ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA
ALGEBRA I
Miscel´
aneas de problemas
2014
Tema: Estructuras Algebraicas.
Estructuras Algebraicas.
Para cada operaci´on binaria ∗definida en el conjunto se˜nalado d´ıgase cu´ando∗dota al conjunto de una estructura de grupo. De no resultar grupo, mencione que axioma no cumple.
1. Definase∗ en Zpor a∗b =ab 2. Definase∗ en Zpor a∗b =a−b 3. Definase∗ en R+ por a∗b=ab 4. Definase∗ en Qpor a∗b =ab
5. Definase∗ en el conjunto de todos los n´umeros reales distintos de cero por a∗b =ab 6. Definase∗ en Cpor a∗b =a+b
7. D´ese una tabla para una operaci´on binaria en el conjunto {e, a, b} de tres elementos que cumplan los axiomas de la identidad e inverso de grupo, pero no se cumpla la asociatividad. 8. SeaG el conjunto de todos los n´umeros reales excepto −1. Def´ınase ∗ enG por:
a∗b =a+b+ab
a) Muestre que ∗ da una operaci´on binaria.
b) Muestre que hG,∗i es un grupo.
c) Encuentrese la soluci´on de la ecuaci´on 2∗x∗3 = 7 enG.
9. Demuestre que todo grupo G con identidad e tal que x∗x = e para todas las x ∈ G, es abeliano. (Sugerencia: consid´erese (ab)2.)
10. Demuestre que un conjunto no vac´ıoGjunto con una operaci´on binaria ∗enGtal que las ecuaciones
a∗x=b y∗a=b tienen soluciones en Gpara todas las a, b∈G, es un grupo.
11. En R+ se define ∗mediante
a∗b= 2ab Verificar que hR+,∗ies grupo abeliano.
12. En el conjunto Cde los n´umeros complejos se considera ∗ definida por: a∗b =a+b−i
Probar que hC,∗ies grupo abeliano.
13. En RI ={f /f : [0,1]→R} se define la suma de funciones por medio de:
(f +g)(x) = f(x) +g(x) Demostrar que hRI,+i es grupo abeliano.
14. En el conjuntoN, de los n´umeros naturales, se define la siguiente operaci´on ∗. Dadosa y b cualesquiera pertenecientes a N a∗b=ab+ 1 a) Hallar: 1) (1∗2)∗3 2) 1∗(2∗3) 3) (1∗2)∗(3∗2) 4) (2∗3)∗(2∗1) b) Es asociativa? c) Es conmutativa?
15. Se define la ley de composici´on interna ∗ en el conjunto A = {0,1,2,3} mediante la siguiente tabla: ∗ 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2
Si a y b son dos elementos de A, el resultado de operar a con b se halla en la intersecci´on de la fila a con la columnab.
a) Hallar: 1) 3∗(2∗1) 2) (3∗1)∗2 3) (0∗2)∗(2∗3) 4) (3∗0)∗(2∗2) b) Es conmutativa?
c) Posee elemento neutro?, si es as´ı cual es?
d) Es asociativa?
e) Posee elemento inverso?, si es as´ı cual es?
16. En el conjunto Qde los n´umeros racionales, se define la operaci´on ∗ mediante a∗b = a+b
2 ¿Qu´e propiedades cumple dicha operaci´on?.
17. En el conjunto Z, se establece la siguiente operaci´on ∗: a∗b=a(b+ 1) +b(a+ 1) ¿Qu´e propiedades cumple dicha operaci´on?
18. En el conjunto Q, se definen las leyes de composici´on interna∗ y ◦ mediante: a∗b = a+b
3 a◦b= 3ab Investigar las distributividades de ◦respecto de ∗.
19. En el conjunto Z, se define la ley de composici´on interna∗ mediante: a∗b=a
Probar que hZ,∗ies grupo.
