T R lbf pie I I 3, Solution is: I slug pie 2

Ejercicios de Dinámica de Rotación:

1.- Un peso de12 lbf cuelga de una cuerda enrollada en un tambor de 2pies de radio, giratorio alrededor de un eje fijo O. La aceleración angular del tambor es de:3 rad

s2 a) Calcular la aceleración del peso de 12 [lbf]

b)Tensión en la cuerda.

c) Par de fuerzas que recibe el tambor d) Momento de Inercia del tambor. Resolución: a  R → a  32  6 pie s2 a partir de la ecuación: mg−T  ma → T  mg−ma → T  12− 12 32.174 6  9. 762 2   TR →   9. 762 22  19. 524lbfpie

  I → 19. 524  I3, Solution is:I  6. 508slugpie2_

... 2.- Un volante tiene un momento de inercia de 12 slugpie2_{y pesa 100lbf Está}

acelerándose a la razón constante de2 rad_s2 .La masa del volante se supone que está concentrada en la llanta.

Calcular : el radio de giro ; diámetro, par resultante que recibe el volante, tiempo que tarda el volante en alcanzar una velocidad de10rads 

  I   FR   f−i t   I →   122  24lbfpie   f−i t → 2  10−0 t , Solution is:t  5s I  mk2 _{→ 12 } 100 32.174k

2_{, Solution is:k  1. 964 9(radio de giro)} 21. 964 9  3. 929 8(diámetro)

... 3.- Una rueda tiene 12 [cm] de de radio, una masa de 2.000gy un momento de

inercia de 105gcm2_{y rueda en una superficie plana con una velocidad lineal de 15}cm s 

Calcular : con qué velocidad se mueve el eje ; la velocidad angular del eje ;la energía cinética de traslación ; la energía cinética de rotación con respecto al eje ;la cantidad de movimiento lineal ; la cantidad de movimiento angular con relación al eje.

R  12cm v  15cms

m  2000g I  105gcm2_ resolución:

v  R → 15  12 →   15₁₂  1. 25rads rapidez angular

EcT  1₂mv2 → Ec  1₂ 2000152  225 000 erg EcR  1₂I2 → EcR  1₂ 1051. 252  82. 031erg p  mv → p  200015  30000g cm s  L  I → L  1051. 25  131. 25 g cms2 ... 4.- Un hombre se encuentra en una plataforma giratoria, montada en en chumaceras sin fricción, que describe 6 [rad/s] . La energía cinética de rotación del hombre más la

plataforma vale 18 pie•[lbf]

¿ Cuánto vale el momento de inercia del conjunto hombreplataforma ?

Cuando el hombre extiende sus brazos su velocidad angular desciende a 3 [rad/s] . Calcular la cantidad de movimiento angular del conjunto en estas condiciones.

ECR  1₂I2 → 18  1₂ I62 → I  1slugpie2

L  I → L  16  6 slug pie_s2 es la cantidad de movimiento angular antes de que el hombre extienda los brazos , por conservación de la Cant. de Movimiento, este valor se mantiene, y lo que cambia es el momento de Inercia.

... 5.- Un volante tiene un momento de inercia de 100 slugpie2_{y un radio de giro de 4}

pie, estando sujeto a un momento de 8lbf pie.

Calcular su masa ; su peso ; aceleración angular ; el tiempo necesario para que se produzca un cambio de velocidad angular de 10rads 

  I   FR I  mRG

I  mRG2 → 100  m42 → m  25₄  6. 25slug

... 6.- Un disco homogéneo , que tiene una masa de 2 [kg] y un radio de 10 [cm], gira con respecto a su eje geométrico a 200 [rpm]. Calcular la fuerza constante que aplicada tangencialmente a la llanta, detenga al disco en 40 [s]

200rpm  200 2 60  20 3   20. 944 rad s  F ←   FR I ← I  1₂ mR2 ↑ ↓  ←   I ↑   F−i t →  I  1 2mR 2 _{→ I } 1 2 20. 10 2 _{ 0. 01kgm}2_   F−i t →   0−20. 944 40  −0. 523 6 rad s2   I →   0. 01 −0. 523 6  −5. 23610−3_N   FR → −5. 23610−3 _{ F10, Solution is:F  −5. 23610}−4_N ... 7.- Un tambor cilíndrico homogéneo , pesa 15lbfy tiene un radio de 6plg.

