«Si llueve un día, entonces también llueve al día siguiente». Ahora tú aterrizas en el planeta X y:

Explorar

A/ La regla del planeta X.

La inducción matemática es un método para la demostración de una propiedad S(n) que depende de una variable natural.

Expliquemos esto de manera informal realizando una excursión al planeta X. Supongamos que hay un planeta X, similar a nuestro planeta pero con una dife-rencia significativa: el clima en el planeta X está determinado por la siguiente regla:

«Si llueve un día, entonces también llueve al día siguiente». Ahora tú aterrizas en el planeta X y:

A) No llueve el día que llegas. ¿Qué puedes concluir? a) Nunca más lloverá en el planeta X. b) Nunca ha llovido en el planeta X. c) Ayer no llovió en el planeta X. d) Mañana lloverá en el planeta X.

B) Llueve el día que llegas. ¿Qué puedes concluir? e) Siempre llueve en el planeta X. f) Mañana lloverá en el planeta X. g) Ayer llovió en el planeta X.

h) Lloverá todos los días a partir de hoy.

Piensa acerca de cada proposición y encuentra todas aquellas que están garanti-zadas por la regla del clima del planeta X.

B/ Las torres de Hanoi.

El siguiente juego fue inventado por el matemático francés Édouard Lucas y comercializado en 1883.

Reglas de juego.

Sobre un zócalo horizontal están colocadas vertical-mente tres agujas. En estas tres agujas se apilan discos de diámetros diferentes. Inicialmente los discos están apilados sobre una misma aguja por el orden decre-ciente de sus diámetros. El objeto del juego (un solo jugador) consiste en transportar todos los discos sobre otra aguja, desplazándolos uno por uno de tina aguja a otra de manera tal que un disco cualquiera no esté jamás cubierto por otro de diámetro mayor.

• Disposición inicial.

1/ ¿Qué tanto sabes de … ?

Explorar

• Disposición final.

Para ilustrar las reglas del juego, si te encuentras en la siguiente situación:

puedes elegir entre tres posibilidades: desplazar el disco menor para obtener una de las dos situaciones siguientes

o bien desplazar el disco de la aguja central para obtener:

¡A jugar!

Familiarízate con las reglas del juego y encuentra el mínimo número de despla-zamientos a efectuar para transferir una pila de dos discos, de tres discos, de cuatro discos y de cinco discos.

El fin del mundo.

E. Lucas había inventado una historia acerca del juego. «En un templo de Benarés, los sacerdotes han sido encarga-dos por Brahma de transferir una pila de 64 discos de oro. Cuando la pila entera haya sido transferida será el fin del mundo.»

A razón de 30 discos transferidos por minuto, ¿cuál es el lapso que nos separa del fin del mundo?

Curso

1. El principio de recurrencia.

Para demostrar que una propiedad, que depende de un número natural n, es verdadera para todo natural n≥n₀ (n₀ es un natural dado), se procede en tres etapas.

1. Base inductiva: se muestra que la propiedad es válida cuando n = n₀.

2. Paso inductivo: se prueba que SI la propiedad es verdadera para un natural k≥ n₀ (es la hipó-tesis de recurrencia), ENTONCES ella es verdadera para el natural siguiente k + 1.

3. Conclusión: la propiedad es verdadera para todo natural n≥ n₀.

El principio de recurrencia o de inducción completa, es un axioma de la construcción del con-junto _N de los números naturales. Es decir, es una proposición ubicada en el punto de partida de la teoría de los números naturales que desarrollaremos más adelante y que nos permitirá construir el conjunto de los números naturales, que no se deduce de otras proposiciones y en consecuencia no se demuestra.

2. Demostrar por recurrencia.

En la práctica, para demostrar por recurrencia que para todo natural n≥ n₀, una proposición P_n es verdera, se procede en tres etapas:

• se verifica que es verdadera (corrientemente es la parte más fácil);

• se supone que P_n es verdadera para un natural cualquiera n≥ n₀ (es la hipótesis de recurren-cia) y se demuestra entonces que P_n+1 es verdadera, se dice que la propiedad es hereditaria; • se concluye: para todo natural n≥ n₀, P_n es verdadera.

Ejemplo: Demostrar por recurrencia que 1 + 2 + 3 + … + n = , n∈_N*.

