Resumen. La modelación matemática ha ido ocupando un lugar importante tanto en los planes y programas educativos como en la investigación en Matemática Educativa. Con el objetivo de generar actividades didácticas basadas en modelación matemática adaptadas a la formación de futuros ingenieros. Se propuso una metodología para el diseño de actividades didácticas que consta de cuatro fases y que se apoya en el modelo praxeológico extendido de la Teoría Antropológica de lo Didáctico.
Palabras clave: Metodología, modelación matemática, actividades didácticas
Abstract. Mathematical modeling has been filling an important place in the plans of educational programs and Mathematics Education research. With the objective to create learning activities based on mathematical modeling adapted to the training of future engineers, we consider educational activities by a math teacher in a course of Teaching Mathematics model. They proposed a methodology for the design of educational activities consisting of four phases steps, which is based on the model and the method praxeological method, extending with the anthropological didactic theory.
Key words: Methodology, mathematical modeling, learning activities
Introducción
La mayori
́
a de las formaciones de futuros ingenieros siguen un modelo de formacio
́
n que se divide
en dos grandes tipos: ba
́
sica y de especialidad. Los cursos de matema
́
ticas ocupan un lugar
importante en nu
́
mero de horas dentro de la formacio
́
n ba
́
sica. Es
ta es señalada como generadora
de herramientas u
́
tiles para la formacio
́
n de especialidad, por lo cual la antecede, y para la pra
́
ctica
profesional. Diferentes investigaciones han mostrado que las necesidades matema
́
ticas del
ingeniero se han modificado con la omnipresencia de programas computacionales que permiten
realizar el trabajo matema
́
tico que antes se haci
́
a a la
́
piz y papel (Kent y Noss 2002; Kent, 2007;
Alberti
́
et. al. 2010; y Romo-
Va
́zquez 2009 y 2010). Estas y otras investigaciones (Pollak 1988
y
Bissell 2002) reconocen que en la pra
́
ctica existen dos tipos de necesidades matema
́
ticas:
avanzadas (requieren nociones matema
́
ticas avanzadas) para comprender los modelos matema
́
ticos
y básicas (técnicas y procedimientos matemá
ticos ba
́sicos) para
operacionalizar los modelos
matema
́ticos. Bissell (2000 y 2002) reconoce que el uso de modelos matemáticos en la prá
ctica no
atiende a una construccio
́
n del modelo matemático sino a diferentes refinamientos y adaptaciones
para situaciones específicas. Para abordar este problema de investigación en Macias (2012) se
analizó primeramente el programa de a
́
lgebra lineal del Tecnológico de Estudios Superiores de
Cuautitlán Izcalli, lo que nos permitió ver que en sus objetivos se reconoce a la modelizacio
́
n
mate
ma
́
tica (asociada al uso de modelos lineales) como la que permite caracterizar muchos de los
METODOLOGÍA PARA EL DISEÑO DE ACTIVIDADES DIDÁCTICAS BASADAS EN
MODELACIÓN MATEMÁTICA
María del Consuelo Macias González y Avenilde Romo Vázquez
Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán, Izcalli.
Instituto Politécnico Nacional.
México
[email protected], [email protected]
fenómenos de la ingeniería. El interés de enseñar esta materia es que los estudiantes puedan
modelar dichos feno
́menos, resolver problemas de aplicación e interp
retar soluciones. Aunque no
se precisan los dispositivos dida
́
cticos que lo permitiri
́
an, consideramos que estos elementos son
de suma importancia en la formacio
́
n de especialidad y en
la pra
́
ctica de los ingenieros.
Considerando la problemática antes expuesta, uno de los objetivos que condujo la investigación de
Macias (2012) fue el de proponer una herramienta metodológica para el diseño de actividades
didácticas de modelización matemática para una formación de ingenieros. Dicha metodología se
basa en el modelo praxeológico extendido Castela y Romo (2011), el cual presentamos a
continuación.