Con relación a su eje geométrico gira a 2rev s 

Calcular : momento de inercia con respecto a su eje de rotación; aceleración que produce una fuerza tangencial de 1 lbf aplicada a la llanta ; tiempo necesario para que se detenga ;número de revoluciones que hace el tambor hasta detenerse.

F →   FR I ← I  1 2mR 2 ↑ ↓   it 1₂t2  ←   I 2  F2 −i2 ↑ ↑ t ←   F−i t → 

i  2 revs  22rads  12. 566rads

I  1₂mR2 → _I  1 2 15 32   6 12  2  5. 859 410−2 ≈ _{0. 05 859 4slug}_pie2_ I  mRG2 → 0. 05 859 4  15₃₂ RG2, Solution is:RG  0. 353 55pie

  FR →   1 ₁₂6  0. 5

  I → 0. 5  0. 05 859 4, Solution is:  8. 533 3 rad

s2

  it− 1₂t2 →   12. 5661. 472 6− 1₂8. 533 31. 472 62  9. 252 3rad

también:2  _F2 _−

i

2 _{→ 2−8. 533 3  0−12. 56}2_{, Solution is:  9. 243 4} finalmente:  9. 252 3rad  9. 252 3rad _2rev_rad  9. 252 3_2 rev  1. 472 6rev

... 8.- Calcular la distancia que debe recorrer un aro de 6 [plg] de radio que rueda hacia arriba de un plano inclinado 30º, si su velocidad lineal al [pie] del plano es 5 [pie]/s

Considerando:mgh  1 2I

2 _ 1 2mv

2 _{(teorema de conservación de la energía)} mgh  1

2mR

2_2 _ 1 2mv

2 _{en donde:I  mR}2 _{, momento de inercia de un aro} mgh  1 2mR 2_2_ 1 2mv 2 _{→ mgh } 1 2 mv 2 _ 1 2 mv 2 _{ mv}2 _{→ mgh  mv}2 _{,recordar que} v  R gh  v2 → _h  v2 g

pero:sin 30∘  h_d → h  dsin 30∘  1₂d → 1₂d  vg2 →

d  2vg2 → d  25 2 32  25 16  1. 562 5pie ... 9.- Una rueda de automóvil con su neumático, que pesa 60 [lbf] tiene un momento de inercia combinado de 3slugpie2_

Calcular el radio de giro ;aceleración angular producida cuando se aplica mediante un freno un par de fuerzas de 2lbfpie

I  mRG2 → 3  60₃₂RG2, Solution is:RG  1. 264 9pie

  I → 2  3, Solution is:   0. 666 67 rad

s2

... 10.- Un aro de 2 [lbf] y de 6 [plg] de radio gira por el piso con una velocidad angular de 90 vueltas por minuto. ¿ Cuál es su energía cinética total ?

  90 rev min  90 2 60  rad s   9. 424 8rads  v  R → v  9. 424 8 ₁₂6  4. 712 4 I  mR2 → I  ₃₂2 ₁₂6 2  ₆₄1  1. 562 510−2

Etotal  1₂I2  ₂1mv2 → Etotal  1₂1. 562 510−29. 424 82  1_{2 32}2 4. 712 42  1.

