3. PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA EN
SISTEMAS CERRADOS
3.1 INTRODUCCIÓN
La primera ley de la termodinámica confirma el principio universal de la conservación de la energía, sentenciando que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo puede transformarse. Así, en base a la primera ley, se puede establecer que durante la interacción entre un sistema y su entorno, la cantidad de energía ganada (perdida) por el sistema debe ser exactamente igual a la energía perdida (ganada) por el entorno.
Para que se produzca traspaso de energía entre un sistema y su entorno, ésta debe cruzar las fronteras del sistema. En el caso de un sistema cerrado, la energía puede cruzar sus fronteras en dos formas distintas: calor y trabajo.
3.2 EL CALOR
El calor es la forma de energía que se transfiere entre dos sistemas, o entre un sistema y su entorno, debido a la diferencia de temperatura de estos. De ello se deduce que no puede haber transferencia de calor entre dos sistemas, o entre un sistema y su entorno, si ambos están a la misma temperatura, es decir, en equilibrio térmico.
Se denomina proceso adiabático a todo proceso donde no hay transferencia de calor entre dos sistemas, o entre un sistema y su entorno. Existe dos formas para que un proceso sea adiabático:
i) que el sistema está bien aislado, de modo que sólo una fracción despreciable de calor pueda cruzar las fronteras del sistema, o;
ii) si existe equilibrio térmico entre el sistema y su entorno (están a la misma temperatura). Un proceso adiabático no debe confundirse con un proceso isotérmico. Aunque no hay transferencia de calor en un proceso adiabático, otros medios, como el trabajo, pueden cambiar el contenido de energía del sistema y, en consecuencia, elevar su temperatura.
Al calor se lo denomina “Q” y, como una forma de energía, tiene unidades de energía, siendo el Joule (J) la unidad internacional para expresarla. En el uso práctico industrial se mantiene muy arraigado el uso de la unidad térmica británica o “Btu”.
La cantidad de calor transferida durante un proceso entre dos estados (estados 1 y 2) se expresa por medio de “Q12“ o simplemente por “Q”. La transferencia de calor por unidad de masa de un sistema se denota por “q” y se determina de:
q = Q ( J / kg )
Para una gran cantidad de procesos termodinámicos es necesario conocer la transferencia de calor por unidad de tiempo. A este parámetro se lo denomina potencia térmica y se expresa en Watt:
Q
= --- ( J / s ) = ( W )
t
Cuando varía en el tiempo, la cantidad de calor transferida durante un proceso se determina de la siguiente manera:
⌠t2
Q12 = ⎮ dt ( J )
⌡t1
Cuando es constante, la cantidad de calor transferida durante un proceso se determina de la siguiente manera:
Q12 = ∆t ( J ), donde ∆t = t2 – t1
EL signo convencional universalmente aceptado para la transferencia de calor es la siguiente: cualquier transferencia de calor que incremente la energía de un sistema es positiva, y al revés, cualquier transferencia de calor que disminuya la energía de un sistema es negativa.
Figura 3.1. Relaciones de transferencia de calor
3.3 EL TRABAJO
El trabajo, al igual que el calor, también es un tipo de interacción de energía entre un sistema y su entorno. Así como el calor es una forma de transferencia de energía originada por diferencias de temperatura, el trabajo es la transferencia de energía asociada a la acción de una fuerza a lo largo de una distancia.
Al trabajo efectuado durante un proceso entre los estado 1 y 2 se lo denomina “W12“, o simplemente “W”, y como forma de energía, sus unidades son el Joule ( J ). Para efectos de la
Qinicial = 25 kJ m = 2 kg ∆t = 5 s Qfinal = 40 kJ qfinal = 20 kJ/kg = 3 kJ/s Î Qs = - 40 kJ Qe = + 55 kJ Sistema
convención de signos se establece que el trabajo realizado por un sistema es positivo, y el trabajo efectuado sobre un sistema es negativo1.
El trabajo por unidad de masa de un sistema se lo denomina “w”, y se define como:
w = W ( J / kg )
m
El trabajo realizado por unidad de tiempo también es una forma de potencia y se denota . La unidad de potencia es (J / s) o W (Watt).
La transferencia de calor y de trabajo se reconocen cuando cruzan las fronteras de un sistema, por lo que constituyen fenómenos transitorios, es decir, ocurren cuando un sistema experimenta un proceso para pasar de un estado inicial a otro estado final. Cuando un sistema tiene definido su estado, es decir que sus propiedades no varían, no puede existir transferencia de calor ni trabajo. Ahora, la cantidad de calor y trabajo transferidos durante un proceso, depende de la trayectoria seguida por éste, y de las condiciones particulares de los estados inicial y final. Las funciones que dependen de la trayectoria tienen diferenciales inexactas y, en este caso, se designan por δQ, para el calor, y por δW, para el trabajo (no se designan dQ ni dW).
Hay dos requisitos para que ocurra una interacción de trabajo entre un sistema y su entorno:
• Debe haber una fuerza que actúe sobre la frontera del sistema, y
• La frontera del sistema debe moverse.
Por lo tanto, la acción de fuerzas en la frontera de un sistema que no logren un desplazamiento de la misma, no constituyen una interacción de trabajo. De modo similar, el desplazamiento de la frontera de un sistema sin ninguna fuerza que se oponga o impulse este movimiento tampoco es una interacción de trabajo.
