Seminario Universitario – Matemática
1
Módulo 6
Trigonometría
“La matemática compara los más diversos fenómenos y descubre las analogías secretas que
los unen”
Joseph Fourier
TRIGONOMETRÍA
Para comenzar a trabajar con trigonometría necesitamos primero conocer que es un ángulo orientado. Consideramos una semirrecta OM que puede girar alrededor de su origen O. Si esta rotación se efectúa en sentido contrario al de las agujas del reloj, diremos que la semirrecta ha rotado en sentido positivo, en caso contrario, el sentido será negativo.
La semirrecta OM ha girado en sentido positivo hasta ocupar la posición ON , engendrando el ángulo positivo .
Como el sentido de giro es negativo, el ángulo engendrado por la semirrecta OM al girar alrededor del punto O hasta ocupar la posición ON , es negativo.
Las semirrectas OM y ON reciben el nombre de lado inicial y lado terminal respectivamente.
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Sistema sexagesimal M N O N O M
De los sistemas de medición angular el más usado es el sexagesimal, cuya unidad es el grado sexagesimal que se define como la noventa ava parte de un ángulo recto:
1 1
90
R
En este sistema hay dos submúltiplos de la unidad:
a) el minuto sexagesimal: que es la sesenta ava parte de un grado: 1 1 60
;
b) el segundo sexagesimal: que es la sesenta ava parte de un minuto: 1 1 60 1 1 60 60 3600 .
En este sistema, es usual expresar la amplitud de un ángulo en forma compleja: 42 20 33
pero a veces es necesario expresar la amplitud del ángulo como un número expresado en una sola unidad (forma incompleja).
20 33
42 20 33 42 42 , 3425
60 3600
Observación: la mayoría de las calculadoras hacen esta conversión automáticamente, consulta en el manual.
Sistema Circular
Consideramos un sistema de ejes cartesianos y una circunferencia C con centro en el origen del sistema.
Si centramos un ángulo orientado , vemos que éste determina sobre la circunferencia un arco AB, orientado según el mismo sentido que .
En el sistema circular, se asigna como medida del ángulo a la longitud del arco subtendido por el mismo, tomando como unidad el radio de la circunferencia, por esto es que suele decirse que el ángulo está medido en radianes.
En símbolos: S
r
Donde S: longitud del arco y r: radio de la circunferencia.
Si consideramos un ángulo de 360° (un giro), la longitud del arco es la longitud de la circunferencia: 2 360 r 2 r x y A B O
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3 Es decir, un ángulo de 360° equivale a 2 (radianes). De esta equivalencia podemos deducir, dividiendo m.a.m por 2 y por 4 respectivamente:
180 90 2
Para convertir un ángulo expresado en el sistema sexagesimal al circular nos valdremos de una regla de tres simple. Por ejemplo:
Expresar 30° en el sistema circular:
180º ______ 30º 30º ______ = 180º 6 x
Observación importante: en el sistema circular, la amplitud de un ángulo está dada por un número real (sin unidades).
Si queremos expresar un ángulo del sistema sexagesimal dado en forma compleja en el sistema circular, antes de hacer la regla de tres, es necesario pasarlo a la forma incompleja. El pasaje del sistema circular al sexagesimal se hace de la misma manera.
ACTIVIDAD 1
1) Expresar en el sistema circular los siguientes ángulos dados en el sistema sexagesimal:
) 45 ) 56 25 47 ) 97 50 42 ) 320 11 30
a b c d
2) Expresar en el sistema sexagesimal los siguientes ángulos dados en el sistema circular: 3
) ) ) 0, 87 ) 1, 26
6 2
a b c d
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Recordemos los elementos de un triángulo rectángulo:
Hipotenusa: Es el lado opuesto al ángulo recto.
Catetos: Son los lados que forman el ángulo recto.
Si consideramos el ángulo agudo , el cateto c se denomina cateto opuesto (es el que no determina el ángulo ) y el cateto b es el cateto adyacente, que junto a la hipotenusa, forma el ángulo .
