Lección 45 Ecuaciones Algebraicas En la lección 44 aprendimos acerca

Lección 45

Ecuaciones Algebraicas

3 + 4(5) = 27 - 4 3x + 5 = 4x – 2 17 = 10 – y

Usted puede saber que estas son todas ecuaciones porque tienen el signo de igual (=) entre ellas.

La primera es una ecuación numérica porque ambas expresiones son numéricas. (no tienen letras), Si ambas o al menos una de las expresiones contienen una sola letra o más entonces se le llama ecuación algebraica.

DEFINICIONES:

Ecuación: Una afirmación (en términos algebraicos) de que dos expresiones son iguales. Una ecuación consiste en dos

expresiones con un signo de igual (=) entre ellas.

Ecuación Numérica: Una ecuación en la cual ambas expresiones, la que está antes y la que está después del signo de igual (=) son expresiones numéricas. Una expresión numérica no contiene letras. Ecuación Algebraica: Una ecuación en la que una o ambas expresiones es una expresión algebraica. Una ecuación algebraica contiene una o más letras. Ejemplo:

Determinemos si las siguientes expresiones son o no son ecuaciones. Si son ecuaciones determinemos si son numéricas o algebraicas. a) x2 _{+ 7x = 5x – 3} b) x + 6y c) 4(3) – 8 = 16 ÷ 2 d) 2y - 3 = a) x2 _{+ 7x = 5x – 3 es una}

ecuación algebraica porque contiene dos expresiones

algebraicas con un signo de = entre ellas.

b) x + 6y no es una ecuación porque no contiene el signo de igual. (=)

c) 4(3) – 8 = 16 ÷ 2 es una ecuación numérica. Tiene dos expresiones numéricas con un signo de igual entre ellas. No es una ecuación algebraica porque no contiene ni una letra.

d) 2y - 3 = Esta no es una ecuación. Si tiene un signo de igual pero no hay otra expresión para compararlas. Una ecuación debe tener dos ecuaciones con el signo de igual entre ellas.

Hágalo usted:

Decida si estas dos expresiones son ecuaciones.

5 = 3y + 2 8x - 2y + 3

Para la primera, esa si es una ecuación algebraica, tiene un signo de igual entre ambas y tiene una letra. Al haber por lo menos una letra en cualquiera de las dos ecuaciones le indica a usted que esta es una ecuación algebraica.

La segunda no es ninguna ecuación, no tiene signo de igual , por lo tanto es solamente una expresión.

Ejercicio 6

Indique si las siguientes son ecuaciones algebraicas. Conteste si o no.

1) 90 = 8 – 3x 2) 2a - 6b + 15 3) 3c – 6 = 2c 4) 6x = 0 5) 10 – 3b 6) 52 _{– 3}2 _{= 4}2 Respuestas: 1) Si 2) No 3) Si 4) Si 5) No

La raíz de la ecuación

Suponga que una ecuación algebraica contiene solamente una letra aunque más números.

Ejemplo: x + 2 = 37 + 1

Si usted pone un número en lugar de la letra usted obtendría una ecuación numérica.

(36) + 2 = 37 + 1

Si el número que puso hace que la primera expresión se vuelva igual a la otra entonces el número que usted puso y que permitió a la primer expresión volverse igual a la otra se le llama RAIZ DE LA ECUACIÓN.

Dicho de otra forma, si la ecuación numérica resultante es verdadera, o sea que realmente el número que usted puso es la que se necesita para resolver la ecuación entonces ese número que usted puso allí en lugar de la letra se llama la raíz de la ecuación.

Algunas veces la palabra solución es utilizada en lugar de raíz. Usted puede comprobar si un número es la raíz de la ecuación reemplazando la letra con un número. Si la expresión en el lado izquierdo del signo = tiene el mismo valor que la otra del lado derecho entonces si es la raíz.

Definición:

Raíz: Cualquier número que, cuando se pone en lugar de una letra en una ecuación algebraica hace que los dos lados se vuelvan iguales.

Ejemplo:

Averigüe si (x = 6 ) es la raíz de la ecuación:

3x + 5 = 4x –2

Para determinar si x = 6 es la raíz de la ecuación reemplace las x con 6 en la ecuación y luego simplifique.

Primer paso:

Escriba de nuevo la ecuación reemplazando las x con 6.