El análisis termodinámico de sistemas cerrados con frontera móvil supone que los procesos de transferencias de trabajo se desarrollan en un tiempo suficiente, que permite establecer una sucesión de estados intermedios de cuasi-equilibrio entre el estado inicial y el final. Al proceso entendido bajo este supuesto se lo denomina proceso cuasi-estático.
Para entender esta idea, se analiza un gas encerrado en un sistema de cilindro-pistón, tal como lo muestra la figura siguiente. La presión inicial del gas es P, el volumen es V y el área de la sección transversal del pistón es A. Si el pistón se mueve una distancia ds, en condición cuasi-estática, el trabajo diferencial realizado durante este proceso es:
δW = F ds = P A ds = P dV
1
Algunos autores adoptan la convención de signos opuesta a la señalada en este apunte, es decir, que el trabajo sobre un sistema es positivo y el trabajo entregado por el sistema es negativo.
EL trabajo total realizado en el proceso es:
⌠2
W12 = ⎮ P dV ( J )
⌡1
En esta última expresión se debe conocer la relación funcional de la presión en función del volumen del sistema P = f(V) ya que, en un proceso, el trabajo depende de la trayectoria. Así, el siguiente diagrama Presión-Volumen presenta 2 trayectorias para llegar del estado 1 al estado 2.
Figura 3.2. Trayectorias de procesos entre los estados 1 y 2
El área bajo la curva de un diagrama P – V es igual, en magnitud, al trabajo efectuado en un proceso de expansión o compresión cuasi-estático de un sistema cerrado (notar que el diferencial del área bajo la curva dA = PdV).
Así, WB > WA
Gracias a que el trabajo desarrollado durante un proceso depende de la trayectoria que sigue entre los estados inicial y final, es posible aprovechar esta situación para obtener ganancias de trabajo mecánico en dispositivos de operación cíclica como motores y turbinas.
Para el ciclo que muestra la figura 3.3 se produce una salida neta de trabajo debido a que el trabajo hecho por el sistema durante la expansión del estado 2 al 1 es mayor que el trabajo de compresión del estado 1 al 2. La diferencia de ambos trabajos es el trabajo neto del ciclo. Este concepto será analizado in extenso en los capítulos posteriores sobre los ciclos termodinámicos.
V (1) V1 (2) P 1: estado inicial 2: estado final V2 trayectoria A Æ WA sistema trayectoria B Æ WB
Figura 3.3. Trabajo neto de ciclos termodinámicos
3.4 RELACIÓN ENTRE TRABAJO Y CALOR
Replanteando el principio de conservación de la energía, formalizado en la primera ley de la termodinámica, analizaremos el concepto de cambios en la energía total de un sistema cerrado. Cuando en un sistema cerrado ocurren simultáneamente interacciones de trabajo y de calor, sus contribuciones energéticas al sistema simplemente se suman, entonces, el cambio en la energía total de un sistema durante un proceso es igual a la suma del trabajo neto y a la transferencia de calor neta entre el sistema y su entorno. Por lo tanto, la primera ley para un sistema cerrado estacionario2 se puede expresar como sigue:
Q - W = ∆E = ∆U
Donde: Q = ΣQen - ΣQsal
W = ΣWsal - ΣWen
∆E = E2 - E1
La ecuación presenta la variación de energía de un sistema a partir de la diferencia entre el calor que ingresa y el trabajo que dicho sistema realiza, es decir, sustenta un concepto fundamental de la termodinámica que nos dice que la cantidad de trabajo que un sistema pueda entregar es consecuencia de la cantidad de calor que ingresa a él. Esta idea cobra especial importancia en los procesos cíclicos donde, después de un ciclo completo, la variación de energía total del sistema es igual a cero. ¿Qué significa esto último?, En el caso de un ciclo completo, el trabajo total entregado por el sistema es exactamente igual a la cantidad total de calor que ingresó a él.
2
La condición de un sistema cerrado estacionario implica que tanto su energía cinética como potencial no varían y, por ende, pueden no ser incluidas en la ecuación que representa la 1º ley para sistemas cerrados, donde finalmente se determina sólo la variación de la energía interna del sistema. Esta forma de análisis de los sistemas cerrados se sustenta en que la gran mayoría de los casos reales que se estudian corresponden a sistemas estacionarios.
P V1 2 1 V2 V Wneto
3.5 CALORES ESPECÍFICOS
Masas idénticas de diferentes sustancias requerirán diferentes cantidades de calor para elevar su temperatura una cierta cantidad de grados. Por lo tanto, es necesario contar con una propiedad que permita comparar la capacidad de almacenar energía que tienen las diversas sustancias. El calor específico se define como la energía requerida para elevar la temperatura de una masa unitaria de una sustancia en un grado. En termodinámica es posible tener dos tipos de calores específicos:
Cv: Calor específico a volumen constante es la energía requerida para elevar la temperatura de una masa unitaria de una sustancia en un grado, cuando el volumen se mantiene constante.
Cp: Calor específico a presión constante es la energía requerida para elevar la temperatura de una masa unitaria de una sustancia en un grado, cuando la presión se mantiene constante.
