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6AL CCNN AND 2012

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(1)Álgebra lineal Selectividad CCNN Andalucía. MasMates.com Colecciones de actividades. 1. [2012] [SEP-B] Considera el siguiente sistema de ecuaciones con tres incógnitas:. x-. y = 2y + z =  -x - y + z = 0. a) Clasifícalo según los distintos valores del parámetro . b) Resuélvelo para  = 0 y  = 1.. 2. [2012] [SEP-A] Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas:. kx+2y = 2 2x+ky = k x-y = -1. a) Prueba que el sistema es compatible para cualquieer valor del parámetro k. b) Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles indeterminado. c) Halla las soluciones en cada caso.. 3. [2012] [JUN-B] Considera el sistema de ecuaciones. x+. y + z = +1 3y + 2z = 2+3 3x + (-1)y + z = . a) Resuelve el sistema para  = 1. b) Halla los valores de  para los que el sistema tiene una única solución. 1 1 c) ¿Existe algún valor de  para el que el sistema admita la solución - ,0, ? 2 2 0 0 1 4. [2012] [JUN-A] Sea la matriz A = 2 1 2 . 1 k 1 a) ¿Para qué valores del parámetro k no existe la matriz inversa de la matriz A? Justifica la respuesta. b) Para k = 0, resuelve la ecuación matricial (X+I)·A = At, donde I denota la matriz identidad y At la matriz traspuesta de A.. 5. [2011] [SEP-B] Sean las matrices A =. 1 3 1  1 yB= . -1 4 2 - 3. a) Calcula los valores de  para los que la matriz inversa de A es. 1 A. 12. b) Para  = -3, determina la matriz X que verifica la ecuación AtX = B, siendo At la matriz traspuesta de A. 0  1 -1 1  -1 y B = 1 1 -1 -1  a) Calcula el rango de A dependiendo de los valores de . b) Para  = 2, resuelve la ecuación matricial A·X = B.. 6. [2011] [SEP-A] Dadas las matrices A =. 7. [2011] [JUN-B] Dada la matriz A =. +1 0 1 -1. a) Determina los valores de  para los que la matriz A2+3A no tiene inversa. b) Para  = 0, halla la matriz X que verifica la ecuación AX+A = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.. 8. [2011] [JUN-A] Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:. -x+y+z = 1 x+y+z = 2 x+y+z = 1. a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro . b) Resuelve el sistema para  = 0.. 31 de octubre de 2012. Página 1 de 7.

(2) Álgebra lineal Selectividad CCNN Andalucía. MasMates.com Colecciones de actividades. 1 0 0 1 0 3 1 2 , B = 0 -1 -1 y C = . -1 1 0 1 -2 0 1 2 Calcula la matriz X que cumpla la ecuación AXB = C.. 9. [2010] [SEP-B] Sean las matrices A =. -x + y + z =  10. [2010] [SEP-A] a) Discute, según los valores del parámetro , el siguiente sistema de ecuaciones: x + 2y + (+2)z = 4 x + 3y + 2z = 6- b) Resuelve el sistema anterior para  = 0. x+y+z = +2 . 11. [2010] [JUN-B] Sea el siguiente sistema de ecuaciones: 2x-y+z = 2 x-y+z =  a) Discútelo según los valores de . ¿Tiene siempre solución? b) Resuelve el sistema para  = -1. 1 0 -1 1 0 5 -3 4 12. [2010] [JUN-A] Sean las matrices A = 0 m 3 , B = 3 2 y C = . -3 -2 2 4 1 -m -1 1 a) Indica los valores de m para los que A es invertible. b) Resuelve la ecuación matricial XA - Bt = C para m = 0 (Bt es la matriz traspuesta de B). -2 1 1 -2 1 3 1 0 y C = 1 -2 . 13. [2009] [SEP-B] Sean las matrices A = -2 -1 1 , B = -1 2 1 0 3 1 0 -1 Determina la matriz X que verifica AX-Bt = 2C. Bt es la matriz traspuesta de B .. 14. [2009] [SEP-A] a) Discute según los valores del parámetro  el siguiente sistema:. 3x + y =0 x + z =  x + y + 3z = 1. b) Resuélvelo para  = 0. 15. [2009] [JUN-B] Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40500 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30% de las cajas. 16. [2009] [JUN-A] Sean F1, F2 y F3 las filas priemra, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale -2. Calcula, indicando las propiedadeds que utilices: a) El determinante de B-1. 4. b) El determinante de Bt Bt es la matriz traspuesta de B . c) El determinante de 2B. d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 5F1-F3, 3F3 y F2.. 17. [2008] [SEP-B] Sabemos que el sistema de ecuaciones. 2x-y+3z = 1 tiene las mismas soluciones que el que resulta al añadirle la x+2y-z = 2. ecuación ax+y+7z = 7. a) Determina el valor de a. b) Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a la unidad.. 31 de octubre de 2012. Página 2 de 7.

