Aplicaciones de la derivada
Por: Sandra Elvia Pérez
Las derivadas pueden aplicarse en la solución de distintos problemas y de diferentes disciplinas. A continuación se revisan algunos ejemplos de problemas que se pueden resolver aplicando el cálculo diferencial.
Rectas tangentes
Partiendo del concepto de derivada y recordando que la derivada representa la pendiente de una curva, puedes usarla como apoyo en problemas de geometría analítica.
Solución
Esta función tiene por gráfica una parábola que abre hacia abajo y para encontrar la ecuación de la recta tangente, debes basarte en las formas conocidas de la ecuación de una recta. En este caso, se usa la forma punto-pendiente.
(
)
1 1
y y
−
=
m x x
−
Para poder utilizar esta ecuación debes contar con las coordenadas de un punto sobre la recta y su pendiente:
1. Las coordenadas de un punto sobre la recta. Estas coordenadas del punto las puedes hallar
porque ya cuentas con la abscisa. Sólo necesitas sustituir x=2 en la función original.
Ejemplo
Determina la ecuación de la recta tangente a en el punto cuya abscisa es x = 2.
( )
( )
( )
2
4
6
8
4
6
4
2
4
2
3
2
2
4
3
2
2 2=
+
+
−
=
+
+
−
=
+
+
−
=
+
+
−
=
y
y
y
y
x
x
y
Las coordenadas del punto
(
x y
1, 1)
son( )
2
,
2
.2. La pendiente de la recta. Debido a que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función puede encontrarse derivando la función, necesitas calcular dicha derivada.
(
)
( )
22
3
4
4
3
4
3
4 2
3
8 3
5
d
y
x
x
dx
y
x
como m
y
m
x
m
m
′
=
−
+
+
′
=
−
+
′
=
=
−
+
=
−
+ =
−
+
=
−
Ahora que ya conoces las coordenadas del punto
( , )
x y
1 1 y la pendiente m, sólo falta sustituir estosdatos en la ecuación de la recta punto-pendiente.
(
)
( )
(
)
12
5
2
10
5
10
5
2
2
5
2
1 1+
−
=
+
+
−
=
+
−
=
−
−
−
=
−
−
=
−
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x
m
y
y
Puedes realizar la gráfica la en tu cuaderno o en un graficador específico. Debe ser similar a la gráfica que se muestra en la figura 1:
Figura 1. Grafica función cuadrática con recta tangente en punto (2,2).
Solución
El procedimiento es el mismo que el ejemplo anterior.
Para encontrar la ecuación de la recta tangente usa la ecuación de la recta punto-pendiente.
)
(
11
m
x
x
y
y
−
=
−
Como ya tienes el punto
(
x
1,
y
1)
, que es( )
0
,
1
, sólo necesitas calcular la pendientem
. Dicho de otromodo, necesitas calcular la derivada de la bruja de Agnesi.
+
=
′
21
1
x
dx
d
y
EjemploLa curva es conocida como bruja de Agnesi. Encuentra una ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto .
Para obtener esta derivada, usa la fórmula del cociente: 2
v
v
u
u
v
v
u
dx
d
′
−
′
=
Encuentra primero u′ y v′.0
1
=
′
=
u
u
x
v
x
v
x
v
2
2
0
1
2=
′
+
=
′
+
=
Sustituyendo en la fórmula del cociente, tienes:
(
)
( ) ( )( )
(
)
(
2) (
2 2)
2 2 2 21
2
1
2
0
1
2
1
0
1
x
x
x
x
y
x
x
x
y
+
−
=
+
−
=
′
+
−
+
=
′
Por lo tanto,(
1
2)
2
x
x
m
+
−
=
Sustituyendo el valor de
x
1=
0
enm
, se obtiene:(
)
(
( )
( )
)
1
0
0
0
1
0
0
1
0
2
1
2
2 2=
=
+
=
+
−
=
+
−
=
x
x
m
Ahora sustituye
( )
0
,
1
y m=0 en la ecuación de la recta punto-pendientey
−
y
1=
m
(
x
−
x
1)
, queda:( )
(
)
(
)
1
0
1
0
0
1
0
0
1
)
(
1 1=
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
y
y
x
y
x
y
x
x
m
y
y
La gráfica de labruja de Agnesi y la gráfica de la recta tangente en el punto
( )
0
,
1
las puedes realizar en tu cuaderno o en un graficador. Deben ser similares a la gráfica que se muestra en la figura 2:Figura 2. Grafica bruja de Agnesi y recta tangente en punto (0,1).
