ALGEBRA LINEAL 1
Junio 99 Calcula los determinantes 12 −11, 21 −11, y 12 12 . Aplica los
resultados obtenidos en la resolución del sistema = − = + 1 2 2 y x y x . 2
Junio 99 Un concesionario de coches vende dos modelos, el A con el que gana 100.000 ptas. por unidad vendida, y el B con el que gana 50.000 ptas. por unidad vendida. El número de coches x vendidos del modelo A debe
verificar que 50≤ x≤ 75. El número y de coches vendidos del modelo B ha
de ser mayor o igual que el número de coches vendidos del modelo A.
Sabiendo que el número máximo de coches que se pueden vender es de 400, determinar cuántos coches se han de vender de cada modelo para que el beneficio sea máximo.
3
Junio 99
Un comerciante tiene x garrafas de 10 l. de aceite cada una y y botellas de 1 l
de aceite cada una. Otro comerciante tiene y garrafas de 10 l. de aceite cada
una y x botellas de 1 l. cada una. El segundo comerciante tiene 9 litros más
que el primer comerciante. Sabiendo que los dos tienen más de 30 l. de aceite y menos de 50 l. de aceite. Averigua razonadamente cuántos litros de aceite tiene cada uno.
4
Junio 99
Sea el polígono de vértices (0, 0), (6, 0), (8, 3), (4, 8) y (0, 6). Calcula en que
puntos del polígono P, alcanza la función f(x,y)= 2x+ 3y los valores
máximo y mínimo. 5
Sep. 99
Me ofrecen la posibilidad de comprar hasta 6 millones de acciones de la compañía A, que producen un beneficio de un 30 %, y hasta 10 millones de acciones de la compañía B, que producen un 20 % de beneficio. Tengo 12 millones para invertir. Razona como distribuir la inversión para maximizar el beneficio.
6 Sep. 99
Un joyero tiene tres clases de monedas A, B y C. Las monedas del tipo A tienen 2 gramos de oro, 4 gramos de plata y 14 gramos de cobre; las del tipo B tienen 6 gramos de oro, 4 gramos de plata y 10 gramos de cobre y las del tipo C tienen 8 gramos de oro, 6 gramos de plata y 6 gramos de cobre. ¿Cuántas monedas de cada tipo ha de fundir para obtener 44 gramos de oro, 44 gramos de plata y 112 gramos de cobre?
7 Sep. 99
Ordeno mi habitación y observo que el número de libros, revistas y discos es 60. El triple del número de discos es igual a la suma del número de libros y del doble del número de revistas. El cuádruple del número de discos es igual a la suma del número de libros y el triple del número de revistas. Calcula el número de libros, revistas y discos.
8
Sep. 99 Un carpintero ha de construir mesas rectangulares, las dimensiones de las cuales no sobrepasen los dos metros, de manera que la suma de su dimensión mayor y el doble de la menor no sobrepase los 4 metros. ¿Cuál es el máximo valor del perímetro de estas mesas?
9
Junio 00
Una factoría produce coches de los modelos A y B. El beneficio por la venta de un coche modelo A es de 450 euros, y la venta de uno del modelo B reporta 600 euros de beneficio.
La capacidad de la factoría impide producir más de 400 coches del modelo A por día y más de 300 coches del modelo B por día. Tampoco es posible fabricar más de 500 coches en total cada día.
Se vende toda la producción que se hace y se quiere saber, razonadamente, cuántos coches de cada modelo interesa fabricar para obtener el máximo beneficio.
10 Junio 00
Por un helado, dos horchatas y cuatro batidos nos cobraron en una heladería 1.700 ptas. un día. Otro día por cuatro helados y cuatro horchatas nos cobraron 2.200 ptas. Un tercer día tuvimos que pagar 1.300 ptas. por una horchata y cuatro batidos. Razonar si hay o no motivo para pensar que alguno de los días nos presentaron una factura incorrecta
11 Junio 00
Un vendedor de libros usados tiene 180 libros de la editorial A y 160 de la editorial B, con los cuales decide hacer dos tipos de lotes, el lote económico con tres libros de la editorial A y uno de la editorial B. Que venderá a 800 ptas. y el lote selecto con un libro la editorial A y dos de la editorial B, que venderá a 1000 ptas. Deducir razonadamente cuántos lotes ha de hacer de cada tipo para maximizar sus ingresos vendiendo todos los lotes.
12 Junio 00
El señor Gómez deja a sus hijos en herencia su fortuna con las siguiente condiciones:
a) El mayor recibirá la media aritmética de lo que reciban los otros dos más 30.000 euros.
b) El mediano recibirá la media aritmética de lo que reciban los otros dos. c) El pequeño recibirá la media aritmética de lo que perciban los otros dos
menos 30.000 euros.