Con los lados del triángulo podemos formar seis razones: a ;b ;a c; ;b ; c
b a c a c b . A B C c a b
Se puede demostrar que estas razones no dependen de las longitudes de los lados sino que dependen exclusivamente del ángulo agudo
, por eso reciben el nombre de funciones trigonométricas.Cada una de ellas recibe un nombre especial:
Seno: Se llama seno de un ángulo al cociente entre el cateto opuesto al mismo y la hipotenusa.
sen c
a
Coseno: Se llama coseno de un ángulo al cociente entre el cateto adyacente al mismo y la hipotenusa.
cos b
a
Tangente: Se llama tangente de un ángulo al cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
t g c
b
Cotangente: Es el cociente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto. cot g b
c
Secante: Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
sec a
b
Cosecante: Es el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto. cosec a
c
Enunciemos ahora algunas relaciones importantes entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo:
1) Relación Pitagórica:
La suma de los cuadrados del seno y del coseno de un mismo ángulo es igual a 1:
2 2
sen cos 1.
2) La tangente de un ángulo es igual al cociente entre el seno y el coseno del mismo: sen t g cos .
3) La cotangente de un ángulo es igual al cociente entre el coseno y el seno del mismo: cos cot g sen .
4) La secante de un ángulo es el valor recíproco de su coseno: sec 1 cos
.
5) La cosecante de un ángulo es el valor recíproco de su seno: cosec 1 sen
.
Identidades trigonométricas
Las identidades trigonométricas son igualdades establecidas entre dos expresiones trigonométricas que se satisfacen para cualquier valor de los ángulos que figuran como argumentos.
Las relaciones entre las funciones de un mismo ángulo son identidades, como así también los casos triviales tales como cos cos, etc...
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5 Verificar una identidad trigonométrica significa reducir sus dos miembros a una misma expresión.
En la verificación de identidades no está permitido hacer pasajes de términos o factores (lo que significa que debemos trabajar con el primer y segundo miembro por separado).
Ejemplo: Verificar la identidad
2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 t g sec sen 1 1 cos cos cos sen 1 cos cos 1 1 cos cos ACTIVIDAD 2
Verificar las siguientes identidades:
2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 cos 1 1 ) 1 cos 1 cot g ) 1 sec sec 1 cos cos 1 ) 1 2 cos cos a t g t g b sen sen sen sen c sen sen FUNCIONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Recordemos que dos ángulos son complementarios si su suma es igual a un ángulo recto. En un triángulo rectángulo, sus ángulos agudos son complementarios, ya que:
ˆ ˆ ˆ 2 ˆ pero 1 ˆ ˆ 1 A B C R A R B C R
Notemos además, que el cateto c es opuesto para el ángulo Cˆ pero adyacente para el ángulo Bˆ ; algo similar ocurre con b: es adyacente para el Cˆ , pero opuesto para el Bˆ . En consecuencia: ˆ ˆ sen cos ˆ ˆ cos sen c C B a b C B a
Utilizando las relaciones entre funciones de un mismo ángulo:
ˆ ˆ sen cos ˆ ˆ t g = cot g ˆ sen ˆ cos C B C B B C
Si hacemos lo mismo con las demás funciones veremos que, las funciones y cofunciones de un ángulo, son respectivamente las cofunciones y funciones de su complemento.
A B C a b c
(coseno, quiere decir, justamente seno del complemento...)
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Es una circunferencia con centro en el origen de un sistema de coordenadas y radio unitario.
Para cualquier número real a, existe un arco de la misma que tiene longitud a y en consecuencia queda determinado un ángulo central cuya medida en radianes es también a.
El extremo libre del arco determina el punto A cuyas coordenadas son (x; y). El segmento OA recibe el nombre de radio vector.
Podemos ahora definir las funciones trigonométricas del número real a en función de las coordenadas del punto A. Resulta:
ordenada sen radio vector abscisa cos radio vector ordenada tg abscisa abscisa cotg ordenada radio vector sec abscisa radio vector cosec ordenada y a x a y a x x a y a x a y y x O r = 1 A (x; y) x y O x y a a
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7 De acuerdo al cuadrante al que pertenezca el punto A, las funciones trigonométricas tendrán diferentes signos, que dependen de los signos de su abscisa y su ordenada. (El radio vector es siempre positivo.)
