a a a a... a a (n veces)

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Texto completo

(1)

FICHA 1: Potencias de exponente IN

RECORDAR:

Definición de potencia

(Añadir esta fórmula al formulario, junto con la lista de principales potencias de base 2, 3, 5 y 7, que indicará el profesor)

1.

Expresar en forma de potencia y hallar el valor:

a)

2 2 2 2 2 2

· · · · ·

=

b)

5 5 5

· ·

=

c)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−3 · −3 · −3 · −3 · − =3

d)

4 4 4 4

· · ·

=

e)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−2 · −2 · −2 · −2 · −2 · −2 · −2 · − =2

f)

10 10 10 10 10

·

·

·

·

=

g)

( ) ( ) ( )

−7 · −7 · − =7

h)

( ) ( ) ( ) ( )

−5 · −5 · −5 · − =5

i)

3 3 3 3 3 3

· · · · ·

=

j)

( ) ( ) ( ) ( )

−1 · −1· −1· − =1

k)

a a a a a a· · · · · =

l)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−1 · −1· −1· −1 · −1 · −1 · −1· − =1

2.

Aplicar la definición para hallar,

sin calculadora

, el valor de las siguientes potencias:

1)

2

5

=

2)

( )

2

5

=

3)

3

4

=

4)

2

2

=

5)

( )

8

4

=

6)

( )

5

3

=

7)

10

3

=

8)

4

2

=

9)

( )

4

2

=

10)

( )

2

3

=

11)

4

5

=

12)

( )

2

6

=

13)

14

2

=

14)

( )

3

4

=

15)

( )

4

4

=

16)

7

3

=

17)

( )

9

2

=

18)

5

4

=

19)

( )

6

4

=

20)

5

0

=

21)

13

1

=

22)

( )

5

0

=

23)

( )

13

1

=

24)

5

3

=

25)

( )

3

7

=

26)

1

5

=

27)

( )

1

5

=

28)

( )

1

6

=

29)

( )

1

37

=

30)

0= 3

31)

( )

2

2

=

32)

( )

5

5

=

33)

( )

2

4

=

n (n veces)

a

=

a a · a

·

·

... a a

·

·

(2)

34)

2

4

=

35)

( )

3

3

=

36)

− 3= 3

37)

1

34

=

38)

( )

1

56

=

39)

( )

1

57

=

40)

=

3

2

1

41)

=

2

3

1

42)

2= 9

43)

( )

9

2

=

44)

=

2

2

3

45)

3= 9

46)

( )

9

3

=

47)

0,42=

48)

60

2

=

Recordar:

(

nºnegativo

)

par

=

(

nºnegativo

)

impar

=

=

n

1

( )

1

par

=

( )

1

impar

=

(Completar estas fórmulas con ayuda del profesor y añadir al formulario)

3.

Hallar el valor de las siguientes potencias (

puede comprobarse en casa con calculadora

):

a)

2

12

=

b)

( )

2

12

=

c)

7= 3

d)

( )

3

7

=

e)

1

73

=

f)

( )

1

15

=

g)

0= 35

h)

( )

2

10

=

i)

2

10

=

j)

( )

3

5

=

k)

3

5

=

l)

π ≅

2

m)

9

1

2

  =

 

 

n)

4

5

=

o)

5

5

=

p)

( )

7

3

=

q)

7

2

3

  =

 

 

4.

Completar convenientemente el interior del cuadrado con un número positivo:

a)

3

=

27

b)

2

=

64

c)

( )

−4

=16

d)

5

=

625

e)

7

=

1

f)

( )

−2

=16

g)

( )

−3

= −243

h)

4

81

=

i)

2

100

=

(3)

j)

5

0

=

k)

7

128

=

l)

3

125

=

Operaciones con potencias de exponente IN:

RECORDAR:

(Añadir estas fórmulas al formulario)

5.