Otra forma de expresar los calores específicos es a través otras propiedades termodinámicas:
⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂h ⎞
Cv = ⎜ --- ⎟ Cp = ⎜ --- ⎟
⎝ ∂T ⎠v ⎝ ∂T ⎠p 3.6 RELACIONES ENTRE ENERGÍA INTERNA, ENTALPÍA Y CALORES ESPECÍFICOS Repasar algunas relaciones generales de la energía en sistemas cerrados.
sistemas cerrados con volumen constante: e = u + ec + ep sistemas cerrados con volumen variable: e = u + Pv + ec + ep
sistemas estacionarios: ec = ep = 0
si V = cte Æ e = u
si V ≠ cte Æ e = u + Pv
3.6.1 Gases
Si se recuerda algunas de las expresiones usadas anteriormente para representar el comportamiento de gases ideales en relación a su energía interna, entalpía y calores específicos. Según esto, es posible deducir lo siguiente:
Gas ideal: Pv = RT
Energía interna: u = u(T) (esta dependencia se ha demostrado para gases
ideales)
Entalpía: h = u + Pv = u + RT = u(T) + RT
A su vez, ⎛∆e ⎞ ⎛∆u ⎞ ⎛ ∂u ⎞ Cv = ⎜ --- ⎟ = ⎜ --- ⎟ = ⎜ --- ⎟ Æ du = Cv (T) dT ⎝∆T ⎠v ⎝∆T ⎠v ⎝ ∂T ⎠v ⎛∆e ⎞ ⎛∆h ⎞ ⎛ ∂h ⎞ Cp = ⎜ --- ⎟ = ⎜ --- ⎟ = ⎜ --- ⎟ Æ dh = Cp (T) dT ⎝∆T ⎠p ⎝∆T ⎠p ⎝ ∂T ⎠p ⌠2 du = Cv(T) dT Æ ∆u = ⌡1 Cv(T) dT = u2 – u1 si Cv = cte Æ ∆u = Cv (T2 – T1) ⌠2 dh = Cp(T) dT Æ ∆h = ⌡1 Cp(T) dT = h2 – h1 si Cp = cte Æ ∆h = Cp (T2 – T1)
Para realizar estas integraciones es necesario tener las relaciones para Cv y Cp en función de la temperatura. A bajas presiones el comportamiento de los gases reales es muy aproximado al de gases ideales, por lo que las relaciones anteriores serían aplicables si se cumple la condición de baja presión.
Ya se estableció: h(T) = u(T) + RT
por lo tanto: dh = du + RdT Æ Cp = Cv + R
Por otro lado, se define para los gases ideales la relación de calores específicos como:
k = Cp/Cv
3.6.2 Sólidos y Líquidos
Desde el punto de vista práctico a los líquidos y sólidos se los considera sustancias
incompresibles, es decir, que no cambian su volumen durante un proceso. entonces, Cp = Cv = C
por lo tanto, la energía interna se calcula:
⌠2
du = C(T) dT Æ ∆u = ⌡1 C(T) dT = u2 – u1
si C = cte Æ ∆u = C (T2 – T1) y la entalpía:
Ejemplo 3.1
Un recipiente rígido de V = 1 pie3 contienen una mezcla de agua líquida y vapor a una presión P = 12 psia. La masa total de agua en el recipiente es de 30 lbm. Se agrega calor hasta lograr una presión final de 1.000 psia. Calcular:
a) La calidad final de la mezcla.
b) La cantidad de calor suministrado al sistema;
V1 = V2 = 1 pie3 = constante P1 = 12 psia
mtotal = 30 lbm
La calidad inicial de la mezcla de determina por v1 = vf1 + x * vfg1 = 1/30 pie3/lbm Si P1 = 12 psia Æ vf1 = 0,01665 pie3/lbm
vg1 = 33,4711 “ vfg1 = 33,4545 “ por lo tanto x1 = 0,0005
El volumen rígido significa que el sistema no realiza trabajo, sólo hay cambio en la energía interna del sistema. Con esto, la energía interna inicial del sistema se calcula como:
u1 = uf1 + x1 * ufg1
Si P1 = 12 psia Æ uf1 = 169,2 Btu/lbm ug1 = 1.074,5 “ ufg1 = 905,3 “ por lo tanto u1 = 169,65 “
a) La calidad final de la mezcla de determina por v2 = vf2 + x2 * vfg2 = 1/30 pie3/lbm Si P1 = 1000 psia Æ vf2 = 0,0216 pie3/lbm
vg2 = 0,4456 “ vfg2 = 0,4240 “ por lo tanto x2 = 0,0277
con este valor la energía interna final del sistema se calcula como: u2 = uf2 + x2 * ufg2
ug2 = 1.109,4 “ ufg2 = 571,0 “ por lo tanto u2 = 554,2 “
b) Q12 = m * (u2 - u1) = 30 * ( 554,2 - 169,7) = 11.536 Btu
Ejemplo 3.2
Un recipiente rígido de 1 pie3 contiene aire a una presión de 20 psia y a una temperatura de 100 ºF. Se agrega 10 Btu de calor al recipiente. calcular:
a) La presión final del aire dentro del recipiente. V1 = V2 = 1 pie3 = constante P1 = 20 psia = 2.800 lbf/pie² T1 = 100 ºF = 560 ºR Raire = 53,34 pie-lbf / (lbm-ºR) Cvaire = 0,171 Btu / (lbm-ºR) Q12 = 10 Btu
La masa de aire contenida en el recipiente es m = P1V1 / RT1 = 0,0964 lbmaire
El volumen rígido significa que el sistema no realiza trabajo, sólo hay cambio en la energía interna del sistema.