Podemos resumir los signos de las funciones en el siguiente cuadro:
seno coseno tangente cotangente secante cosecante
I C + + + + + + II C + – – – – + III C – – + + – – IV C – + – – + – ACTIVIDAD 3 1) Si 7 25
sen I C , calcular las demás funciones. 2) Sabiendo que 3 0
5
cos sen , calcular las demás funciones.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES
Los ángulos notables son: 0°, 30°, 45°, 60° y 90°. Sus funciones trigonométricas se obtienen por métodos geométricos. No daremos aquí las demostraciones sino que simplemente mostramos un cuadro de sus valores.
seno coseno tangente cotangente secante cosecante
0° 0 1 0
1
30° 1 2 3 2 3 3 3 2 3 3 2 Segundo cuadrante: abscisa negativa y ordenada positiva Primer cuadrante: abscisa y ordenada positiva Tercer cuadrante: abscisa y ordenada negativa Cuarto Cuadrante: abscisa positiva y ordenada negativa O x y45° 2 2 2 2 1 1 2 2 60° 3 2 1 2 3 3 3 2 2 3 3 90° 1 0
0
1Estos valores son fáciles de recordar teniendo en cuenta la siguiente regla mnemotécnica: Los senos de los ángulos notables son respectivamente 0 ; 1; 2 ; 3 ; 4
2 2 2 2 2 . Es decir,
todos tienen la forma con 0; 1; 2; 3; 4 2
n
n . Teniendo en cuenta que 0° y 90°, 30 y 60° son complementarios y que 45° es complemento de sí mismo, la columna correspondiente a la función coseno, es la del seno escrita en forma inversa. Para las demás funciones, se utilizan las relaciones entre las funciones de un mismo ángulo.
ACTIVIDAD 4
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones:
2 2 2 2
1
1) sen 60 cos 45 cos 60 sec 60 sen 45 cot g 30 2
cos 0 cos 60 cos 0 cos 60 2)
sen 30 sen 90 sen 30 sen 90
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
Son segmentos cuyas medidas, tomando al radio de la circunferencia trigonométrica como unidad, representan los valores y signos de las funciones trigonométricas de los ángulos.
t A B 0 H C D E F L c sen m ed BA cos m ed OB t g m ed CD cot g m ed EF sec m ed OH cosec m ed OL
Las rectas t y c se llaman respectivamente ejes de tangentes y de cotangentes.
Como actividad te proponemos graficar las líneas trigonométricas para ángulos de los demás cuadrantes.
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9 GRÁFICOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1) y = sen x: Sinusoide o Senoide Características:
a) Es continua
b) Es periódica (período 2 ) c) Su dominio es .
d) Su recorrido es {y / –1 y 1}
e) Alcanza su valor máximo para x =
2
y todos sus congruentes.
f) Alcanza su valor mínimo para x =
3 2
y todos sus congruentes. g) Sus ceros son
x = 0 + 2 k ; x = + 2 k
Observación: 2 k , k indica un número
exacto de giros, al sumarlo al ángulo estamos indicando todos sus congruentes.
2) y = cos x: Cosinusoide o Cosenoide Características:
a) Es continua
b) Es periódica (período 2) c) Su dominio es .
d) Su recorrido es {y / –1 y 1}
e) Alcanza su valor máximo para x = 0 + 2 k .
f) Alcanza su valor mínimo para x =
+ 2 k . g) Sus ceros son
x = 2 + 2 k ; x = 3 2 + 2 k 3) y = tg x: Tangentoide Características:
a) Es discontinua, presenta saltos infinitos en
x = 2 + 2 k ; x = 3 2 + 2 k b) Es periódica (período ) c) Su dominio es: – { 2 + 2 k ; 3 2 + 2 k } d) Su recorrido es
e) No tiene valor máximo ni mínimo f) Sus ceros son x = 0 + k .
