Tema 7: Aplicaciones de las derivadas
7.1Crecimiento y decremiento de una función. Extremos relativos.
Página 157
1. Tiene algún extremo relativo la funciónf x x5 2x 1 Tenemos que calcularf x 5x4 2 0 5x4 2
Ahora igualamos a cero esta derivada:
5x4 2 0Esta expresión no se anula nunca dado que tenemos una potencia de exponente cuatro que es siempre positiva, multiplicada por un número positivo y sumada a una cantidad positiva.
Como no hay puntos dondef x 0, entonces la función no tiene extremos relativos. Gráficamente sería: -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3000 -2000 -1000 1000 2000 3000 x y
Tareas 19-02-2013: todos los ejercicios que faltan del 1
2 Identifica los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: b)f x x ln 1 x Calculamosf x 1 0 1 1 x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 x x 1 Hacemosf x 0 x x 1 0
Una fracción es cero si el numerador es cero.
x 0
Tenemos la siguiente tabla de signos:
signo/intervalo , 0 x 0 0,
x
x 1 f x 0
crece o decrece crece extremo relativo crece Tomamosx , 0 x 2y lo sustituimos enf x f 2 2 2 1 21 1 0 Tomamosx 0, x 1y lo sustituimos enf x f 0 1 1 1 1 2 0
Esto no tiene sentido; el problema viene porque dado que tenemos un logaritmo neperiano, hemos de tener claro primero cuál es el dominio de la función. Un logaritmo sólo tiene sentido para números positivos o cero.
En nuestro habrá de serx 1 0 x 1
signo/intervalo 1, 0 x 0 0,
x
x 1 f x 0
crece o decrece decrece extremo relativo crece Tomamosx 1, 0 x 0. 5y lo sustituimos enf x
f 0. 5 0. 5
0. 5 1 0. 50. 5 1 0
Observando la tabla, tenemos un mínimo relativo enx 0
Gráficamente sería: -1 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 x y
Tareas 19-02-2013: todos los ejercicios que faltan del 2.
6.2 Aplicación de las derivadas a los problemas de optimización
Página 159 Ejercicios
5 Una empresa inmobiliaria ha decidido convertir un hotel en 65 estudios. Alquilando a 600 euros cada estudio, conseguiría alquilarlos todos, y por cada 20 euros que aumentase el alquiler, alquilaría 1 menos. Si cada estudio alquilado requiere 60 euros mensuales de gastos, ¿A cuánto debe alquilarlos para obtener máximo beneficio?
Llamamosxa cada veintena de euros que aumenta el alquiler. Por lo tanto, tenemos:
six 1esto significa que hemos aumentado en 20 euros el alquiler y sólo alquilaríamos65 1 64estudios
six 3esto significa que hemos aumentado en3 20euros el alquiler y sólo alquilaríamos
65 3 62estudios
Por otro lado, lo que ganas alquilando los estudios será el precio del alquiler por los estudios que tienes alquilados. Es decir: 65 x 600 20x
Además están los gastos de mantenimiento, serán el número de apartamentos alquilados por lo que cuesta mantener cada apartamento. Es decir: 65 x 60
Finalmente, los beneficios vendrán dados por los ingresos menos los gastos:
f x 65 x 600 20x 65 x 60 20x2 760x 35 100
Calcular el punto dondef x 0
Tenemos quef x 40x 760
Así 40x 760 0 760 40x x 760
40 19
El extremo relativo se obtiene parax 19
Para determinar si es un máximo o un mínimo, habremos de saber cómo es la monotonía de la función alrededor dex 19. Para ello consideramos la tabla siguiente:
intervalo 0, 19 x 19 19,
signof x 0
monotonía creciente decreciente
tomamos1 0, 19 f 1 40 1 760 720 0
tomamos20 19, f 20 40 20 760 40 0
Por lo tanto, como pasamos de creciente a decreciente, enx 19tenemos un máximo.
La respuesta es que debe alquilar los apartamentos a600 19 20 980euros y así alquila65 19 46
estudios
Dado que la función es una parábola con las ramas hacia abajo, es natural que el extremo relativo coincida con el vértice de la misma.