Q12 = m * (u2 - u1) = m * Cv * (T2 - T1) = 10 BTU
10 = 0,0964 * 0,171 * ( T2 - 560 ) Æ T2 = 1.167 ºR por lo tanto P2 = m R T2 / V2 = 6.000 lbf/pie² = 41,7 psia
Ejemplo 3.3
Un émbolo contiene únicamente 200 g de agua líquida saturada a una presión de 100 kPa. Se empieza a agregar calor al agua iniciándose su evaporación, con la consiguiente expansión a presión constante del émbolo. El proceso termina con la evaporación completa del agua dentro del émbolo. Calcular:
a) Variación del volumen que experimenta el agua. b) La cantidad total de calor entregada al sistema.
P1 = P2 = 100 kPa = 0,1 MPa m = 200 g = 0,2 kg
vg2 = 1,6940 “ hf = 417,46 kJ/kg hg = 2.675,50 “ hfg = 2.258,04 “ por lo tanto a) ∆V = m * (v2 - v1) = m * (vg2 - vf1) = 0,3386 m3 b) Q12 = m * (h2 - h1) = m * (hg - hf) = 451,6 kJ Otra forma de resolver la parte b):
uf = 417,36 kJ/kg = u1 ug = 2.506,1 “ = u2 ufg = 2.088,7 “ Æ V1 = m vf1 = 0,000209 m3 V2 = m vg2 = 0,3388 m3 W12 = P ∆V = 100 (kPa) * (0,3388 – 0,000209) (m3) = 33,86 kJ Q12 - W12 = U12 Æ Q12 = W12 + U12 = W12 + m(u2 - u1)
Q12 = 33,86 + 0,2 ( 2.506,1 - 417,36) = 451,61 kJ Ejemplo 3.4
Un émbolo contiene una mezcla saturada de agua a 100 psia y con 50% de calidad. El volumen inicial del émbolo es de 0,5 pie3. Se agrega calor al agua con la consiguiente expansión a presión constante del émbolo. El proceso termina cuando el volumen llega a 2,5 pie3. Calcular:
a) Cantidad total de calor entregada al sistema. V1 = 0,5 pie3
V2 = 2,5 pie3
P1 = P2 = 100 psia = 14.400 lbf/pie² x1 = 50 %
El calor suministrado al sistema se determina por Q - W = ∆U Æ Q = W + ∆U El trabajo total realizado en el proceso es
⌠2
W12 = ⎮ P dV = P * (V2 - V1) = 14.400 * ( 2,5 - 0,5) = 28.800 pie-lbf
⌡1
v1 = V1 / m v1 = vf1 + x1 * vfg1 a P = 100 psia Æ vf1 = 0,01774 pie3/lbm vg1 = 4,434 “ vfg1 = 4,4163 “ v1 = 2,22587 “ Æ m = 0,2246 lbm u1 = uf1 + x1 * ufg1 uf1 = 298,28 Btu/lbm ug1 = 1.105,8 “ ufg1 = 807,5 “ u1 = 702,03 “
por lo tanto U1 = m * u1 = 157,68 Btu
Para determinar la energía interna final, primeramente se debe considerar v2 = V2 / m = 11,13 > vg a 100 psia
Esto significa que el estado final del agua es vapor sobrecalentado. A partir de esto se puede buscar en tablas de vapor sobrecalentado un valor para la energía interna
P = 100 psia T (ºF) v (pie3/lbm) u (Btu/lbm) h (Btu/lbm) 1.400 11,060 1.542,0 1.746,7 11,130 u2 = ? h2 = ? 1.600 12,257 1.632,4 1.859,3
por interpolación de valores Æ u2 = 1.547,3 Btu/lbm Æ U2 = 347,52 Btu
Con todos los valores anteriores se puede estimar la cantidad de calor entregada al sistema Q12 = W12 + ∆U12 = W12 + (U2 – U1)
W12 = 28.800 pie-lbf = 37,01 Btu (1 Btu = 778,16 pie-lbf) U1 = 157,68 Btu
U2 = 347,52 Btu Æ Q12 = 226,85 Btu
Otra alternativa para determinar el calor es: h1 = hf1 + x1 * hfg1
hf1 = 298,61 Btu/lbm hg1 = 1.187,8 “ hfg1 = 889,2 “
h1 = 743,21 “
por interpolación de valores Æ h2 = 1.753,1 Btu/lbm Æ H2 = 393,75 Btu Asi: Q12 = H2 – H1 Æ Q12 = 226,83 Btu
Ejemplo 3.5
Un gas se expande en un émbolo de acuerdo a la relación PV1,3 = C = constante.