• Base inductiva: se muestra que la proposición es verdadera para n = 1: ya que la

suma se reduce al primer término 1; la proposición es entonces verdadera para n = 1. • Paso inductivo: se supone que la proposición es verdadera para un n fijo (n∈_N*):

1 + 2 + 3 + … + n = . Se debe demostrar que la proposición es verdadera para n + 1. Se tiene, de la hipótesis de recurrencia:

1 + 2 + 3 + … + n +(n + 1) = .

La proposición es verdadera para n + 1. • Conclusión:

La propiedad se verifica para n = 1, y como ella es «hereditaria» entonces es verdadera para todo natural no nulo.

Se ha demostrado que para todo n∈_N*, 1 + 2 + 3 + … + n = . P_n 0 n n( +1) 2 ---1 1 1( +1) 2 ---= n n( +1) 2 ---n ---n( +1) 2 ---+(n+1) (n+1) n 2 ---+1 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ (n+1)(n+2) 2 ---= = n n( +1) 2

---Métodos

La suma de los

n

primeros números impares

¿Sabrías demostrar que la suma de los n primeros números impares resulta ser un cuadrado per-fecto?

• Los matemáticos griegos de comienzo de nuestra era llamaban «números cuadrados» a la serie de números definida para n ≥ 1 por C_n = n2. Ellos representaban dichos números con la ayuda de las figuras siguientes.

Esas representaciones gráficas sirven de soporte para la justificación de la propiedad: Para todo natural n ≥ 1: 1 + 3 + 5+ … + (2n – 1) = n2.

• Gauss en 1796 (a los nueve años), lo hubiera demostrado así: Llamemos S_n a la suma de ellos, que la escribiremos de dos maneras:

Sumemos: 2S_n = 2n + 2n+ 2n + ... + 2n + 2n = 2n2

Luego S_n = n2.

Ahora, trataremos de hacerlo por inducción. La cosa va bien para el primer impar: Base inductiva: S₁ = 1 = 12.

Paso inductivo: Supongamos que es cierto que, cuando sumamos los n primeros impares, resulta S_n = 1 + 3 + 5 +... + 2n−3 + 2n−l = n2.

Veamos que pasa con los n + 1 primeros impares. ¿Cuál es su suma? S_n+1=1 + 3 + 5 +… + 2n-3 + 2n−l + 2n+l Usando la hipótesis inductiva resulta que:

S_n+1 = S_n + (2n + 1) = n2 + 2n+ 1 = (n+ 1)2. Conclusión:

Por tanto, al ser cierto que S_n+1 = (n+ 1)2, es cierto para todo natural la propiedad: 1 + 3 + 5 +... + 2n−3 + 2n − l = n2.

Desigualdades y recurrencia.

Sea la proposición S(n):

2n > n.

Probaremos que la proposición es verdadera para todo natural mayor que 1. Base inductiva:

S(1) dice 21 > 1. La cual es verdadera. Paso inductiva:

Supongamos S(n): 2n > n para algún natural n≥ 1.

S(n) ⇒S(n+1): 2n + 1 = 2×2n > 2n = n + n ≥ n + 1. Conclusión:

Por lo tanto la proposición 2n > n es válida para todo natural mayor que 1.

S_n = 1 + 3 + 5 + … + 2n−3 + 2n−1 S_n = 2n−1 + 2n−3 + 2n−5 + … + 3 + 1

Curso

3. Definiciones por recurrencia.

El factorial de

n

.

Además de las demostraciones por inducción o recurrencia están las definiciones recursivas. Así por ejemplo, el número n!, que se lee factorial de n se define como el producto de todos los números naturales, no nulos, menores o iguales a él: n! = 1×2×3×…×(n − 1)×n

Por ejemplo: 3! = 6; 2! = 2; 5! = 120.

Sin embargo se puede definir recursivamente para evitar esos misteriosos puntos suspensivos y para que quede definido para todo número natural inclusive el 0:

El símbolo de sumatoria.

Otra definición que encierra una notación conveniente para escribir una suma de n términos: a₀ + a₁ + a₂ + …+ a_n−1

es mediante el símbolo de sumatoria:

empleando la letra griega sigma mayúscula, Σ, para designar la suma de los números obtenidos variando i desde 0 hasta n − 1.

Así por ejemplo: = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

Para definir el símbolo de sumatoria con más precisión nos hace falta una definición recursiva:

En la práctica se usa todo tipo de modificaciones en este símbolo de sumatoria que quedan per-fectamente sobreentendidos. Así por ejemplo es claro el significado de: .