Explicar, razonadamente, si esta información es suficiente para saber cuanto ha heredado cada uno de los tres hijos.
13
Sep. 00 Encuentra los máximos i mínimos de la función
7 3 2 ) , (x y = x+ y− f en la
región limitada por los segmentos que unen los puntos (0, 0) y (0, 6); el punto (0, 6) y el punto (4, 4); el punto (4, 4) y el punto (6, 0); el punto (6, 0) y el punto (0, 0).
14 Sep. 00
Entre los partidos políticos A y B obtuvieron el 90 % de los votos en unas elecciones.
Calcular el porcentaje de votos que obtuvo cada partido, sabiendo que en las elecciones siguientes: el partido A sufrió un descenso del 10 % en el número de votos respecto a las anteriores elecciones, el partido B tuvo un 10 % de aumento de votantes respecto a las anteriores elecciones, y que los dos partidos obtuvieron el 90 % del total de votos.
15
Sep. 00 Encuentra las soluciones del sistema:
= + + − = + = + + 3 2 1 z y x z y z y x 16 Sep. 00
Se han de comer al menos 100 grs. del alimento A. De otro alimento B se han de comer más grs. que del alimento A. Entre los alimentos A y B no se ha de sobrepasar los 300 grs. El producto A tiene 50 calorías/gr. ¿Cuántos grs. se han de comer de A y cuántos de B para obtener el máximo de calorías?
17
Junio 01 Calcular los determinantes 11 −23, 11 04, y 04 −23. Aplicar los resultados
obtenidos para resolver por la regla de Cramer el sistema = + = − 4 2 0 3 y x y x 18 Junio 01
Una fábrica produce bombillas normales a 900 ptas. la unidad y focos
halógenos a 1200 ptas. la unidad. La capacidad máxima diaria de fabricación es de 1000 entre bombillas normales y focos halógenos, si bien no se pueden fabricar más de 800 bombillas normales ni más de 600 focos halógenos. Se sabe que la fábrica vende toda la producción. Razonar cuántas bombillas normales y cuántos focos halógenos se han de producir para obtener la máxima facturación posible y cuál sería esta.
19 Junio 01
Hemos invertido 4.000.000 de ptas. en acciones de las empresas A, B, y C. Después de un año la empresa A repartió un beneficio del 6 % , la B del 8 % y la C del 10 %. En total recibimos 324.826 ptas.
a) Deducir razonadamente si se puede saber o no qué invertimos en cada empresa.
b) Deducir razonadamente que invertimos en cada empresa sabiendo que en la empresa C invertimos el doble que en la empresa A.
20
Junio 01 Una industria fabrica bolígrafos que vende a 400 ptas. cada uno y plumas estilográficas que vende a 1.200 ptas. cada una. Las máquinas limitan la producción de manera que cada día no se pueden producir más de 200 bolígrafos ni más de 150 plumas y el total de la producción no puede superar las 250 unidades. La industria vende siempre toda su producción. Deducir razonadamente cuántos bolígrafos y plumas ha de producir al día para maximizar el beneficio y cuál sería este.
21 Sep. 01
En una reunión hay 40 personas. La suma de los hombres y de las mujeres triplica el número de niños. El número de mujeres excede en 6 la suma del número de hombres más el número de niños. Razonar cuántos hombres, mujeres y niños hay.
22 Sep. 01
El INSERSO ha organizado un viaje para 800 personas con cierta empresa que dispone de 16 autobuses de 40 plazas cada uno y 20 autobuses de 50 plazas cada uno. El alquiler de un autobús pequeño cuesta 3.000 ptas. y el de uno grande 4.000 ptas.
Calcular razonadamente cuántos autobuses de cada clase se han de contratar para minimizar el coste y cuál sería el coste mínimo, sabiendo que la
empresa solo dispone de 18 conductores. 23 Sep. 01 La función y x y x
f( , )= 2 + 3 está definida en el polígono de vértices (0, 0),
(6, 0), (6, 8), (4, 12) y (0, 15). Determinar de forma razonada todos los puntos en que la función alcanza un máximo. Justificar de forma razonada si este máximo se alcanza en un solo punto o no. ¿En que punto o puntos se alcanza el valor del máximo?
24 Sep. 01
Un estudiante obtuvo un 6 en un examen de matemáticas que constaba de tres preguntas. En la primera pregunta obtuvo una calificación igual al doble de la calificación que obtuvo en la segunda pregunta y en la tercera pregunta obtuvo una calificación igual a la suma de las calificaciones de las otras preguntas. Calcular razonadamente la calificación de cada pregunta.
