El Geoplano como Herramienta Did´
actica para la
Ense˜
nanza de la Geometr´ıa
Luis F. C´aceres Ph.D
C´esar A. Barreto
Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayag¨uez
Abril 30 de 2011
¿Que es el Geoplano?
El geoplano es un elemento did´actico que ayuda a introducir y
afianzar gran parte de los conceptos de la geometr´ıa plana, al ser una herramienta concreta permite a los estudiantes obtener una
mayor comprensi´on de diversos t´erminos de esta materia.
Se pueden formar figuras geom´etricas.
Los estudiantes puedan establecer semejanzas y diferencias entre paralelismo-perpendicularidad.
Identificar la relaci´on entre superficie-volumen, entre muchos
otros conceptos
¿Que es el Geoplano?
El geoplano es un elemento did´actico que ayuda a introducir y
afianzar gran parte de los conceptos de la geometr´ıa plana, al ser una herramienta concreta permite a los estudiantes obtener una
mayor comprensi´on de diversos t´erminos de esta materia.
Se pueden formar figuras geom´etricas.
Los estudiantes puedan establecer semejanzas y diferencias entre paralelismo-perpendicularidad.
Identificar la relaci´on entre superficie-volumen, entre muchos
otros conceptos
¿Que es el Geoplano?
El geoplano es un elemento did´actico que ayuda a introducir y
afianzar gran parte de los conceptos de la geometr´ıa plana, al ser una herramienta concreta permite a los estudiantes obtener una
mayor comprensi´on de diversos t´erminos de esta materia.
Se pueden formar figuras geom´etricas.
Los estudiantes puedan establecer semejanzas y diferencias entre paralelismo-perpendicularidad.
Identificar la relaci´on entre superficie-volumen, entre muchos
otros conceptos
¿Que es el Geoplano?
El geoplano es un elemento did´actico que ayuda a introducir y
afianzar gran parte de los conceptos de la geometr´ıa plana, al ser una herramienta concreta permite a los estudiantes obtener una
mayor comprensi´on de diversos t´erminos de esta materia.
Se pueden formar figuras geom´etricas.
Los estudiantes puedan establecer semejanzas y diferencias entre paralelismo-perpendicularidad.
Identificar la relaci´on entre superficie-volumen, entre muchos
otros conceptos
Tipos de Geoplanos
Geoplano Cuadrado: Es el ideal para la describir conceptos tales como seg-mentos, lineas poligonales abiertas, lineas poligonales cerradas, c´alculo de ´
areas y per´ımetros, entre otros.
Geoplano Isom´etrico: Es tambi´en
conocido como Geoplano tri´angular,
se contruye a trav´es de tri´angulos
equil´ateros. Se usa frecuentemente en
la contrucci´on de figuras tridimensio-nales.
Geoplano Circular: Es ´util para construir figuras inscritas, circunscri-tas, pol´ıgonos regulares, entre otros. Ayuda a clarificar los conceptos de ra-dio, di´ametro y cuerda.
Tipos de Geoplanos
Geoplano Cuadrado: Es el ideal para la describir conceptos tales como seg-mentos, lineas poligonales abiertas, lineas poligonales cerradas, c´alculo de ´
areas y per´ımetros, entre otros.
Geoplano Isom´etrico: Es tambi´en
conocido como Geoplano tri´angular,
se contruye a trav´es de tri´angulos
equil´ateros. Se usa frecuentemente en
la contrucci´on de figuras tridimensio-nales.
Geoplano Circular: Es ´util para construir figuras inscritas, circunscri-tas, pol´ıgonos regulares, entre otros. Ayuda a clarificar los conceptos de ra-dio, di´ametro y cuerda.
Tipos de Geoplanos
Geoplano Cuadrado: Es el ideal para la describir conceptos tales como seg-mentos, lineas poligonales abiertas, lineas poligonales cerradas, c´alculo de ´
areas y per´ımetros, entre otros.
Geoplano Isom´etrico: Es tambi´en
conocido como Geoplano tri´angular,
se contruye a trav´es de tri´angulos
equil´ateros. Se usa frecuentemente en
la contrucci´on de figuras tridimensio-nales.