Propiedades de la sumatoria.

Son inmediatas las siguientes propiedades de la sumatoria. Si a_i y b_i son expresiones que depen-den de una variable natural i:

0! = 1 n+1 ( )! = n!×(n+1) ⎩ ⎨ ⎧ a_i i=0 i=n–1

∑

i2 i=1 i=4

∑

a_i i=0 i=0

∑

= a₀ a_i i=0 i=n+1

∑

a_i i=0 i=n

∑

+a_n+1 = ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ a_i i =1 i≠5 i=n

∑

Linealidad: ; para α constante.

Telescópica: ; Aditividad: para 0 ≤p< n.

a_i±b_i ( ) i=0 i=n

∑

a_i b_i i=0 i=n

∑

± i=0 i=n

∑

= αa_i i=0 i=n

∑

α a_i i=0 i=n

∑

= a_i+1–a_i i=0 i=n

∑

= a_n+1–a₀ a_i i=0 i=n

∑

a_i a_i i=p+1 i=n

∑

+ i=0 i=p

∑

=

Métodos

Cálculo de una sumatoria.

Calcula la siguiente sumatoria: . Por definición de sumatoria tienes que:

= (2 + 3×1) + (2 + 3×2) + (2 + 3×3) + (2 + 3×4) + (2 + 3×5) + (2 + 3×6) = 75.

Sumatoria y recurrencia.

es la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales no nulos.

Probar, por recurrencia, que .

Solución. Base inductiva:

La propiedad es verdadera para n = 1 porque y .

Paso inductivo.

Se supone la propiedad verdadera para n (hipótesis de recurrencia) y se la demuestra para n+ 1,

es decir: (tesis de recurrencia).

Observa que la conclusión es: .

Se sabe que: ; reemplazando ,

= . Conclusión:

La propiedad se verifica para n = 1, y como ella es «hereditaria» entonces es verdadera para todo natural no nulo.

Se ha demostrado que para todo n∈N*, .

2+3i ( ) i=1 i=6

∑

2+3i ( ) i=1 i=6

∑

i2 i=1 i=n

∑

i2 i=1 i=n

∑

n n( +1)(2n+1) 6 ---= i2 i=1 i=1

∑

= 12 = 1 1 1( +1)(2+1) 6 --- = 1 i2 i=1 i=n+1

∑

(n+1)(n+2)(2(n+1)+1) 6 ---= i2 i=1 i=n+1

∑

(n+1)(n+2)(2n+3) 6 --- (n+1) 2n 2 7n 6 + + ( ) 6 ---= = i2 i=1 i=n+1

∑

i2 i=1 i=n

∑

+(n+1)2 = n n( +1)(2n+1) 6 ---+(n+1)2 i2 i=1 i=n+1

∑

i2 i=1 i=n

∑

+(n+1)2 n n( +1)(2n+1) 6 ---+(n+1)2 n n( +1)(2n+1) 6(n+1) 2 + 6 ---= = = n+1 ( )(2n2+7n+6) 6 ---i2 i=1 i=n

∑

n n( +1)(2n+1) 6 ---=

Ejercicios

Símbolo

Σ.

Desarrolla término a término las siguien-tes expresiones y halla su valor.

a) ; b) ; c) :d) ;

e) ; f) ; g) .

Simplifica las siguientes expresiones mediante una sola sumatoria:

a)

b)

c)

d)

Expresa mediante el símbolo de sumato-ria las siguiente sumas:

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g)

Símbolo

Σ

y recurrencia.

Encuentra una fórmula para: a) ;

b) .

Demuestra por recurrencia sobre n que: si r≠ 1.

Demuestra por recurrencia que para todo natural n≥ 1 se tiene:

Demuestra por recurrencia que para todo natural n≥ 1 se tiene:

.

Desigualdades y recurrencia.

¿Para qué valores de n∈_N se cumple: 2n > n + 1?

Prueba la fórmula por recurrencia para n ≥ 2. Demuestra por recurrencia que para todo natural n≥ 1 se tiene: .

Prueba que 2n > n2 es verdadera para todo n≥ 5.