3x + 5 = 4x –2 3(6) + 5 = 4(6)-2 Segundo paso:

Simplifique ambos lados de la ecuación. 3(6) + 5 = 4(6)-2

18 + 5 = 24 –2 23 = 22 Paso tres:

Al comparar los valores usted se da cuenta que 23 no es lo mismo que 22 por lo tanto la ecuación numérica

3(6) + 5 = 4(6)-2 no es verdadera, es falsa. x = 6 NO es la raíz. Descubra si x = 7 es la raíz de la ecuación: 3x + 5 = 4x - 2 Primer paso: 3x + 5 = 4x - 2 3(7) + 5 = 4(7) – 2 Segundo paso: 21 + 5 = 28 – 2 26 = 26

Al comparar los valores de ambos lados nos damos cuenta que son iguales, por lo tanto la ecuación numérica es verdadera. x = 7 SI es la raíz de la ecuación. Hágalo usted: Determine si y = 1 es la raíz de la ecuación: 12 – 5y = 2y + 5 12 – 5(1) = 2(1) + 5 7 = 7 y = 1, si es la raíz de la ecuación.

Resolver ecuaciones no es cosa del otro mundo, simplemente se trata de sustituir un valor con otro, lo mismo que sustituir una palabra desconocida por otra como lo hicimos con las dos palabras en inglés por dos en español.

Cuando resolvemos una ecuación algebraica usted trata de hallar el valor que hacen que esa ecuación sea verdadera. La letra en la ecuación se llama incógnita. La manera más fácil es concentrarse en encontrar el valor de la incógnita en un solo lado y los valores numéricos en el otro.

Ejemplo:

3 + x = 15

Esta es una operación de suma, para resolver este tipo de ecuación sume el número opuesto en los dos lados para aislar la incógnita.

3 + x = 15

-3 -3

0 + x = 12

Respuesta: x = 12

En la primera parte la expresión decía que: 3 + x es igual a 15

Nuestro trabajo consistió en averiguar cuanto vale la x, mentalmente ya lo

sabíamos pero se debe demostrar matemáticamente.

Para aislar o averiguar el valor de x lo que hicimos es sumar el número opuesto de la primer parte de la expresión a los dos lados.

El número opuesto de 3 es -3, de la misma forma que el opuesto de 1 es –1 y así con todos. (Recuerde la Línea Numérica).

Así que sumamos -3 a 3 porque –3 es el opuesto de 3. Se le suma –3 también a 15. Después de efectuar la operación 3 + (-3) = 0, y 15 + (-3) = 12. La respuesta es que: x = 12

.RESPUESTA: 3 + x = 15 3 + 12 = 15

Ahora hágalo usted: -3 + x = 15

El opuesto de (-3) es 3. - 3 + x = 15 + 3 +3 = 0 = 18 x = 18 Respuesta: -3 + 18 = 15

Esta es la regla de suma.

Recuerde que la base de todo este sistema es la Línea Numérica y las leyes de signos. Asegúrese de conocer perfectamente estas reglas.

Para hallar la incógnita en una multiplicación usted divide ambos lados de la ecuación por el mismo número. Veamos:

3x = 15

3 ÷ 3 = 1 15 ÷ 3 = 5 Respuesta: x = 5

Para aislar la incógnita en una división usted multiplica los dos lados de la ecuación por el mismo número.

x

3(5) = --- (5)

5

15 = x

1) En el cuadrito se dice que el 3 es igual a “x dividido entre 5”

La regla dice que debemos multiplicar ambos lados de la ecuación por el mismo número.

Quiere decir que 3 x 5 es igual que x/5 multiplicado por 5.

3*5 = 15, esta operación es lo mismo que x/5 multiplicado por 5.

Si 15 es igual a x, al poner el 15 en el lugar de la x y dividirlo entre 5 debe dar el resultado de 3. Sale o no sale?

Para resolver ecuaciones algunas veces debemos efectuar más de un solo paso. Hay ecuaciones en las que usted debe sumar y luego multiplicar o dividir.

Siempre sume primero, luego multiplique o divida. Es muy buena idea chequear la x

3 = ___ 5

respuesta poniendo el número resultante de la operación en el lugar de la letra (incógnita) de la ecuación original.

Veamos esta ecuación que tiene

más de un paso:

Si 9y + 2 = 20 entonces y = ___? Para resolver la ecuación primero sume y después divida.

9y + 2 = 20 -2 -2

0 18

9y = 18

ahora divida ambos lados por 9 9 ÷ 9 = 1

18 ÷ 9 = 2 y es igual a 2

Cheque su respuesta sustituyendo la y por el 2.

9(2) + 2 = 20

(9 * 2 = 18) + 2 = 20

Ahora pruebe usted:

Si r ÷ 2 = 5 entonces r = ______? Multiplicó ambos lados por 2 para deshacer la división?

Respuesta: r = 10

Ahora pruebe a hacer esta de dos pasos: (7p – 4 = 24) p = ? 7p – 4 = 24 p = ? +4 +4 0 28 7p = 28 7 ÷ 7 = 1 28 ÷ 7 = 4 p = 4

Primero debió sumar el número opuesto de 4 que es +4 a ambos lados.

Luego debió dividir ambos lados por 7 y obtener la respuesta de (p = 4)

Ejercicio 7

Que número debe sumar a ambos lados para aislar la incógnita?