El volumen inicial del émbolo es 1,0 pie3 bajo una presión inicial de 200 psia. La presión final es 15 psia. Calcular:
a) El trabajo total hecho por el gas sobre el pistón. b) Volumen final. Si PV1,3 = C Æ P = C V-1,3 ⌠2 y W12 = ⎮ P dV ⌡1 ⌠2 Æ W12 = ⎮ C V-1,3 dV = - C * (V2-0,3 - V1-0,3) / 0,3 ⌡1 pero C = P1V11,3 = P2V21,3 Æ W12 = - (P2V2 - P1V1) / 0,3
El volumen final se determina como V2 = V1 * (P1/P2)1/1,3 = 1 * (200 / 15)1/1,3 = 7,33 pie3 por lo tanto, el trabajo será
W12 = - 144 * (15 * 7,.33 - 200 * 1 ) / 0,3 = 43.196 pie-lbf
Ejemplo 3.6
En una sala aislada de 20 * 25 * 8 pie3 se reúnen 20 personas. Las condiciones ambientales son 14,7 psia y 70 ºF. Cada asistente a la reunión ocupa 2,5 pie3 y genera 375 Btu/hora de calor. Calcular:
a) Incremento de la temperatura del aire al cabo de 15 minutos. Vsala = 4.000 pie3
Vaire = Vsala - Vpersonas = 4.000 - 20 * 2,5 = 3.950 pie3
Si se considera la sala como un sistema a volumen constante, éste no realiza trabajo. Sólo habrá un incremento de la energía interna del aire causado por la entrega de calor de los asistentes. Así
Cvaire = 0,1715 Btu/lbmºF
∆Q12 aire = 20 * 375 * 15/60 = 1.875 Btu por otro lado
la condición inicial del aire es maire = PV / RT P = 14,7 psia = 2.116,8 lbf/pie² Vaire = 3.950 pie3 T1aire = 70 ºF = 530 ºR Raire = 53,34 pie-lbf / (lbm-ºR) por lo tanto maire = 295,77 lbm
con estos valores se determina T2
T2 = T1aire + ∆Q12 aire / (maire * Cvaire) T2 = 566,97 ºR
entonces
Ejemplo 3.7
Considerar como un sistema el gas contenido en el cilindro de la figura:
El émbolo tiene sobre sí una cierta carga, e inicialmente está detenido. La presión inicial del gas es 1,4 kgf/cm² (20 psia) y el volumen inicial del gas es 0,0283 m3 (1 pie3).
a) Gradualmente se agrega calor al gas hasta que su volumen aumenta a 0,085 m3 (3 pie3) lo que ocurrirá a presión constante.
Calcular el trabajo efectuado por el sistema durante este proceso.
⌠2
W12 = ⎮ P dV = P * ( V2 - V1) = 794 kgf-m = 5.760lbf-pie
⌡1
b) Considerar el mismo sistema y condiciones iniciales del caso a). El nuevo proceso a que se somete el sistema considera que al mismo tiempo que se aplica calor se va quitando peso sobre el émbolo, de tal manera que la relación entre la presión y el volumen del sistema esta dada por la expresión PV = constante. Según esto, P1V1 = P2V2. Si el volumen final es 0,085 m3.
Calcular el trabajo efectuado por el sistema durante este proceso. La presión final del sistema es P2 = P1V1 / V2 = 0,467 kgf/cm².
⌠2 W12 = ⎮ P dV ⌡1 P = constante / V = P1V1 / V ⌠2 W12 = constante * ⎮ dV = P1 V1 ln (V2/V1) = 437,4 kgf-m ⌡1 V
c) Considerar el mismo sistema y condiciones iniciales del caso a). Otro proceso considera que el retiro de los pesos es tal que al aplicar calor la relación entre la presión y el volumen del sistema esta dada por la expresión PV1,3 = constante. El volumen final es 0,085 m3.
- Describa la relación entre la presión y el volumen en el proceso;
- Calcular el trabajo efectuado por el sistema durante este nuevo proceso. gas
El caso general establece que PVn = constante = P1 V1n = P2 V2n ⌠2 W12 = ⎮ P dV ⌡1 en que P = constante / Vn = P1V1n / Vn = P2V2n / Vn asi ⌠2 W12 = constante * ⎮ dV = Constante * V -n+1 ⏐2 ⌡1 V -n+1 ⏐1 W12 = constante * (V21-n - V11-n) / (1-n) W12 = (P2 V2n V21-n - P1 V1n V11-n) / (1-n) = (P2V2 - P1V1) / (1-n) De acuerdo a los valores particulares de este problema
W12 = ( (0,337 * 10.000 * 0,085) - (1,4 * 10.000 * 0.028) ) / (1 - 1,3) = 371,7 kgf-m
d) Considerar el mismo sistema y condiciones iniciales del caso a). El émbolo se fija de tal manera que queda imposibilitado para desplazarse dentro del cilindro, por lo que el volumen permanece constante. Se deja que el sistema libere calor hasta que la presión baja a 0,07 kgf/cm².
Calcular el trabajo efectuado por el sistema durante este nuevo proceso.
Puesto que para un proceso de cuasi equilibrio se cumple que δW = P dV , sin embargo, al no variar el volumen el trabajo neto W12 = 0
Diagrama presión-volumen del trabajo en los procesos a) a d)
f P e 1 2d 2c V 2b 2a
Ejemplo 3.8 (H 3-3)
Una cápsula de volumen Va = 0,3 pulg3 que contiene agua líquida a 1.000 psia y 100 ºF se introduce en un recipiente de volumen Vr = 1 pie3. Si se provoca vacío en el recipiente y después se rompe la cápsula de agua (por algún mecanismo apropiado) se producirá una evaporación del agua hasta que la mezcla líquido-vapor ocupe el recipiente. El recipiente puede intercambiar calor con su entorno lográndose una temperatura final de 100 º en equilibrio. Calcular
a) Calidad final de la mezcla líquido vapor dentro del recipiente b) Intercambio de calor del sistema con su entorno.