El modelo praxeológico extendido
En el modelo praxeológico clásico propuesto por Chevallard (1999) se reconoce a la praxeología
[
T,
τ
,
θ
,
Θ
], como una unidad mínima de análisis de la actividad humana, sus cuatro componentes
son: tipo de tarea
T
,
técnica
τ
, tecnología
θ
y teoría
Θ
. La tarea es lo que se hace, la técnica es la
manera en que se hace, la tecnología es un discurso que produce, justifica y explica la técnica, la
teoría a su vez produce, justifica y explica la tecnología. El modelo praxeológico extendido
considera, a diferencia del clásico, dos componentes tecnológicas: teórica
θ
thy práctica
θ
p.
Particularmente, la componente práctica es un discurso que tiene seis funciones que permiten,
describir, validar, explicar, facilitar, motivar y evaluar el uso de técnicas matemáticas en referencia
a instituciones usuarias, no necesariamente matemáticas. El modelo puede expresarse de la
siguiente manera:
Donde
P(S)
designa la institución productora de saberes e
I
ula institución usuaria de dichos
saberes. Asumimos que para resolver tareas en contextos extra-matemáticos el
uso
de saberes y
más precisamente de modelos matemáticos, se hace mediante técnicas matemáticas validadas por
saberes matemáticos
θ
th. El uso de la técnica (reconocimiento de la naturaleza de la tarea, elección
de la técnica más óptima, reconocimiento del contexto en el que se usa, adaptaciones de la técnica
al contexto, etc.) es validado por saberes prácticos
θ
p, legitimados por
I
u.
Las seis funciones de la componente tecnológica práctica se precisan en Castela y Romo (2011).
Asumimos que el uso de saberes y modelos matemáticos se hace mediante técnicas matemáticas
que provienen del modelo mismo y/o de otros saberes matemáticos. La adaptación de modelos
matemáticos para resolver tareas no matemáticas exige además de tecnologías teóricas,
Iu S P T p th ← ← ,Θ ( ) , , θ θ τ
del modelo matemático para resolver tareas no matemáticas, asegurar su eficacia en contextos
extra-matemáticos, determinar los elementos contextuales/prácticos necesarios para poder
adaptar/trasponer/usar dicho modelo. Asimismo, estas tecnologías permiten interpretar los
resultados obtenidos a través del modelo en relación al contexto en el que se está utilizando.
Dentro del modelo praxeológico extendido las validaciones teóricas (matemáticas) están
intrínsecamente relacionadas con las validaciones prácticas, separarlas corresponde sólo a un
objetivo metodológico que permita describir su naturaleza. Tanto la noción de praxeología como
el modelo praxeológico extendido nos permiten sustentar la metodología desarrollada para el
diseño de actividades didácticas de modelación, la cual presentamos a continuación.
Metodología para el diseño de actividades basadas en modelización matemática
Para el diseño de actividades didácticas basadas en modelización matemática se proponen cuatro
fases:
1.
Elección del contexto extra-matemático (aunque podría considerarse un contexto
matemático) de la actividad
2.
Naturaleza de la actividad, problema, ejercicio, praxeología mixta
3.
Elegir y describir el modelo matemático en uso
4.
Describir los conocimientos y técnicas matemáticas necesarias para resolver la actividad
1) Elección del contexto de la actividad
Las actividades didácticas basadas en modelización matemática pueden ser propuestas en contextos
no matemáticos, la elección del contexto podría hacerse buscando que éste sea cercano al
estudiante, de manera que le permita asociar un significado contextual al modelo matemático en uso.
Es decir, se asume que los conocimientos sobre el contexto podrían favorecer la
generación/construcción de conocimientos/significados sobre el modelo matemático en uso. Aunque
lo anterior parece tener sentido y puede ser apoyado en diferentes teorías didácticas, puede resultar
muy complejo en los niveles básico y medio superior, pues no es fácil encontrar un contexto que sea
cercano a cada estudiante del grupo. En el nivel universitario podría decirse que las matemáticas se
enseñan por considerarlas una disciplina útil tanto para la formación básica como para la de
especialidad, a menos que sea una formación de futuros matemáticos. Por lo que una alternativa sería
investigar sobre el uso de modelos matemáticos en las disciplinas de especialidad y/o en la práctica.