20. En el conjunto R+, se establece la operaci´on ∗ mediante: a∗b =√3ab Determinar si hR+,∗i es grupo abeliano.
21. Demostrar quehR2,+ies grupo abeliano, siendo el conjunto de pares ordenados de n´umero reales, y la suma definida por:
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)
22. Determ´ınese cu´ales de los siguientes subconjuntos de los n´umeros complejos son subgrupos bajo la suma de grupo C de los n´umeros complejos bajo la suma.
a) R
b) Q+
c) 7Z
d) El conjunto iR de los n´umeros imaginarios puros incluyendo 0.
f) El conjunto {πn/n∈Z}
23. ¿Cu´ales de los siguientes grupos son c´ıclicos? Para cada grupo c´ıclico obetener todos los generadores del grupo.
a) G1 =hZ,+i b) G2 =hQ,+i c) G3 =hQ+,·i d) G4 =h6Z,+i e) G5 ={6n/n∈Z} bajo la multiplicaci´on. f) G6 ={a+b √ 2/a, b ∈Z}
24. a) Por analog´ıa, compl´etese la tabla para obtener el grupo c´ıclicoZ6 de 6 elementos (No es necesario probar la ley asociativa)
+ 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 3 4 4 5 5
b) Calcular los subgrupos h1i,h2h,h3i,h4i y h5i del grupo Z6
c) Qu´e elementos son generadores para el grupo Z6 de la parte a) 25. SeaG un grupo y a un elemento fijo de G, muestre que:
Ha ={x∈G/xa=ax}
es un subgrupo de G.
26. Sea H un subgrupo de un grupo G. Para a, b ∈ G sea a ∼ b si y s´olo si ab−1 ∈ H. Demuestre que ∼ es una relaci´on de equivalencia enG.
27. Para los conjuntos H y K def´ınase la intersecci´onH∩K por: H∩K ={x/x∈H∧x∈K}
Demuestre que H ≤G y K ≤G, entoncesH∩K ≤G.
28. Sea A un conjunto no vacio, en el que se han definido dos operaciones, + y ◦ respectiva-mente. Si hA,+i es un grupo abeliano, y se define ◦ mediante
a◦b= 0
29. Probar que la terna hZ2,+,◦i es un anillo conmutativo con identidad. Siendo Z2 el con-junto de pares ordenados de n´umeros enteros, + la suma habitual y ◦definida por:
(a, b)◦(c, d) = (ac, ad+bc) 30. SeahG,∗i un grupo. En G se define la operaci´on ◦ mediante:
a◦b=b∗a Demostrar que hG,◦i es un grupo.
31. SeaG=Q\ {−1}. Definimos la operaci´on binaria en G como a◦b =a+b+ab
Demuestre que hG,◦i es un grupo abeliano.
32. En Zse define la operaci´on binaria ◦como a◦b=a+b+ 1. Demuestre quehZ,◦ies un grupo abeliano.
33. SeaA={1,2} y P(A) el conjunto partes deA. Demuestre que hP(A),a,∩ies un anillo conmutativo con identidad.
34. SeaA un conjunto yP(A). ¿EshP(A),∪,∩i un anillo?
35. Considere el conjunto Z junto con las operaciones binarias ∗ y ◦ definidas por a∗b=a+b+ 1 a◦b =a+b−ab
a) Demuestre que hZ,∗,◦i es un anillo
b) Es conmutativo este anillo?
c) Es un anillo con identidad?
36. Sea n, m enteros fijos. Encuentre todos los valores de n, m para los que hZ,∗,◦i es un anillo con las operaciones binarias
a∗b=a+b−n a◦b =a+b−mab
37. Demostrar que la composici´on de dos homomorfismos de grupos es un homomorfismo. 38. Sea Aut(G) es grupo de los automorfismos del grupo hG,∗i, con la composici´on de
fun-ciones. Demostrar que la funci´on
F :G→Aut(G) definida por F(a) = fa es un morfismo.
40. En A={0,1,2,3} se define la adici´on y multiplicaci´on mediante las tablas + 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 0 3 2 2 2 3 0 1 3 3 2 1 0 · 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 0 0 3 0 1 2 3 Comprobar que hA,+,·i es un anillo no conmutativo y sin identidad.