La frontera del sistema será la superficie interior del recipiente. A partir de esta consideración se tiene los siguientes datos:
volumen del recipiente: Vr = 1 pie3 presión inicial recipiente: Pr = 0 psia
volumen de agua: Va = 0,3 pulg3 = 0,0001736 pie3 presión inicial agua: Pa = 1.000 psia
temperatura inicial agua: Ta = 100 ºF
El volumen especifico del agua en la cápsula a 1.000 psia y 100 ºF es vc = 0,016082 pie 3
/lbm Æ masa de agua = 0,0108 lbm
El volumen específico de la mezcla líquido-vapor dentro del recipiente es: vr = Vr / 0,0108 = 1 / 0,0108 Æ vr = 92,59 pie
3
/lbm
Una mezcla líquido-vapor a 100 ºF tiene vf = 0,01613 pie3/lbm vg = 350,0 “ vfg = 349,98 “
a) vr = 92,59 = vf + x * vfg Æ x = 0,2645
Q - W = ∆U Æ Q = W + (U2 - U1) Puesto que el sistema no cambia de volumen Æ W = 0
por lo tanto Q = (U2 - U1)
La energía interna del agua en la cápsula a 1.000 psia y 100 ºF es uc = 67,70 Btu/lbm
masa de agua = 0,0108 lbm Æ U1 = m * uc = 0,7312 Btu
La energía interna final del agua en el sistema a 100 ºF es: u = uf + x * ufg uf = 68,04 Btu/lbm
ug = 1.043,5 “ ufg = 975,4 “
ur = 325,55 “
por lo tanto U2 = m * ur = 3,5159 Btu
b) Asi, el calor transferido durante el proceso es Q = 2,785 Btu
El signo positivo del calor significa que la energía interna final del sistema es mayor a la inicial, por lo tanto, el entorno suministró calor al sistema para mantener la temperatura en 100 ºF.
Ejemplo 3.9
Un dispositivo cilindro-pistón contiene aire a 150 kPa y 27 ºC. En este estado el pistón descansa sobre los topes interiores del cilindro. El volumen inicial del aire es 0,4 m3 (0 400 lt). La masa del pistón es tal que se requiere de una presión de 350 kPa para elevarlo. Se suministra calor hasta que el volumen del aire se duplica. calcular:
a) Temperatura final del aire, b) Trabajo efectuado por el aire, y c) Calor total simunistrado.
Nota: asumir el aire como gas ideal.
a) Inicialmente se desarrolla un proceso a volumen constante: V1 = V2. Cuando la presión supera 350 kPa se inicia otro proceso a presión constante: P2 = P3 y V3 = 2V1
El supuesto de gas ideal establece que P1V1 / T1 = P2V2 / T2 = P3V3 / T3 Si T1 = 27 + 273 = 300 ºK y V3 = 2V1 Æ T3 = 1.400 ºK
b) El trabajo efectuado se determina de la siguiente forma:
⌠3 W13 = W12 + W23 = ⎮ P dV = P23 (V3 - V2) = 140 kJ (W12 = 0) ⌡2 0,8 P (kPa) 0,4 2 1 150 V (m3) 350 3 aire: V1 = 0,4 m 3 T1 = 27 ºC P1 = 150 kPa
c) Calor total suministrado
Q13 - W13 = U3 - U1 = m (u3 - u1)
P1V1 = mRT1 y Raire = 0,287 (kPa m3 ) / (kg ºK) Æ m = P1V1 /RT1 = 0,697 kg tabla A-17: u1 = 214,07 kJ/kg y u3 = 1.113,52 kj/kg
Æ Q13 = 776,9 kJ
También hay otra forma de resolver este problema. Analizar lo siguiente. Q13 = Q12 + Q23
donde
Q12 = W12 + U12 = U12 (W12 = 0 )
Q23 = W23 + U23 = H23 (expansión a presión constante) Así Q12 = m ( u2 + u1 ) Q23 = m ( h3 + h2 ) P1V1 / T1 = P2V2 / T2 Æ T2 = P2T1 / P1 = 700 ºK Si: T2 = 700 ºK Æ h2 = 713,27 kJ/kg u2 = 512,33 “ T3 = 1.400 ºK Æ h3 = 1.515,42 “ Así, Q12 = 207,9 kJ y Q23 = 559,1 kJ Por lo tanto, Q13 = 767 kJ
4. PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA EN
SISTEMAS ABIERTOS
4.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo la primera ley de la termodinámica se aplica a sistemas abiertos – también llamados volúmenes de control – en que el principio de conservación de la energía debe contemplar además del flujo de calor, el flujo de masa que entra o sale del sistema.
Para ordenar el análisis termodinámico de los sistemas abiertos y facilitar su comprensión, primeramente se estudian los procesos de flujo permanente, dentro del cual se enmarca la operación de una gran cantidad de procesos industriales. Con posterioridad, se estudiará los
procesos de flujo no permanente, el cual cubre otro campo de aplicación industrial de los procesos termodinámicos.
Cualquiera sea el proceso – con o sin flujo permanente – la determinación del volumen de control para el análisis resultará fundamental. Las fronteras de un volumen de control reciben el nombre de superficies de control y se pueden elegir arbitrariamente de acuerdo a la naturaleza misma del proceso que se quiera analizar, y pueden ser tanto reales como imaginarias. Una vez determinadas sus fronteras, el tamaño y forma del volumen de control idealmente deberán mantenerse fijos, aunque es posible determinar volúmenes de control con frontera móvil.
