CURSO: ALGEBRA LINEAL
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DOCENTE: ÁLVARO FABIO HERNÁNDEZ MALDONADO
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INSTITUCIÓN: INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ALTAMIRA
Estudio del caso.
Matrices de tecnología y de Leontief: Un modelo de la economía
estadounidense.
Ax + e = x = Ix (I – A) x = e
Leontief utilizo su modelo para analizar la economía norteamericana de 1958. Dividió la economía en 81 sectores, agrupándolos en seis familias de sectores relacionados. Con el propósito de simplificar la exposición, cada familia de sectores se considerara como un solo sector, de tal modo que la economía norteamericana se podrá dar en una economía de seis industrias.
Estas están dadas en la tabla:
Sector Ejemplos
No metálico terminal (NMT) Metálico terminal (MT) Metálico básico (MB) No metálico básico (NMB) Energía (E)
Servicios (S)
Muebles, comida procesada
Aparatos del hogar, vehículos motorizados. Herramientas, minería.
Agricultura, imprenta. Petróleo, carbón
Diversiones, bienes raíces.
En la siguiente tabla se dan las demandas internas de 1958 basadas en las cantidades de Leontief.
NMT MT MB NMB E S
NMT 0.170 0.004 0 0.029 0 0.008
MT 0.003 0.295 0.018 0.002 0.004 0.016
MB 0.025 0.173 0.460 0.007 0.011 0.007
NMB 0.348 0.037 0.021 0.403 0.011 0.048
E 0.007 0.001 0.039 0.025 0.358 0.025
S 0.120 0.074 0.104 0.123 0.173 0.234
Por último, Leontief estimó las demandas externas sobre la economía norteamericana de 1958 (en millones de dólares) según se indica en la tabla:
NMT $ 99, 640
MT $ 75, 548
MB $ 14, 444
NMB $ 33, 501
E $ 23, 527
S $ 263, 985
¿Cuántas unidades tuvo que haber producido cada uno de los seis sectores a fin de mantener en marcha la economía norteamericana y satisfacer todas las demandas externas en 1958?
La matriz de tecnología está dada por:
0.170 0.00 4
0 0.029 0 0.008
0.003 0.29 5
0.018 0.002 0.00 4
0.016
A= 0.025 0.17 3
0.460 0.007 0.01 1
0.007
0.348 0.03 7
0.021 0.403 0.01 1
0.048
0.007 0.00 1
0.039 0.025 0.35 8
0.025
0.120 0.07 4
0.104 0.123 0.17 3
0.234
99, 640 75, 548 e = 14, 444 33, 501 23, 527 263, 985
La matriz de Leontief se obtiene efectuando la resta:
I – A =
El calculo de la inversa
obtenida es:
1.234 0.014 0.006 0.064 0.007 0.018 0.017 1.436 0.057 0.012 0.020 0.032 (I – A)-1 = 0.071 0.465 1.877 0.036 0.045 0.031 0.751 0.134 0.100 1.740 0.066 0.124 0.060 0.045 0.130 0.082 1.578 0.059 0.339 0.236 0.307 0.312 0.376 1.349
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
0.170 0.00 4
0 0.029 0 0.008
0.003 0.29 5
0.018 0.002 0.004 0.016
- 0.025 0.17 3
0.460 0.007 0.011 0.007
0.348 0.03 7
0.021 0.403 0.011 0.048
0.007 0.00 1
0.039 0.025 0.358 0.025
0.120 0.07 4
0.104 0.123 0.173 0.234 0.830
-0.004
0 -0.029 0 -0.008
-0.003 0.705 -0.018 -0.002 -0.004 -0.016 = 0.025
-0.173
0.540 -0.007 -0.011 -0.007
0.348 -0.037
-0.021 0.597 -0.011 -0.048
0.007 -0.001
-0.039 -0.025 0.642 -0.025
0.120 -0.074
Por lo tanto el vector de salidas ideales esta dado por:
1.234 0.01 4
0.006 0.064 0.00 7
0.018
0.017 1.43 6
0.057 0.012 0.02 0
0.032 99, 640
X = (I – A)-1 e = 0.071 0.46 5
1.877 0.036 0.04 5
0.031 75, 548
0.751 0.13 4
0.100 1.740 0.06 6
0.124 14, 444
0.060 0.04 5
0.130 0.082 1.57 8
0.059 33, 501
0.339 0.23 6
0.307 0.312 0.37 6
1.349 23, 527
263, 985
131,161 120,324 = 79,764
178,936 66,703 431,456
Esto quiere decir que se requería aproximadamente 131,161 unidades o sea ($131,161 millones) de productos no metálicos terminales, 120,324 unidades de productos metálicos terminales, 79, 764 unidades de productos metálicos básicos, 178, 936 unidades de productos no metálicos básicos, 66,703 unidades de energía y 431,456 unidades de servicio para hacer funcionar la economía norteamericana y satisfacer las demandas externas en 1958.
