Coordinación de Matemática I (MAT021)
1er Semestre de 2015
Semana 3: Guía de Ejercicios de Complementos, lunes 23 viernes 27 de Marzo
Clase 1: Teorema del seno y coseno. Resolución de triángulos. Clase 2: Ejercitación.
Contenidos
1. Ejercicios propuestos
1.1. Desde un barco se ve el punto más alto de un acantilado con un ángulo de 75o. Sabiendo que la altura del
acantilado es de 200 m, ¾a qué distancia se halla el barco del pie del acantilado?
1.2. Un teleférico T transporta pasajeros desde la base B hasta la cima de la montaña C. El ángulo de elevación de la cima C respecto de la base es 30◦ y la altura de la montaña es 2300 mt . Si el teleférico va con velocidad constante de 5 m/sg y se inició en B en el tiempo t = 0, a qué altura y a qué distancia de la cima está después de 30 segundos.
1.3. La elevación de un campanario desde un lugar A al sur de él es 45o, y desde un lugar B hacia el oeste de A, la elevación es de 15o. Si AB = 2a, demuéstrese que la altura del campanario es :a(√43 + 1
4
√
3)
1.4. En un círculo de radio 10 se inscribe un pentágono regular (todos sus lados miden lo mismo) . Determinar el área del pentágono.
1.5. Si miro hacia delante, observo un árbol cuya parte más alta tiene un ángulo de elevación de30o, y se encuentra
a 4 m de distancia de mí. Si miro hacia atrás, observo un poste cuya parte más alta tiene un ángulo de elevación de
75o, y se encuentra a 2 m de distancia de mí. Determina la distancia entra las partes más altas de ambos objetos.
(despreciar la altura del sujeto) 1.6. Siα+β= π 2,pruebe que: sin2(α) + sin2(β) = 1 1.7. Pruebe que: tanπ 4 +α −tan (2α) = 1 + tan 2(α) 1−tan2(α) 1.8. Pruebe que: sin (a) + sin (b) cos (a) + cos (b)+ cos (a)−cos (b) sin (a)−sin (b) = 0 1.9. Pruebe que: 4 sinα 3 sin π+α 3 sin π−α 3 = sin (α)
1.11. En el Triángulo:CDes bisectriz del]ACB,Pruebe que: a b = u v 1.12. Sia+b= π2,pruebe que:
(sin (a) + sin (b)) (cos (a) + cos (b)) = 1 + sin2(2a)
1.13. Teorema de Neper o de la Tangente: "La suma de los lados de un triángulo es a la diferencia de ellos como la semisuma de los ángulos opuestos, es a la tangente de la semidiferencia de ellos":
Es decir debemos probar:
a+b a−b =
tanα+2β tanα−2β
Indicación: Utilice el teorema del seno:
a b =
sin (α) sin (β)
para probar que:
a+b a−b =
sin (α) + sin (β) sin (α)−sin (β)
utilice este resultado para probar su tesis. 1.14. Pruebe que:
sin6(α) + cos6(α) = 1−3
4sin
2. Ejercicios propuestos que incluyen respuesta
2.1. Un niño eleva un volantín con una cuerda tensa que forma un ángulo de elevación de 60◦ con la horizontal.
¾A qué altura se encuentra el volantín del suelo si la longitud de la cuerda es de18mts. y el niño mide1,50mts.?
2.2. Desde lo alto de un edicio de25m de altura se obtiene una medición de45◦para el ángulo de depresión entre
el edicio y un quiosco situado en el mismo plano del edicio. ¾A qué distancia se encuentra el techo del edicio del quiosco?
2.3. Un cohete es lanzado a nivel del suelo, en un ángulo constante de 60◦ hasta una distancia de 3000 metros. Determine a qué altura del suelo se encontraba en ese momento.
2.4. Un poste vertical de 40 pies de altura está en una cuesta que forma una ángulo de 17◦ con la horizontal.
Calcula la longitud mínima de cable que llegará de la parte superior del poste a un unto a 72 pies cuesta abajo
(medido desde la base del poste). Tal como indica la gura:
2.5. Una escalera de mano, cuyo pie está jo en la calle, forma un ángulo de 30◦ con el suelo cuando su extremo
superior se apoya en un edicio situado en uno de los lados de la calle, y forma un ángulo de40◦ cuando se apoya
en un edicio situado al otro lado de la calle. Si la longitud de la escalera es de 50mts. ¾Cuál es el ancho de la
calle?.
2.6. Un observador determina que el ángulo de elevación a una torre esA, avanzaamts. hacia la torre y el ángulo
de elevación es 45◦, sigue avanzandob mts., y el ángulo de elevación es(90◦−A). Demostrar que la altura de la
torre es:
H = a·b
a−b
2.7. Dos boyas están apartadas por una distancia de 64,2 mts., y un bote está a 74,1 mts. de la más cercana. El ángulo que forman las dos visuales del bote a las boyas es de 27◦180.¾Qué distancia hay del bote a la boya más
3. Ejercicios resueltos
3.1. Considerando la gura dada, determinar el valor detanβ.
3.2. Para calcular la altura de una montaña, un observador determina que ángulo de elevación es α. Avanza d
metros en dirección a la montaña y observa que ahora el ángulo de elevación esβ. Demostrar que la altura de la
montaña es
h= dsinαsinβ sin (β−α)
3.3. Considere el triángulo de ángulosα, βyγ como el de la gura con ladosa, b yccorrespondientes. Si2α=β
muestre que los lados satisfacen:
b2+c2−a2 bc = b a 3.4. Demostrar 2α+β= π 2 ⇒cosα= r 1 + sinβ 2 .
Respuestas y desarrollos
2.1 17mts. 2.2 25√2metros. 2.3 2598metros. 2.4 92pies 2.5 82mts. 2.6 2.7 120,3mts.3.1 De acuerdo a la gura, tenemos que:
tanβ= x 6, tan(β+α) = 3 x y tanα= 1 x Por lo tanto 3 x= tan(β+α) = tanβ+ tanα 1−tanβtanα= x 6 + 1 x 1−x 6· 1 x
lo cual implica que
3 x= x2+6 6x 5x 6x =x 2+ 6 5x ⇒15 =x 2+ 6 Por lo tanto x2= 9, asíx= 3 Finameltetanβ =36 = 12.
3.2 Para determinar el valor dehutilizamos las razones trigonométricas, notemos que
tanα = h
d+BC
tanβ = h
BC
se sigue
dtanα+BCtanα=h=BCtanβ
así
dtanα=BC(tanβ−tanα)
luego BC= dtanα tanβ−tanα de donde h= dtanαtanβ tanβ−tanα= dsinαsinβ sin (β−α)
3.3 Aplicando el teorema del seno
sin 2α b = sinα a ⇒ 2 sinαcosα sinα = b a de donde cosα= b 2a
por otro lado usando el teorema del coseno
a2=b2+c2−2bccosα así b2+c2−a2 2bc = cosα= b 2a
3.4 Suponga que2α+β =π2, entonces 2α=π2 −β. Luego
cos(2α) = cos(π
2 −β) (1)
= sin(β) (2)
Por otro lado
cos(2α) = cos2(α)−sin2(α) (3) = cos2(α)−1 + cos2(α) (4) = 2 cos2(α)−1 (5) Luego de (2) y (5) tenemos 2 cos2(α)−1 = sin(β) ⇒ cos2(α) = 1 + sin(β) 2 ⇒ cosα= r 1 + sinβ 2 .