387 9lbfpie

... 11.- Una cuerda se enrolla en un cilindro homogéneo de 6 [plg] de radio y de 3 [lbf] El extremo libre de la cuerda se amarra al techo desde donde el cilindro se deja caer,

empezando desde el reposo . Conforme la cuerda se desenrolla., el cilindro gira. ¿Cuánto vale la aceleración lineal del centro de masa ? ¿ la velocidad lineal y a qué velocidad gira el cilindro después de haber caído 6 pies ? ¿ Cuánto vale la tensión en la cuerda ?

mg−F  ma d  vit 1₂at2 a  vF−_tvi   FR   I 2ad  vF2 −vi2 a  R I  1₂mR2 _{v  R} mg−F  ma, Solution is:a  − 1 mF−gm (*) de  FR y  I, obtenemos: FR  I en donde: I  1 2mR 2_{, luego:FR } 1 2mR 2_{ →F } 1

2ma, que se puede sustituir en (*) a  −m1 1₂ma−gm, Solution is:a  2₃g → a  2₃ 32  21. 333

pie s2 ahora es posible calcular la tensión:21. 333  − 1

3 32

F−3, Solution is:F  1. 0lbf 2ad  vF2 −vi2 → 221. 3336  vF2 −0, Solution is:v  16. 0

pie s

v  R → 16  ₁₂6 , Solution is:   32rads 

Resumen de Resultados : 1.- 6pie

s2 ;9, 75lbf; 19, 50lbfpie; 6, 5slugpie 2_ 2.- 1, 96pie; 3, 90pie; 24lbfpie; 5s

3.- 15cm

s  ; 1,25rads ; 225.000 erg ; 78.100erg; 30.000gcm/s;125.000

[g•cm2•rad/s]

4.- 1slugpie2_{; 12} slugpie2

s

5.- 6,25slug; 200lbf; 0,08 rad

s2 ; 125s 6.- 5230dina

7.- 0,0587slugpie2_{; 0,352pie; -8,5} rad

s2 ; 1,48s ;1,47rev 8.- 1.566pie 9.- 1265pie; 0,67 rad s2 10.- 1,39lbfpie 11.- 21,3 pie s2 ; 16 pie s ;32rads 1lbf

Nuevo listado:

1.- Un disco sólidoI  1₂mR2_{de20kg rueda sobre una superficie plana horizontal a} razón de4 ms .

Determínese su energía cinética total.

"La energía cinética total de un cuerpo que rueda es igual a la suma de su energía cinética rotacional alrededor de un eje que pasa por su centro de masa y la energía cinética traslacional de una masa puntual equivalente que se mueve con el centro de masa." En forma de ecuación:

ECtotal  1₂I2_ 1 2mv

2

Para el problema que ocupa nuestra atención:I  1₂mR2 se tendrá:ECtotal  1₂1₂mR2_2 _ 1 2 mv 2 _{→ E} Ctotal  1₄mR2  1₂mv2, en donde v  R ECtotal  1₄mv2  1 2mv 2 → _E Ctotal  3₄ mv2

de este modo:ECtotal  3₄ 2042  _240J Notabene:

Si consideramos una partícula de masa "m" moviéndose a lo largo de una trayectoria circular, su energía cinética es igual a 1

2mv

2_{,si la velocidad angular es}_{y el radio de la} circunferencia es R, se tendrá: 1 2mv 2  1 2mR 2 _ 1 2 mR 2_2 En donde a la cantidad 1 2mR

2_{se ha convenido en llamar Momento de Inercia(o} momento de segundo orden, por la presencia de una potencia de exponente dos)

En general para un sistema de "n" partículas, esta expresión toa la forma: 1

2

∑

miRi 2_ Al tratarse de un cuerpo sólido, la expresión anterior se generaliza aún más, tomando la forma de una integral, que se debe resolver sobre la región ocupada por el cuerpo.

I 



regiónr

2_dm

... 2.- Una bola de boliche de 6kg I  2

5mR

2_{parte del reposo y rueda hacia abajo de una} pendiente regular, hasta que alcanza un punto que se encuentra 80cmmás abajo que el punto de partida(medido verticalmente) ¿Con qué rapidez se está moviendo? Ignorar las pérdidas por fricción.