Introducción:
Este tema nos permite conocer una de las herramientas fundamentales y clásica dentro del estudio y utilización de las matrices aplicadas a un modelo matemático inventado por el economista norteamericano Wassily W. Leontief.
Leontief gano el premio Nobel de Economía en 1973 debido a su desarrollo de análisis de entradas y salidas.
Propósito del caso:
producto y cálculo de la inversa de una matriz, para darles aplicación a un problema real.
La matriz de tecnología y la matriz de Leontief permiten realizar este análisis.
Problemática:
La solución de una resta de matrices, el cálculo de la inversa y el uso de la matriz de tecnología Ax + e = x = Ix o (I – A)x =e nos permiten conocer y cuantificar nuestras habilidades para solucionar estos planteamientos.
El planteamiento de Leontief para que, por medio de su modelo de matriz de tecnología, se realizaran los ajustes de producción de las industrias del país para realizar el ajuste económico, que permitió estabilizar la economía del país.
Objetivos didácticos:
Este caso permite conocer y evaluar un planteamiento de un científico que tuvo la visión de solucionar un problema de un país que situado en la posguerra, vivía una crisis económica como muchos otros, y que por medio de la utilización de sus conocimientos realizo una propuesta de solución, que en la actualidad es simple, pero en su momento histórico fue magistral.
Valoración a los conocimientos previos al análisis del caso, sin estas herramientas no comprenderíamos el significado de un modelo matemático aplicado a la economía como el modelo de matrices de tecnología y de Leontief.
Generar motivación a conocer más modelos matemáticos y su utilización.
Motivar al alumno al aprendizaje del Algebra Lineal y sus herramientas matemáticas.
Durante la sesión:
Plantear el propósito de la práctica del “análisis del caso”, debe de ser claro el fin que se persigue, aplicando un método de revisión del problema.
Distribuir a los alumnos presentes en equipos de cinco integrantes
Nombrar los jefes de equipo, indicándoles los tiempos y momentos de participación, así como las actividades que realizaran.
Conclusiones en una plenaria con la participación de los jefes de equipo como representantes.
Instrucciones generales:
Después de una breve exposición del caso por parte del docente se le entrega a los equipos el problema por escrito.
El equipo trabaja en torno al caso organizando las ideas y generando la mejor estrategia para solucionarle.
En el equipo se identifican cuáles son los puntos del tema que son prioritarios para entender el caso y avanzar en la solución.
Surgen preguntas sobre puntos que no se conocen sobre el tema y se sugiere elaborar una lista de temas de aprendizaje.
El trabajo puede ser interrumpido por lecturas cortas, discusiones e información compartida para ayudar a clarificar los conceptos y mejorar las perspectivas de respuesta al problema.
Entrega del problema resuelto
Instrucciones a los alumnos:
El docente hará una breve presentación del problema. Esta presentación incluirá sugerencias sobre cómo iniciar el trabajo, un breve resumen de los principales puntos del tema, y sugerencias sobre dónde buscar la información requerida.
El proceso de aprendizaje será de modo colaborativo, los alumnos trabajarán en equipos.
La lista de objetivos de aprendizaje será entregada al final de cada caso. El trabajo en el salón de clase será por equipos de cinco integrantes. Disponen de 90 minutos para el análisis del caso.
Aprendizajes implementados con esta actividad:
Desarrollo del Pensamiento crítico. Desarrollo de la Creatividad.
Toma de decisiones.
Desarrollar el aprendizaje auto - dirigido.
Identificar, buscar y analizar la información necesaria Desarrollo de Habilidades comunicativas.
Desarrollo de Habilidad para trabajar de manera colaborativa. Desarrollo de la capacidad de empatía.
Lograr Confianza para hablar en público.
Habilidad para identificar las propias fortalezas y debilidades. Trabajo en equipo.
Proporcionar una impresión por equipo del caso para su análisis Hojas blancas las necesarias
Lápices y borradores Sacapuntas
Calculadora
Computadora con internet Libros de texto
Rubrica para evaluación