Figura 4.1. Flujo de masa en un volumen de control
Figura 4.2. Fronteras real y ficticia de un volumen de control
Figura 4.3. Volumen de control con frontera móvil Volumen de control (VC) Masa entrante Masa saliente Frontera Masa entrante Masa saliente Volumen de control (VC) Frontera ficticia Frontera real
En los sistemas abiertos – o volúmenes de control - la masa puede cruzar sus fronteras, por lo que se requiere especial atención en cuantificar la masa que entra y la que sale del sistema. El principio de conservación de la masa para un VC sometido a un proceso se expresa como:
Σ mentra - Σ msale = ∆mVC
Una cantidad de masa que fluye a través de una sección conductora por unidad de tiempo se denomina flujo de masa, y se designa por:
∫
=
• AVndA
m
ρ
Donde: ρ = densidad de la masa que fluye
Vn = velocidad normal a la sección conductora de la masa que fluye dA = diferencial de área de la sección conductora
Para la mayoría de los problemas prácticos, la expresión del flujo de masa se reduce a:
A
V
m
=
ρ
pro•
donde: ρ = densidad de la masa que fluye
Vpro = velocidad promedio de la masa que fluye normal a la sección A = área de la sección conductora
El principio de conservación de la energía en volúmenes de control se plantea de la siguiente forma:
energía total que cruza la frontera del VC como calor y/o trabajo
+
energía total de la masa que entra al VC-
energía total de la masa que sale del VC=
cambio neto en la energía del VCLo que equivale a: Q - W + Σ Eentra - Σ Esale = ∆EVC
Frontera móvil Volumen
de control
Figura 4.4. Flujo de energía en un volumen de control
Para estimar la energía de un flujo de masa unitaria, sea esta entrante o saliente, se aplican las siguientes expresiones:
energía de masa estática Æ e = u + ½V2 + gz
energía de flujo de masa Æ θ = Pv + u + ½V2 + gz = h + ½V2 + gz donde: u: energía interna unitaria
h: entalpía unitaria
P: presión del flujo de masa
v: volumen unitario del flujo de masa
Pv: energía del flujo o energía de transporte del flujo V2/2: energía cinética unitaria del VC
gz: energía potencial unitaria del VC
4.2 PROCESOS DE FLUJO PERMANENTE (Estado estable – Flujo estable)
Este tipo de procesos es aquel donde el flujo fluye permanentemente por un volumen de control. La condición “permanente” del flujo implica lo siguiente:
a) ninguna propiedad (intensiva o extensiva) en un punto dentro del VC cambia con el tiempo, pudiendo cambiar sus valores entre los distintos puntos dentro del VC.
b) ninguna propiedad (intensiva o extensiva) cambia con el tiempo en las fronteras del VC. c) las fronteras del VC se mantienen fijas.
d) la interacción de calor y trabajo entre un sistema de flujo permanente y su entorno no cambia con el tiempo.
e) la cantidad total de masa contenida dentro del VC no cambia con el tiempo, por lo tanto, la masa total entrante es igual a la masa total saliente.
f) El contenido total de energía del VC no varía en el tiempo, por lo tanto, la energía total que entra al VC es igual a la que sale de el.
Volumen de control (VC) energía de la masa entrante energía de la masa saliente trabajo W calor Q
De acuerdo a los puntos anteriores, el principio de conservación de la energía enunciado en la primera ley de la termodinámica puede expresarse de la siguiente manera:
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∑ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∑ = − • • • • jen jen jen jen isal isal isal isal h V gz
m
h V gzm
W
Q
2 2 2 1 2 1La expresión anterior plantea la posibilidad que el sistema pueda tener múltiples entradas y salidas. Para sistemas de flujo permanente de una sola corriente esta expresión se convierte en:
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − + − = − • • • ) ( ) ( 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 h V V g z z h
m
W
Q
Si el sistema experimenta un cambio despreciable en sus energías cinéticas y potencial, entonces la ecuación se reduce a:
(
h2 h1)
m
W
Q
− • = • − •4.2.1 Dispositivos Típicos de Flujo Permanente a) Toberas y Difusores
Ambos son dispositivos que producen un cambio en la velocidad del flujo que pasa a través de ellos. Mientras las toberas aumentan la velocidad del flujo, los difusores la disminuyen.
Figura 4.5. Esquema de toberas y difusores
La operación de estos dispositivos tiene las siguientes características:
Q = constante Æ∆Q = 0 Aunque estos dispositivos no estén aislados, la transferencia de calor entre estos y su entorno es siempre muy pequeña. Esto se debe a la gran velocidad del flujo, lo que no da tiempo para que se pueda desarrollar algún proceso de transferencia de calor.
W = constante Æ ∆W = 0 El volumen de control de estos dispositivos es fijo y, además, no poseen otro tipo de elemento que pueda generar o aprovechar trabajo como sería, por ejemplo, una hélice.
∆E cinética ≠0 En estos dispositivos el flujo experimenta un gran cambio de
velocidad, en consecuencia, los cambios de energía cinética son considerables (toberas: V1 << V2; difusor V1 >> V2).
tobera difusor
V1
V2
V1
∆E potencial = 0 El cambio en la energía potencial suele omitirse, ya que esta propiedad generalmente varía de forma despreciable en relación al cambio en la energía cinética.
b) Turbinas y Compresores
Estos dispositivos operan transformando la energía del flujo en trabajo, como en el caso de las turbinas, o convirtiendo trabajo en energía para el flujo.