Tareas 20-02-2013: 3,4
6.3 Curvatura y puntos de inflexión
Página 160 Ejercicios
7 Encuentra el máximo y el mínimo relativo def x 2x4 4x2 1 Calculamosf x 8x3 8x 8x x2 1
Hacemosf x 0 8x x2 1 0
Recordamos que el producto es igual a cero si alguno de los multiplicandos es cero.
x 0 o x2 1 0 x 0 o x2 1 x 0 o x 1 1
Por lo tanto tenemos extremos relativos en los valores dex 0, 1, 1
Calculamosf x 24x2 8 8 3x2 1 Sustituimos los valores dexen laf x
six 1 f x 8 3 1 2 1 16 0 enx 1la curva está por encima de la tangente en el puntoP 1, f 1 . Es decir, la función enx 1es cóncava hacia arriba. Como además era un extremo relativo esto significa que tenemos un mínimo relativo enx 1.
six 0 f x 8 3 02 1 8 0 enx 1la curva está por debajo de la tangente en el
puntoP 0, f 0 . Es decir, la función enx 0es cóncava hacia abajo. Como además era un extremo relativo esto significa que tenemos un máximo relativo enx 0.
six 1 f x 8 3 12 1 16 0 enx 1la curva está por encima de la tangente en el
puntoP 1, f 1 . Es decir, la función enx 1es cóncava hacia arriba. Como además era un extremo relativo esto significa que tenemos un mínimo relativo enx 1.
Gráficamente sería: -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 2 4 6 8 10 x y Tareas 21-02-2013: 6
6.4 Algunos teoremas sobre funciones derivables.
Página 161 Ejercicios
9 ¿Es posible que haya tres puntos de igual ordenada en la funciónf x ex x 5?
Dado el punto de coordenadasP 1, 2 abscisa 1
ordenada 2
Lo vamos a hacer por reducción a lo absurdo.
Supongamos que hay tres puntos a1 a2 a3 tales que la ordenada en ellos es la misma. Es decir, cumplen quef a1 f a2 f a3 b
Tenemos por lo tanto las siguientes situaciones:
En el intervalo cerrado a1, a2 se cumple que la función es continua, derivable en su interior y
f a1 f a2 . Es decir, se dan todas las condiciones del Teorema de Rolle, por lo tanto podemos aplicar dicho teorema para concluir que hay un puntoc1 a1, a2 tal quef c1 0
En el intervalo cerrado a2, a3 se cumple que la función es continua, derivable en su interior y
f a2 f a3 . Es decir, se dan todas las condiciones del Teorema de Rolle, por lo tanto podemos aplicar dicho teorema para concluir que hay un puntoc2 a2, a3 tal quef c2 0
Por ahora, tenemos dos puntos c1 c2 tales quef c1 f c2 0 1 Calculemosf x ex 1 0 ex 1
Hagamosf x 0 ex 1 0 ex 1 x 0 2
ABSURDO: NO PUEDE DARSE A LA VEZ LO EXPRESADO EN
1Y EN
2 .DE AHÍ QUE NUESTRA SUPOSICIÓN DE TRES PUNTOS CON LA MISMA
ORDENADA NO PUEDA SER CIERTA, PUES CASO DE SERLA NOS
LLEVARÍA A UN ABSURDO.
Tareas 21-02-2013: 8
EJERCICIOS FINALES DEL TEMA
10 Estudia la monotonía y halla los extremos relativos de la siguientes funciones: b)f x x 1
2
ex
Hemos de calcular laf x , ver donde se anúla y luego calcularf x para estudiar su signo en los puntos donde se anulaba la primera:
Para derivar, hemos de aplicar la derivada del cociente.
f x 2 x 1 1 e x x 1 2 ex ex 2 ex x 1 2 x 1 ex 2
Podemos anular mutuamente unex del numerador y del denominador.
x 1 2 x 1
ex
x 1 1 x ex
Como se trata de un cociente, este será cero cuando el numerador sea cero:
x 1 1 x 0
Pero un producto es igual a cero, si alguno de los multplicando es cero.
x 1 0 O x 1 0 x 1 O x 1
Tenemos la siguiente tabla para estudiar la monotonía:
intervalo , 1 x 1 1, 1 x 1 1,
signof x 0 0
monotonía decreciente mínimo creciente máximo decreciente
Tomamosx 2 , 1 f 2 2 1 1 2
1 3 e 2 0 Tomamosx 0 1, 1 f 0 0 1 1 0 e0 1 1 0 Tomamosx 2 1, f 2 2 1 1 2 e2 3 1 e2 0 Vamos a calcularf x 1 1 x 1 x 1 ex 1 x 1 x ex ex 2 ex 1 x 1 x x2 1 ex 2
Podemos anular mutuamente unex del numerador y del denominador.
