FINITOS. PEDRO DOM´INGUEZ WADE
Abstract. En este trabajo se exponen algunos resultados referentes a las representaciones de un grupo finito sobre anillos finitos unitarios conmutativos de caracter´ıstica m. Se demuestra que las representaciones de un grupo finito sobre un anillo unitario de caracter´ıstica m, se inducen de las representaciones del grupo reducido m´odulop.
Introducci´on
Uno de los problemas generales que suelen presentar en la teor´ıa de representa-ciones en sentido amplio es lo que concierne a las representarepresenta-ciones de un grupo finito sobre un campo de caracter´ıstica p, en el caso donde pes un divisor del or-den del grupo. Tal caso constituye el n´ucleo central de la denominada: Teor´ıa de Representaciones Modulares.
En este trabajo exponemos algunos aspectos que conciernen a las representa-ciones de un grupo finitoG sobre un anillo Rm finito, conmutativo y unitario de
caracter´ısticam. Sea
t
Y
i=1
prii la factorizaci´on primaria dem. Entonces tenemos queZm∼=
LXt
i=1
Zpri i .
Supongamos que p(x) es un polinomio irreducible de gradoα sobreZm.
Denote-mos por αi al grado del mayor divisor irreducible gi(x), sobre el campo Zpi, del
polinomio p(x). Entonces gi(x) determina una extensi´on integral Kprαi de grado
αide cada uno de los anillosZprii . As´ı, denotemos porKma la ampliaci´on integral
del anilloZmisomorfa a la suma directa t X i=1 Kpriαi i . 1. Resultados Preliminares.
Sea Rm un anillo finito unitario y conmutativo de caracter´ıstica m. Entonces
como m es el m´ınimo com´un del orden de todos los subgrupos del grupo aditivo R+
mel cardinal del anillo es una potencia demde exponenteκ. As´ı el anilloRmse
expresa como una suma directa de la forma: Rm=
MXt
i=1
Apriκ i
Received by the editors 2003.
1991Mathematics Subject Classification. Primaria 20C20, Secundaria 20C34.
Key words and phrases. Reduced Group and Representation Congruence. 1
Donde losApriκ
i son ideales unitarios compuesto por todos los elementos de
carac-ter´ısticapri i .
ComoApriκ
i es conmutativo y unitario contiene un ideal isomorfo al anilloZprii .
Luego si denotamos porIpriκ
i a la m´axima extensi´on integral deApriκi , de gradoα,
que contiene aZpri
i , en sentido de isomorfismo, para todo anilloApriκi se cumple:
Apriκ i =
MXn
Ipriκ i
Por lo tanto se tiene que:
Rm∼=
MXn
Km
Siendo el anilloKmuna ampliaci´on integral de anilloZmde los enteros m´odulom. Teorema 1.0.1. Existe una correspondencia biun´ıvoca entre losK[G]- m´odulos exactos finitamente generados sobre el anillo unitario K, y las representaciones matriciales de un grupo finitoGsobreK.
Demostraci´on
Sea (Φ;M) una representaci´on del grupo finitoGsobre el anilloK, entonces para todo elemento del anillo grupalK[G] tenemos :
Φ(X g αgg) = X g αgΦ(g) Por linealidad de Φ Haciendo: (X g αgg)◦z= X g αgΦ(g)z, z∈M
Con la operaci´on definida anteriormente se introduce enM la estructura deK[G]−
m´odulo.
