Leyes 0-1 IIC3260. IIC3260 Leyes / 77

Texto completo

(1)

Leyes 0-1

(2)

Leyes 0-1: Notaci´on

Dado: VocabularioL

◮ Recuerde que una propiedadP sobreL (L-propiedad) es un subconjunto de Struct[L]

Notaci´on

◮ sn

L:N´umero de L-estructuras con dominio {1, . . . ,n} ◮ sn

L(P): N´umero deL-estructuras con dominio{1, . . . ,n}que satisfacen la propiedad P

(3)

Leyes 0-1: Notaci´on

Ejemplo Sea L={R(·,·)} ◮ sn L= 2 n2

◮ Si P es el conjunto de estructuras que satisfacen la

dependencia funcional:

∀x∀y∀z(R(x,y)∧R(x,z)→y=z), entonces sLn(P) = (n+ 1)

(4)

Leyes 0-1: Probabilidad asint´otica

Definici´on ◮ µn L(P) = sn L(P) sn L

:Representa la probabilidad de que una

L-estructura satisfaga la propiedad P

µL(P) = l´ım

n→∞µ

n

L(P)

Ejemplo

Si P es el conjunto de estructuras que satisfacen la dependencia funcional∀x∀y∀z(R(x,y)∧R(x,z)→y =z), entonces:

(5)

Leyes 0-1: Ejercicios

Notaci´on

Dada una oraci´on ϕen una l´ogica: sL(n ϕ) = |{A∈Struct[L] |

el dominio de Aes {1, . . . ,n} yA|=ϕ}|

Ejercicios

1. Sea ϕ=∀x∃y R(x,y). Demuestre queµL(ϕ) = 1

2. Demuestre que µL(P) puede no estar definido

(6)

Ejercicio 1: Relaci´on entre

µ

L

(

P

) y

µ

L

(

P

)

Dado un vocabularioL y unaL-propiedad P:

P = {AStruct[L]|A6∈ P}

Suponga que µL(P) =c, dondec ∈[0,1]

◮ Se tiene que l´ım

n→∞µ n

L(P) =c

Entonces se tiene que µL(P) = 1−c

◮ Ya que l´ım n→∞µ n L(P) = l´ım n→∞ 1−µnL(P) = 1− l´ım n→∞µ n L(P)

(7)

Ejercicio 1: Relaci´on entre

µ

L

(

P

) y

µ

L

(

P

)

Sea L={R(·,·)} yϕ=∀x∃y R(x,y) ◮ ¬ϕ ≡ ∃x∀y¬R(x,y)

Vamos a demostrar que µL(¬ϕ) = 0

◮ Concluimos queµL(ϕ) = 1

Sea n ≥1,i ∈ {1, . . . ,n} y:

Ni = {A∈Struct[L]|el dominio deAes {1, . . . ,n}

(8)

Ejercicio 1: Relaci´on entre

µ

L

(

P

) y

µ

L

(

P

)

Tenemos que sLn(¬ϕ)≤ k X i=1 |Ni|

Dado que |Ni|= 2(n−1)·n, concluimos que sLn(¬ϕ)≤n·2(n−1)·n

Por lo tanto: µnL(¬ϕ) ≤ n·2(n−1)·n 2n2 = n 2n Concluimos que: 0 ≤ µL(¬ϕ) ≤ l´ım n→∞ n 2n = 0

(9)

Ejercicio 3: Un poco de inducci´on

Sea L={U(·)} yP la siguiente propiedad:

{AStruct[L]|UAtiene una cantidad par de elementos} Vamos a demostrar que µL(P) = 12

Para n≥1, sea:

Pn = {A⊆ {1, . . . ,n} | |A|es par}

Lema

(10)

Ejercicio 3: Un poco de inducci´on

Vamos a demostrar el lema por inducci´on:

◮ Caso base (n= 1): P1={∅}, por lo que|P1|= 1 = 21−1 ◮ Case inductivo: Suponga que la propiedad se cumple paran