25 Junio 02
Se considera la región factible dada por el siguiente conjunto de restricciones: 0 , 0 9 3 5 ≥ ≥ ≥ + ≤ + y x y x y x
Representar la región factible que determina el sistema de inecuaciones anterior y hallar de forma razonada el punto de la región factible donde las
siguientes funciones alcanzan su máximo y su mínimo a) f(x,y)=2x+3y, b)
f(x,y)=y-x. 26
Junio 02 Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 2115 €. Calcular de forma razonada cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 9 €, cuántos han pagado el 20 % del billete y cuántos el 50 % sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 20 % es el doble del número de viajeros que han pagado el billete entero 27
Junio 02
Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 € por cada paquete que venda de tipo A y 5 € por cada uno de los que venda de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste.
28
Junio 02 Los tres vértices de un triángulo son A(0, 1), B(1, 2) u C(3, 0).a) Encontrar de forma razonada la ecuación de la recta paralela al lado AB que pasa por el punto C y
b) Hallar el punto de intersección de esta recta con la recta de ecuación 2 3 = + y x . 29 Sep. 02
Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más de 8 ha con olivos de tipo A, ni más de 10 ha con olivos del tipo
B. Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada
una de tipo B, 3 m3. Se dispone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectárea
de tipo A requiere una inversión de 500 € y cada una de tipo B, 225 €. Se dispone de 4500 € para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B producen, respectivamente, 500 y 300 litros anuales de aceite: a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la producción de aceite.
b) Obtener la producción máxima. 30
Sep. 02
Obtener de forma razonada la matriz X, que verifica A⋅ X = 2B− C, siendo:
− = 0 5 1 2 A − − = 1 1 4 3 B = − − 2 13 7 2 C
31 Sep. 02
Una empresa fabrica dos tipos de aparatos A y B que necesitan pasar por los talleres X e Y. En cada taller se trabajan 100 horas a la semana. Cada aparato A requiere 3 horas del taller X y 1 hora del taller Y, y cada aparato B
necesita 1 y 2 horas respectivamente. Cada aparato A se vende a 100 € y cada aparato B se vende a 150 €.
a) Obtener razonadamente cuántos aparatos de cada tipo se han de producir para que los ingreso por ventas sean máximos.
b) ¿Cuál es el ingreso máximo? 32
Sep. 02
Calcular de forma razonada la ecuación de la recta paralela a y=2x-3 que
pasa por el punto de intersección de y=3x-2 y 3x-2y=1.
33 Junio 03
Dada la ecuación matricial: − = + − − 3 6 10 1 0 1 2 2 3 z y x y x
obtener de forma razonada los valores de x, y z. 34
Junio 03
Una compañía fabrica y vende dos modelos de lámparas A y B. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo A y 30 minutos para el modelo B; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo A y de 10 minutos para el modelo B. Se dispone para el trabajo manual de 6.000 minutos al mes y para el de máquina de 4.800 minutos al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 € para el modelo A y de 10 € para el modelo B, planificar la producción mensual para obtener el máximo beneficio y calcula este.
35
Junio 03 Debo tomar al menos 60 mgr. de vitamina A y al menos 90 mgr. de vitamina B diariamente. En la farmacia puedo adquirir dos pastillas de marcas diferentes X e Y. Cada pastilla de la marca X contiene 10 mgr. de vitamina A y 15 mgr. de vitamina B y cada pastilla de la marca Y contiene 10 mgr de cada vitamina. Además, no es conveniente tomar más de 8 pastillas diarias. Sabiendo que el precio de cada pastilla de la marca X es 50 céntimos de euro y que cada pastilla de marca Y cuesta 30 céntimos de euro, calcular de forma razonada:
a) Cuántas pastillas diarias de cada marca debo tomar para que el coste sea mínimo, y
b) Cuál es el coste mínimo. 36
Junio 03
Cinco amigos suelen tomar café juntos. El primer día tomaron 2 cafés, 2 cortados y un café con leche y debieron pagar 3 €. Al día siguiente tomaron un café, un cortado y tres cafés con leche, por lo que pagaron 3,25 €. El tercer día sólo acudieron cuatro de ellos y tomaron un café, dos cortados y un café con leche, ascendiendo la cuenta a 2,45 €. Calcular de forma razonada el precio del café, del cortado y del café con leche.