Geoplano Circular: Es ´util para construir figuras inscritas, circunscri-tas, pol´ıgonos regulares, entre otros. Ayuda a clarificar los conceptos de ra-dio, di´ametro y cuerda.
Uso del Geoplanos como Plano Cartesiano
Otra forma de usar el Geoplano es trabajarlo como un plano cartesiano, en donde cada clavo denota un punto en el plano, como se muestra en la figura
El punto(1,6)representa un movimiento de forma horizontal y
luego 6 movimientos de forma vertical. Si en cambio se tomar´a el
punto(6,1)este representar´ıa seis movimiento de forma horizontal
y luego un movimientos de forma vertical. Es por esto que cada
punto en el plano es unapareja ordenada, es decir, el orden de
los n´umeros, indica la posici´on en el que se ubicar´a el punto en el plano.
Uso del Geoplanos como Plano Cartesiano
Otra forma de usar el Geoplano es trabajarlo como un plano cartesiano, en donde cada clavo denota un punto en el plano, como se muestra en la figura
(1,6)
El punto(1,6)representa un movimiento de forma horizontal y
luego 6 movimientos de forma vertical. Si en cambio se tomar´a el
punto(6,1)este representar´ıa seis movimiento de forma horizontal
y luego un movimientos de forma vertical. Es por esto que cada
punto en el plano es unapareja ordenada, es decir, el orden de
los n´umeros, indica la posici´on en el que se ubicar´a el punto en el plano.
Uso del Geoplanos como Plano Cartesiano
Otra forma de usar el Geoplano es trabajarlo como un plano cartesiano, en donde cada clavo denota un punto en el plano, como se muestra en la figura
(1,6)
(6,1)
El punto(1,6)representa un movimiento de forma horizontal y
luego 6 movimientos de forma vertical. Si en cambio se tomar´a el
punto(6,1)este representar´ıa seis movimiento de forma horizontal
y luego un movimientos de forma vertical. Es por esto que cada
punto en el plano es unapareja ordenada, es decir, el orden de
los n´umeros, indica la posici´on en el que se ubicar´a el punto en el plano.
Recordemos: ´
Areas y Per´ımetros de Figuras Planas I
Figura Area´ Per´ımetro
l l A=l2 P = 4l b h A=b·h P = 2b+ 2h h a b c A= b·h 2 P =a+b+c
Recordemos: ´
Areas y Per´ımetros de Figuras Planas I
Figura Area´ Per´ımetro
l l A=l2 P = 4l b h A=b·h P = 2b+ 2h h a b c A= b·h 2 P =a+b+c
Recordemos: ´
Areas y Per´ımetros de Figuras Planas I
Figura Area´ Per´ımetro
l l A=l2 P = 4l b h A=b·h P = 2b+ 2h h a b c A= b·h 2 P =a+b+c
Recordemos: ´
Areas y Per´ımetros de Figuras Planas II
Figura Area´ Per´ımetro
a b h A=b·h P = 2a+ 2b a b B h A= (B+b)·h 2 P = 2a+B+b
Recordemos: ´
Areas y Per´ımetros de Figuras Planas II
Figura Area´ Per´ımetro
a b h A=b·h P = 2a+ 2b a b B h A= (B+b)·h 2 P = 2a+B+b
Ejemplo I
Example
Construya y calcule el per´ımetro de la siguiente figura.
Soluci´
on I
Note que la figura se puede separar en tri´angulos rect´angulos como
se muestra a continuaci´on.
As´ı podemos calcular los valores que corresponden a cada uno de
los segmentos, utilizando el teorema de Pit´agoras
Ejemplo II
Example
Construya y calcule el ´area del tri´angulo sombreado si el ´area total de la siguiente figura es 22 unidades cuadradas.
Soluci´
on II
Note que la figura se puede separar como se muestra a continuaci´on. A E B C D
As´ı podemos calcular el ´area como la suma de de cada una de las
figuras en las que se dividi´o, es decir:
A=Atotal−(B+C+D+E) = 3
Ejemplo III-1
Example
Construya y calcule el ´area y el per´ımetro de las siguientes figuras.
A
B
C
D
E
Ejemplo III-2
Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.
Figura Area´ N´umero de puntos sobre el borde
A 6 14 B 3.5 9 C 2 6 D 9 20 E 1 4 ¿ ?