Una complejidad que tendría que enfrentarse es que tanto las disciplinas como la práctica obedecen a
sus propias lógicas y por tanto es necesario comprenderlas, al menos en cierta medida, para poder
elegir el contexto de uso de dichos modelos.
2) Naturaleza de la actividad, problema, ejercicio, praxeología mixta
Las actividades de modelización pueden contener praxeologías matemáticas y/o praxeologías mixtas.
Una praxeología matemática está compuesta por una tarea matemática (consigna), que se resuelve a
través de una técnica matemática (manera de hacer/procedimiento), justificada, validada, explicada
por una tecnología matemática (lo que valida la manera de hacer) y ésta a su vez por una teoría
matemática (que valida de manera más general la tecnología y por tanto la técnica).
Una praxeología mixta puede contener elementos matemáticos y no matemáticos. Por ejemplo, una
tarea no matemática resuelta a través de una técnica matemática, solicita por tanto una validación
matemática pero también validaciones no matemáticas relativas a la naturaleza de la tarea. Sin
embargo, este tipo de praxeologías va a solicitar a su vez validaciones no matemáticas, de tipo
experimental por ejemplo o validaciones relacionadas al contexto en el que se inscribe la tarea. La
componente tecnológica (justificación/explicación/validación) en este caso puede ser matemática es
decir teórica
θ
thy/o práctica
θ
p.
Dependiendo del tipo de praxeologías podrá explicitarse la componente teoría
Θ
relacionada a la
tecnología teórica, la cual sería una teoría de la disciplina matemática o bien de la matemática escolar.
Asimismo, dependiendo del tipo de tarea y del contexto que la produce habrá una instancia, no
exactamente teórica, pero que valide de manera más general la tecnología práctica.
Caracterización de tipo de tareas
!
Tareas matemáticas
Las tareas matemáticas son consignas que solicitan una técnica (resolución) y una solución
matemática. Por ejemplo:
Encontrar los máximos y mínimos de la función
Esta tarea requiere que se encuentren máximos y mínimos, para realizarla es necesario movilizar los
conceptos de máximos y mínimos así como las técnicas matemáticas asociadas a éstos. Otro ejemplo
es:
Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva:
Para realizar esta tarea, al igual que la anterior, es necesario movilizar tanto conceptos como técnicas
matemáticas. En este ejemplo en particular, se requieren los conceptos de ecuaciones de la tangente
y normal, punto de inflexión a una curva.
!
Tareas no matemáticas
En este tipo de tareas la consigna no es matemática, puede requerir o no del uso de una técnica
matemática para realizarla. Algunos ejemplos de tareas no matemáticas:
!
Comprar un helado
!
Elegir un programa de televisión
!
Dormir la siesta
!
Tareas matemáticas en contextos no matemáticos
En este tipo de tareas aparecen en un contexto no matemático, para la tarea en la que se requiera
una técnica matemática para su resolución no necesariamente parece de manera explícita. Por tanto,
requieren un entendimiento del contexto para reconocer la necesidad de utilizar una técnica
matemática para resolver la tarea en cuestión. Su resolución requerirá por tanto un conocimiento de
la técnica matemática pero también del contexto, dicho de otra manera requerirá una adaptación de
la técnica para realizar este tipo de tarea.
Algunos ejemplos de este tipo de tareas se presentan a continuación.
!
Estudiar la actividad eléctrica del cerebro
!
Modelar un motor a corriente continua
Este tipo de tareas puede asociarse a las tareas escolares que aparecen en los libros de matemáticas
reconocidas como “aplicaciones de matemáticas”.
3) Elegir y describir el modelo matemático en uso
Describir el modelo en uso permitirá evidenciar las razones relativas al contexto extra-matemático
por las cuales dicho modelo se ha elegido para resolver tareas del contexto extra-matemático.