Rec´ıprocamente si elK−m´odulo exactoM es un m´odulo sobre el anillo grupal K[G] con la operaci´on siguiente:
X
g
αgg◦z
Entonces, el homomorfismo ˜Φ :K[G]−→End(K), dado por ˜Φ(X
g
αgg)=ΦX g
αgg
determina una representaci´on lineal del anillo grupalK[G] sobreK, cuya limitaci´on ¯
Φ = ˜Φ\Gsobre G, brinda una representaci´on lineal del grupoG. Como el anillo End(M) es isomorfo al anilloMn(K) de las matrices de orden ncon componentes
enK, se tiene la representaci´on matricial (Φ;M) para el grupo finitoG. As´ı concluimos la demostraci´on del teorema. ¤
Observaci´on 1.0.2. Sea (Φ;M) una representaci´on matricial del grupo finito G, sobre Rm, entonces en virtud del teorema anterior la operaci´on del anillo grupal
Rm[G] sobre elRm-m´oduloM est´a bien definida. Por otra parte tenemos que:
Rm[G]M ∼= n
X
Km[G]M
Luego, M es tambi´en un Km[G]-m´odulo, es decir, elRm[G]-m´oduloM se expresa
del grupo finitoGsobre Rmse expresa como una suma de representaciones
equiv-alentes sobre el anilloKm.
Ahora bien, se conoce que:
Km∼= t X i=1 Kpriαi i
Luego, toda representaci´on del grupo finitoGse expresa como una suma de repre-sentaciones equivalentes sobre los correspondientesKpriαi
i .
Sea el anillo grupalKprα[G] del grupo finitoGyRsu radical, entonces el anillo
factorKprα/Res perfecto.
Nos proponemos encontrar un subanillo del anillo factorKprα/Rque sea
com-pletamente reducible.
Supongamos quepes un divisor del orden del grupo finitoG, entonces si ˙ges la clase del elementogde orden hpµ enG, conpyhprimos entre s´ı, se cumple:
˙ ghpµ
= ˙e ( dondeees el neutro deG).
Luego, como ˙gy ˙econmutan, en virtud de la f´ormula del binomio de Newton se verifica la identidad: ˙ ghpµ −e˙= ( ˙gh−e˙)pµ = ˙0 De esta forma: ˙ gh= ˙e
ya que el anillo factor Kprα/R es perfecto. Todos los elementos de orden h en el
subgrupo c´ıclicohgi ⊂Ggenerado porg tienen la formagjpu, siendoj yhprimos
relativos . As´ı para alg´unj se cumple:
jpµ=hq¯+ 1 con ¯q∈N.
Supongamos quegjpµ
es tal elemento, entonces se verifica la identidad: ˙
gjpµ
= ˙ghq = ˙g
Por tanto ˙ges de ordenh.
2. Principales Resultados.
Definici´on 2.0.3. Sea el anillo grupal Kprα[G] del grupo finitoG yR el radical
de este anillo, entonces sig es un elemento de ordenhpu enG, con hy pprimos
relativos, y ¯g es un elemento de orden h en el subgrupo generado por g tal que: g≡¯g(R), se dice que ¯ges el elemento reducido degm´odulop.
Definici´on 2.0.4. Sea el anillo grupal Kprα[G] del grupo finitoG yR el radical
de este anillo, entonces sig es un elemento de ordenhpu enG, con hy pprimos
relativos, y ¯g es un elemento de orden h en el subgrupo generado por g tal que: g≡¯g(R), se dice que ¯ges el elemento reducido degm´odulop.
Definici´on 2.0.5. Si Gel m´aximo subgrupo de Gcuyo orden no es divisible por la caracter´ısticap, entonces se dice queGes el grupo reducido deGm´odulop.
Observaci´on 2.0.6. El grupo reducidoGm´odulopno es otro que el subgrupo deG generado por los elementos reducidos correspondientes a cada elemento del grupo. En particular, tenemos que sipno divide al orden del grupoG, entoncesG=G
Admitamos que Ω es el conjunto de todas las representaciones de grado n del grupo finitoGsobre la extensi´on integralKprα del anilloZpr de los enteros m´odulo
pr.
As´ı, tenemos la siguiente definici´on:
Definici´on 2.0.7. Representaciones congruentes m´odulo p. Si Φ y Ψ son dos representaciones matriciales del grupo finitoGcontenidas en Ω, y Γ es el radical del anillo matricial Mn(Kprα), de las matrices de orden ncon componentes enKprα,
entonces se dice que Φ y Ψ son congruentes m´odulopsi y solo si existe una matriz inversibleC tal que: Φ(g)≡CΨ(g)C−1(Γ) para todo g∈G.