2x x2 1
ex 1 x
2 2x
ex
Hemos de evaluar esta derivada en los puntos donde se hacia cero la primera:
f 1 1 1 2 2 1 e 1 1 1 2 e 1 2
e 1 0 f tiene un mínimo relativo enx 1
f 1 1 12 2 1
e1 1 1e 2 e2 0 f tiene un máximo relativo enx 1 Tareas 25-02-13: apartados a,c,d,e,f,g,h del ejercicio 1.
Tareas 25-02-13: 12
13 Para cada h se considera la funciónf x 2x3 3x2 h
a) Hallas los valores en los que f alcanza sus valores máximos y mínimos. Primero calculamosf x 6x2 6x 6x x 1
Hacemos cero esta expresión:
6x x 1 0
Como es un producto, será cero si alguno de los multiplicandos es cero.
x 0 O x 1 0 x 0 O x 1 Calculamosf x 12x 6
Evaluamos esta expresión en los ceros de la primera derivada.
f 0 12 0 6 6 0 f tiene un mínimo relativo enx 0
f 1 12 1 6 6 0 f tiene un máximo relativo enx 1
b) Encuentra h para que el valor de f en el mínimo local hallado antes sea 0. Hemos de hallarf 0 2 03 3 02 h h
Seráh 0
Tareas 25-02-13: 17
20 Halla las dimensiones de un ventana rectangular de 6 metros de perímetro para que tenga la máxima superficie posible y, así, produzca la máxima luminosidad.
Las condiciones son:
6 metros de perímetro x x y y 6 2 x y 6 x y 3
la máxima superficie posible
La superficie del rectángulo S x, y x y
Hemos de convertir ésta última función en una función de una sola variable. Tenemos quex y 3 y 3 x
Sustituimos este valor deyen la expresión deS : S x, y x 3 x
Ahora ya tenemos una única variable y hemos de estudiar los extremos relativos de esta función.
S x 3x x2
Vamos a encontrar los valores dexdonde la primera derivada es cero.
S x 3 2x
Hacemos3 2x 0 3 2x 3
2 x
CalculamosS x 2que es negativa para cualquier valor de lax. En particular será
S 3
2 2 0 Stiene un máximo relativo enx 32
La solución al problema es que el ancho es 3
2 m y el largo es3 3 2
3
2 m. La ventana resulta ser un
cuadrado de lado 3
2 m.
Tareas 26-02-2013:21,22,23
24 Nos dicen que la funciónf t t 2es la derivada de la inflación en función del tiempo en cierto país, cuando0 t 5.
a) Determina el valor de t para el que la inflación alcanza el valor mínimo. ¿Cuál es el valor mínimo? Resulta que si llamamosI t a la función de la inflación en función del tiempo, esI t f t .
Por lo tanto, hemos de hacerI t f t 0para hallar el valor de t donde se alcanza el extremo relativo.
t 2 0 t 2
Ahora hemos de evaluarI 2 .
Nos hace faltaI t f t 1 0independientemente del valor que tomet. Por lo tantoI 2 0 I
presenta un mínimo relativo ent 2.
Dado que la primera derivada de la función inflación es una polinomio de grado uno, la función inflación es un polinomio de grado dos que tiene por representación una parábola. Hemos visto que en el vértice de dicha parábola se alcanza un mínimo, por lo tanto es una parábola con las ramas hacia arriba.
I t at2 bt cdonde a, b y c son números reales. Vamos a derivar esta expresión:
I t 2at b
Pero sabemos queI t f t t 2
b 2 2a 1 b 2 a 1 2 Por ahora esI t 1 2t
2 2t cno tiene ningún otro dato para poder calcular la c. Por lo tantoI 2 1
2 2
2 2 2 c c 2 b) Determina cuándo es máxima la inflación.