(3) Álgebra lineal Selectividad CCNN Andalucía. MasMates.com Colecciones de actividades. 18. [2008] [SEP-A] Considera el siguiente sistema de ecuaciones. x+y+z = a-1 2x+y+az = a x+ay+z = 1. a) Discútelo, según los valores del parámetro a. b) Resuélvelo en el caso a = 2. 1 19. [2008] [JUN-B] Considera la matriz A =. 1. 1. m m2 m2 .. m m m2 (a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3. x 1 (b) Estudia si el sistema A y = 1 tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior. z 1 20. [2008] [JUN-A] Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes, con un importe de 3000 euros. (a) ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50? (b) Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuántos billetes hay de cada tipo. ax+y+z = 4 21. [2007] [SEP-B] Se considera el sistema de ecuaciones x-ay+z = 1 . x+y+z = a+2 a) Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = -2.. 22. [2007] [SEP-A] Sean I la matriz identidad de orden 2 y A =. 1 m . 1 1. a) Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (A-I)2 = O, donde O es la matriz nula de orden 2. b) Para m = 2, halla la matriz X tal que AX - 2At = O, donde At denota la matriz traspuesta de A. 1 1 0 23. [2007] [JUN-B] a) Calcula la matriz inversa de A = 0 1 1 . 1 0 1 x+y = 1 b) Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz A-1 hallada en el apartado anterior: y+z = -2 . x+z = 3. 24. [2007] [JUN-A] Considera A =. 1 -1 . 1 . a) Determina la matriz B = A2-2A. b) Determina los valores de  para los que la matriz B tiene inversa. c) Calcula B-1 para  = 1.. 25. [2006] [SEP-B] Resuelve ABtX = -2C, siendo Bt la matriz traspuesta de B y A =. 1 0 3 -1 3 0 1 4 ,B= yC= . 2 -1 0 0 2 -2 0 -1. x-y-z = -1 . 26. [2006] [SEP-A] Considera el sistema de ecuaciones lineales x+y+z = 4 x+y+z = +2 a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro .. 31 de octubre de 2012. Página 3 de 7.

(4) Álgebra lineal Selectividad CCNN Andalucía. MasMates.com Colecciones de actividades. b) Resuelve el sistema para  = 2.. 27. [2006] [JUN-B] Resuelve:. 2 0 5 1 1 -2 -1 1 1. 28. [2006] [JUN-A] Considera A =. x -2 5 y + 2 = 0 . z 3 2. a 1 . 0 -a. a) Calcula el valor de a para que A2-A =. 12 -1 . 0 20. b) Calcula, en función de a, los determinantes de 2A y At, siendo At la traspuesta de A. c) ¿Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica? Razona la respuesta. a b c 29. [2005] [SEP-B] Sabiendo que |A| = d e f = 2, calcula, indicando las g h i c b a) -3A y A-1 . b) f e 2i 2h. propiedades que utilices, los siguientes determinantes: a d . 2g. a b a-c c) d e d-f . g h g-i. 30. [2005] [SEP-A] En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos.El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda oun pendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo. x+y+z = -2 -x+3y+z = -7 . x+2y+(+2)z = -5 a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro . b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.. 31. [2005] [JUN-B] Considera el sistema de ecuaciones. 2 1 0 1 0 1 2 0 ,B= yC= . 3 -2 3 -1 2 -1 1 4 a) ¿Tiene A inversa? En caso afirmativo, calcúlala.. 32. [2005] [JUN-A] Sean las matrices A =. b) Determina la matriz X que cumple que A·X+C·Bt = B·Bt, siendo Bt la matriz traspuesta de B. 3 -2 1 1 -4 -2 tiene rango 2, ¿cuál es el valor de a? -1 a-1 a 3 -2 1 x 1 b) Resuelve el sistema de ecuaciones 1 -4 -2 y = 0 . -1 -6 -5 z -1. 33. [2004] [SEP-B] a) Sabiendo que la matriz A =. x+3y+z = 1 34. [2004] [SEP-A] Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones -x+y+2z = -1 ax+by+z = 4. 35. [2004] [JUN-B] Considerar las matrices A =. tiene al menos dos soluciones distintas.. 1 0 1 0 1 0 1 ,B= 0 1 yC= 0 2 . 0 1 2 0 0 1 0. (a) Calcular AB, AC, AtBt y CtAt, siendo At, Bt y Ct las matrices traspuestas de A, B y C respectivamente.. 31 de octubre de 2012. Página 4 de 7.