Observaci´on 2.0.8. Obviamente la relaci´on as´ı definida es reflexiva, sim´etrica y transitiva, es decir, de equivalencia, y por tanto establece una partici´on del conjunto Ω en clases de equivalencia.
Definici´on 2.0.9. Sea Φ un representaci´on del grupo finitoGsobre el anilloKprα,
entonces Φ se dice representaci´on correspondiente al grupo reducidoGsi y solo si Φ(g) = Φ(¯g)
para todog∈G.
Teorema 2.0.10. Si G es un grupo finito y Φ es una representaci´on de G so-bre el anillo Kprα, correspondiente al grupo reducido G m´odulo p, entonces Φ es completamente reducible.
Demostraci´on
Sea (Φ;M) una representaci´on del grupo finito Gsobre el anillo Kprα
correspon-diente al grupo reducido G. Ahora bien, si la representaci´on es irreducible no hay nada que demostrar. Por tal motivo, supongamos que la representaci´on no es irreducible.
La limitaci´on Φ = Φ\G brinda una representaci´on (Φ;M) del grupo reducido Gm´odulopsobre el anilloKprα.
Supongamos que el G-m´odulo M contiene un G-m´odulo invariante no trivial M. ComoM es finitamente generado y exacto sobreKprα, existe un complemento
M0 tal que se cumple: M = MLM0. Consideremos el operador de proyecci´on
P:M −→M0, definido por la relaci´onPv=m0, para todov= ¯m+m0.
Tenemos:
(2.0.1) v−P(v)∈M ,P(M) = 0,P2=P Introduzcamos ahora, el operador lineal promedio dado por:
PG=|G|−1X ¯ h∈G
Φ(¯h)PΦ(¯h−1)
(La divisi´on por|G|es posible por condici´on). Tenemos adem´as:
Efectivamente: Φ(¯g)PGΦ(¯g−1) = |G|−1X ¯ h∈G Φ(¯g)Φ(¯h)PΦ(¯h−1)Φ(¯g−1) = |G|−1X ¯ h∈G Φ(¯g¯h)PΦ(¯h−1g¯−1) = |G|−1X ¯ h∈G Φ(¯t)PΦ(¯t−1) =P G Hagamos: M0={PGv:v∈M}
De acuerdo con (2.0.2) se verifica:
Φ(¯g) ¯m0 = Φ(¯g)P Gv
= PGΦ(¯g)v = PGv¯0= ¯m0 ∈M0
Para todo ¯m0∈M0. LuegoM0 es unG0-m´odulo.
Por otra parte se tiene: Φ(¯g−1)v−PΦ(¯g−1)v∈M (seg´un (2.0.1)), entonces:
v−Φ(¯g)PΦ(¯g−1)v= Φ(¯g)(Φ(¯g−1)v−PΦ(¯g−1)v∈M Por consiguiente, v−PGv=|G|−1(|G|v−X ¯ h∈G Φ(¯g)PΦ(¯g−1)v)∈M
Por tanto se cumple:
v = m¯ +PGv = m¯ + ¯m0
Para todov∈M, luego
M =M+M0
Ahora, de Φ(¯g−1)M ⊂M resultaPΦ(¯g−1)M = 0(seg´un (1.1.1)) Adem´as:
Φ(¯g)PΦ(¯g−1) = 0 =⇒PG(M) = 0 Por lo tanto: v−PGv∈M De donde resulta: PG(v−PGv) = 0 Luego (2.0.3) PGv=P2Gv
Ahora bien, si v ∈ M ∩M0 esto implica que PGv = 0, por cuanto v ∈ M, y v=PGv0, ya quev∈M0. En virtud de (1.1.3), se obtiene 0 =P
Gv0=P2Gv0 =v
Por tantoM∩M0 = 0 y se cumple:
M =MMM0
As´ı, Φ es completamente reducible de donde se infiere que Φ lo es tambi´en, como quer´ıamos demostrar. ¤
Lema 2.0.11. Sif es un homomorfismo del anilloA en el anilloA, y adem´as R
y Rson los radicales respectivos de estos anillos se cumple:
f(R)∈R
Demostraci´on
Siν ∈R, entonces existe q∈N tal que: µq= 0A
As´ı,f(µ)q = 0
A, para todoµ∈R, luego se verifica la relaci´on siguiente:
f(R)⊂R Como se quer´ıa probar. ¤
Teorema 2.0.12. Si G es un grupo finito, entonces toda representaci´on matri-cial Φdel grupoG sobreKprα, es congruente m´odulopcon una representaci´on Ψ correspondiente al grupo reducido.
