PRESENTACIÓN
La dinámica complementa el estudio de la cinemática en la asignatura de Física y Química de 1.º de Bachillerato. En dinámica se analizan las causas que originan
el movimiento y se introducen los conceptos de momento lineal y fuerza.
El estudio de la dinámica comienza con las leyes de Newton, que, descritas en su obra Principios matemáticos de filosofía natural, explican el movimiento de cuerpos celestes y terrestres y son el origen de la física moderna. Con la dinámica, el alumno se interna en la explicación físico-matemática del mundo que le rodea: no solo observa
y describe desplazamientos, velocidades y aceleraciones, sino que comienza a explicar las fuerzas que los originan
o cambian su condición de movimiento.
Las leyes enunciadas son uno de los pilares de la física, y su aplicación ha permitido enunciar numerosas leyes en campos muy diversos. Es importante destacar
la introducción del principio de conservación del momento lineal, una magnitud con la que muchos alumnos no están acostumbrados a trabajar de momento, pero que resulta muy útil en todos los campos de la física.
Fuerzas a distancia
El problema del equilibrio Fuerzas de contacto
• Gravitatoria. • Eléctrica.
• Fuerza normal. • Fuerza de rozamiento. • Fuerza de tensión.
• 1.ª condición de equilibrio,
/
F=0. • 2.ª condición de equilibrio,/
M=0.• Relación con las fuerzas. • Principio de conservación
ESQUEMA DE LA UNIDAD
ACTIVIDADES
1 Hay dos cargas iguales positivas de 1 mC, situadas respectivamente en los puntos de coordenadas A(-1, -1) y B(3, 2). Calcula la fuerza resultante debida a la presencia de estas dos cargas sobre otra carga de -3 mC localizada en el punto C (3, -1). Las posiciones vienen dadas en metros. Dato: k = 9 ? 109 N ? m2/C2. Solución: (-1 6875, i+3 j)?10-3N
2 Calcula:
a) La expresión del módulo de la fuerza eléctrica
Solución: a) ?
x y 9 10 N 2 2 3 +
-; b) 5 ? 10-4 N
3 Tomando como origen de coordenadas el centro del planeta Tierra, y la dirección del eje X en la recta que une la Tierra con la Luna, calcula:
a) Los puntos de dicha recta donde un cuerpo de masa 1 kg experimenta la misma atracción por la Tierra que por la Luna.
b) De esos puntos, cuál es punto de equilibrio. Dos cuerpos, A y B, separados una distancia de 5 cm experimentan entre sí una fuerza de atracción de 5 ? 10-6 N. Si la masa del primero es mA = 5 kg, y la masa del segundo, mB = 15 kg, ¿cuál debe ser la carga eléctrica del segundo, qB, si la carga eléctrica del primero es qA = 0,5! ? 10-9 C?
Datos: G = 6,67 ? 10-11 N ? m2/kg2; k = 9 ? 109 N ? m2/C2.
La fuerza atractiva que experimentan los dos cuerpos se debe a la superposición de la fuerza gravitatoria, siempre atractiva, y la fuerza eléctrica, atractiva o repulsiva según el signo de las cargas de los cuerpos. Al tratarse de dos cuerpos aislados, las fuerzas están en la misma dirección y podemos prescindir del carácter vectorial. El signo de la fuerza eléctrica se determinará en función de si la fuerza atractiva de la gravedad es mayor o menor que la fuerza total.
F=FG+FE&F=FG!FE El valor de la fuerza gravitatoria, en módulo, es:
? ? ? ? ? ? ? ? , ( ) F G d m m
6 67 10
5 10 5 15 2 10 kg N m m kg kg N
G A 2 B 11 2
2
2 2 6
= = - =
-El resultado es menor que la fuerza atractiva total, por eso la fuerza eléctrica también debe ser atractiva, F = FG + FE. Como consecuencia, la carga eléctrica del cuerpo B es negativa para que, así, la fuerza eléctrica sea atractiva entre dos cargas de diferente signo, qB < 0. El módulo de la fuerza eléctrica es:
? ? ? ? ? ? ? ? ( ) , F k d
q q q
q 9 10 5 10 0 5 2000 C N m m C N E
A B B
B 2 9 2 2 2 2 = = - = !
Así, sustituyendo en F = FG + FE. Despejando y operando:
? ? ? q q ? , ?