Tenemos que:

Pn+1 = {A⊆ {1, . . . ,n+ 1} ||A|es par y n+ 16∈A} ∪

(11)

Ejercicio 3: Un poco de inducci´on

Como estos conjuntos son disjuntos:

|Pn+1| = |{A⊆ {1, . . . ,n+ 1} | |A|es par yn+ 16∈A}| +

|{A⊆ {1, . . . ,n+ 1} | |A|es par yn+ 1∈A}|

Pero:

|{A⊆ {1, . . . ,n+ 1} | |A|es par y n+ 16∈A}| = |Pn|

|{A⊆ {1, . . . ,n+ 1} | |A|es par y n+ 1∈A}| = 2n− |Pn|

Por hip´otesis de inducci´on|Pn|= 2n−1

Concluimos que|Pn+1| = 2 n−1

+ 2n−1 = 2n

(12)

Ejercicio 3: Un poco de inducci´on

Sea n ≥1. Dado quesLn(P) =|Pn|, concluimos del lema que:

µnL(P) = sn L(P) sn L = 2 n−1 2n = 1 2 Por lo tanto: µL(P) = 12

(13)

Leyes 0-1: Definici´on

Definici´on

Una l´ogicaLO tiene la ley 0-1 para un vocabularioL si para cada

L-propiedad P definible enLO, se tiene que µL(P) = 0 o µL(P) = 1

Teorema (Glebskii-Kogan-Liogon’kii-Talanov & Fagin)

Si L es un vocabulario que s´olo contiene relaciones, entonces LPO tiene la ley 0-1 para L

(14)

Leyes 0-1 para LPO: Demostraci´on

Vamos a demostrar que la LPO tiene la ley 0-1

◮ Para cada vocabulario que s´olo contiene relaciones

Pero antes:

◮ Vamos a mostrar como pueden ser utilizadas las leyes 0-1 para demostrar resultados de inexpresibilidad

◮ Vamos a mostrar porque no podemos considerar lenguajes con constantes

(15)

Leyes 0-1: Usos

¿Para qu´e nos sirve esta ley?

◮ Nos indica que una l´ogica no puede contar

◮ Podemos utilizarla para demostrar que una propiedad no es expresable en alguna l´ogica

Ejemplo

Sea L=∅ y PARIDAD ={AStruct[L]|dominio deA tiene

un n´umero par de elementos}.

(16)

Leyes 0-1: Paridad

Ejemplo (continuaci´on)

Supongamos que PARIDAD si es expresable en LPO

◮ Existeϕ en LPO tal queA|=ϕsi y s´olo si el dominio deA

tiene un n´umero par de elementos

Dado que LPO tiene la ley 0-1 para L:µL(ϕ) = 0 ´o µL(ϕ) = 1

Pero:

sL(n ϕ) =

(

0 n es impar 1 n es par

Como sLn = 1, concluimos que µL(ϕ) no est´a definido ◮ Esto contradice que µL(ϕ) = 0 ´o µL(ϕ) = 1

(17)

Leyes 0-1: Vocabularios con constantes

Vamos a mostrar que LPO no necesariamente tiene la ley 0-1 para un vocabulario con constantes.

Sea L={P(·),c} yϕ=P(c).Vamos a demostrar queµkL(ϕ) = 12

para todo k ≥1.

◮ Por lo tanto: µL(ϕ) = 1 2

Para cada k ≥1, sea:

Sk = {A∈Struct[L]|dominio deA es{1, . . . ,k}yA|=ϕ}

(18)

Leyes 0-1: Vocabularios con constantes

Sea f :Sk →Nk definida como:

f(hA,PA,cAi) = hA,ArPA,cAi

La funci´on f es una biyecci´on ◮ ¿Por qu´e?

Se tiene que |Sk|=|Nk|

◮ De esto se concluye que µk

L(ϕ) = 12 ya ques k L=|Sk|+|Nk|y sk L(ϕ) =|Sk|

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :