Guia_Transformaciones_lineales.pdf

(1)

________________________________________________________________________________ Universidad Diego Portales – Instituto de Ciencias Básicas – Ingeniería Civil

1

Transformaciones lineales

1. Determine si las siguientes aplicaciones son o no lineales. Justifique su respuesta: a) T : ℜ →ℜ; T

( )

x = x

b) T : ℜ2 →ℜ2; T(x, y) = (2x – y, x)

c) T : ℜ3 →ℜ2; T(x, y, z) = y, z – x + 3)

d) T : ℜ2 → ℜ2; T(x, y)=(x2, y)

e) T : ℜ2 → ℜ; T(x, y) = xy

f) T : ℜ4 →ℜ4; T(v) = -v

g) T : ℜ3 → ℜ3; T(v) = v + (0, -1, 0)

2. Demuestre que F : ℜ2 → ℜ2 definida por F(x, y) = (ax + by, cx + dy), donde a, b, c, d ∈ℜ, es una aplicación lineal.

3. Determine si las siguientes aplicaciones de M₂

( )

ℜ en ℜ son o no lineales

a) a d

d c

b a

T _ = +

    

b) ad bc

d c

b a

T _ = −

    

c) a2 b2

d c

b a

T _ = +

    

d) 2a 3b d

d c

b a

T _ = + −

    

4. Sea B una matriz real de orden n y consideremos la función T: M_n

( )

ℜ → M_n

( )

ℜ definida por T(A) = AB. Demuestre que T es una transformación lineal.

5. Sean V, W espacios vectoriales sobre κ y T : V→ W transformación lineal. Demuestre que T(0) = 0 y, mediante un ejemplo, muestre que T(0) = 0 no es una condición suficiente para que T sea una transformación lineal.

(2)

2 7. Sea T : V→ W aplicación lineal y sea

{

υ₁,K,υ_n

}

⊂V_{un conjunto tal que}

( )

{

T υ1 ,K,T υn

}

es linealmente independiente. Demuestre que

{

υ1,K,υn

}

es

linealmente independiente.

8. Sea T : V→ W aplicación lineal y sea

{

υ₁,K,υ_n

}

⊂V_{un conjunto linealmente} independiente. Si T es inyectiva, demuestre que

{

T

( )

υ₁ ,K,T

( )

υ_n

}

_{es linealmente} independiente.

9. Sea T : ℜ2 → ℜ2 transformación lineal tal que T(1, 2) = (-1, 5) y T(-1, -3) = (2, 4).

Calcule T(1, 0), T(0, 1) y encuentre una expresión para T(a, b), con (a, b) ∈ℜ2.

10. Encuentre una transformación lineal F : ℜ3 → P₁

[ ]

x tal que F(1, 0, -1) = 2 – x, F(0, 2, 1) = 1 + x y F(1, 3, 1) = 3x –2.

11. Decida si las siguientes funciones son o no aplicaciones lineales. Para las que sean lineales, determine el núcleo y la imagen.

a) T : ℜ2 →ℜ; T(x, y) = x – y + xy

b) T : ℜ2 →P₂

[ ]

x ; T(a, b) =(a+b) +(a−b)x2

c) T : ℜ3 →ℜ2; T(x, y, z) = (x – z, 2y + x)

d) T : M₂(ℜ)→ ℜ; T(A) = det(A)

e) T : M₃(ℜ)→M₃(ℜ); T(A)=At f) T : P₂

[ ]

x → P₄

[ ]

x ; T

(

p

( )

x

)

= x2p

( )

x

g) T :

(

[ ]

ℜ

)

→ ℜ =

∫

b

a f(x)dx )

f ( T ; ;

b , a C

12. Encuentre bases para Ker T (núcleo de T) e Im T (imagen de T) para cada una de las siguientes aplicaciones lineales. Verifique que dim V = ρ

( )

T +η

( )

T .

a) T : ℜ3 → ℜ3; T(x, y, z) = (x, 2x + y, 0) b) T : ℜ3 →ℜ; T(a, b, c) = a – 3b + 4c

c) T : ℜ3 → ℜ3; T(x, y, z) = (2x – y, x – 2y + z, x + z)

d) T : _=

    