Sabemos por la expresión deI, que se trata de una parábola con las ramas hacia arriba y su vértice está ent 2, que está mas cerca del extremos superior del intervalo 0, 5 dentro del cual estamos estudiando la función. Como la parábola es simétrica con respecto al eje vertical de ecuaciónt 2, la máxima
inflación se alcanzará ent 5 I 5 1
2 5
2 2 5 c c 5
2
Tareas 26-02-2013: 29,28
33 Estudia la curvatura y hallas los puntos de inflexión de las siguientes funciones. f)f x ln xx
Hemos de calcular la segunda derivada para hallar los ceros y a partir de esto, estudiar su signo. Aplicaremos la derivada de un cociente.
f x 1 x x ln x 1 x2 x x ln x x2 1 ln x x2
De nuevo, aplicaremos la derivada de un cociente.
f x 0 1 x x2 1 ln x 2x x2 2 x2 x 2x 2x ln x x2 2 x 2x 2x ln x x4 3x 2x ln x x4 3 2 ln x x x4
Como se trata de un cociente, será cero cuando el numerador se anule.
3 2 ln x x 0
Como se trata de un producto, será cero cuando uno de los multiplicandos sea cero.
3 2 ln x 0 O x 0 2 ln x 3 O x 0 ln x 3 2 O x 0 x e32 O x 0
Recordamos que elDomf 0, por lo tanto tenemos la siguiente tabla para estudiar la curvatura:
intervalo 0, e32 x e 3 2 e 3 2, signof x
curvatura cóncava hacia abajo punto de inflexión cóncava hacia arriba Por otro lado,f x 3 2 ln x x
x4 por lo que teniendo en cuenta que los valores dexsólo pueden ser positivos, es signof x signo 3 2 ln x
Tomamosx 1 0, e32 3 2 ln 1 3 0 la gráfica de la curva está por debajo de la
tangente. Es decir, la gráfica es cóncava hacia abajo.
Tomamosx 5 e32, 3 2 ln 5 0. 218 88 0 la gráfica de la curva está por encima de
la tangente. Es decir, la gráfica es cóncava hacia arriba
e32 e
3
2 4. 481 7
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y Acercándonos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34 0.36 x y
Tareas 27-02-2013: del ejercicio 33 los apartados a,b,c,d,e,g,h,i
36 a) Halla los puntos de inflexión de f x x x2 1 Hemos de estudiar los ceros de la segunda derivada. Aplicaremos la derivada de un cociente.
f x 1 x 2 1 x 2x x2 1 2 x2 1 2x2 x2 1 2 1 x2 x2 1 2 f x 2x x 2 1 2 1 x2 2 x2 1 2x x2 1 2 2 2x x2 1 1 x2 4x x2 1 x2 1 2 2 2x3 2x 4x 4x3 x2 1 x2 1 4 6x 2x3 x2 1 3 2x 3 x2 x2 1 3
Como la segunda derivada es un cociente, será nula cuando el numerador sea cero.
2x 3 x2
x 0 O 3 x2 0 x 0 O x2 3 x 0 O x 3
Tenemos puntos de inflexión en los valores dex 0, 3
b) Halla la recta tangente a la curva en su punto de inflexión de abscisa positiva. Hemos de hallar la tangente a la curva en la abscisax 3
Esta recta viene dada por la ecuacióny f 3 f 3 x 3
Tenemos que: f 3 3 3 2 1 3 3 1 3 4 f 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3 3 1 2 2 42 2 16 1 8
Finalmente la ecuación queday 3
4 1
8 x 3
Gráficamente la situación es:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 x y
Se observa que la recta tangente en el punto de inflexiónx 3 , corta a la gráfica de f. Tareas 05-03-2013: 34,35,37,39
38 Demuestra que la curva de ecuacióny x4 x3 x2 x 1no tiene ningún punto de inflexión. Hemos de encontrar los puntos donde se anula la segunda derivada de la función
f x x4 x3 x2 x 1
f x 4x3 3x2 2x 1
f x 12x2 6x 2 2 6x2 3x 1
Como se trata de un producto, será cero si6x2 3x 1 0
Ecuación de 2º grado completa con
a 6 b 3 c 1 x b b 2 4ac 2a 3 3 2 4 1 6 2 6 3 9 24 12 3 15 12
Pero esto no tiene solución real, por lo tanto la segunda derivada no se anula y no tenemos puntos de inflexión.