1) x + 3 = 5 2) x – 3 = 5

3) 4 + x = 9 4) –4 + x = 8

Por que número debe usted dividir ambos lados para aislar estas incógnitas?

5) 4x = 24 6) 68 = 34x 7) ½ x = 12

Por cual número hay que multiplicar ambos lados para aislar la incógnita? 8) x/3 = 3 9) y/5 = 2 10) r/3 = ½ Respuestas: 1) -3 2) +3 3) –4 4) +4 5) 4 6) 34 7) ½ 8) 3 9) 5 10) 6

INCÓGNITAS EN AMBOS LADOS DE LA ECUACIÓN.

Algunas veces, una ecuación tendrá letras o incógnitas a ambos lados de la ecuación. Para poder resolverla debe poner las incógnitas hacia un solo lado.

Recuerde que lo que se le hace a un lado también se le hace al otro, no importa por cual lado comience usted.

EJEMPLO:

Cual valor tiene x si 12 – 5x es igual a 2x + 5

Primer paso:

Ponga las incógnitas en un solo lado. Una forma fácil es la de sumar 5x a cada lado.

12 + -5x = 2x + 5

+5x +5x

12 -0 = 7x + 5

Aísle la incógnita sumando –5 a cada lado.

12 -0 = 7x + 5

-5 -5+

Para encontrar el valor de x divida ambos lados por 7.

7 7x

7 7

7 ÷ 7 = 1 o sea que x = 1.

Recuerde que siempre puede chequear si su trabajo esta correcto poniendo la respuesta en la ecuación original para ver si obtiene una ecuación numérica.

Ahora le toca a usted! Encuentre el valor de f si 8f +5 = 14 + 11f

Sume 8f a cada lado primero, eso debe darle 5 = 14 + 3f. Luego sume -14 a cada lado para aislar 3f. Si lo hace bien debe obtener -9 = 3f. Finalmente debe dividir cada lado por 3 para deshacer la multiplicación. Su respuesta debe ser -3 = f.

Si un lado de la ecuación tiene mas de una incógnita combine términos

iguales primero y luego resuelva. Por ejemplo,

4r – 5 – r = 13 – 2r – 4r primero debe cambiarse a suma 4r + -5 + -r = 13 + -2r + -4r.

Ahora combine los términos iguales para obtener 3r + -5 = 13 + -6r. Luego trabaje como siempre.

UTILIZAR ECUACIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS.

Los problemas casi siempre pueden ser traducidos a ecuaciones. Luego usted puede resolver la ecuación para descubrir la incógnita. Primero asegúrese de conocer que clase de incógnita debe encontrar . Llame a esa incógnita x o y o lo que sea que usted desee. Ahora traduzca el problema en una ecuación conteniendo la letra que usted uso para indicar la incógnita. EJEMPLO:

El promedio de punteo de una serie de exámenes es encontrada dividiendo el numero total de puntos de todos los exámenes por el numero de exámenes que fueron

hechos. Después de 8 exámenes Esli descubrió que su promedio es de 85 puntos. Cual es el total de puntos por todos los exámenes? PRIMER PASO

Encuentra lo que se le pregunta. Llame a esto x. Ahora usted debe encontrar el total de puntos en todos los exámenes. Entonces x representa la suma total de punteo. SEGUNDO PASO.

Escriba el problema

Puntos totales, = Promedio Numero de tests

Escriba números y una x en el lugar donde falta información.

x = 85 8

Resuelva la ecuación.

Hágalo usted!

En una clase había dos veces mas mujeres que hombres. En total eran 186 personas. Cuantas son mujeres?

Que el número de hombres sea representado por x, ahora bien, el numero de mujeres es el doble de

eso o 2x. La ecuación es entonces x + 2x = 186. Para resolver sume x y 2x para obtener 3x, quiere decir que 3x = 186. Si divide ambos lados por 3 usted obtiene 62. La respuesta es 62 * 2 = 124 mujeres. EJERCICIO 7E

Escriba ecuaciones para estos problemas, no necesita resolver las incógnitas.

1) Lina compro 3 blusas que estaban en oferta. Cada una cuesta lo mismo. El impuesto total fue de Q2.00, en total ella pago Q47. Cuanto cuesta cada blusa? Represente b por el costo de cada blusa.

2) Jeffry escribe ¾ de paginas en una hora de lo que Linda hace. En la ultima hora de la tarde Jeffry y Linda escribieron en total 14 paginas. Cuantas paginas en una hora hace Linda? Que p represente el numero de paginas que Linda hace.

3) Marco tiene un promedio de 76 en sus primeros tres exámenes de Historia. Después del próximo examen, su promedio es de 78. Cual fue el punteo de su cuarto

examen? Que x represente el punteo en su cuarto test.