4) y = cotg x: Cotangentoide Características:
a) Es discontinua, presenta saltos infinitos en x = 0 + 2 k ; x = + 2 k b) Es periódica (período ) c) Su dominio es: – {0 + 2 k ; + 2 k } d) Su recorrido es
e) No tiene valor máximo ni mínimo f) Sus ceros son x =
2
+ k
5) y = sec x: Secantoide Características:
a) Es discontinua, presenta saltos infinitos en x = 2 + 2 k ; x = 3 2 + 2 k . b) Es periódica (período 2 ) c) Su dominio es: – { 2 + 2 k ; 3 2 + 2 k }
d) Su recorrido es Rec = {y/|y| 1} e) No tiene valor máximo ni mínimo f) No tiene ceros.
6) y = cosec x: Cosecantoide Características:
a) Es discontinua, presenta saltos infinitos en
x = 0 + 2 k ; x = + 2 k . b) Es periódica (período 2 ) c) Su dominio es:
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– {0 + 2 k ; + 2 k } d) Su recorrido es Rec = {y/|y| 1} e) No tiene valor máximo ni mínimo f) No tiene ceros.
INVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Llamaremos problema directo al siguiente:
“Dado un ángulo, encontrar el valor de una función trigonométrica”, por ejemplo, haciendo uso de la calculadora:
cos 23º15’ = 0,91879121… El problema inverso es:
“Dado el valor de una función trigonométrica, hallar el ángulo”. Por ejemplo: Si sen = 0,43421; hallar
Se dice que es el arco seno de 0,43421 y se expresa:
= arc sen 0,4321
= 25º 44’ 6”
De igual manera se procede para las demás funciones.
Pero notemos que el valor de no es único, porque además de los infinitos congruentes con él, existe otro ángulo menor que un giro que es solución del problema. Para ello, recordemos que el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante, entonces, el ángulo del segundo cuadrante es:
180º – (25º 44’ 6”) = 154º 15’ 54”
Es conveniente trabajar siempre con el valor positivo de la función (entonces obtendremos un ángulo del primer cuadrante) y después, de acuerdo al signo de la función, ubicar los ángulos correspondientes de la siguiente forma:
Llamando al ángulo del primer cuadrante: a) Segundo cuadrante: 180º – b) Tercer cuadrante: 180º + c) Cuarto cuadrante: 360º – Ejemplo: Si t g 3, hallar .
arc t g 3como la tangente es negativa, los ángulos que cumplen con esta condición son del segundo o del cuarto cuadrante.
Buscamos arc t g 3 60
En consecuencia, el ángulo del segundo cuadrante es 1 180 60 120 y el del cuarto cuadrante es 2 360 60 300.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo rectángulo es calcular sus elementos teniendo como datos dos de ellos. Se dan cuatro casos, llamados casos clásicos:
1. Datos: La hipotenusa y un ángulo agudo 2. Datos: Un cateto y un ángulo agudo 3. Datos: La hipotenusa y un cateto
4. Datos: Los dos catetos.
Para resolver triángulos rectángulos son suficientes las definiciones de seno, coseno y tangente y el teorema de Pitágoras.
No desarrollaremos aquí los casos clásicos, que pueden consultarse en cualquier texto de trigonometría, sino que veremos aplicaciones a problemas.
Ejemplo 1:
Calcular la longitud de la sombra que proyecta un poste vertical de 3 m de altura, cuando el sol está a 48° sobre el horizonte.
Resolución:
Es fundamental hacer un gráfico de la situación para saber qué debemos aplicar:
Como se desprende del gráfico, calcular la longitud de la sombra es hallar el cateto adyacente al ángulo de 48°, conociendo el cateto opuesto que es la altura del poste.