Simplificar, utilizando las propiedades de las potencias, dejando el

resultado como potencia única

de base

lo más simple posible (

no vale usar calculadora, salvo para comprobar, una vez finalizado todo el ejercicio, los

resultados

):

1)

2

7

·

2

5

=

2)

3

10

:

3

8

=

3)

( ) ( )

3

6

·

3

3

=

4)

5 5 5

2

· ·

3 4

=

5)

( ) ( )

6

8

:

6

4

=

6)

7 3

10

10

=

7)

( )

2

4 5

=

8)

( )

7

5 3

=

9)

( )

4 3

2

=

10)

( )

4 3 2

x

=

11)

2

3

·

3

3

=

12)

a a a

2

· ·

3 5

=

13)

( )

4 2 3

5

 =

14)

5

5

·

7

5

=

15)

9

14

:

3

14

=

16)

2

3

·

2

5

·

2

3

=

17)

5 5

8

4

=

18)

14

6

:

7

6

=

19)

( )

2

5

·

7

5 0

=

20)

( )

2

5

·

3

5

=

21)

( )

5 5

15

5

=

22)

( ) ( )

2

8

·

3

8

=

23)

( ) ( )

14

6

:

7

6

=

24)

5 3

7

7

=

25)

12

8

:

12

5

=

26)

( )

( )

6 3

7

7

=

27)

( )

( )

9 5

7

7

=

(

)

( )

m n m n n n n n m n n m n m n n n n m m n 0

a

a

a

(a b)

a

b

a

a

a

a a

a

a b

b

a

b

a

a

a

1

+ − ⋅

=

=

 

=

=

=

 

=

 

=

=

:

:

(4)

28)

( ) ( ) ( )

2

7

·

2

4

·

− =

2

29)

( )

5

43

=

30)

( )

7

5 2

=

31)

( )

3

4

3

=

32)

3 6

3

3

5

5

    =

   

   

·

33)

9

2

2

3

3

 

=

 

 

·

34)

15 3

1

1

3

3

 

  =

 

 

 

:

 

35)

ab a b =

3

·

2

36)

2xy 3x y =

2

·

2

37)

( )

2

3

+

2

·

( )

2

2

3

·

( )

2 + 4 =

(Sol: 10)

38)

( )

2x

2

=

39)

( )

2

2

4 2

· ·

( )

3 =

(Sol: 28)

40)

3

33

=

(Sol: 327)

6.

Completar los exponentes que faltan:

a)

4

6

·

4

=

4

9

b)

( )

7

:

( ) ( )

7

3

= −

7

3

c)

5

4

·

5

·

5

2

=

5

9

d)

a a

·

3

·

a

=

a

5

e)

( )

7

·

( ) ( ) ( )

7

4

·

− = −

7

7

7

f)

2

8

·

2

3

·

2

=

2

11

g)

( )

6 18 3

= 3

h)

20 4 5 5

( )

=

i)

( )

( )

4 8 2 2

[

]

= −

j)

( )

7

3

= −

( )

7

9

7.

Más elaborados:

Simplificar, utilizando las propiedades de las potencias, dejando el

resultado como

potencia única

de base lo más simple posible (

no vale usar calculadora, salvo para comprobar, una vez

finalizado todo el ejercicio, los resultados

):

1)

8

3

·

2

3

=

(Sol: 212)

2)

8

3

:

2

3

=

(Sol: 26)

3)

4

2

·

4

3

·

4

=

(Sol: 212)

4)

( )

( )

8 6

8

8

=

(Sol: 26)

5)

2 · 4

2

=

(Sol: 25)

6)

( )

2 · 4

2

=

(Sol: 26 )

7)

3 · 27

5

=

(Sol: 316)

8)

2

125 · 5

=

(Sol: 57 )

9)

31

3·3

9

=

(Sol: 330)

10)

5

6

·

(

5

9

:

5

3

)

=

(Sol: 512)

(5)

11)

6 9 3

5

·

5

:

5

=

(Sol: 512 )

12)

2

( )

3 2

=

2

·

2

(Sol: 28 )

13)

=

3

·

3

3

2 2 8 (Sol: 33)

14)

2

8

:

2

3

·

2

3

=

(Sol: 28)

15)

3

5

:

(

3

7

:

3

4

)

=

(Sol: 32)

16)

( )

9

3

4

=

(Sol: 324)

17)

( )

( )

7 2

4

4

=

4

(Sol: 28)

18)

( ) ( )

5 2 2 4 2 · 2 = (Sol: 218 )

19)

( ) ( )

3 3 2 4 10 · 10 = (Sol: 1017 )

20)

( )

−3 53·

( )

−3 43= (Sol: (-3)27 )

21)

( )

2 2

( )

3 2 x x   =   ·  (Sol: x10)

22)

( ) ( )

2

2 4

·

a

2

·

a

3 2

=

(Sol: (2a)8 )

23)

2 4

2

2

·

3

3

8

27

   

   

    =

(

Sol: (2/3)3

)

24)

( ) ( )

2 5 3 3 6 : 6 = (Sol: 6)

25)

( ) ( )