37 Sep. 03
El preu del bitllet d'una línia d'autobús s'obté sumant dues quantitats, una fixa i una altra proporcional als quilometres recorreguts. Per un bitllet entre les poblacions A i B s'han pagat 20 € i per un billet entre les poblacions A i C s'han pagat 32 €. Si la distancia de A a C és el doble de la distancia de A a B, calculeu de forma raonada quant s’haurà de pagar per un billlet a una
38 Sep. 03
Una empresa disposa d'un màxim de 16.000 unitats d'un producte que pot vendre en unitats soltes o en lots de quatre unitats. Per empaquetar un lot de quatre unitats es necessita el triple de material que per empaquetar una unitat solta. Si es disposa de material per empaquetar 15.000 unitats soltes, i si el benefici que s'obté per la venda de cada unitat solta és de 2 € i de cada lot de quatre unitats és de 7 €, calculeu de forma raonada el nombre d'unitats soltes i de lots de quatre unitats que s'ha de preparar per maximitzar el benefici i calculeu-ne aquest.
39 Sep. 03
Donats els punts del pla (1, 1) i (3, -2), es demana: a) trobeu de forma raonada l'equació de la recta que passa per ambdós punts, b) deduïu si l'esmentada recta és paral·lela o si talla la recta d'equació 3x + y = 5, i c) e aquest últim cas, calculeu el punt de tall.
40 Sep. 03
Es pretén invertir en dos productes financers A i B. La inversió en B ha de
ser almenys de 3.000 € i no es vol invertir en A més del doble que en B. Se
suposa que A proporcionarà un benefici del 10% i B del 5%. Si es disposa de 12.000 €, calculeu de forma raonada quant s'ha d'invertir en cada producte per maximitzar el benefici i determineu-ne aquest.
41 Juny 04
Donades les matrius = − 1 1 0 4 A , = − 0 2 2 1 B i − = 2 1 0 2 C Calculeu la matriu X que verifica l'equació AXB=2C. 42
Juny 04
Un banc disposa de 18 milions d'euros per oferir préstecs de risc alt i mitjà, amb rendiments del 14% i 7%, respectivament. Tot sabent que s'ha de dedicar almenys 4 milions d'euros a préstecs de risc mitjà i que els diners invertits en alt i mitjà risc ha d'estar com a màxim a raó de 4 a 5, determineu quant ha de dedicar-se a cadascun del tipus de préstec per maximitzar el benefici i calculeu aquest.
43 Juny 04
Joan decideix invertir una quantitat de 12.000 € en borsa, comprant accions de tres empreses diferents, A, B i C. Inverteix en A el doble que en B i C juntes. Transcorregut un any, les accions de l’empresa A s'han revaloritzat un 4%, les de B un 5% i les de C han perdut un 2% del seu valor original. Com a resultat de tot açò, Joan ha obtingut un benefici de 432,5 €. Determineu quant va invertir Joan en cadascuna de les empreses.
44
Juny 04 Un tren de mercaderies pot arrossegar, com. a màxim, 27 vagons. En cert viatge, transporta cotxes, i motocicletes. Per a cotxes ha de dedicar un mínim de 12 vagons i per a motocicletes no menys de la meitat dels vagons que dedica als cotxes. Si els ingressos de la companyia. ferroviària són de 540 € per vagó de cotxes i 360 € per vagó de motocicletes, calculeu com s'han de
distribuir els vagons perquè el benefici d'un transport de cotxes 1
45 Sep. 04
Obteniu la matriu X que verifica AX - B = 3X, essent: − − = − = 1 1 2 3 1 2 1 0 3 1 2 3 B i A 46 Sep. 04
Un fabricant produeix en dos tallers tres models diferents d'arxivadors, el A, el B i el C. S'ha compromés a entregar 12 arxivadors del model A, 8 del B i 24 del C. Al fabricant li costa 720 € al dia el funcionament del primer taller i 960 € el del segon. El primer taller produeix diàriament 4 arxivadors del model A, 2 del B i 4 del C, mentre que el segon produeix 2, 2 i 12 arxivadors, respectivament. Quants dies ha de treballar cada taller per a, tot complint el contracte, aconseguir reduir al màxim els costos de funcionament? Quin és el valor de l’esmentat cost? Quedaria algun excedent d’algun producte als tallers? En cas afirmatiu, determineu-ne quant.
47
Sep. 04 Dos fills decideixen fer un regal de 100 € a sa mare. Com que no tenen prou diner, compten amb l'ajuda de son pare i decideixen pagar el regal de la següent forma: el pare paga el triple del que paguen els dos fills junts i, per cada 2 € que paga el germà menor, el major paga 3 €. Quants diners ha de posar cadascú?
