lograron

entender los misterios de este fenómeno –que encierra su belleza particular–

con ayuda de herramientas matemáticas muy abstractas.

¿Vórtices cuanti… qué?

Para entender qué es eso de los vórtices en un superfluido y ver por qué los físicos se interesaron tanto en ese problema, es preciso recordar una de las propiedades de los superfluidos: su baja viscosidad (ver “¿Líquidos gruesos y delgados?” en Cienciorama). Dicha propiedad se estudia con un método experimental que consiste en contener el líquido a estudiar entre dos discos que pueden rotar (ver figura 8). Al girar los discos, por la fricción que existe entre el fluido y las superficies A y B, se observará cómo el fluido comienza a rotar y dependiendo de qué tan fácil sea lograrlo será más o menos viscoso. Cuando se llevó a cabo este experimento se observó que se formaban unos ¡vórtices cuantizados! Lo cual dejó con el ojo cuadrado a los físicos por no saber las causas de su formación.

La situación más común en la que se puede observar un vórtice es cuando lavamos los trastes y soltamos el agua de la pileta al desagüe, para los curiosos que deseen hacer su propio vórtice piquen acá. Los vórtices cuantizados (figura 7) tienen sus centros alineados con el eje de rotación de los discos –líneas amarillas– y las líneas circulares negras indican su sentido de giro. Como pueden observar éste es sin duda un fenómeno demasiado inusual que atrapó la atención de muchas personas, quienes por mera curiosidad decidieron investigar qué sucede y por qué sucede. Esta tarea –que muchos podríamos pensar ¡que no sirve para nada! no resultó fácil y se tuvo que recurrir a herramientas abstractas para poder comprender un poco más sobre este fenómeno propio del 3_{He a bajas temperaturas, y} terminó además siendo reconocida con un premio Nobel.

Figura 8. Vórtices cuantizados en un superfluido de 3_{He. En el esquema se aprecian dos}

superficies (B y A) que al rotar generan los vórtices cuantizados.

Del superfluido al desarrollo científico

Como cierre de este texto servirá citar a Dirac, quien afirmaba que “…el progreso de la física requiere para su formulación teórica de matemáticas que sean cada vez más avanzadas … actualmente los desarrollos físicos modernos han requerido matemáticas que continuamente cambian sus cimientos y se vuelven más abstractas. La geometría no euclidiana, por poner un ejemplo, que fue en un tiempo considerada puramente una ficción mental y un pasatiempo de pensadores, ahora se ha vuelto más necesaria para la descripción de hechos generales del mundo físico. Parece que este incremento de la abstracción continuará en el futuro...”.

Para complementar el comentario de Dirac traeré a colación otra idea tomada de la referencia 7: el desarrollo de una teoría en un país está ligada a la capacidad para asimilar nuevos avances científicos. Este proceso de asimilación se puede caracterizar de dos modos, uno pasivo y otro activo. Para que se pueda desarrollar la ciencia activamente se necesita tener acceso a las nuevas ideas; la comunidad científica en el área que corresponda debe tener cierto grado de consolidación; el número de integrantes debe ser nutrido y se debe contar con estructuras institucionales

para que todo lo anterior fructifique. Por otro lado, la recepción pasiva, carece de los elementos anteriores y con esto hay rezagos científicos y tecnológicos.

Con estas dos ideas, es clara la necesidad de aumentar el número de científicos –sin reducir sus becas y los apoyos para ellos– en los diversos campos de la ciencia y la tecnología, ya que los avances de un campo en algún momento podrán servir en algún otro y el desarrollo científico está sin duda en función de esta relación. En el caso de la topología podemos encontrar aplicaciones para explicar fenómenos en la química, la biología y la física, que sin duda servirán para el desarrollo de nuevas tecnologías ..… que pueden tardar en llegar. En el caso del helio líquido, se puede mencionar que éste ya se utiliza en los sistemas de enfriamiento del Gran Colisionador de Hadrones –LHC por sus siglas en inglés– al hacer circular el superfluido para que el calor de los grandes imanes con los cuales opera este acelerador de partículas, se disipe.

Referencias

1) Aull, C. E. y Lowen, R. (eds.), Handbook of the history of general topology (Vol. 3). Springer Science & Business Media, Dordrecht, Holland, 2013.

2) James, I. M. (ed.), History of topology, Elsevier, Great Britain,1999

3) Svistunov, B. V., Babaev, E. S y Prokof'ev, N. V., Superfluid states of matter, Crc Press, Boca Raton, FL, 2015.

4) London, F., (1954). Superfluids, Wiley, New York,1954.

5) Monastyrsky, M., Topology of gauge fields and condensed matter. Springer Science & Business Media, New York, 2013.

6) Prasolov, V. V.) Intuitive topology (No. 4). American Mathematical Soc., India, 1995. 7) Glick, T. F. (ed.), The comparative reception of relativity (vol. 103), Springer Science

& Business Media, Dordrecht, Holland,1987.

8) Kosterlitz, J. M. (2016), “Kosterlitz–Thouless physics: a review of key issues”, Reports on Progress in Physics, 79(2), 026001.

9) Gornitzki, C., Larsson, A y Fadeel, B. (2015), “Freewheelin'scientists: citing Bob Dylan in the biomedical literature“, BMJ: British Medical Journal (Online), 351.

10) Haldane, F. D. M., (1983) “Nonlinear field theory of large-spin Heisenberg antiferromagnets: semiclassically quantized solitons of the one-dimensional easy-axis Néel state“, Physical Review Letters, 50(15), 1153.