Demostraci´on
Sea Φ una representaci´on del grupo finito Gsobre el anillo Kprα. Consideremos
la representaci´on matricial Ψ correspondiente al grupo reducido G definida de la manera siguiente:
∀g∈G: Ψ(g) = Φ(¯g)
Adem´as admitamos queRy Γ son los radicales respectivos de los anillosKprα[G] y
el anillo matricialMn(Kprα) de las matrices de ordenncon componentes enKprα.
Luego como todo elementogdel grupo est´a contenido en la clase de equivalencia del elemento reducido ¯g m´odulop, es decir, se cumple:
g≡g¯(R)
Seg´un el lema anterior, las im´agenes Φ(g) y Ψ(g) est´an contenidas en la misma clase de equivalencia m´odulo Γ. En efecto. De Φ(g) ≡Φ(¯g) y Φ(¯g)≡ Ψ(g), por transitividad de la congruencia se obtiene:
Φ(g)≡Ψ(g)(Γ) para todog∈G.
Por ende Φ y Ψ son congruentes m´odulop. ¤
Observaci´on2.0.13. De todo lo anterior se infiere que toda representaci´on matricial, de un grupo finito sobre el anillo Kprα esta contenida en la clase de equivalencia,
congruencia m´odulo p, de una representaci´on matricial completamente reducible correspondiente al grupo reducido m´odulo p. Por tanto basta obtener las repre-sentaciones irreducibles del grupo reducido sobreKprα.
Se ha evidenciado tambi´en que las representaciones irreducibles correspondi-entes al grupo reducido sobre Kprα suelen ser inducidas de las representaciones
irreducibles del grupo reducido sobre el campoFpα.
Teorema 2.0.14. Sea G un grupo finito, entonces existe una correspondencia biun´ıvoca entre el conjunto de todas las representaciones irreducibles correspon-dientes al grupo reducido G sobre Kprα, no congruentes dos a dos, y el conjunto de todas las representaciones irreducibles sobre Fpα, no equivalentes dos a dos, del grupo reducido.
Demostraci´on
Sea (Φ;M) una representaci´on irreducible del grupo finito G correspondiente al grupo reducido G sobre Kprα. Seg´un teorema (1.0.1), M es un Kprα[G]- m´odulo
irreducible. Ahora bien, si R es el radical de Kprα[G], entonces la operaci´on del
anillo factor Kprα[G]/R sobre M, determina una representaci´on irreducible del
grupo reducidoGsobre el campoFpα.
Rec´ıprocamente, si Φ es una representaci´on irreducible del grupo reducido G sobre el campo Fpα, entonces la operaci´on del anillo factor Kprα[G]/R sobre el
Fpα[G]-m´odulo irreducibleM est´a bien definida.
Luego si admitimos el homomorfismo can´onico del anillo grupal Kprα[G] sobre
Kprα[G]/Rqueda definida la operaci´on del anillo grupalKprα[G] sobre el m´odulo
irreducibleM y por ende una representaci´on Ψ del grupo finitoGcorrespondiente al grupo reducidoG. ¤
Hasta este momento tenemos toda la informaci´on necesaria acerca de las repre-sentaciones de un grupo finitoGsobre un anilloKprα, regresamos entonces al caso
general.