48 Sep. 04
Calculeu els punts de la regió definida per 5 2 6 3 15 2 6 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≥ + y x y x y x
on la funció z = 3x + 2y pren els valors màxim i mínim. Calculeu els esmentats valors.
49 Juny 05
Helena, Pere i Joan col·loquen diàriament fulls de propaganda sobre els parabrises deis cotxes aparcats al carrer.Pere reparteix sempre el 20% del total de la propaganda, Joan reparteix 100 fulls més que Helena i entre Pere i Helena col·loquen 850 fulls als parabrises. Plantegeu un sistema d’equacions que permeta esbrinar quants fulls reparteixen, respectivament, Helena, Pere i Joan i calculeu aquests valors.
50 Juny 05
Les necessitats vitamíniques diàries d’una persona són d’un mínim de 36 mgr. de vitamina A, 28 mgr. de vitamina C i 34 mgr. de vitamina D.
Aquestes necessitats es cobreixen prenent pastilles de la marca Energic i de
la marca Vigor. Cada pastilla de la marca Energic costa 0,03 € i proporciona
2 mgr. de vitamina A, 2 mgr. de vitamina C i 8 mgr. de vitamina D. Cada
pastilla de la marca Vigor costa 0,04 € i proporciona 3 mgr. de vitamina A, 2
mgr. de vitamina C i 2 mgr. de vitamina D. Quantes pastilles de cada marca s’han de prendre diàriament si es desitja cobrir les necessitats vitamíniques bàsiques amb el menor cost possible? Determineu l’esmentat cost.
51 Juny 05 Siga 1 5 2 1 3 2 1 2 2
la matriu dels coeficients d’un sistema d’equacions lineals i
1 1 1
la matriu dels seus termes independents. Es demana: a) Escriviu les tres equacions que formen el sistema. b) Obteniu totes les solucions del sistema.
52 Juny 05
Un venedor disposa de 350000 € per a invertir en dos tipus de microones. El que disposa de més accessoris té un cost de 150 € reporta un benefici de 15 € per unitat venuda, mentre que l’altre model sols proporciona un benefici d’11 € per unitat venuda i té un cost de 100 €. Tot sabent que només es poden emmagatzemar 3000 microones i que no es vendran més de 2000 del model més car, determineu quants microones de cada classe es deuen comprar per a maximitzar el benefici i calculeu aquest.
53
Sep. 05 Calculeu la matriu X = a0 bc que verifica l’equació matricial AXB = C ,
sent: − − − − = − − = = 8 3 2 1 3 1 2 1 , 1 1 0 1 C i B A . 54 Sep. 05
Una empresa farmacèutica té en l’actualitat dues línies d’investigació, la de medicaments antiinflamatoris no esteroides i la de ansiolítics. Desitja
invertir en la investigació com a màxim tres milions d’euros, amb la condició de dedicar almenys 1,5 milions d’euros als ansiolítics, amb els que espera obtindre un benefici del 10%. En canvi en la investigació sobre medicaments antiinflamatoris, encara que es calcula un benefici del 25%, no ha d’invertir més d’un milió d’euros. Quina quantitat ha de dedicar a cada línia
d’investigació per a maximitzar beneficis, si a més ha de dedicar als
ansiolítics almenys el doble de diners que als antiinflamatoris? Quin benefici obtindrà d’aquesta manera l’empresa?
55 Sep. 05
Dos germans decideixen invertir 10000 € cadascun en distints productes financers. El major va invertir una quantitat A en un producte que ha
proporcionat un benefici del 6%, una quantitat B en un altre que ha donat una rendibilitat del 5% i la resta en un termini fix al 2% d’interès. El germà menor va invertir eixes mateixes quantitats en altres productes que li han proporcionat, respectivament. uns beneficis del 4, 3 i 7 %. Determineu les quantitats A, B i C invertides si els guanys del germà major han segut 415 € i les del xicotet 460 €.
56 Sep. 05
Representeu la regió factible donada pel sistema d’inequacions:
2 1 3 1 2 1 − ≥ − ≥ ≤ − ≥ + y x y x y x
i trobeu els punts de la regió on la funció f(x,y)= 2x+3y assoleix els valors màxim i mínim i obtingueu tals valors.
57 Juny 06
Tres constructores inverteixen en la compra de terrenys de la forma següent: la primera va invertir mig milió d’euros en terreny urbà 250.000 euros en terreny industrial i 250.000 euros en terreny rústic. La segona, va invertir 125.000, 250.000 i 125.000 euros en terreny urbà industrial i rústic, respectivament, i la tercera, 100.000, 100.000 i 200.000 euros en aquests mateixos tipus de terreny, respectivament. Transcorregut un any, venen tots els terrenys. La rendibilitat que obté la primera constructora és del 13,75%, la de la segona de 1’11,25% i, finalment la de la tercera és del 10%.