Demuestra que las siguientes desigual-dades son válidas a partir de un cierto natural n. a) n2 > 2n + 1. b) 2n + 2 < 3n + 1. c) n2 > 8n + 5. d) n3 > 5n2 + 3n + 8. e) n! > 2n. La desigualdad de Bernoulli. Si x∈_Ry x > −1, entonces: para todo n∈_N.

Geometría y recurrencia

Prueba que n rectas de un plano, secantes dos a dos, determinan sobre éste, regiones que pueden colorearse con dos colores, de tal forma que dos regiones vecinas cualesquiera (o sea, regiones cuya frontera es un segmento común) tengan colores diferentes.

1 . 2i i=1 5

∑

(2i+3) i=2 6

∑

1 2i ---i=1 4

∑

2 i2 ----i=3 6

∑

i–5 ( ) i=3 7

∑

(i2+2) i=1 5

∑

(i2+2i) i=1 5

∑

2 . i2–1 ( ) i=1 20

∑

(i2–1) i=1 16

∑

– 5i–6 ( ) i=1 200

∑

(5i–6) i=1 54

∑

– i–4 ( ) i=10 25

∑

(i–4) (i–4) i=10 36

∑

– i=26 54

∑

+ 3i–2 ( ) i=0 200

∑

(3i–2) i=201 201

∑

+ 3 . 2+4+6+…+2n 4+8+12+… 1+4+7+…+(3n–2) 1 2 --- 1 22 --- 1 23 --- … + + + 1×2+3×4+5×6+… 1×2×3+2×3×4+3×4×5+… 1 1×2×3 --- 1 2×3×4 --- 1 3×4×5 --- … + + + 4 . 2i–1 ( ) 1 n

∑

= 1+3+5+…+(2n–1) 2i–1 ( )2 1 n

∑

= 12+32+52+…+(2n–1)2 5 . 1+ +r r2+…+rn 1 r n+1 – 1–r ---= 6 . 13+23+…+n3 (1+2+…+n)2 n n( +1) 2 ---⎝ ⎠ ⎛ ⎞2 = = 7 . 1 1×2 --- 1 2×3 --- 1 3×4 --- … 1 n×(n+1) ---+ + + + n n+1 ---= 8 . 9 . 1×2×3×…×n≥2n–1 10 . 11 . 12 . 1+x ( )n 1+nx ≥ 13 .

Ejercicios

Halla una fórmula que permita calcular el número de diagonales de un polígono convexo de n lados.

Divisibilidad y recurrencia.

Demuestra que n3 – n es múltiplo de 6. Demuestra que n2 (n2– 1) es múltiplo de 12.

Demuestra que 10n – 3n es múltiplo de 7. Demuestra que 24n – 1 es múltiplo de 15. Demuestra que 33n + 2 + 2n + 4 es divisi-ble entre 5.

Demuestra que n(n + 1)(2n + 1) es múl-tiplo de 6.

Demuestra las siguientes propiedades:

Prueba que para todo n∈_N se cumplen las siguientes propiedades:

Halla a y b sabiendo que la siguiente fór-mula se verifica para n = 1 y n = 2.

Para los valores de a y b obtenidos demuestra que la fórmula vale para todo n∈_N.

Halla p y q sabiendo que la siguiente fór-mula se verifica para n = 2 y n = 3.

Para los valores de p y q obtenidos demuestra que la fórmula vale para todo n

> 1

.

Halla a y b sabiendo que la siguiente fór-mula se verifica para n = 1 y n = 2.

Para los valores de a y b obtenidos demuestra que la fórmula vale para todo n∈_N.

Halla los valores de n para los cuales S−1∈_N. Se considera:

a) Halla a sabiendo que la igualdad se cumple para n = 2.

b) Para el valor de a hallado demuestra que la igualdad se verifica para todo n∈_N.

c) Halla n∈_N para que: .

