PENDULO ESFERICO, FORZADO Y AMORTIGUADO CON MASA VARIABLE

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PENDULO ESFERICO, FORZADO Y AMORTIGUADO CON MASA VARIABLE Camilo A. Jiménez R.1, Diego F. Jaramillo C.1, Miller J. Vargas B.1.

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Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Grupo de estudio de desarrollo de software y física teórica.

(Recibido 27 de Sep.2005; Aceptado 30 de Mar. 2006; Publicado 16 de Jun. 2006) RESUMEN

Se plantean las ecuaciones de movimiento a través de la mecánica lagrangiana, para un péndulo esférico, forzado y amortiguado con masa variable que consta de una barra rígida de masa despre-ciable pivoteada en un extremo, la posición del pivote varía armónicamente en el tiempo y la masa suspendida en el otro extremo decae exponencialmente en el tiempo, sometida bajo la acción gra-vitacional, se propone una rapidez de escape de la masa constante, contraría a la tendencia de mo-vimiento del péndulo y perpendicular a la acción gravitacional. Se solucionan las ecuaciones de movimiento con el método de Adams. Se obtienen gráficas del espacio de fase y de las secciones de Poincaré para ciertas condiciones iniciales y parámetros del modelo, se calculan los exponentes de Lyapunov, encontrándose condiciones de estabilidad e inestabilidad para el movimiento del péndulo.

Palabras claves: péndulo esférico, péndulo forzado, péndulo amortiguado, metodo de Adams, exponentes de Lyapunov, secciones de Poincaré.

ABSTRACT

The equations of motion are considered through the lagrangian mechanics, for a forced and damped spherical pendulum with changeable mass which consists of a rigid bar of neglictable mass fixed in an end, the pivot position changes harmonicly in the time and the mass suspended in the other end decays exponentially in the time, submitted under the gravitational action, the mass scape velocity is purpose like a constant, against the tendency of pendulum motion and normal to gravitational action. The equations of motion were solved with Adams method. Graphics of fase space and Poincaré’s sections were gotten for certain initial conditions and model parameters, Lyapunov’s exponents were computed, finding stability and instability conditions for the pendu-lum motion.

Keywords: spherical pendulum, forced pendulum, cushioned pendulum, method of Adams,

ex-ponents of Lyapunov, sections of Poincaré.

1. Introducción

Generalmente los sistemas abiertos, de masa variable y de dinámica no lineal son excluidos en los cursos de mecánica clásica, por ello en este escrito se presenta un sistema el cual combina estas dos condiciones, calculando por medio de la mecánica lagrangiana las ecuaciones de mo-vimiento [1], determinando así la no linealidad de las mismas graficando el espacio de fase para el ánguloθ(t), y calculando los exponentes de Lyapunov [2] para dos trayectorias cuyas

condi-ciones iniciales difieren unas de otras en un orden de magnitud de 15

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dicho exponente mayor que cero lo cual nos indica que el sistema es sensible al valor de las condiciones iniciales, la cual es una de las característica de los sistemas caóticos.

2. Desarrollo teórico

El péndulo esférico consta de una barra inextensible de masa despreciable, pivoteada en un extremo la posición del pivote en el eje

z

varía armónicamente con amplitud

ε

y frecuen-cia angular

ω

produciendo un forzamientofrcomo se indica en la ecuación (1). En el otro

ex-tremo de la barra se encuentra un cuerpo cuya masa decae de forma exponencial en el tiempo expresada mediante la ecuación (2) y con una rapidez de escape constante

u

con respecto al sistema de referencia y su dirección siempre perpendicular a la acción gravitacional. Tomando como sistema de referencia la posición del pivote en t=0y con el eje

z

en dirección de la fuer-za gravitacional, la función lagrangiana [1] del sistema queda expresada por la ecuación (3), con una ferza generalida contraria a la tendencia de movimiento del péndulo sólo endirecciónϕde laforma mostrada en la ecuación (4).

)

(

t

Cos

f

_r

=

ε

ω

(1)

[ ]

(

cExp

t

)

mo

t

m

(

)

=

1 +

−

β

(2)

[

x y z

]

mt gz t m L () () 2 1 2₊ 2₊ 2 ₊ = (3)

))

(

)

(

t

r

Sen

t

m

u

Q

=

−

⋅

θ

(4) El amortiguamiento del péndulo esta expresado a través de la función de dicispación de Ray-leigh [1] dada por la ecuación (5).