Determina la rendibilitat de cada un dels tipus de terreny per separat. 58
Juny 06
Resol el següent sistema d’equacions lineals utilitzant el mètode de Cramer: = − = + − = − + 11 2 5 6 2 y x z x z y x 59 Juny 06
Una refineria de petroli adquireix dos tipus de cru, lleuger i pesat, a un preu de 70 i 65 euros per barril, respectivament. Amb cada barril de cru lleuger la refineria produeix 0,3 barrils de gasolina 95, 0,4 barrils de gasolina 98 i 0,2 barrils de gas-oil. Així mateix, amb cada barril de cru pesat produeix 0,1, 0,2 i 0,5 barrils de cada un d’aquests tres productes, respectivament. La refineria ha de subministrar almenys 26.300 barrils de gasolina 95, 40.600 barrils de gasolina 98 i 29.500 barrils de gas-oil. Determina quants barrils de cada tipus de cru ha de comprar la refineria per a cobrir les seues necessitats de
producció amb un cost mínim i calcula aquest. 60
Sep. 06 Determina la matriu A què verifica l’equació AB+ A= 2Bton B = −
2 0 1 3 i t
61 Sep. 06
Una destil·leria produeix dos tipus de whisky blend mesclant només dues maltes destil·lades distintes, A i B. El primer té un 70% de malta A i es ven a 12 €/litre, mentre que el segon té un 50% de l’esmentada malta i es ven a 16 €/litre. La disponibilitat de les maltes A i B són 132 i 90 litres,
respectivament Quants litres de cadascun dels whiskys ha de produir la destil·leria per a maximitzar els seus ingressos, sabent que la demanda del segon whisky mai supera a la del primer en més del 80%? Quins serien en aquest cas els ingressos de la destil·leria?.
62 Sep. 06
En el primer curs de batxillerat d’un institut hi ha matriculats un total de 65 alumnes dividits en tres grups: A, B i C. Dinen en el centre 42 d’ells, que corresponen a la meitat dels del grup A, les quatre cinquenes parts dels del B i les dues terceres parts dels del C. A una eixida fora del centre van acudir les tres quartes parts dels alumnes del grup A, tots els del B i les dues terceres parts dels del C, sumant en total 52 estudiants. Quants alumnes hi ha en cada grup?
63 Juny 07
Els tres models existents d’una marca d'automòbils costen 12.000, 15.000 i 22.000 euros, respectivament. Un concessionari ha ingressat 1.265.000 euros per la venda d'automòbils d’aquesta marca. Quants cotxes ha venut de
cadascun dels models si del més barat es van vendre tants com dels altres dos junts i del més car la tercera part dels cotxes que costen 15.000 euros?
64 Juny 07
a) Representa gràficament el conjunt de solucions del sistema determinat per les inequacions següents:
3y− 4x− 8≤ 0, y≥ −4x+ 4, y≥ 2, x≤ 1 b) Troba els vèrtexs de la regió anterior.
c) Calcula el punt on assoleix el mínim la funció f(x,y) =3x− y en la dita
regió. Determina aquest valor mínim. 65
Juny 07 Donada la matriu A= −11 23 , calcula A⋅At − 5A−1, sent At i A−1 les
matrius transposada i inversa de A ,respectivament.
66 Juny 07
Una fàbrica de fertilitzants produeix dos tipus d’adob, A i B, a partir de dues matèries primeres M1i M2. Per a fabricar 1 tona de A fan falta 500 Kg. de M1 i 750 Kg. de M2, mentre que les quantitats de M1 i M2 utilitzades per a fabricar 1Tm. de B són 800 Kg. i 400 Kg., respectivament. L’empresa té contractat un subministrament màxim de 10 Tm. de cadascuna de les matèries primeres i ven a 1.000 € i 1.500 € cada Tm. d’adob A i B,
respectivament. Sabent que la demanda de B mai arriba a triplicar la de A, quantes tones de cadascun dels adobs ha de fabricar per a maximitzar els seus ingressos i quins són aquestos?
67 Sep. 07
S’estan preparant dosis amb dos tipus de complements per als astronautes de la nau Enterprise. Cada gram del complement A conté 2 unitats de riboflavina, 3 de ferro i 2 de carbohidrats. Cada gram del complement B conté 2 unitats de riboflavina, 1 de ferro i 4 de carbohidrats. Quants grams de cada complement són necessaris per a produir exactament una dosi amb 12 unitats de riboflavina, 16 de ferro i 14 de carbohidrats?