(5) Álgebra lineal Selectividad CCNN Andalucía. MasMates.com Colecciones de actividades. (b) Razonar cuales de las matrices A, B, C y AB tienen matriz inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, hallar la correspondiente matriz inversa.. 36. [2004] [JUN-A] Considerar el sistema de ecuaciones. mx - y = 1 x - my = 2m-1. (a) Clasificar el sistema según los valores de m. (b) Calcular los valores de m para los que el sistema tiene una solución en la que x = 3. -2 -2 1 x 37. [2003] [SEP-B] Considera las matrices A= -2 1 -2 y X= y . 1 -2 -2 z (a) Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de  para los que la matriz A + I no tiene inversa. (b) Resuelve el sistema AX = 3X e interpreta geométricamente el conjunto de todas sus soluciones. 1 0 0 0 1 38. [2003] [SEP-A] Considera las matrices: A= 1 m 0 , B= 1 0 1 1 1 0 0 (a) ¿Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial (b) Resuelve la ecuación matricial dada para m = 1.. 1 0 y C= 0 AX + 2B. 1 0 0 0 1 0 . 1 0 1 = 3C?. 39. [2003] [JUN-B] Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices: (a) El determinante de A3. (b) El determinante de A-1. (c) El determinante de 2A. (d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C1-C3, 2C3 y C2. x + 3y + z = 3 2x + my + z = m 3x + 5y + mz = 5 (a) Determinar, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga una y sólo una solución. (b) Determinar, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga al menos dos soluciones. (c) Determinar, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema no tenga ninguna solución.. 40. [2002] [SEP-B] Considerar el siguiente sistema de ecuaciones:. 2 t 0 t 2 1 . Calcular los valores de t para los que el determinante de A es positivo y hallar 3 0 1 el mayor valor que alcanza dicho determinante.. 41. [2002] [SEP-A] Considerar la matriz A =. 0 0 1 1 0 1 42. [2002] [JUN-B] Determina la matriz X que verifica la ecuación AX = X - B, siendo A= 0 0 0 y B= 0 1 1 . -1 0 0 0 -1 -1 43. [2002] [JUN-A] Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que Det (A) = - 7 -4 -12 2 6 = . A 1 3 -1 -3. 44. [2001] [SEP-B] Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro m:. y. 2x+my = 0 x+mz = m x+y+3z = 1. Resuelve el sistema anterior para m = 6.. 31 de octubre de 2012. Página 5 de 7.

(6) Álgebra lineal Selectividad CCNN Andalucía. MasMates.com Colecciones de actividades. 45. [2001] [SEP-A] Determina a, b y c sabiendo que la matriz A =. 46. [2001] [JUN-B] Considera la matriz A =. -3 1 1 1 2 1 a 2 verifica: A 2 = 9 y rango(A) = 2. -1 b c 3 4. 0 3 4 1 -4 -5 -1 3 4 3. (a) Siendo I la matriz identidad 3x3 y O la matriz nula 3x3, prueba que A +I = O. 10. (b) Calcula A .. 47. [2001] [JUN-A] Sea A =. senx -cosx 0 cosx senx 0 . ¿Para qué valores de x existe la matriz inversa de A? Calcula dicha matriz senx+cosx senx-cosx 1. inversa. 1 0 -1 48. [2000] [SEP-B] Considera la matriz A= 0 b 3 . 4 1 -b -1. (a) Determina para qué valores del parámetro b existe A . -1. (b) Calcula A para b = 2. 3x + 2y - 5z = 1 4x + y - 2z = 3 2x - 3y + az = b (a) Determina a y b sabiendo que el sistema tiene infinitas soluciones. (b) Resuelve el sistema resultante.. 49. [2000] [SEP-A] Considera el sistema de ecuaciones. 1 2 1 50. [2000] [JUN-B] Considera la matriz A=  1 0 . 0 1  (a) Halla los valores de  para los que la matriz A no tiene inversa. 0 x (b) Tomando  = 1, resuelve es sistema escrito en forma matricial A y = 0 0 z. 51. [2000] [JUN-A] Dada la matriz A =. t -1 2 1 2 , calcula A A A. 3 4. 52. [1999] [SEP-B] Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro :. 53. [1999] [SEP-A] Considera la matriz A = t. t. (1+)x + y + z = 1, x + (1+)y + z = , . x + y + (1+)z = 2.. 0 1 0 . 1 0 1. t. (1) Calcula A A y AA donde A denota la matriz traspuesta de A. t. (2) Siendo X una matriz columna, discute y, en su caso, resuelve la ecuación matricial AA X = X, según los valores del parámetro real . a b c 54. [1999] [JUN-A] Considera la matriz A = 2a -b 3c , donde a, b y c son no nulos. 3a 0 4c. 31 de octubre de 2012. Página 6 de 7.