ℜ → ℜ

d c

b a T ; )

(

(3)

3 e) T : M₃(ℜ)→ℜ; T(A) = tr (A)

f) T : M₃(ℜ)→M₃(ℜ); T(A)=At

g) T : P₂

[ ]

x → P₁

[ ]

x; T

(

a+ bx+cx2

)

= 2a + cx h) T : ℜ2 → P₂

[ ]

x ; T(a,b)=b +ax−3ax2

13. Considere la aplicación lineal T : P₂

[ ]

x → P₃

[ ]

x tal que T( p(x) ) = x p(x). a) Cuáles de los siguientes vectores pertenecen al núcleo de T:

p(x) = x2, q(x) = 0 r(x) = 1 + x

b) Cuáles de los siguientes vectores pertenecen a la imagen de T:

p

( )

x =x +x2, q(x) = 1 + x r(x) = 3−x2.

14. Encuentre aplicaciones lineales T y R de ℜ3 en ℜ3 tales que

Ker T = < { (-1, 1, 0) } > y Ker R = < { (1, 1, 1), (0, 0, 1) } >

15. Encuentre una aplicación lineal T de ℜ2 en ℜ3 tal que la imagen de T esté generada por { (1, 1, 0), (2, 0, 1) }

16. Si T : V → V es una transformación lineal epiyectiva y si dim V = n, demuestre que T es inyectiva.

17. Sea M ( )

3 0

2 1

P _∈ ₂ ℜ

    

= y F : M₂(ℜ)→ M₂(ℜ); dada por F(A) = AP – PA. Determine la dimensión del núcleo de F.

18. Sea M ( )

2 2

1 1

M _∈ ₂ ℜ

  

 

− −

= y T : M₂(ℜ)→ M₂(ℜ); dada por T(A) = MA. Determine Ker(T), Im(T), nulidad y rango de T.

19. Sea T∈L(V,W) y S subespacio de V. Se define “la restricción de T a S” denotada TS,

por TS(x) = T(x); ∀x∈S. Demuestre que :

a) TS es transformación lineal.

b) Ker(TS) = (KerT)∩S.

(4)

4 20. Sea T : V → W transformación lineal y

{

υ₁,K,υ_n

}

_{una base de V}_{. Si}

( )

0, i 1, 2, ,n

T υ_i = ∀ = K _{, demuestre que Ker T = V..}

21. Sea T : V → V transformación lineal y

{

υ₁,K,υ_n

}

_{base de V.}_Si

( )

, 1,2, ,n

T υ_i =υ_i ∀_i = K _{, demuestre que}

V I

T= (aplicación identidad de V).

22. Sea T : V → W aplicación lineal. Sea w∈W y v_o∈ V tal que T(v₀)= w. Muestre que cualquier solución de la ecuación T(x) = w es del tipo v_o +u, con

T er K

u ∈ .

23. Sean V, W espacios vectoriales sobre el cuerpo κ y denotemos por L(V, W) el

conjunto de todas las aplicaciones lineales de V en W. Si T, S ∈ L(V, W) y α ∈κ demuestre que T + S ∈ L(V, W) y αT ∈ L(V, W), en donde, T + S y αT se definen así:

(T + S) (v) = T(v) + S(v) y αT(v)=αT(v).

24. Sean T, S, R las transformaciones lineales de ℜ2 en ℜ2 definidas por: T(x, y) = (x, 2y), S(x, y) = (y, x + y), R(x, y) = (0, x)

a) Determine la imagen de (a, b) ∈ℜ2por las aplicaciones T o (S o R), T o (S + R) y (T o S) + (T o R)

b) Demuestre que { T, S, R } es un conjunto linealmente independiente de vectores

del espacio L(ℜ2,ℜ2).

25. Muestre que las siguientes aplicaciones lineales son invertibles:

a) T : ℜ2 → ℜ2 T(x, y) = (x + y, 3x – y)

b) T : ℜ3 → ℜ3; T(x, y, z) = (x, 2x – y, x + 4y – z) c) T : ℜ3 → P₂

[ ]

x; T

(

a,b,c

)

=

(

a −c

)

+ bx+

(

c+b

)

x2

d) T : _ =

    

ℜ → ℜ

d c

b a T ; )

(

M₂ 4 (a, a + d, 2c, b – c)

26. Demuestre que la relación “ser isomorfo a” es una relación de equivalencia en el conjunto de los espacios vectoriales sobre el cuerpo IK.