Se considera:

a) Halla a sabiendo que la igualdad se cumple para n = 1 y n = 2.

b) Para el valor de a hallado demuestra que la igualdad se verifica para todo n∈_N*.

c) Calcula:

c) Halla x∈_R para que:

. P₁ P2 P₅ P₃ P4 14 . 15 . 16 . 17 . 18 . 19 . 20 . 21 . 1×3+2×4+3×5+…+n×(n+2) n n( +1)(2n+7) 6 ---= 2i–1 i=1 n

∑

2i i=0 n–1

∑

2n–1 = = i×2i i=1 n

∑

= 2+(n–1)2n+1 2×3i–1 i=1 n

∑

= 3n–1 i×i! i=1 n

∑

= (n+1)!–1 22 . n–2 n 2 n – 12 ---< n>3⇒2n<n! n>4⇒n2<2n n>9⇒n3<2n 23 . i2×(ai–1) i=0 n

∑

n 6 ---(n+1)(bn2+n–1) = 24 . 4i–2 ( ) i=5 3n

∑

= pn2+q 25 . S 1 3i–1 ( )(3i+2) ---i=1 n

∑

n an+b ---= = 26 . 2i+1 i2(i+1)2 ---i=1 n

∑

n2+an n+1 ( )2 ---= 2i+1 i2(i+1)2 ---i=1 n

∑

120 121 ---= 27 . ai–2 ( )(ai+1) i=1 2n

∑

= 4n(6n2+3n–1) ai–2 ( )(ai+1) i=1 400

∑

ai–2 ( )(ai+1) i=1 2x

∑

= 24x3+8

Ejercicios

Sea .

Determina a y b enteros para que la igualdad anterior se verifique para n = 1 y n = 2. Para los valores de a y b hallados en la parte anterior prueba la validez de la fórmula para todo natural n mayor que 0.

• Calcula

Dada la fórmula:

. 1) Determina a y b enteros para que la igual-dad anterior se verifique para n = 1 y n = 2. b) Para los valores de a y b hallados prueba la validez de la fórmula para todo n > 1.

c) Calcula .

¿Múltiplo de 7?

Se considera para todo n∈_N: u_n = 32n + 1 + 2n + 2.

a) Calcula u₀; u₁; u₂; u₃; u₄; u₅, verifica que ellos son todos múltiplos de 7.

b) Sea n∈_N. Demuestra que: u_{n + 1} = 2u_n+7×32n + 1.

c) Demuestra, por recurrencia sobre n, que para todo n∈_N, u_n es divisible entre7.

a) Desarrollar, reducir y ordenar (n + 1)5 b) Deducir, con la ayuda de un razonamiento por recurrencia, que para todo natural n se cumple que: n5 – n es múltiplo de 5.

Números triangulares.

Sean los cuatro primeros números triangula-res:

a) representa T₅ y T₆.

b) 1) Expresa T_{n + 1} en función de T_n. 2) Conjetura el valor de T_n en función de n. 3) Demuestra esa conjetura por recurrencia sobre n.

c) Se considera el número piramidal: P_n = T₁ + T₂ + … + T_n. Demostrar por recurrencia que:

P_n = .

a) Sea .

Determina p y q, enteros, para que la igualdad anterior se verifique para n = 1 y n = 2. b) Para los valores de p y q hallados en la par-te anpar-terior prueba la validez de la fórmula para todo natural n mayor que 0.

c) Calcula

a) Sea .

Determina a∈_N para que la igualdad se veri-fique para n = 1.

b)

Para el valor de a hallado en la parte ante-rior prueba la validez de la fórmula para todo natural n mayor que 0.

Sobre un eje graduado se consideran los puntos M₀ y M₁ de abscisas x₀ = 0 y x₁ = 1 respectivas, M₂ es el punto medio de [M₀ M₁] y para todo natural n ≥ 3, se denota con M_n al punto medio del segmento [M_n−1M₁] y con x_n a la abscisa del punto M_n.

1) Calcula x_n para n = 2, n = 3, … n = 10. 2) Conjetura una expresión para x_n en función de n y luego demuestra dicha conjetura por recurrencia. Sean: P_n la proposición: «9 divide a 10n – 1» y P′_n la proposición: «9 divide a 10n + 1». 28 . _(3i+a) i=1 n

∑

bn2–n 2 ---= 3i+a ( ) i=13 i=29

∑

29 . ai+b ( ) i=0 n

∑

= 2n2+8n+6 ai+b ( ) i=13 i=100

∑

30 . 31 . 32 . T₅ T₁ T₂ T₃ T₄ n n( +1)(n+2) 6 ---33 . _(3i–p) i=1 n

∑

qn2–n 2 ---= 3i–p ( ) i=19 i=35

∑

34 . _(4i–a) i=1 i=n

∑

= n(2n+1) 35 . M₀ M₁ x₀ x₁ 36 .