Supongamos que
t
Y
i=1
prii es la factorizaci´on primaria dem, entonces se cumple:
Km[G]∼=
MXl
i=1
Kpriαi i [G]
Primeramente, extenderemos el concepto de representaci´on congruente m´odulop.
Definici´on 2.0.15. Sean Φm y Ψm dos representationes matriciales de un grupo
finito G, sobre la extensi´on integralKm extensi´on integral de Zm, y Γ el radical
del anillo matricialMn(Km) de las matrices de orden ncon componentes en Km,
entonces las representaciones se dicen congruentes m´odulomsi y solo si existe una matriz no singularCtal que:
∀g∈G: Φm(g)≡CΨm(g)C−1(Γ)
Observaci´on 2.0.16. La relaci´on definida anteriormente es de equivalencia, y es-tablece una partici´on del conjunto de todas las representaciones de gradon sobre Kmdel grupo finitoG, en clases de equivalencia m´odulom.
La idea general es la encontrar un sistema minimal de generadores de estas clases al igual que en el caso anterior.
Teorema 2.0.17. Toda representaci´on matricial de un grupo finitoGsobreKmse expresa, como una suma de representaciones matriciales del grupo sobre el anillo
Kpriαi
i (i= 1,2..., l). Demostraci´on
Sea (Φm;M) una representaci´on matricial de un grupo finitoGsobreKm.
Supong-amos que
t
Y
i=1
prii es la factorizaci´on primaria de m, entonces se cumple:
(2.0.4) Km[G]∼=
MXt
i=1
Kpriαi i [G]
De (1.2.4) se infiere que M es un Kpriαi
i [G]-m´odulo,(i= 1,2, ..., t). Ahora
denote-mos por Φpriαi
i a las representaciones correspondientes a cada uno de los Kpriαii
-m´odulo, entonces: Φm= t X i=1 Φpriαi i
Como se quer´ıa demostrar. ¤
Lema 2.0.18. Si A es un anillo conmutativo unitario tal que: A = L
l
X
i=1
Ai, donde losAi son ideales deA. Entonces siRi es el radical deAi los anillosA/Ri y Ai/Ri son isomorfos.
Demostraci´on
Tenemos que todo elementoa∈Ase expresa de manera ´unica forma siguiente: a= l X i=1 ai dondeai∈Ai.
Consideremos los homomorfismos proyecci´on y can´onicos respectivamente dados por: P : A → Ai a → ai y C: Ai → Ai/Ri ai → a˙i
donde Ri es el radical del anillo Ai. Luego para el homomorfismo sobreyectivo
h=C◦P deAenAi/Ri.
Tenemos que:
Ker(C◦P) =Ri
y en virtud del primer teorema de los homomorfismos de anillos se cumple: A/Ri∼=Ai/Ri
¤
Teorema 2.0.19. SiΦmes una representaci´on matricial del grupo finito Gsobre el anillo Km y Φm=
l
X
i=1
Φpriαi
i es la expresi´on de Φm como suma de representa-ciones matriciales sobre cada Kpriαi
i , entonces Φm es congruente m´odulo m con cada representaci´on Φpriαi
i . Demostraci´on
Para el anillo matricialMn(Km) se cumple:
(2.0.5) Mn(Km)∼=
MXl
i=1
Mn(Kpriαii )
Adem´as, para el radical Γ deMn(Km) se tiene:
Γ∼=M
l
X
i=1
Donde los Γi son los radicales respectivos de los ideales bil´ateros Mn(Kpriαii ). Sea
Φmuna representaci´on matricial del grupo finito GsobreKmy t
X
i=1
Φpriαi
i su
cor-respondiente expresi´on como suma de representaciones de G sobre cada Kpriαi i ,
entonces para todog∈Gse cumple: Φm(g) = l X i=1 Φpriαi i (g)
Por tanto en virtud de (2.0.5) y el lema anterior para todog∈Gse cumple: Φm(g)≡Φpiriαi(g)(Γi), i= 1, . . . , t
De donde se infiere que:
Φm(g)≡Φpriαii (g)(Γ)
Por lo tanto Φmes congruente con cada representaci´on Φpriαii como se afirma en
el teorema.¤
Definici´on 2.0.20. (Representaci´on Irreducible Maximal)
Sea Φmuna representaci´on irreducible de un grupo finitoGsobre el anilloKm.