27. Sean T ∈ L(V, W) y S ∈ L(V, W) isomorfismos. Demuestre que S o T es un

(5)

5 28. Sean V, W espacios vectoriales reales de dimensión n. Demuestre que V y W son

isomorfos.

29. Sea T∈ L(V, W) tal que T2−T+I_V =0. Muestre que T−1= I_V −T, donde I _V es la aplicación identidad de V.

30. Sea M ( ) : a 5c 0}

d c

b a {

W _ ∈ ₂ ℜ + =

    

= . Demuestre que W es un subespacio

de M₂(ℜ) que es isomorfo a ℜ3.

31. Sea U =

{

a +bx +cx2∈ P₂

[ ]

x / b−c = 0

}

. Demuestre que U es un subespacio de

[ ]

x

P₂ que es isomorfo a ℜ2.

32. Para λ∈ℜ considere las transformaciones lineales T_λ: ℜ3 → ℜ3 tales que

λ

T (1, 1, 1) = (3−λ,6−λ,3−λ), T (2, 1, 0) = _λ (3−2λ,6−λ,3), T (1, 0, 1) = _λ )

2 , 4 , 2

( −λ −λ . Obtenga una base de KerT_λ para cada λ en que T no es _λ isomorfismo.

33. En cada caso, encuentre la aplicación lineal asociada a la matriz

a) I₃ b) _

  

 

−b 0

b a

c) _

  

 

−2 1 0

0 1 4

d)

  

 

  

 

1 0 0

0 1 0

0 1 2

34. Sea T∈L(ℜ2, ℜ3)tal que [T] =   

 

  



 −

1 2 1

2 3 1

. Determine el núcleo y la imagen de T.

(6)

6 36. Considere la transformación lineal T : M₂(ℜ)→ M₂(ℜ); dada por T(A) = MA,

donde M ( )

2 2

1 1

M _∈ ₂ ℜ

  

 

− −

= . Verifique que

[ ]

   

 

   

 

− −

=

2 0 2 0

0 2 0 2

1 0 1 0

0 1 0 1

T_B donde B es la

base canónica de M₂(ℜ).

37. Sea T : ℜ3 → ℜ2 la transformación lineal tal que T(1, 0, 0) = (1, -1), T(0, 1, 0) = (-2, 1) y T(0, 0, 1) = (0, 4). Determine la matriz de representación de T, en bases canónicas. Además, encuentre T(1, -2, 3) y una expresión para

T(x, y, z), con (x, y, z) ∈ℜ3.

38. Sea I:ℜ3 → ℜ3 la aplicación identidad. Muestre que para bases distintas B y C

de ℜ3 se tiene que

[ ]

IC_B ≠ I₃ (matriz identidad de orden 3).

39. En cada caso, encuentre

[ ]

TC_B en las bases B y C dadas:

a) T : ℜ2 → ℜ3; T(x, y) = (-y, 2x – y, x + 3y)

B = { (2, -3), (-2, 1) }, C = { (1, 1, 1), (0, 2, 2), (0, 0, 3) }.

b) T :ℜ3 →ℜ4; T(x, y, z) = (x + y + z, 2x – 2y + z, 3y + 4z, 3x)

B={e₁,e₂,e₃} base canónica de ℜ3, C = {(1,1,0,0), (1,0,0,-1), (0,1,1,-1), (0,-1,0,0)} c) T : P₂

[ ]

x →P₄

[ ]

x ; T

(

p

( )

x

)

= x2p

( )

x

B = {1 + x2, 1 + 2x, x2 − x }, C = { 1, x, x2,x3,x4}. d) T : P₁

[ ]

x →P₂

[ ]

x ; T

(

p

( )

x

)

=

∫

p(x)dx

B = { 1 – x, 2x – 1}, C = { 1, x, x } 2

e) T : P₂

[ ]

x → ℜ; T(p(x)) = < x, p(x)>, donde < , > indica el producto interno usual de P₂

[ ]

x , B = { 1, x, x }, C = {2}. 2

(7)

7 

   

= −

+

= −

+

= +

−

0 x

2 y 7 x 5

0 z

11 y 10 x 2

0 x

3 y x

Este conjunto solución es un subespacio que corresponde al núcleo de una

transformación lineal de ℜ3 en ℜ3. Encuentre una fórmula para dicha transformación y la matriz de representación de ella respecto de la base canónica de ℜ3.