Ejercicios

a) Sea n∈_N*. Demuestra que si P_n entonces P_n+1 es verdadera.

b) Sea n∈_N*. Demuestra que si P′_n entonces P′_n+1 es verdadera.

c) Prueba que la proposición P₁ es verdadera. d) Deduce que la proposición P_n es verdade-ra, para todo n∈_N*.

e) Deduce que la proposición P′_n es falsa, para todo n∈_N*.

Muestra que para todo n∈_N: a) 4n – 1 – 3n es divisible entre 9; b) 7×35n + 4 es divisible entre 11.

El problema de Polya.

Analiza el siguiente razonamiento que prueba la siguiente proposición:

«Si en un conjunto de niñas hay una niña rubia y de ojos celestes, entonces todas las niñas del con-junto son rubias y de ojos celestes».

En efecto, sea A el conjunto de números naturales para los cuales la proposición es verdadera. Si n = 1 obviamente la proposición es verdadera ya que en un conjunto formado por una sola niña rubia y de ojos celestes, todas las niñas del conjun-to son rubias y de ojos celestes.

Supongamos ahora que n∈A, y sea B el conjunto formado por n + 1 niñas: a₁; a₂; a₃; …; a_n+1, don-de por lo menos una don-de las niñas, por ejemplo la

a₁, sin perder generalidad, es rubia y de ojos celes-tes. Ahora bien, el conjunto B lo puedo expresar como la unión de:

{a₁; a₂; a₃; …; a_n}∪{a₁; a₃; a₄; …; a_n+1} dos conjuntos de n elementos en los cuales astuta-mente dejamos a la niña a1 rubia y de ojos celes-tes. Y como la proposición es cierta para un conjunto de n niñas, cada uno de los conjuntos de la unión anterior estará formado exclusivamente por niñas rubias y de ojos celestes. Luego el con-junto B está también formado por niñas rubias y de ojos celestes. Esto prueba que (n + 1)∈A y por lo tanto A es inductivo. En consecuencia A = N* como se quería probar.

• ¿Dónde está el error? Este ejemplo, de razonamiento incorrecto, es debido a George Polya (13 de diciembre de 1887, Budapest, Hungría - 7 de setiem-bre 1985, Palo Alto, California, Estados Unidos).

From Donald Knuth.

En la siguiente demostración hay algún fallo; ¿cuál es?

«Teorema. Sea x un número positivo cual-quiera. Para todos los naturales n no nulos te-nemos que xn – 1= 1.

Demostración.

Sea S(n) la proposición xn – 1= 1.

S (1) es verdadera pues, x1–1= x0 = 1. Y por inducción, asumiendo que el teorema es cier-to para 1, 2, …, n, tenemos:

; como S(n – 1) y S(n – 2) son válidas se tiene que también lo es S(n + 1)». ¡Hummmm! Solution: Again, look for the first case that is obviously wrong:

It happens for n = 2 as x2 –1 = x1 = x≠ 1 for most positive numbers.

As S(1) is true, the mistake is with the impli-cation S(1) ⇒S(2). Indeed, the «proof» invo-kes S(0) which was not proven | and is wrong:

x0 –1 = x–1 = .

x is usually not equal to 1. Again, if S(0) and S(1) were true, S(n) were true for all n≥ 0 and we would not need to worry about exponen-tiation!

Estudia el trabajo realizado por Diego y Paula:

«La suma de los ángulos de un polígono convexo de n lados está dada por la fórmula: S(n) = (n – 2)×180°, n ≥ 3».

De hecho, para n = 3 tenemos que el polígono convexo correspondiente es un triángulo y sabe-mos de la geometría elemental que la suma des sus ángulos es 180°.

Supongamos la afirmación válida para n = k ≥ 3,

esto es que la suma dos ángulos de un polígono convexo con k lados es S(k) = (k – 2)×180°.

El polígono A₀A₁...A_k que se obtiene trazando el segmento A₀A₂ tiene k lados; consecuentemente, la suma de sus ángulos es S(k) = (k – 2)×180°.

Ahora, la suma de los ángulos del polígono origi-nal será S(k) pero la suma de los ángulos del trián-gulo A0A1A2, esto es:

S(k + 1) = S(k) + 180° = (n – 2)×180° + 180° = (k – 1)×180°. 37 . 38 . 39 . x(n+1)–1 xn x n–1 xn–1 × xn–2 --- 1×1 1 --- 1 = = = = 1 x ---40 .