Podemos concluir que la segunda derivada se representa como una parábola que no corta al eje OX en ningún punto, con sus ramas hacia arriba dado que el coeficiente dex2es positivo. Es decir,f x 0 para cualquier valor de x. Así la función es cóncava hacia arriba siempre. Por lo tanto, tiene sentido que
carezca de puntos de inflexión. Gráficamente sería: -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 100 200 300 400 500 600 700 x y Tareas 50-03-2013: 40
43 ¿Cuántas veces corta al eje horizontal la gráfica def x x4 x3 5x2 2?
Hemos de resolver la ecuación polinómicax4 x3 5x2 2 0. Por el Teorema fundamental del álgebra, esto puede tener hasta cuatro ceros, pero a nosotros sólo nos interesa que sean soluciones reales. En principio, la función de continua y derivable en todoR.
Por otro lado, por el Teorema de Bolzano, si la función es continua en un intervalo cerrado tomando valores opuestos en los extremos del intervalo cerrado entonces existe un punto del interior del intervalo cerrado, donde la función se anula.
Vamos a buscar por tanteo, valores que anulan la función:
f 1 14 13 5 12 2 3 0
f 2 2 4 2 3 5 2 2 2 42 0
f 0 04 03 5 02 2 2 0
Entonces estamos en condiciones de aplicar el Teorema de Bolzano en dos intervalos cerrados; 2, 0 y
0, 1
En el intervalo cerrado 2, 0 la función es continua y cumple quesigno f 2 signo f 0 .
Entonces hay al menos unc 2, 0 tal quef c 0.
En el intervalo cerrado 0, 1 la función es continua y cumple quesigno f 1 signo f 0 .
Entonces hay al menos und 2, 0 tal quef d 0.
Es decir, por ahora hay dos seguros, habrá más hasta cuatro?
Tenemos que aplicar alguno de los teoremas sobre funciones derivables. Claramente, no se puede aplicar el Teorema de Rolle pues la función no toma los mismos valores sobre los extremos del intervalo. Habrá de ser el Teorema del valor medio.
En el intervalo cerrado 2, 0 la función es continua y derivable en su interior, entonces existe algúne 2, 0 tal quef c f 0 f 2
0 2
2 42
2 22 0
Esto nos está diciendo que la función es decreciente en este intervalo 2, 0 . Recapitulemos, la función decreciente toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo siendo positiva en el extremo de la izquierda y negativa en el extremo de la derecha. Necesariamente, SÓLO puede tener un punto de corte en el intervalo 2, 0 .
En el intervalo cerrado 0, 1 la función es continua y derivable en su interior, entonces existe algún
s 2, 0 tal quef s f 1 f 0 1 0 3 2 1 5 1 5 0
función creciente toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo siendo negativa en el extremo de la izquierda y positiva en el extremo de la derecha. Necesariamente, SÓLO puede tener un punto de corte en el intervalo 0, 1 .
Es decir, sabemos que en el intervalo cerrado 2, 1 hay dos, sólo dos, puntos de corte de la gráfica de la función con eje horizontal.
Pero claro, esto es muy poco comparado con todoR. Podría darse el caso de que en lo que me falta por comprobar, estén los otros dos posibles puntos de corte.
Calculemos algunos valores de la función a la izquierda y a la derecha:
f 1000 10004 10003 5 10002 2 999 004 999 998
f 2000 2000 4 2000 3 5 2000 2 2 16 008 019 999 998
Nos dice que cuanto más nos alejemos, más altura tendremos: hay que acordarse de la función tiene un
x4que acaba mandando.
Tareas 06-03-2013: 44,45,46, 48,49,50
47 Un equipo de trabajadores debe cosechar un campo de manzanos a partir del 1 de octubre y únicamente puede trabajar durante un día. Si se hace la cosecha el 1 de octubre, se recogerán 60 toneladas y el precio será de 2000 euros/tonelada. Sabemos que a partir de ese día, la cantidad que se podría recoger aumentará en una tonelada cada día, pero el precio de la tonelada disminuirá en 20 euros/día.
a) Determina la fórmula que expresa los ingresos que se obtienen en función del número de días que se dejan pasar a partir del 1 de octubre para hacer la cosecha.