[

2 2 2

]

2 1 z y x k f = + + (5)

A continuación se considerarán tres casos particulares de la dinámica del péndulo esférico, primero se considera su dinámica sin forzamiento, luego sin variación de masa y por último se considera la dinámica para el péndulo esférico forzado amortiguado de masa variable, obte-niendo gráficas deθ(t), el espacio de fase [2] enθ, su sección de Poincaré [2] paraCos(ϕ)=1y el

exponente de Lyapunovλ[2] para cada uno de los tres casos mencionados, utilizando las si-guientes condiciones iniciales,θ(0)=1.57,θ(0)=0,ϕ(0)=1.57,ϕ(0)=0. Para el calculo de los exponentes de Lyapunov se utilizó una segunda trayectoria cuyas condiciones iniciales aumentan con res-pecto a las primeras en un valorδ₌1_⋅10−15.

3. Péndulo esférico amortiguado de masa variable

En esta sección se considera el comportamiento del péndulo en ausencia de forzamiento. Las graficas que se muestran a continuación son las que se obtienen para su dinámica.

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50 100 150 200 t -14 -12 -10 -6 -4 -2 log δ

Figura 1. Parte superior izquierdaθ(t); Parte superior derecha espacio de fase; Parte inferior

izquierda secciones de Poincaré; Parte inferior derecha exponente de Lyapunov con el valor calculado para el mismo, estas gráficas se obtuvieron para los siguientes parámetros

. 10 , 87 . 9 , 1 . 0 , 19 , 001 . 0 , 2 , 1 , 0 , 0 = = = = = = = = = ε mo u k c β g r ω

4. Péndulo esférico amortiguado forzado

En esta sección se considera el comportamiento del péndulo con masa constante. Las graficas que se muestran a continuación son las que se obtienen para su dinámica.

50 100 150 200 t -14 -12 -10 -6 -4 log δ

. 10 , 87 . 9 , 0 , 0 , 001 . 0 , 0 , 1 , 1 , 10 = = = = = = = = = ε mo u k c β g r ω

5. Péndulo esférico forzado amortiguado de masa variable

0.0175159

=

λ

0.0353874

=

λ

(4)

En esta sección se considera el comportamiento del péndulo en ausencia de forzamiento. Las graficas que se muestran a continuación son las que se obtienen para su dinámica.

50 100 150 200 t -14 -12 -10 -6 -4 -2 log δ

. 10 , 87 . 9 , 1 . 0 , 19 , 001 . 0 , 2 , 1 , 1 , 10 = = = = = = = = = ε mo u k c β g r ω 6. Conclusiones

El amortiguamiento en el sistema hace que este llegue después de pasar por el periodo de tran-sición a un punto atractivo fijo en todos los casos considerados ya que este disipa la energía mecánica del sistema y por ello el péndulo alcanza su posición de equilibrio estable. Para el último caso considerado, el sistema después de culminar su periodo de transición llega a un ciclo límite, el cual es alcanzado debido a que la fuerza forzadora contrarresta el amortigua-miento sobre el sistema, para los tres casos mencionados anteriormente se concluye que todos ellos son sensibles a las condiciones iniciales, lo cual se refleja en el valor de los exponentes de Lyapunov calculados, los cuales siempre resultaron ser mayores que cero, esta condición es una cualidad de todos los sistemas caóticos. De igual forma para los tres casos las gráficas de

) (t

θ resultaron ser aperiódicas lo cual también es otra evidencia del caos; De los tres casos ana-lizados en este escrito podemos concluir que el sistema que presenta menor sensibilidad a las condiciones iniciales y menor irregularidad en sus trayectorias es aquel en el cual la fuerza forzadora tenía un valor nulo, caso contrario fue el sistema considerado con fuerza forzadora no nula amortiguado y de masa variable, esto se ve reflejado en la diferencia de los valores calcu-lados para los exponentes de Lyapunov en cada caso.

Referencias

[1] Goldstein H., Poole C., Safko J.,Clasical Mechanics, Third Edition, Caps. 2, 11, Addison Wesley Publishing Company.

0.0550237

=

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