El siguiente paso es buscar una función trigonométrica del ángulo dado como dato, que relacione la altura del poste (cateto opuesto) con la longitud de la sombra (cateto adyacente). Dicha función es la tangente. En consecuencia:
3 3 t g 48 2, 70 t g 48 m m x m x Ejemplo 2:
La base de un rectángulo mide 4 cm y su altura 2 cm. Calcular:
a) la longitud de su diagonal;
b) el ángulo que forma la diagonal con la base. Resolución:
Para hallar la longitud de la diagonal, vemos que ésta es la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene por catetos a la base y a la altura del rectángulo. Por teorema de Pitágoras:
2
2 2 2 24 2 16 4 20 2 5
d cm cm cm cm cm cm
Para calcular el ángulo, buscamos una función del mismo que vincule a los datos, esta función es la tangente: 2 1 t g 4 2 1 2 26 33 54 cm cm arc t g
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Poste: h = 3 m Sombra: x 48° 4 cm 2 cm d
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13 Para resolver triángulos oblicuángulos (no rectángulos), aplicaremos dos teoremas que no demostraremos:
1) Teorema del Coseno
En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de los mismos multiplicado por el coseno del ángulo que ellos forman.
2 2 2 ˆ 2 cos a b c b c A 2 2 2 ˆ 2 cos b a c a c B 2 2 2 ˆ 2 cos c a b a b C
2) Teorema del Seno
En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
ˆ ˆ ˆ
sen sen sen
a b c
A B C
Ejemplo:
Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas de 175 N y 225 N. Si las direcciones de las fuerzas forman un ángulo de 50º 10’, encontrar la intensidad de la resultante y el ángulo que forma con la fuerza más grande.
Resolución: Primeramente hagamos un gráfico de la situación:
Veamos cómo hemos calculado el ángulo Bˆ :
En el paralelogramo ABCD: DABˆ Bˆ BCDˆ Dˆ 360
Pero, como los ángulos opuestos son congruentes: 2
DABˆ Bˆ
360 Entonces: ˆ ˆ 180 ˆ 180 ˆ 180 50 10 129 50 DAB B B DAB Aplicando el teorema del coseno:
b = ? c = 225 a =175 a =175 50°10’ 129°50’ B D C A A B C b c A B C b c
2 2 2 2 225 175 2 225 175 cos129 50 131693, 8291 131693, 8291 362, 9 b b b b N
Para hallar el ángulo que la resultante forma con la fuerza de 225 N, aplicamos el teorema del seno: 175 sen 129 50 175 362, 9 sen 0, 370307 sen sen 129 50 362, 9 0, 370307 21 40 arc sen ÁREA DE UN TRIÁNGULO Todos conocemos la fórmula
2
b h
A , pero existen otras expresiones que permiten calcular el área de un triángulo:
1) El área de un triángulo es igual al
semiproducto de dos lados, multiplicado por
el seno del ángulo que ellos forman:
1 ˆ
sen 2
Área b c A
2) Fórmula de Herón: Área p p
a
p b
p c
, donde p se denomina semiperímetro y es2
a b c p .
FUNCIONES DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
Las funciones trigonométricas no son distributivas con respecto a la suma ni a la resta de ángulos. Las expresiones que permiten hallar el seno, coseno y tangente de la suma o diferencia de dos ángulos son las siguientes:
a)
Seno de la suma y diferencia de dos ángulos
sen = sen cos cos sen
sen sen cos cos sen
b)
Coseno de la suma y diferencia de dos ángulos
cos cos cos sen sen
cos cos cos sen sen
c)
Tangente de la suma y diferencia de dos ángulos AB
C b
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t g t g t g 1 t g t g t g t g t g 1 t g t g Ejemplo:Hallar las funciones de 75°, haciendo 75° = 45º + 30º. Resolución:
2 3 2 1 2 3 1
sen 75 sen 45 30 sen 45 cos 30 cos 45 sen 30
2 2 2 2 4
2 3 1 2 3 2 1cos 75 cos 45 30 cos 45 cos 30 sen 45 sen 30
2 2 2 2 4 3 3 3 1 t g 45 t g 30 3 3 3 3 t g 75 t g 45 30 2 3 1 t g 45 t g 30 3 3 3 3 3 1 1 3 3 ACTIVIDAD 5 Calcular:
1) sen
,sen
,cos
,cos
, si 23 sen y 1 2 cos . 2) t g
,t g
si 2 1 4 t g y sen .FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DUPLO
Las funciones del ángulo duplo pueden deducirse muy fácilmente de las funciones de la suma de dos ángulos, haciendo 2 = + .