Tomando como nivel de referencia, el punto situado a 80 cm bajo el punto de partida, se debe cumplir por el teorema de conservación de la energía:

mgh  1₂mv2  1 2I 2 _{, como: I}  2 5mR 2 _{al reemplazar:mgh}  1 2mv 2  1 2  2 5mR 2 2 mgh  1₂mv2 _ 1 5mv 2 _{→ mgh } 7 10mv 2 _{→ v } 10 7 gh → v  10 7 9. 80. 80 m s  v  3. 346 6 ms  ... 3.- La varilla OA de la figura es una regla de un metro de longitud y que está articulada en el punto O, de manera que puede dar vueltas en un lano vertical. Se sostiene

horizontalmente y después se suelta. Calcular la rapidez angular de la varilla y la rapidez lineal de su extremo libre, cuando pasa a través de la posición que se muestra en la figura.

60º

B

A O

Haciendo uso del Principio de Conservación de la Energía y tomando en cuenta que el punto B, en el que se puede considerar la masa de la regla concentrada en su

totalidad(centro de masa), baja una una distancia l

2 sin 60

∘_{, en consecuencia:}

mgh  1₂I2 _{, ya que no hay movimiento de traslación.} mg₂l sin 60∘  1₂ ml₃2 2 _{→ gsin 60}∘ _ l 3 2   3gsin 60∘ l →   39.8 sin 60∘ 1 →   5. 045 9 rad s → v  5. 045 9ms ( ya que R1m) ... 4.- Un cilindro sólido de 82kgy 22cmde radio tiene una fuerza aplicada constante de 45N aplicada tangencialmente en su superficie por medio de una banda de cuero.

Hallar :

a) momento de Inercia b) aceleración angular.

c) velocidad angular al cabo de 4 segundos.

d) desplazamiento angular al cabo de 4 segundos.

e) demuéstrese que el trabajo realizado sobre el cilindro es igual a su energía cinética a los 4 segundos.

a) Para un cilndro sólido:I  1₂mR2 _{→ I } 1

2 820. 22

2 _{ 1. 984 4kgm}2_ b) A partir de :  I → FR  I →   F_IR →   45_{1. 984 4}0.22  4. 988 9 rad

s2 c) Considerando que parte del reposo cuando t0:

  F−i t → 4. 988 9  F−0 4 , Solution is:F  19. 956 rad s 

d)2  F2 −i2 → 24. 988 9  19. 9562 −0, Solution is:  39. 913rad

e) La energía cinética angular viene dada por :EC  1₂I2

es decir:EC  1₂ 1. 984 419. 9562  395. 14J

y el trabajo:W    FR; luego:W  450. 2239. 913  395. 14J Es decir se cumple:W  EC

Observación: Cualquier pequeña diferencia en los valores decimales se deben al arrastre de las aproximaciones decimales.

... 5.- Cuando se aplican 100J de trabajo sobre un volante, su rapidez angular se

incrementa de

60rpma 180rpm¿Cuál es su momento de Inercia?

a partir de :W  1₂IF2 − 1₂ Ii2 → W  ₂1 IF2 −2i → I  _2W F

2_−

i

2_

como:i  60rpm  60 2₆₀  2rads ,F  180rpm  180 2₆₀  6 rads 

I  _ 2100 62−22  25 42  0. 633 26 → I  0. 633 26kgm 2_ ... 6.- Una rueda de 5 kg con radio de giro de 20 cm llega a tener una rapidez de 10rev

s 

en 25spartiendo del reposo. Determínese la torca (momento) constante no balanceada requerida.

F  10revs   102rads   20rads 

  F−i t →   20−0 25  4 5 rad s comoI  mRG2 → I  50. 202  0. 2kgm2   I →   0. 2 4 5 →   0. 16  0. 502 65Nm ... 7.- Una rueda de 4kg y radio de giro de 20cmestá rotando a 360rpm. La torca

debida a la fuerza de fricción es de 0,12Nm. Calcúlese el tiempo necesario para llevar la rueda hasta el reposo.

El momento de Inercia para la rueda es:I  mRG2

luego: I  40. 202 _{→ I  0. 16kgm}2_

como  I → 0. 12  0. 16, Solution is:  0. 75 rad

s2 comoi  360rpm  3602₆₀ rads   12rads 

  F−i

t → −0. 75 

0−12

t , Solution is:t  50. 265s