Lanzamiento de un proyectil
La derivada también se puede aplicar en problemas de lanzamiento de proyectiles, entre otras cosas, debido a que, en el punto más alto de la trayectoria de un proyectil, la recta tangente a su trayectoria es horizontal (con pendiente igual a cero).
Solución
Al ser lanzada la pelota, ésta describe una trayectoria como la que se muestra en la figura 3:
Ejemplo
Supón que se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s. La altura de la pelota después de segundos está dada por . Determina la altura máxima que alcanza la pelota.
Figura 3. Trayectoria de una pelota con lanzamiento hacia arriba.
Debido a que el punto más alto ocurre cuando la pendiente de la recta tangente a la curva es cero (es decir, la derivada es igual a cero), calcula la derivada y la igualas con cero.
En este ejemplo la variable independiente es
t
y la variable dependiente ess
. La derivada es:(
)
( )
( )
t
s
t
dt
d
t
dt
d
t
t
dt
d
s
t
t
s
10
30
5
30
5
30
5
30
2 2 2−
=
′
−
=
−
=
′
−
=
Si la igualas a cero, puedes encontrar el valor de
t
3
10
30
30
10
0
10
30
0
10
30
=
−
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
′
t
t
t
t
t
s
Ahora que ya determinaste el tiempo que tarda la pelota en llegar al punto más alto de su trayectoria, sólo falta sustituir este valor del tiempo en la ecuación que define la posición de la pelota y queda así:
( ) ( )
( )
45
45
90
9
5
90
3
5
3
30
5
30
2 2=
−
=
−
=
−
=
−
=
s
s
s
s
t
t
s
Por lo anterior, la altura máxima que alcanzará la pelota será de 45 metros. Debido a que cualquier proyectil que se lance hacia arriba se detiene en un tiempo determinado, se puede determinar su altura máxima y el tiempo que tardaría en alcanzarla aplicando el mismo procedimiento utilizado en este ejemplo.
Razón de cambio
El término razón implica comparar dos cantidades en forma de cociente, por ejemplo, la velocidad es un
cambio en desplazamiento con respecto al tiempo y se puede expresar en términos de la derivada como:
dt
dx
v
tiempo
en
cambio
ento
desplazami
en
cambio
v
=
=
Otro ejemplo puede ser la aceleración, que se define como un cambio en la velocidad con respecto al tiempo, por lo que se puede expresar como sigue:
dt
dv
a
tiempo
en
cambio
velocidad
en
cambio
a
=
=
Si recuerdas las derivadas sucesivas, y debido a que la velocidad es la primera derivada con respecto al desplazamiento, la aceleración se puede ver como la segunda derivada con respecto al tiempo.
2 2
dt
x
d
dt
dx
dt
d
dt
dv
a
=
=
=
También, en ocasiones, las variables que intervienen en múltiples problemas además de que varían con respecto al tiempo, se encuentran relacionadas mediante una ecuación y si se conoce cómo cambia una de estas variables con respecto al tiempo, es posible determinar de qué forma cambia la segunda variable con respecto al tiempo. Analiza los siguientes ejemplos en los que la derivada se aplica como una razón de cambio.
Solución
La figura 4 muestra un esquema del problema y las variables que se utilizan.
Ejemplo
En un edificio se encuentra recargada una escalera de 12 metros de alto y su base se está resbalando de forma horizontal a razón de 3 metros por segundo. ¿Con qué rapidez resbala el otro extremo de la escalera si se encuentra a una altura de 10 metros?
Figura 4. Edificio con escalera.
Como la base de la escalera se aleja del edificio con una rapidez de 3 metros por segundo, el valor de x cambia con respecto al tiempo, es decir:
s
m
dt
dx
/
3
=
Lo que se pretende encontrar es cómo cambia el valor de y con respecto al tiempo, esto es:
s
m
dt
dy
/
¿?