Las fórmulas correspondientes son:
2 2
2
sen 2 2 sen cos
cos 2 cos sen
2 t g t g 2 1 t g
Ejemplo: Calcular las funciones de 180° sabiendo que es el duplo de 90°. Resolución:
2 2 2 2sen 180 sen 2 90 2 sen 90 cos 90 2 1 0 0
cos180 cos 2 90 cos 90 sen 90 0 1 1
Surge un problema para calcular la tangente de 180° pues necesitamos la de 90°, pero ésta no está definida. Entonces, en lugar de usar la fórmula de la tangente del duplo de un ángulo hacemos: sen 180 0 t g180 0 cos180 1
ACTIVIDAD 6
Calcular
2 y
2 si 23
sen cos cos .
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD Dado un ángulo , el ángulo mitad es
2
. Las fórmulas que proporcionan las funciones de
la mitad del ángulo, 2
, conociendo la de cos son:
1 cos sen 2 2 1 cos cos 2 2 1 cos t g 2 1 cos
Por ejemplo, calcularemos las funciones de 22° 30’, que es el ángulo mitad de 45°:
2 2 2 1 1 cos 45 2 2 2 2 2 2 sen 22 30 2 2 2 4 2 2 2 2 1 1 cos 45 2 2 2 2 2 2 cos 22 30 2 2 2 4 2
2 2racionalizando nuevam ent e racionalizando 2 2 2 1 1 cos 45 2 2 2 2 t g 22 30 1 cos 45 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ACTIVIDAD 7
Verificar las siguientes identidades:
2 2 2 2 2 t g 2
1) 2 sen cos : cos 2) cos sen 2 sen cos 1 sen 2
2 2 1 t g 2 2 2 2
2
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17 En ocasiones es conveniente expresar la suma o diferencia de dos senos o dos cosenos como un producto de funciones trigonométricas, (en otras, conviene expresar un producto como una suma o resta). Para ello nos valdremos de las siguientes fórmulas:
a) Transformación en producto de la suma de dos senos
sen sen 2 sen cos
2 2 Ejemplo: 60 30 60 30
sen 60 sen 30 2 sen cos 2 sen 45 cos15 2
2 2
2
2 cos15 2 cos15
b) Transformación en producto de la diferencia de dos senos
sen sen 2 cos sen
2 2
c) Transformación en producto de la suma de dos cosenos
cos cos 2 cos cos
2 2
d) Transformación en producto de la diferencia de dos cosenos
cos cos 2 sen sen
2 2
Estas fórmulas sirven también para calcular la suma o diferencia entre un seno y un coseno, por ejemplo:
por ser ángulos com plem ent arios
sen 30 cos 50 cos 90 30 cos 50 cos 60 cos 50
60 50 60 50
2 cos cos 2 cos 55 cos 5
2 2 ACTIVIDAD 8
1) Aplicando transformaciones en producto, hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:
) 15 cos15 ) cos 75 75
a sen b sen
2) Verificar la identidad: 2 3 2
cos cos 2 cos 3
sen x sen x sen x
t g x
x x x
SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS
Actividad 1: 1) ) ) 0, 98488 ) 1, 70772 ) 5, 588404
a b c d
2) ) 30a b) 270 c) 49 50 50 d) 72 11 34
Actividad 2: A cargo del alumno.
Actividad 3: 1) 24 ; 7 ; 24 ; 25; 25
25 24 7 24 7
cos t g cot g sec cosec
2) 4 ; 4 ; 3 ; 5; 5
5 3 4 3 4
sen t g cot g sec cosec
Actividad 4: 1) 1 2) –2 Actividad 5:
2 15 2 15 5 2 3 5 2 3 1) 6 6 6 6 32 5 15 32 5 15 2) 11 11sen sen cos cos
tg tg Actividad 6:
2 2 14
2 5 9 9 sen cos Actividad 7: A cargo del alumno. Actividad 8:
1) ) 6 ) 2
2 2
a b
2) A cargo del alumno (sugerencia: asociar las funciones de x y de 3x para aplicar transformaciones en producto).
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