7 2 3 4 23 : 23 = (Sol: 232)

26)

(

)

(

)

3 9 5 3

14

=

14

(Sol: 1412)

27)

( )

8 3

( )

4 2 2  =   : (Sol: 220)

28)

4 2

8

·

16

=

(Sol: 220 )

29)

3

4

·

9

2

=

(Sol: 38)

30)

( )

3

4

·

18

2

=

(Sol: 22 · 38)

31)

5

4

·

25

3

=

(Sol: 510)

32)

6

3

·

12

5

=

(Sol: 213 · 38)

33)

4

7

·

3

2

=

(Sol: 219)

34)

12

3

·

18

5

=

(Sol: 211 · 313)

35)

( )

21

2

·

63

5

=

(Sol: 312 · 77)

36)

72

3

·

4

7

=

(Sol: 223 · 36)

37)

( ) (

)

4 2 2 2

3

3

3 9

3

·

·

·

=

(Sol: 310)

38)

3 2

18

18 · 3

=

(Sol: 6)

39)

( ) (

)

8 6 7 10

2

2

2 4

=

8

·

·

·

(Sol: 25)

40)

3 2 0 3

3

3

5

5

=

9

25

 

 

 

 

 

 

·

(Sol: 1)

41)

( )

2

(

2

)

2

10 - 2·

3

+ 5·

6 + 2

=

(Sol: 12)

42)

3 10 4 3 0

2

2

3

3

=

2

4

3

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

·

(Sol: 2/3)

(6)

43)

( )

( )

2 6 3 5

3

3

9

=

81

·

·

(Sol: 34)

44)

9

25· 2

( )

3

 

 

:

(

− −

3 1

)

2

9

=

(Sol: 7)

45)

3 2 + 5 ·2 +

2

( ) ( ) (

3

3

+

4

0

: 1+ 4

)

1

=

(Sol: -1)

46)

(

6 + 2·3 + 3 · 2

2 2

)

: 3

(

81

)

2

=

(Sol: 1)

8.

25 no puede ser igual a 13. ¿Dónde está el fallo?:

Repaso:

9.

Aplicar la definición para hallar,

sin calculadora

, el valor de las siguientes potencias:

a)

3

5

=

b)

( )

4

3

=

c)

( )

3

6

=

d)

10

4

=

e)

1

11

=

f)

( )

1

5

=

g)

( )

1

8

=

h)

( )

2

9

=

i)

0

13

=

j)

5

5

=

k)

( )

9

2

=

l)

( )

2

6

=

m)

− =

2

6

n)

( )

3

5

=

o)

3

5

=

p)

1

14

=

q)

( )

1

14

=

r)

( )

1

15

=

s)

4

2

3

  =

 

 

t)

5

1

3

  =

 

 

u)

2 10 =

v)

( )

10

4

=

w)

2

3

4

  =

 

 

x)

6

3

=

y)

( )

6

3

=

z)

0,13=

α

)

20

2

=

10.

Simplificar, utilizando las propiedades de las potencias, dejando el

resultado como potencia única

de base

simple (no vale usar calculadora, salvo para comprobar, una vez finalizado todo el ejercicio, los resultados):

1)

4 5

3 ·3

=

2)

7 4 6 : 6 =

3)

( ) ( )

3 · 3

3

5

=

(

)

2 2 2 2

2

3

= 2 + 3 = 4 + 9 = 13

5

25

+

| | | |

(7)

4)

( ) ( )

4 · 4

3

2

=

(Sol: -210)

5)

9

2

·

9

3

·

9

5

=

(Sol: 320)

6)

( )

4 3 2

3

 =

7)

2

5

·

3

5

=

8)

4 4

27

9

=

9)

25

6

:

5

6

=

10)

( ) ( ) ( )

7

3

·

7

4

·

7

3

=

11)

2

12

:

(

2

6

:

2

3

)

=

(Sol: 29)

12)

2

12

:

2

6

·

2

3

=

(Sol: 29)

13)

6 7 11

3

3

3

=

·

14)

a

3

·

( )

a

4 5

=

15)

3

11

( )

3

3 3

3

 =

:

·

(Sol: 3)

16)

( ) ( ) ( )

5

3

:

5

4

:

5

=

(Sol: 1)

17)

(

3

4

·

4

3

)

0

=

18)

5 4

2

2

3

3

    =

   

   

·

19)

2 3 5

2

2

2

3

3

3

 

 

=

 

 

 

·

 

·

20)

12 4

7

5

7

5

 

 

 

=

 

 

 

(8)

FICHA 2: Potencias de exponente Z

RECORDAR:

(Añadir estas fórmulas al formulario)

1.