=
Para poder hacerlo, debes contar con una ecuación que relacione a x con y. Esto se puede conseguir
si aplicas el teorema de Pitágoras al triángulo que se forma entre la escalera y el edificio. Queda de la siguiente manera:
144
12
2 2 2 2 2=
+
=
+
y
x
y
x
Derivando esta expresión con respecto a t, aplicando el método de derivación implícita se obtiene:
0
2
2
+
=
dt
dy
y
dt
dx
x
Recuerda que en el método de derivación implícita, cuando se derivan variables (en este caso x, y) con
respecto a una segunda variable (en este caso t) siempre debe aparecer un término xʼ o yʼ, que en este
ejemplo, por conveniencia, se escriben en la forma de razón de cambio. Despejando de la ecuación anterior dy/dt, queda:
dt
dx
y
x
y
dt
dx
x
dt
dy
−
=
−
=
2
2
Esta expresión relaciona las dos razones de cambio del problema, es decir,
dt
dx
con
dt
dy
.Si sustituyes el valor de y = 10 en la ecuación x2 + y2 = 144, para determinar el valor de x, tienes:
63
.
6
44
44
1000
144
144
10
2 2 2±
=
±
=
=
−
=
=
+
x
x
x
Observa que se tienen dos valores para x. Toma en cuenta el positivo, ya que el negativo se podría considerar como un desplazamiento a la izquierda.
Por último, sustituye todos los valores conocidos (x = 6.63, y = 10, dx/dt = 3) en
dt
dx
y
x
dt
dy
−
=
y obtienes:(
)
s
m
dt
dy
s
m
dt
dy
/
98
.
1
10
89
.
19
/
3
10
63
.
6
−
=
−
=
−
=
Este resultado significa que el borde superior de la escalera se mueve con una rapidez de 1.98 m/s y el signo negativo implica que el movimiento lo hace hacia abajo.
Solución
Como la ecuación da la posición, se requiere sustituir t = 1 en la expresión anterior, quedando de la siguiente forma:
( )
( ) ( )
( )
1
1
1
6
1
4
−
=
+
−
=
t
s
t
s
Esto significa que la posición de la partícula es s = -1centímetro. El signo negativo puede significar un movimiento a la izquierda o hacia abajo, según sea el caso.
Solución
Como la velocidad es la primera derivada del desplazamiento, deriva s(t) con respecto al tiempo; tienes:
( )
t
=
s
′
( )
t
=
8
t
−
6
v
Sustituyendo t = 1 en esta expresión para determinar la velocidad, tienes:
( )
( )
( )
cm
s
v
v
/
2
1
6
8
6
1
8
1
=
−
=
−
=
EjemploLa posición de una partícula está representada por la expresión , en donde s representa la posición de la partícula (dada en centímetros) y t es el tiempo (dado en segundos). Determina la posición de una partícula en t = 1 segundos.
Ejemplo
La posición de una partícula está representada por la expresión , en donde s representa la posición de la partícula (dada en metros) y t es el tiempo (dado en segundos). Determina la velocidad de una partícula en t = 1 segundos.
Por lo que la velocidad de la partícula en el tiempo t = 1 segundos, es de v = 2 cm/s. Con este método se puede determinar cualquier velocidad con sólo sustituir el valor del tiempo en la primera derivada del desplazamiento.
Solución
Usando la expresión determinada en el ejemplo anterior, es decir,
v
( )
t
=
8
t
−
6
, cuya derivada es laaceleración, entonces:
( )
( )
(
)
( )
8
6
8
=
−
=
′
=
t
a
t
dx
d
t
v
t
a
El valor de la aceleración tiene unidades de cm/s2. Cuando la aceleración resulta positiva, significa que
la velocidad va en aumento, esto es, si calculas la velocidad en un tiempo posterior a t = 1, será mayor que v = 2 m/s. En caso de que la aceleración fuera negativa, implicaría que la velocidad va
disminuyendo, y si la aceleración fuese cero, la velocidad sería constante.
Debido a que el cálculo diferencial puede aplicarse en una gran variedad de problemas, los ejemplos analizados en esta lectura son sólo algunos de los más representativos.
Ejemplo
La posición de una partícula está representada por la expresión , en donde
s representa la posición de la partícula (dada en metros) y t es el tiempo (dado en segundos). Determina la aceleración de una partícula en t = 1 segundos.
Bibilografía
Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, Trad.). México: Harla.
Purcell, E. J. & Varberg, D. (2000). Cálculo Diferencial e Integral (6ª. ed.; J. A. Gómez, Trad.). México: Prentice Hall.
Smith, R. T., & Minton, R. B. (2000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Trads.). México: McGraw-Hill.
Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S, (2001). Precálculo. Matemáticasparaelcálculo. (3ª. ed.; V. González y G. Sánchez, Trads.). México: Internacional Thomson Editores.