Interrogarse sobre los elementos que validan el uso del modelo y en qué condiciones, permitirá
comprender qué elementos contextuales deben considerarse en el diseño de las actividades
didácticas. Por ejemplo, muchos de los modelos matemáticos se usan en condiciones “ideales”, lo
que permite resolver ciertas tareas con mayor facilidad matemática, requiriendo luego la adaptación
de las soluciones obtenidas al contexto de aplicación. Dicha adaptación es hecha en base a ciertos
elementos que la validan y nos parece muy importante reconocer esos elementos para el diseño de
la actividad didáctica, particularmente para analizarlos y ver en qué medida podrían ser considerados
para un contexto de aula. Reconocer las explicaciones del uso, permite saber qué representa cada
elemento del modelo, en qué medida el modelo utilizado permite modelar el contexto (o parte de
éste). Analizar los elementos que favorecen el uso del modelo nos parece evidenciará elementos del
proceso de modelización matemática, en el cual no sólo importa que el modelo matemático permita
resolver un problema del contexto extra-matemático sino que esa resolución sea la menos compleja
y la más cómoda para el usuario. Por tanto, es importante reconocer los elementos que favorecen el
uso y analizar la manera en que podrían ser considerados en el diseño de la actividad didáctica. De la
misma manera, es necesario analizar los elementos motivadores del uso del modelo, esta fase nos
parece que medular para el diseño de las actividades didácticas para la formación de futuros
ingenieros.
4) Describir los conocimientos y técnicas matemáticas necesarias para resolver la actividad
Por último consideramos necesarios describir las tareas que conforman la actividad de
modelización matemática, las técnicas disponibles o que se deben generar para poder realizar estas
tareas. De la misma manera, es necesario describir las tecnologías que sustentan dichas técnicas.
Esta descripción debe hacerse desde un punto de vista didáctico por lo que es necesario explicitar
el objetivo de cada tarea que conforma la actividad, la técnica que permite resolverla y sobre todo
que elementos permiten validarla, explicarla y justificarla. Es importante considerar la naturaleza de
las validaciones, pues éstas serán matemáticas (teóricas) para sustentar la técnica matemática, pero
seguramente surgirán otro tipo de validaciones relativas a la adaptación de la técnica al contexto
de la tarea y sobre todo a la actividad de modelar. Este análisis de las actividades permitirá
anticipar lo que los estudiantes harán al resolver la actividad y de manera más general el lugar que
puede ocupar en su implementación escolar.
Una primera experimentación de la metodología
Esta metodología fue objeto de una primera experimentación siguiendo dos fases: 1) Analizar
modelos matemáticos en un contexto de ingeniería biomédica; 2) Proporcionar la metodología y el
análisis del contexto de la ingeniería biomédica a un grupo de profesores de matemáticas y
solicitarles el diseño de actividades didácticas basadas en modelización matemática.
La primera fase tiene que ver con comprobar la factibilidad del análisis de modelos matemáticos en
uso en un contexto ingenieril. En esta fase, conjuntamente con ingenieros biomédicos de la
Universidad de Guadalajara, se profundizó en el análisis del método de Separación Ciega de Fuentes
(Blind Separation Sources –BSS) en el cual se utilizan vectores y matrices. Una vez analizado y
descrito el método de la BSS se procedió a la segunda fase de prueba de la metodología, en la cual se
buscaba comprobar si a partir de un contexto de uso analizado (disponible) era posible diseñar las
actividades didácticas basadas en modelización matemática. Para llevar a cabo esta segunda fase se
consideró a un grupo de profesores de matemáticas alumnos de la maestría en Matemática Educativa
del Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada (CICATA, unidad Legaria). En
uno de los cursos de la maestría, se les proporcionó a los profesores una descripción del método de
la BSS y la metodología para el diseño de actividades didácticas basadas en modelización matemática.
Los participantes del curso produjeron actividades que constituyen una base para el desarrollo de
secuencias didácticas que pueden ser llevadas al aula. Es decir, las actividades por los profesores son
el resultado de una primera transposición del método de la BSS para ser adaptado a condiciones de
transposición parece efectuarse sobre la descripción de la BSS dada y sobre investigaciones que cada
uno realiza para comprender el principio del método y diseñar actividades aptas a los cursos que
imparten. Para ilustrar lo anterior, presentamos una tarea que propone Luis, participante del curso:
Esta información proviene de la mezcla de diversas fuentes de origen cerebral. Propón una manera
de separar la información inicial X en la combinación de otras representaciones más simples.
Figura 2. Imagen que muestra el profesor Luis en su actividad