Teniendo en cuenta las fórmulas anteriores, operar las siguientes potencias de exponente entero (

sin usar

calculadora

), dejando el

resultado en forma entera o fraccionaria

(Véase el 1

er

ejemplo):

1)

2

-1

1

2

=

2)

2

-2

=

3)

-1= 3

4)

2

- 5

=

5)

- 2= 3

6)

( )

3

- 2

=

7)

( )

( )

4 4 4 1 1 1 2 2 16 2 − − = = = −

8)

( )

2

- 5

=

9)

( )

4

-1

=

10)

3

2−

=

11)

( )

7

2−

=

12)

2

-1

=

13)

− -3= 5

14)

1

-4

=

15)

1

-10

=

16)

( )

1

- 4

=

17)

( )

1

- 7

=

18)

( )

1

- 23

=

19)

1

−8

=

20)

- 3

x =

21)

( )

a

- 4

=

22)

-3= 10

23)

( )

9

- 2

=

24)

0,1

-1

=

25)

- 3= 5

26)

x

- 2

=

27)

x

-1

=

28)

2

0,3

=

(Sol: 100/9)

29)

2

0,3

=

(Sol: 9)

30)

25

3−

=

31)

( )

3

5−

=

32)

4

3

=

33)

1

5

=

34)

8

1−

=

35)

( )

8

1−

=

36)

1

13

=

37)

( )

1

13

=

38)

0,5

2

=

39)

0,2

3−

=

40)

( )

x

5−

=

41)

10

4−

=

- n n - n n

1

- 1

1

a

a

a

a

a

b

1

a

n

-n

b

a

a

=

=

 

=

 

=

 

 

 

 

(9)

2.

Completar, con la ayuda del profesor, las siguientes tablas que resumen todos los

casos de cálculo con

potencias

:

EXPONENTE POSITIVO NEGATIVO BAS E E NT E RA P OS IT IV A

=

3

2

2

-

3

=

N E GA T IV A

( )

2

3

=

( )

4

2

=

( )

2

-

3

=

( )

-

4

2

=

Añadir ambas tablas al formulario matemático.

3.

Teniendo en cuenta las tablas anteriores, calcular las siguientes potencias de base fraccionaria, dejando el

resultado en forma racional

:

a)

=

3

3

5

b)

=

2

4

9

c)

2

1

5

=

d)

3

3

4

=

e)

=

-

2

4

9

f)

2

-5

6

=

g)

=

- 1

5

2

h)

5

-1

2

=

i)

=

2

2

1

j)

=

-

2

2

1

k)

=

-

1

3

1

l)

=

-

3

2

1

m)

2

1

2

=

n)

2

-1

2

=

o)

3

1

2

=

p)

3

-1

2

=

q)

=

2

2

3

r)

=

-

2

2

5

s)

=

3

7

4

t)

=

-

3

2

3

u)

2

3

2

=

v)

=

0

3

5

w)

2

-5

2

=

x)

1

-3

8

=

y)

3

7

2

=

z)

3

-9

2

=

4.

Calcular el valor de las siguientes potencias de exponente entero, y

comprobar el resultado con la

calculadora

:

a)

2

2

=

b)

1

10

=

EXPONENTE POSITIVO NEGATIVO BAS E F RACC IO NAR IA P OS IT IV A

=

3

3

2

=

-

3

3

2

N E GA T IV A

2

3

3

=

4

2

3

=

3

-2

3

=

4

-2

3

=

(10)

c)

2

1

5

−      

=

d)

1

0,1

=

(Sol: 10)

e)

1

2

5

−      

=

f)

7

1

2

=

(Sol: -128)

g)

100

2−

=

h)

2

2

3

=

(Sol: 9/4)

i)

3

0,2

=

(Sol: 125)

j)

1

1

3

=

(Sol: 3)

k)

2

1,3

=

(Sol: 100/169)

l)

10

−10

=

m)

( )

10

10

=

n)

( )

10

−10

=

5.