(7) Álgebra lineal Selectividad CCNN Andalucía. MasMates.com Colecciones de actividades. (1) Determina el número de columnas de A que son linealmente independientes. (2) Calcula el rango de A y razona si dicha matriz tiene inversa.. Soluciones 1. a) {-1,0}: c.i; {-1,0}: c.d. b) =0: (0,0,k); =-1: (k-1,k,1-2k) 0 2 -4 0 0 -2 0 2 -4. 5. a) -3 b). 1 -6 3 3 12 -2 15 7. 2. b) k=-2: c.i.; k-2: c.d. c) k=-2: (k,k+1); k-2: (0,1). 6. =1: 1; =2: 2; {1,2}: 3 b). 0 1 1. 7. a) -1, -4 b). 10. a= =8: inc; =0: c.i.; {0,8}:c.d. b) (k,2-k,k) 11. a)  = -1: c.i.   -1: c.d. b) {0,6}: c.d. b) (0,1-3k,k). 15. 13500, 15000, 12000. (1-k,0,k) 19. (a) 0, 1 (b) Si m=1: a,b,1-a-b. 16. a). 1 4-3k , ,k 3 3. -1 b) 16 c) -16 d) 30 2. 1 0 2 -3. 1-k 5-2k , .k 3 3. b) 1 c) -1. 8. a) =1: inc; =0: c.i; {0,1}: c.d. b) (2-k,1-k,k). 12. a) m {1,3} b). 17. a) 8 b). 3. a). 6 1 -2 , , 5 5 5. 6 3 0 -3 0 0. 13.. -7 -2 1 -5 -18 4 -7 -30. 9.. 4. a). 1 b) 2. 3 0 -1 3 -4 -2. 14. a) =0: c.i; =6: inc;. 18. a) a = 1: inc.; a = 2: comp. ind.; a{1,2}: comp. det. b). 3 5-2k 4 1 20. no; 80, 10, 40. 21. a) a = -1: - , ,k k b) - ,1, 2 2 3 3. 22. a) 0 b). 6 2 -2 0. 23. a). 1 2. 1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1. b) (3,-2,0). 1 28. a) 4 b) -4a2; -a2 c) no 29. a) -1 1 1 2 1 1 -4 6 2-4k 1-7k 1 b) -4 c) -2 30. moneda 31. a)  = -1: inc. ;  = -2: c.i. ; {-2,-1}: c.d. b) -2k-5,k,k+3 , k 32. a) b) 33. a) -5 b) , ,k -54, 7 3 -2 7 1 -26 5 10 2 1 0 0 si m = 1, compatible indeterminado. -3 1 0 2 0 2 2 k 34. 4, 8 35. (a) AB = , AC = , AtBt = 0 1 0 , CtAt = (b) AB: (AB)-1 = AB 36. (a) (b) 1 y 37. si m = -1, incompatible. 0 1 2 2 0 2 4 1 2 0 m  {-1,1}, compatible determinado. 3 -2 -2 1 (x,y,z) = (c,-2c,c) [c, cualquier valor] (a) 3 (b) 38. (a) m0 (b) X = -5 5 2 39. A3 = 125 ; A-1 = ; 2A = 40 ; 3C1-C3 2C3 C2 = -30 40. (a) m  {2,7} Son planos que se cortan en una recta 5 5 -3 3 1 -1 0 2 2 3 23 33 -1 2 ; (b) m  {2,7} ; (c) No 41. (-1,4) ; 42. 43. 44. m{0,5}, c.d. m=0, c.i. m=5, inc. ; (-12,4,3) 45. 1, , 46. -A 47. cualquier valor ; 0 1 1 2 3 2 29 29 -1 -1 -1 2 2 3 11 -7 -1 2 senx cosx 0 44 48. b  {1,3} ; 12 2 -3 49. (a) , 5 ; (b) (x,y,z) = (k,13-14k,5-5k), k 50. (a) 0 , 1 (b) (x,y,z) = (k,-k,k) k 51. 2 2 52. -cosx senx 0 5 -8 -1 2 -1 -1 1 2 6 1 0 1   {1,2}: x = 0 ; y = 0 1 0   {-3,0}, compatible determinado. 53. 0 1 0 ; ;  = 1: x, cualquier valor ; y = 0 54. 2 ; 2 ; no 0 2   {-3,0}, incompatible. 1 0 1  = 2: x = 0 ; y, cualquier valor 24. a) B =. -2. 1-. -1 2-2-1. b) {-1,3} c). 31 de octubre de 2012. -1 1 0 2 0 1. 25.. 1 -2 -14 14 5 21. 26. a) =1: inc ;  = -1: c.i. ; {-1,1}: c.d. b) 1,0,3. 27.. Página 7 de 7.

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