Leyes 0-1
Leyes 0-1: Notaci´on
Dado: VocabularioL
◮ Recuerde que una propiedadP sobreL (L-propiedad) es un subconjunto de Struct[L]
Notaci´on
◮ sn
L:N´umero de L-estructuras con dominio {1, . . . ,n} ◮ sn
L(P): N´umero deL-estructuras con dominio{1, . . . ,n}que satisfacen la propiedad P
Leyes 0-1: Notaci´on
Ejemplo Sea L={R(·,·)} ◮ sn L= 2 n2◮ Si P es el conjunto de estructuras que satisfacen la
dependencia funcional:
∀x∀y∀z(R(x,y)∧R(x,z)→y=z), entonces sLn(P) = (n+ 1)
Leyes 0-1: Probabilidad asint´otica
Definici´on ◮ µn L(P) = sn L(P) sn L:Representa la probabilidad de que una
L-estructura satisfaga la propiedad P
◮ µL(P) = l´ım
n→∞µ
n
L(P)
Ejemplo
Si P es el conjunto de estructuras que satisfacen la dependencia funcional∀x∀y∀z(R(x,y)∧R(x,z)→y =z), entonces:
Leyes 0-1: Ejercicios
Notaci´on
Dada una oraci´on ϕen una l´ogica: sL(n ϕ) = |{A∈Struct[L] |
el dominio de Aes {1, . . . ,n} yA|=ϕ}|
Ejercicios
1. Sea ϕ=∀x∃y R(x,y). Demuestre queµL(ϕ) = 1
2. Demuestre que µL(P) puede no estar definido
Ejercicio 1: Relaci´on entre
µ
L(
P
) y
µ
L(
P
)
Dado un vocabularioL y unaL-propiedad P:
P = {A∈Struct[L]|A6∈ P}
Suponga que µL(P) =c, dondec ∈[0,1]
◮ Se tiene que l´ım
n→∞µ n
L(P) =c
Entonces se tiene que µL(P) = 1−c
◮ Ya que l´ım n→∞µ n L(P) = l´ım n→∞ 1−µnL(P) = 1− l´ım n→∞µ n L(P)
Ejercicio 1: Relaci´on entre
µ
L(
P
) y
µ
L(
P
)
Sea L={R(·,·)} yϕ=∀x∃y R(x,y) ◮ ¬ϕ ≡ ∃x∀y¬R(x,y)
Vamos a demostrar que µL(¬ϕ) = 0
◮ Concluimos queµL(ϕ) = 1
Sea n ≥1,i ∈ {1, . . . ,n} y:
Ni = {A∈Struct[L]|el dominio deAes {1, . . . ,n}
Ejercicio 1: Relaci´on entre
µ
L(
P
) y
µ
L(
P
)
Tenemos que sLn(¬ϕ)≤ k X i=1 |Ni|Dado que |Ni|= 2(n−1)·n, concluimos que sLn(¬ϕ)≤n·2(n−1)·n
Por lo tanto: µnL(¬ϕ) ≤ n·2(n−1)·n 2n2 = n 2n Concluimos que: 0 ≤ µL(¬ϕ) ≤ l´ım n→∞ n 2n = 0
Ejercicio 3: Un poco de inducci´on
Sea L={U(·)} yP la siguiente propiedad:
{A∈Struct[L]|UAtiene una cantidad par de elementos} Vamos a demostrar que µL(P) = 12
Para n≥1, sea:
Pn = {A⊆ {1, . . . ,n} | |A|es par}
Lema
Ejercicio 3: Un poco de inducci´on
Vamos a demostrar el lema por inducci´on:
◮ Caso base (n= 1): P1={∅}, por lo que|P1|= 1 = 21−1 ◮ Case inductivo: Suponga que la propiedad se cumple paran
Tenemos que:
Pn+1 = {A⊆ {1, . . . ,n+ 1} ||A|es par y n+ 16∈A} ∪
Ejercicio 3: Un poco de inducci´on
Como estos conjuntos son disjuntos:
|Pn+1| = |{A⊆ {1, . . . ,n+ 1} | |A|es par yn+ 16∈A}| +
|{A⊆ {1, . . . ,n+ 1} | |A|es par yn+ 1∈A}|
Pero:
|{A⊆ {1, . . . ,n+ 1} | |A|es par y n+ 16∈A}| = |Pn|
|{A⊆ {1, . . . ,n+ 1} | |A|es par y n+ 1∈A}| = 2n− |Pn|
Por hip´otesis de inducci´on|Pn|= 2n−1
Concluimos que|Pn+1| = 2 n−1
+ 2n−1 = 2n
Ejercicio 3: Un poco de inducci´on
Sea n ≥1. Dado quesLn(P) =|Pn|, concluimos del lema que:
µnL(P) = sn L(P) sn L = 2 n−1 2n = 1 2 Por lo tanto: µL(P) = 12
Leyes 0-1: Definici´on
Definici´on
Una l´ogicaLO tiene la ley 0-1 para un vocabularioL si para cada
L-propiedad P definible enLO, se tiene que µL(P) = 0 o µL(P) = 1
Teorema (Glebskii-Kogan-Liogon’kii-Talanov & Fagin)
Si L es un vocabulario que s´olo contiene relaciones, entonces LPO tiene la ley 0-1 para L
Leyes 0-1 para LPO: Demostraci´on
Vamos a demostrar que la LPO tiene la ley 0-1
◮ Para cada vocabulario que s´olo contiene relaciones
Pero antes:
◮ Vamos a mostrar como pueden ser utilizadas las leyes 0-1 para demostrar resultados de inexpresibilidad
◮ Vamos a mostrar porque no podemos considerar lenguajes con constantes
Leyes 0-1: Usos
¿Para qu´e nos sirve esta ley?
◮ Nos indica que una l´ogica no puede contar
◮ Podemos utilizarla para demostrar que una propiedad no es expresable en alguna l´ogica
Ejemplo
Sea L=∅ y PARIDAD ={A∈Struct[L]|dominio deA tiene
un n´umero par de elementos}.
Leyes 0-1: Paridad
Ejemplo (continuaci´on)
Supongamos que PARIDAD si es expresable en LPO
◮ Existeϕ en LPO tal queA|=ϕsi y s´olo si el dominio deA
tiene un n´umero par de elementos
Dado que LPO tiene la ley 0-1 para L:µL(ϕ) = 0 ´o µL(ϕ) = 1
Pero:
sL(n ϕ) =
(
0 n es impar 1 n es par
Como sLn = 1, concluimos que µL(ϕ) no est´a definido ◮ Esto contradice que µL(ϕ) = 0 ´o µL(ϕ) = 1
Leyes 0-1: Vocabularios con constantes
Vamos a mostrar que LPO no necesariamente tiene la ley 0-1 para un vocabulario con constantes.
Sea L={P(·),c} yϕ=P(c).Vamos a demostrar queµkL(ϕ) = 12
para todo k ≥1.
◮ Por lo tanto: µL(ϕ) = 1 2
Para cada k ≥1, sea:
Sk = {A∈Struct[L]|dominio deA es{1, . . . ,k}yA|=ϕ}
Leyes 0-1: Vocabularios con constantes
Sea f :Sk →Nk definida como:
f(hA,PA,cAi) = hA,ArPA,cAi
La funci´on f es una biyecci´on ◮ ¿Por qu´e?
Se tiene que |Sk|=|Nk|
◮ De esto se concluye que µk
L(ϕ) = 12 ya ques k L=|Sk|+|Nk|y sk L(ϕ) =|Sk|