Figura 4.6. Esquema de turbinas y compresores
La operación de estos dispositivos tiene las siguientes características:
∆Q ≈ 0 La transferencia de calor suele ser pequeña en relación a la
transferencia de trabajo y, por lo tanto, se desprecia. No obstante, en algunos tipos de compresores se puede aplicar un proceso deliberado de enfriamiento, el que si debe estimarse.
∆W ≠ 0 En todos esto dispositivos la transferencia de trabajo es la más
importante. En el caso de las turbinas se genera una salida de trabajo, y en los compresores en trabajo ingresa.
∆E cinética ≈ 0 En los compresores la variación de energía cinética es siempre muy baja y, por lo tanto, se desprecia. En las turbinas el fluido experimenta una cambio importante en la velocidad, sin embargo, el cambio en la energía cinética asociado resulta ser muy pequeño respecto al cambio de entalpía, por consiguiente, a menudo se desprecia.
∆E potencial ≈ 0 El cambio en la energía potencial que un flujo experimenta al pasar por turbinas de gas, compresores y ventiladores siempre se desprecia por ser muy bajo en relación a las demandas de trabajo. En las bombas y turbinas hidráulicas el cambio de energía potencial puede llegar a ser considerable si es que el fluido experimenta cambios importantes de su altura y, según eso, bien se justifica calcularlo para el balance energético del VC.
Existe otros dispositivos que operan bajo régimen de flujo permanente, como válvulas de estrangulación, cámaras de mezcla o intercambiadores de calor, los que se analizarán conforme se desarrollen ejemplos de aplicación.
P2 turbina W P1 P1 > P2 P2 compresor W P1 P1 < P2
4.3 PROCESOS DE FLUJO NO PERMANENTE
En este tipo de procesos ocurren cambios al interior del volumen de control conforme transcurre un cierto lapso de tiempo. Estos cambios se deben principalmente a que el contenido de masa del VC varía, y por ende, también lo hacen sus propiedades. La condición “no permanente” del flujo principalmente implica lo siguiente:
a) las propiedades (intensiva o extensiva) en un punto dentro del VC cambian con el tiempo. b) las propiedades (intensiva o extensiva) en las fronteras del VC cambia con el tiempo.
c) las fronteras del VC pueden ser móviles, incluso el VC como un todo puede desplazarse en el espacio.
d) el proceso de desarrolla en un lapso de tiempo finito ∆t.
e) la cantidad total de masa contenida dentro del VC puede cambiar con el tiempo, por lo tanto, la masa total entrante puede ser distinta a la masa total saliente.
f) El contenido total de energía del VC varía en el tiempo, por lo tanto, la energía total que entra al VC puede ser distinta a la que sale de el.
De acuerdo a los puntos anteriores, el principio de conservación de la masa puede expresarse de la siguiente manera:
masa total que entra al VC durante ∆t
- masa total que sale del VC durante ∆t
= masa dentro del VC cambio neto en la durante ∆t
El principio de conservación de la energía en volúmenes de control de flujo no permanente durante un intervalo ∆t se plantea de la siguiente forma:
energía total que cruza la frontera del VC como calor y/o trabajo
durante ∆t
+
energía total transportada por la
masa que entra al VC durante ∆t
-
energía total transportada por la
masa que sale del VC durante ∆t
=
cambio neto en la energía del VC durante ∆tLo que equivale a:
Q - W + ΣΘen - ΣΘsal = ∆EVC Donde:
Θsal =
∫
msalθ msal =∫
msal (hsal + ½V2sal + gzsal) δmsalEn forma de relación temporal:
Al repetir esto en cada entrada y salida del VC finalmente se obtiene:
Q - W = Σ
∫
msal (hsal + ½V2sal + gzsal) δmsal - Σ∫
men (h en + ½V2 en + gz en) δmen + ∆EVCEn forma de relación temporal:
dt dE gz V h gz V h VC jen jen jen jen isal isal isal isal
m
m
W
Q
⎟+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∑ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∑ = − • • • • 2 2 2 1 2 14.3.1 Procesos de Flujo Uniforme
El proceso de flujo uniforme es un caso particular de flujo no permanente, y considera las siguientes características:
a) En cualquier instante del proceso, el estado del VC es uniforme, es decir, el VC tiene las mismas propiedades en cualquier parte de el. Las propiedades del VC podrán cambiar en el tiempo, pero lo harán de modo uniforme. Por lo tanto, la masa que sale del VC tiene las mismas propiedades que la masa dentro del VC.
b) El estado de la masa que cruza las fronteras del VC es constante en el tiempo y uniforme sobre todas las áreas por donde ocurre el flujo.
Bajo estas suposiciones, la ecuación de conservación de la energía para un proceso de flujo uniforme se transforma en:
Q - W = Σ msal (hsal + ½V2sal + gzsal) - Σ men (h en + ½V2 en + gz en) + (m2e2 - m1e1)VC Si los cambios de energía cinética y potencial son despreciables, esta ecuación se reduce a:
Q - W = Σ msal hsal - Σ men h en + (m2u2 - m1u1)VC
(subíndices: en = entrada, sal = salida, 1 = estado inicial, 2 = estado final) Θen = men (h en + ½V2 en + gz en)