Llamamosxal número de días que se dejan pasar a partir del 1 de octubre para hacer la cosecha. Datos relevantes a tener en cuenta para los ingresos:
cosecha el 1 de octubre, se recogerán 60 toneladas y el precio será de 2000 euros/tonelada a partir de ese día, la cantidad que se podría recoger aumentará en una tonelada cada día, pero el precio de la tonelada disminuirá en 20 euros/día.
La función ingresos seráI x 60 x 2000 20x 20x2 800x 120 000 Esto es una parábola con las ramas hacia abajo.
b) Halla cuántos días deben pasar para que los ingresos de la cosecha sean màximos. Calculamosf x 40x 800
Hacemosf x 0 40x 800 0 800 40x x 800
40 20
Calculamosf x 40 0para cualquier valor de x.
En particular,f 20 40 0 en un entorno dex 20la función es cóncava con las ramas hacia abajo, lo que nos dice que enx 20tenemos un máximo.
Los ingresos máximos se consiguen pasados veinte días del 1 de octubre; es decir, el 21 de octubre. c) Indica cuál es el valor máximo de los ingresos por la cosecha.
Sólo hay que calcularf 20 60 20 2000 20 20 128 000
Los ingresos máximos son 128000 euros.
d) Halla cuántos días deben pasar ahora para que los ingresos por la cosecha sean los mismos que si se hiciese el día 1 de octubre.
Lo primero es calcular dichos ingresos, que son:60 2000 120 000
Esto es lo mismo quef 0 60 0 2000 20 0 120 000
Hay que hallar el valor dexque cumple quef x 120000
20x2 800x 120 000 120000 20x2 800x 0 20x x 40 0
Recordamos que un producto es igual a cero si alguno de sus multiplicandos es cero:
x 0 O x 40 0 x 0 O 40 x
Pasados 40 días desde el 1 de octubre se obtienen los mismos beneficios que el 1 de octubre; es decir, 9 de noviembre.
Tareas 07-03-2013: 51,52,54,56
53 Una fábrica de automóviles ha realizado un estudio sobre sus beneficios/pérdidas en miles de euros a lo largo de los últimos 10 años y ha comprobado que se ajustan a la función
F t t3 18t2 81t 3, 0 t 10 Se pide, justificando la respuesta:
a) ¿En qué años se producen los valores máximos y mínimos de dicha función? CalculamosF t 3t2 36t 81
HacemosF t 0 0 3t2 36t 81, Solution is:9, 3
Se trata de una ecuación de 2º grado completa con
c 3
b 36
c 81
que se resuelva mediante la fórmula
x b b
2 4ac
2a .
CalculamosF t 6t 36 para evaluarla en los puntos donde la primera se anula:
F 3 6 3 36 18 0 F tiene en un entorno dex 3una concavidad con las ramas hacia abajo. Si unimos esto al hecho de que se anulaba la primera derivada, es que F tiene un máximo enx 3
F 9 6 9 36 18 0 F tiene en un entorno dex 9una concavidad con las ramas hacia arriba. Si unimos esto al hecho de que se anulaba la primera derivada, es que F tiene un mínimo enx 9
b) Determinar sus períodos de crecimiento y decrecimiento. Tenemos la siguiente tabla:
intervalo 0, 3 x 3 3, 9 x 9 9, 10
signoF x 0 - 0
monotonia/extremo creciente decreciente creciente
1 0, 3 F 1 3 12 36 1 81 48 0
4 3, 9 F 4 3 42 36 4 81 15 0
9. 5 9, 10 F 9. 5 3 9. 52 36 9. 5 81 9. 75 0
c) ¿Cuáles son sus beneficios máximos?
Se alcanzarán enx 3 F 3 33 18 32 81 3 3 105 Sus beneficios máximos son 105 mil euros.
d) ¿Qué resultados obtuvo la empresa en el último año del estudio?
F 10 103 18 102 81 10 3 7