68 Sep. 07
a) Troba els vèrtexs de la regió determinada per les inequacions següents: 12
3x+ y≤ , x− 2y≥ −3, 2
2− ≥ x
y , 2x+ 3y≥ 1,
b) Calcula els punts de la regió on la funció f(x) = 3x — 2y assoleix els valors
màxim i mínim i determina aquestos. 69
Sep. 07 Obtín totes les solucions del següent sistema d’equacions lineals:
− = + + − = + − − = + + 4 7 2 0 2 1 z y x z y x z y x 70 Juny 08
Una immobiliària ha venut un total de 65 places de garatge en tres
urbanitzacions diferents. Els guanys obtinguts per la venda d’una plaça de garatge en la urbanització A són de 2.000 euros, 4.000 euros per una en la urbanització B i 6.000 per una en la urbanització C. Sabem que s’han venut un 50% més de places en la urbanització A que en la urbanització C. Calcula el nombre de places de garatge venudes en cada urbanització sabent que el benefici obtingut per les venudes en la urbanització C és igual a la suma dels beneficis obtinguts per les venudes en les urbanitzacions A i B.
71
Juny 08 Determina la matriu X que verifica l’equació
t AB I AX + = , sent I la matriu identitat, − = 1 1 1 1 A , − = 1 1 1 2 B i Bt la transposada de la matriu B. 72 Juny 08
a) Representa gràficament el conjunt de solucions del sistema d’inequacions:
≤ − ≤ + − ≥ − ≥ + 5 y x 16 y 4 x 5 1 y 2 x 5 y 2 x 3
b) Determina els vèrtexs de la regió obtinguda en l’apartat anterior.
c) Calcula el punt on assoleix el mínim la funció f(x,y)= 3x− yen la dita
regió. Determina aquest valor mínim. 73
Sep.08
Antoni ha aconseguit 1372 euros treballant durant les vacances. Eixos diners pot gastar-los íntegrament comprant un ordinador portàtil, una camera digital i fent un viatge. El preu de l’ordinador portàtil excedeix en 140 euros a la suma dels preus de la camera i del viatge. Tenint en compte que el preu d’un segon acompanyant per al viatge és la meitat que el preu inicial, Antoni podria invitar el seu germà al viatge en el cas que no es comprara la camera digital i encara li quedarien 208 euros. Calcula els preus de l’ordinador, de la camera i del viatge.
74
Sep.08 Donada la matriu A= 14 23 a) Troba la seua inversa.
b) Resol l’equació − = + 20 10 8 6 5 2 A XA 75 Sep.08
Un cert armador es dedica a la pesca de rap i lluç. Les quotes pesqueres imposen que les seues captures totals no excedisquen les 30 tones (Tm). D’altra banda, la quantitat de rap com a màxim pot triplicar a la de lluç i, a més, aquesta última no pot superar les 18 Tm. Si el preu del rap és de 15 €/kg i el del lluç 10 €/kg, quines quantitats de cada espècie ha de pescar per a maximitzar els seus ingressos?
76
Juny 09 Un fruiter vol liquidar 500 kg de taronges, 400 kg de pomes i 230 de peres. Per a això prepara dues bosses de fruita d’oferta: la bossa A consta d’ 1 kg de taronges i 2 de pomes, i la bossa B consta de 2 kg de taronges, 1 kg de pomes i 1 kg de peres. Per cada bossa del tipus A obté un benefici de 2,5 euros, i 3 euros per cada una del tipus B. Suposant que ven totes les bosses, quantes bosses de cada tipus ha de preparar per a maximitzar els seus guanys? Quin és el benefici màxim? 77 Juny 09 Resol el sistema: = − + = + = − + 4 7 5 3 2 2 z y x z x z y x
Si (x,y,0) és una solució del sistema anterior, quins són els valors d’x i d’y? 78
Sep.09
Obtín totes les matrius columna
= z y x
X que siguen solucions de l’equació
matricial AX = B, on − = 0 2 1 1 1 0 1 1 1 A i − = 0 1 1 B . Quines d’aquestes
matrius X tenen la primera fila nul·la?
79 Sep.09
En un sondeig d’opinió s’obté que el nombre d’individus a favor d’una certa normativa duplica la suma dels que hi estan en contra i els que no n’opinen. El total d’entrevistats ascendeix a 360 persones i la diferència entre els que expressen la seua opinió i els que no ho fan duplica la diferència entre el nombre d’individus a favor i el nombre dels que hi estan en contra de la citada normativa. Determina quants entrevistats estaven a favor de la normativa, quants en contra i quants no hi van opinar.