¿Es posible deducir una relaci´
on entre el ´
area y el
n´
umero de puntos sobre el borde?
Ejemplo III-2
Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.
Figura Area´ N´umero de puntos sobre el borde
A 6 14 B 3.5 9 C 2 6 D 9 20 E 1 4 ¿ ?
¿Es posible deducir una relaci´
on entre el ´
area y el
n´
umero de puntos sobre el borde?
Ejemplo III-2
Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.
Figura Area´ N´umero de puntos sobre el borde
A 6 14 B 3.5 9 C 2 6 D 9 20 E 1 4 ¿ ?
¿Es posible deducir una relaci´
on entre el ´
area y el
n´
umero de puntos sobre el borde?
Ejemplo III-2
Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.
Figura Area´ N´umero de puntos sobre el borde
A 6 14 B 3.5 9 C 2 6 D 9 20 E 1 4 ¿ ?
¿Es posible deducir una relaci´
on entre el ´
area y el
n´
umero de puntos sobre el borde?
Ejemplo III-2
Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.
Figura Area´ N´umero de puntos sobre el borde
A 6 14 B 3.5 9 C 2 6 D 9 20 E 1 4 ¿ ?
¿Es posible deducir una relaci´
on entre el ´
area y el
n´
umero de puntos sobre el borde?
Ejemplo III-2
Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.
Figura Area´ N´umero de puntos sobre el borde
A 6 14 B 3.5 9 C 2 6 D 9 20 E 1 4 ¿ ?
¿Es posible deducir una relaci´
on entre el ´
area y el
n´
umero de puntos sobre el borde?
Ejemplo III-2
Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.
Figura Area´ N´umero de puntos sobre el borde
A 6 14 B 3.5 9 C 2 6 D 9 20 E 1 4 ¿ ?
¿Es posible deducir una relaci´
on entre el ´
area y el
n´
umero de puntos sobre el borde?
Formula de Pick
La formula de Pick relaciona el ´area de un pol´ıgono simple cuyos
v´ertices tienen coordenadas enteras con el n´umero de puntos en su
interior y en su borde.
Formula de Pick (Sin Puntos Interiores)
SeaB el n´umero de puntos en el borde del pol´ıgono, entonces el
´areaAdel pol´ıgono se puede calcular a partir de la f´ormula:
A= B 2 −1
Formula de Pick (Con Puntos Interiores)
Seaiel n´umero de puntos interiores del pol´ıgono yB el n´umero de
puntos en el borde del pol´ıgono, entonces el ´areaA del pol´ıgono se
puede calcular a partir de la f´ormula:
A=i+B 2 −1
Formula de Pick
La formula de Pick relaciona el ´area de un pol´ıgono simple cuyos
v´ertices tienen coordenadas enteras con el n´umero de puntos en su
interior y en su borde.
Formula de Pick (Sin Puntos Interiores)
SeaB el n´umero de puntos en el borde del pol´ıgono, entonces el
´areaAdel pol´ıgono se puede calcular a partir de la f´ormula:
A= B 2 −1
Formula de Pick (Con Puntos Interiores)
Seaiel n´umero de puntos interiores del pol´ıgono yB el n´umero de
puntos en el borde del pol´ıgono, entonces el ´areaA del pol´ıgono se
puede calcular a partir de la f´ormula:
A=i+B 2 −1
Formula de Pick
La formula de Pick relaciona el ´area de un pol´ıgono simple cuyos
v´ertices tienen coordenadas enteras con el n´umero de puntos en su
interior y en su borde.
Formula de Pick (Sin Puntos Interiores)
SeaB el n´umero de puntos en el borde del pol´ıgono, entonces el
´areaAdel pol´ıgono se puede calcular a partir de la f´ormula:
A= B 2 −1
Formula de Pick (Con Puntos Interiores)
Seaiel n´umero de puntos interiores del pol´ıgono yB el n´umero de
puntos en el borde del pol´ıgono, entonces el ´areaA del pol´ıgono se
puede calcular a partir de la f´ormula:
A=i+B 2 −1
Ejemplo IV
Example
Construya y calcule el ´area de la siguiente figura utilizando la Formula de Pick.