Entonces Φmse dice representaci´on irreducible maximal si y solo si para cualquier
representaci´on irreducible Ψm del grupo G tal que: Φm ≡ Ψm(m) se cumple:
˙
k ≤ k, donde ˙k y k son los n´umeros respectivos de representaciones irreducibles sobre Kpriαi
i en la descomposici´on como suma de representaciones de Ψm y Φm
respectivamente.
De inter´es resulta tambi´en la siguiente definici´on:
Definici´on 2.0.21. (Representaci´on Reducible Maximal)
Sea Φm una representaci´on de un grupo finito G sobre Km, entonces Φm se
dice representaci´on reducible maximal si y solo si se expresa como una suma de representaciones reducibles sobre los correspondientes anillosKpriαi
i .
Teorema 2.0.22. Toda representaci´on matricial Φm de un grupo finito G sobre
Km es congruente m´odulo m, con una representaci´on reducible maximal que se expresa como suma de representaciones irreducibles maximales.
Demostraci´on
Supongamos que Φm es una representaci´on del grupo finitoGsobre el anillo Km.
Entonces es v´alida la relaci´on siguiente:
(2.0.6) Φm= t X i=1 Φpriαi i
donde los Φpriαi
i son representaciones matriciales del grupo sobre Kpriαii .
Ahora bien, seg´un teorema (2.0.10) para cada representaci´on matricial Φpriαi i
existe una representaci´on Ψpriαi
i correspondiente al grupo reducido m´odulopi
con-gruente con esta m´odulopi.
Admitamos que Ψmes la representaci´on definida de la manera siguiente:
Ψm= t X i=1 Ψpriαi i
Donde los de Ψpriαi
i son las representaciones correspondientes al grupo reducido
congruentes m´odulopi con cada sumando de (2.0.6).
Para el anillo matricialMn(Km) se cumple:
Mn(Km)∼=
MXl
i=1
Mn(Kprii )
Adem´as, si denotamos por Γ al radical de este anillo Mn(Km) se cumple:
Γ∼=M
l
X
i=1
Γi
Donde los Γi son los radicales respectivos de los ideales bil´aterosMn(Kprii ).
Entonces para todog∈Gse cumple: Φm(g)−Ψm(g) = t X i=1 (Φpriαii (g)−Ψpriαii (g))∈Γi De donde resulta: (2.0.7) Φm(g)≡Ψm(g)(Γ)
Por tanto Φm y Ψmson congruentes m´odulom.
La representaci´on Ψm es completamente reducible, por tanto, se descompone
como suma de representaciones irreducibles de menor grado. Supongamos que Ψm=
µ
X
j=1
Ψj es tal descomposici´on .
Sea ˜Ψj una representaci´on irreducible maximal congruente con Ψj Definamos la
representaci´on matricial ˜Ψm de la manera siguiente:
˜ Ψm= µ X j=1 ˜ Ψj
As´ı, para todog∈Gse tiene:
Ψm(g)−Ψ˜m(g)∈Γ
Es decir,
(2.0.8) Ψm(g)≡Ψ˜m(g)(Γ)
Por transitividad de la congruencia m´odulo Γ y de (2.0.7) y (2.0.8) se obtiene: (2.0.9) Φm(g)≡Ψ˜m(g)(Γ)
Por tanto Φm y ˜Ψmson congruentes m´odulomcomo quer´ıamos demostrar. ¤ Observaci´on 2.0.23. Seg´un el teorema anterior el problema de las representaciones de un grupo finito G sobre el anillo Km se reduce a la b´usqueda de un sistema
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