80 Sep.09
Una empresa construirà dos tipus d’apartaments, un de luxe i un altre de superluxe. El cost del model de luxe és d’l milió d’euros i del de superluxe d’l,5 milions. Disposa per a l’operació de 60 milions d’euros. Per a evitar riscos, es creu convenient construir almenys tants apartaments de luxe com de superluxe i, en tot cas, no construir més de 45 apartaments de luxe. Quants apartaments de cada tipus interessa construir a l’empresa si vol maximitzar el nombre total d’apartaments construïts? Esgotarà el pressupost disponible?
81 Sep.09
Atès el sistema d’inequacions següent:
≤ − ≤ − − ≥ − ≥ + + − ≥ 2 4 3 6 4 0 5 3 2 x y x y x y y x x
a) Representa’n gràficament el conjunt de solucions i determina’n els vèrtexs.
b) Obtín els punts on la funció f(x,y) = 2x-3y assoleix els valors mínim i
màxim en l’esmentada regió. 82
Juny 10
En un forn mallorquí es fabriquen dos tipus d’ensaïmades, grans i xicotetes. Cada
ensaïmada gran requereix per a l’elaboració 500 g de massa i 250 g de farcit,
mentre que una xicoteta requereix 250 g de massa i 250 g de farcit. Es disposa de
20 kg de massa i 15 kg de farcit. El benefici obtingut per la venda d’una ensaïmada gran és de 2 euros i el d’una xicoteta és d’1,5 euros.
a) Quantes ensaïmades de cada tipus ha de fabricar el forn perquè el benefici obtingut siga màxim?
b) Quin és el benefici màxim?
83 Juny 10
Obtín la matriu X que verifica:
− − − = − − − 3 5 1 3 1 4 1 0 2 2 3 3 1 2 2 2 X 84 Sep.10
Un ramader disposa d’aliment concentrat i farratge per a alimentar les seues vaques. Cada kg d’aliment concentrat conté 300 g de proteïna crua (PC), 100 g de fibra crua (FC) i 2 Mcal d’energia neta de lactància (ENL), i el seu cost és 11 euros. D’altra banda, cada kg de farratge conté 400 g de PC, 300 g de
FC i 1 Mcal d’ENL, sent el seu cost 6,5 euros. Determina la ració alimentària
de mínim cost si sabem que cada vaca ha d’ingerir almenys 3500 g de PC, 1500 g de FC i 15 Mcal d’ENL Quin és el cost?
85 Sep.10
En un cinema s’han venut en una setmana un total de 1405 entrades i la recaptació ha sigut de 7920 euros. El preu de l’entrada normal és de 6 euros i la del dia de l’espectador 4 euros. El preu de l’entrada per als jubilats és sempre de 3 euros. Se sap, a més, que la recaptació de les entrades de preu reduït és igual al 10% de la recaptació de les entrades normals. Quantes entrades de cada tipus s’han venut?
86 Juny 11
Un comerciant ven tres tipus de rellotges, A, B i C. Els del tipus A els ven a
200 euros, els del tipus B a 500 euros i els del tipus C a 250 euros. En un mes
determinat ha venut 200 rellotges en total. Si la quantitat dels que ha venut aquest mes de tipus B és igual als que ha venut de tipus A i tipus C
conjuntament, calcula quants n’ha venut de cada tipus si la recaptació del
mes ha sigut de 73500 euros.
87
Juny 11 . Donades les matrius:
− − = 4 1 2 1 A , − − = 1 2 0 1 B i − = 1 2 1 3 C
a) Calculeu la matriu inversa de la matriu C.
b) Obteniu la matriu X que verifica AX + Bt= C, sent Btla matriu transposada
de B. 88
Sep. 11 L’amo d’una botiga de llepolies disposa de 10 paquets de pipes, 30 xiclets i 18 bombons. Decideix que per a vendre-les millor confeccionarà dos tipus de paquets: el tipus A estarà format per un paquet de pipes, dos xicles i dos bombons i es vendrà a 1,5 euros. El tipus B estarà format per un paquet de pipes, quatre xicles i un bombó i es vendrà a 2 euros. Quants paquets de cada tipus convé preparar per aconseguir els ingressos màxims? Determineu els ingressos màxims.
89
Sep.11 Siguen les matrius y D
.
a) Calculeu .
b) Determineu la matriu X que verifica que , on I és la