41. Encuentre la matriz de cambio de base de B a C y de C a B para:

a) B = { (1, 0), (0, 1) }, C = { (2, -3), (-2, 4) }

b) B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}, C = {(0, -1, 0), (1, 2, 0), (-1, 1, 2)}

42. Considere las bases E = { 1, x, x } y F = {2 x2+ x+1, x2−x −2, x2+x −1} de

[ ]

x

P₂ . Encuentre la matriz de cambio de base de E a F y de F a E.

43. Sea T : ℜ2 → ℜ2 definida por T(x, y) = (x - 3y, 2x + y) y considere las bases de 2

ℜ : B = {(1, -3), (-2, 5)}, C = {(1, 1), (-1, 3)}. a) Encuentre

[ ]

T_B y

[ ]

T_C.

b) Encuentre las matrices de cambio de base P y P−1, de B a C y de C a B, y

verifique que una es la inversa de la otra.

c) Verifique que

[ ]

T _B = P−1

[ ]

T_CP.

44. Sea T∈L(ℜ3,ℜ3) la transformación lineal cuya matriz de representación en las bases que se indican es:

[ ]

  

 

  

 

− − −

− =

5 2 0

3 3 1

1 2 1

TC_B ,

donde B ={e₁,e₂,e₃} es la base canónica de ℜ3 y C es la base de ℜ3, C = {(1, 1, 1),

(1, 1, 0), (1, 0, 0)}. Encuentre una expresión para T(x, y, z), con (x, y, z) ∈ℜ3.

45. Sea F : ℜ3 →ℜ2 la aplicación lineal cuya matriz asociada es

[ ]

_   

 

− − =

0 1 2

2 1 1

FB_A ,

donde A = {(1, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} y B = {(1, 2), (0, 1)}. Obtenga

[ ]

F D_C ,

(8)

8 46. Sea T : ℜ3 →ℜ3 la aplicación lineal T(x, y, z) = (x – 2y + z, -x + 3y –3z, -2y + 5z).

¿Es T invertible? Si lo es, determine T−1(x, y, z), para (x, y, z) ∈ℜ3.

47. Sea

{

v₁, v₂

}

base de un espacio vectorial real V y sea T∈L

(

V,V

)

tal que

( )

v1 3v1 2v2

T = − y T

( )

v₂ = v₁ +4v₂. Sea

{

w₁, w₂

}

otra base de V tal que

2 1

1 v v

w = + y w₂ = 2v₁ +3v₂. Encuentre la matriz de representación de T en la base

{

w₁, w₂

}

.

48. Sean F, G : P₂

[ ]

x →ℜ2 las aplicaciones lineales dadas por:

F(a + bx + cx ) = ( a – c, b + c) y 2

[ ]

_   

 

− −

=

3 2 1

1 0 1

GC_B ,

donde B = { x + 1, x +1, 32 x } y C = { (1, 0), (0, 1) }. Determine las matrices de 2 representación de las transformaciones lineales 2F, 2F – G y F + G en las bases que

se indican:

[ ] [

2FC_B, 2F−G

]

C_B y

[

F+G

]

C_E, donde E = { 1, x , x }. 2

49. Sean T : ℜ3→ ℜ3 y S : ℜ3 →ℜ2 las aplicaciones lineales cuyas matrices de representación en las bases indicadas son:

[ ]



  



 −

=

  

 

  

 

− −

=

3 1 0

0 1 2 S

,

2 1 1

2 0 1

4 3 1

TB_D C_D ,

donde B = {e₁,e₂,e₃} y C = {e₁,e₂} son las bases canónicas de ℜ3 y ℜ2

respectivamente y D es la base de ℜ3: D = { (0, 1, 2), (1, 3, 0), (1, -1, -7)}. Use sólo