REPASO:

Operar, indicando todos los pasos necesarios; dejar el resultado en forma entera o fraccionaria (los

dos últimos en forma decimal):

1)

( )

5

3

=

2)

5

−3

=

3)

( )

5

−3

=

4)

5

3

=

5)

5

−3

=

6)

3

5

3

  =

 

 

7)

3

5

3

=

8)

3

5

3

=

9)

3

−5

=

10)

( )

3

5

=

11)

( )

3

−5

=

12)

3

5

=

13)

5

3

2

  =

 

 

14)

5

3

2

=

15)

5

3

2

=

16)

3

0,3

=

17)

0,3

−3

=

18)

(

10

)

−1

=

19)

4

−4

=

20)

4

4

=

21)

( )

4

−4

=

22)

( )

4

4

=

23)

5

3

2

=

24)

5

9

2

=

25)

5

3

4

  =

 

 

26)

3

−4

=

27)

( )

3

4

=

28)

( )

3

−4

=

29)

1

3

=

30)

( )

3

0

=

31)

3

2

3

=

32)

3

2

3

  =

 

 

(11)

33)

3

2

3

=

34)

3

1

=

35)

1

2

3

=

36)

0,3

2

=

(Sol: 0,09)

37)

0,3

2

=

(

Sol : 0,1

)

6.

Ídem:

1)

4

2

=

2)

4

2

=

3)

( )

2

−4

=

4)

( )

2

4

=

5)

4

2

=

6)

4

2

3

 

=

 

 

7)

3

5

7

=

8)

4

3

5

=

9)

3

7

5

=

10)

3

7

5

 

=

 

 

11)

4

3

5

=

12)

4

3

5

=

13)

( )

0 12 − =

14)

12 0− =

15)

1

−12

=

7.

TEORÍA

: ¿V o F? Razonar la respuesta:

a)

2

−3

= −

6

b)

2

7

+

3

7

=

5

7

c)

2

3

+

2

4

=

2

7

d)

3

2

=

( )

3

2

e)

( )

3

3

=

3

3

f)

( )

2

x

3

=

2

x

3

g)

3 3

1

4

4

=

h)

1,2 10

·

−5

=

12

−5

i)

9 10

·

10

=

90

10

(12)

FICHA 3: Operaciones con potencias de exponente IN

(Repaso)

1.

Simplificar, mediante las propiedades de las potencias, dejando el

resultado como potencia de exponente

positivo

y base lo más simple posible (no vale usar calculadora):

1)

5 = 3 2 2 (Soluc: 4)

2)

( )

60 3=

(Soluc: 1)

3)

2 · 2

2 2

=

(Soluc: 16)

4)

2

5

·

4

3

=

(Soluc: 2048)

5)

=            2 3 5 1

(Soluc: 1/15625)

6)

=

 ⋅

5

2

3

6

1

(Soluc: 1/1024)

7)

8

2

4

4

=

(

Soluc: 16384)

8)

=

2 4

8

4

(Soluc: 4)

9)

=

6 6

9

18

(Soluc: 64)

10)

25

4

·

5

3

=

(Soluc: 511)

11)

=

17 15

2

2

(Soluc: 4)

12)

=

87 84

2

2

(Soluc: 8)

13)

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 6 5 3 0 3 5 7 2 2 2 2 2 2 2 2

(Soluc: 1)

14)

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 4 3 30 6 5 3 2 32 2 16 8 2 2 4 2

(Soluc: 294 )

(13)

15)

=

2 2 3 2 3

15

3

5

45

25 5

125 27

(Soluc: 243/5)

16)

( )

23 2

( )

2 2 2 10 3 4 − − − · − − + = (Soluc: -1/6)

17)

(

1) +(

3

1) +(

2

1)=

(Soluc: -1)

18)

2 ·(

1)

3

4 ·(

1) +2 ·(

2

1)=

(Soluc:

-

8)

19)

2 ·(

2) +3 ·(

4

2)

3

4 ·(

2)

2

3 ·(

2)=

(Soluc:

-

2)

20)

 

 

⋅ − ⋅

=

 

3 2 15 21 2 ( 1) 7 5 3

⋅ ⋅

6 3 3 3 7 2 Soluc : - 3 5

21)

=

4 5 2

7

2

7

2

7

2

(Soluc:8/343)

22)

=

3 2 2 2 2 2

6 12 18

3 108

27

3 16 48 36

(Soluc:1944)

2.

TEORÍA

: ¿Qué potencia es mayor:

(

) (

2

)

3

(

)

4

0,8 ,

0,8

o

0,8

? Clasificarlas de menor a mayor.

CURIOSIDAD MATEMÁTICA: La notación actual con exponentes para indicar las potencias se debe al

matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650). Hasta entonces, por ejemplo, para designar un cubo se escribía x x x, lo cual resultaba, obviamente, muy poco práctico.

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