5 10 2 10 2000
2000 3 10
1 5 10
N N C N C N N C B B
6 = 6 + & = 6 = 9
-
ACTIVIDADES
1 Un cuerpo inicia su descenso por un plano inclinado 30°. El coeficiente de rozamiento vale 0,2 y la longitud del plano es de 5 m. Calcula el tiempo que tarda el cuerpo en recorrer el plano. Dato: g= 9,8 m/s2. Solución: 1,77 s
2 Un cuerpo inicia su descenso por un plano inclinado 30°. La longitud del plano es de 5 m y el cuerpo tarda 1,77 s en recorrerlos. Calcula el coeficiente de rozamiento. Dato: g= 9,8 m/s2.
4 Un cuerpo de 40 kg cae por un plano inclinado 30° y una persona trata de frenar su caída aplicando una fuerza en la dirección del plano. No consigue frenar la caída, pero al menos sí que esta se produzca a velocidad constante. Si el coeficiente de rozamiento entre plano y cuerpo es 0,15, calcula la fuerza ejercida por la persona. Dato: g= 9,8 m/s2.
Solución: 145 N
5 El conductor de un coche pisa el freno al máximo Se aplica una fuerza de 5 N sobre un cuerpo de 2 kg de masa que desliza por un plano inclinado 20°.
El coeficiente de rozamiento entre cuerpo y plano es 0,1 y la fuerza se aplica en la dirección del plano hacia abajo.
a) Calcula la aceleración del movimiento.
b) ¿Qué fuerza habría que aplicar en sentido contrario al movimiento para que el cuerpo baje
con movimiento uniforme? Dato: g= 9,8 m/s2.
a) Se fijan las direcciones del sistema de referencia: paralela y perpendicular al plano inclinado.
El sistema de fuerzas establece para las componentes perpendiculares que:
N+P=0& N - P= = 0 & N = m ? g ? cos 20° Y para la componente paralela al plano:
?
F+P<+FR=m a& F + P< - FR = m ? a F + m ? g ? sen 20° -m ? m ? g ? cos 20° = m ? a
5 N + 2 kg ? 9,8 m/s2 ? 0,3420 - 0,1 ? 2 kg ? 9,8 m/s2 ? 0,9397 = 2 kg ? a Por tanto, la aceleración del movimiento es: a = 4,93 m/s2.
b) Para que el cuerpo baje con movimiento uniforme, las fuerzas que actúan sobre él deben cancelarse. En el apartado anterior se observa que las componentes perpendiculares de las fuerzas se cancelan. Sin embargo, las componentes paralelas no se cancelan. Para que sí se cancelen:
? ? ? ? ?
’ ’ ’ ° °
F +P<+FR=0&- +F P<-FR=0&F =P<-FR=m g sen20 -m m g cos20
? ? ? ? ? ?
’ ( ° °) , ( , , , )
F =m g sen20 -m cos20 =2kg 9 8m/s2 0 3420-0 1 0 9397 =4,86 N
P< = m ? g ? sen a P= = m ? g ? cos a
20° N
FR
F
ACTIVIDADES
1 El impulso lineal aplicado sobre un cuerpo ha sido
de 30 N s y la masa del cuerpo es de 2 kg. ¿Cuánto ha variado la velocidad del cuerpo? Solución:15 m/s
2 El momento lineal de un cuerpo en un determinado instante viene dado por la expresión vectorial
?
30i-40j kg m/s. Después de actuar una fuerza durante 4 s sobre el cuerpo, el momento lineal pasa a ser -30i -20j kg m/s? . ¿Cuál es la expresión vectorial de la fuerza que ha actuado?
Solución:-15i+5j N
3 Una tenista golpea una pelota de tenis de 50 g que le llega horizontalmente a 3 m/s. Si el impacto con la raqueta dura 0,02 s y la pelota sale
en sentido contrario al inicial a una velocidad de 5 m/s, ¿cuál fue la fuerza aplicada durante el tiempo
de contacto entre raqueta y pelota?
4 Un niño bota un balón de baloncesto sobre la acera.
La pelota (para simplificar suponemos que tiene una masa de 0,5 kg) llega al suelo a 1,5 m/s. Si el impulso comunicado por el suelo a la pelota es de 1,2 N s, ¿con qué velocidad sale rebotada la pelota?
Solución:0,9 m/s
5 Una partícula tiene en un instante determinado un momento lineal cuya expresión es 5i +20j kg?m/s. Durante un tiempo de 3 s actúa sobre ella una fuerza de expresión 10- i+5j N. ¿Cuál es la nueva expresión vectorial del momento de la partícula? Solución:-2 i5 +35j kg?m/s
Se aplica una fuerza de 30 N durante 4 s a un objeto de 2 kg inicialmente en reposo. a) ¿Cuánto ha cambiado su momento lineal?
b) ¿Cuál es ahora su velocidad?
F= 30 N
2 kg
a) La variación del momento lineal del objeto coincide con el impulso que le infiere la fuerza constante de 30 N durante los cuatro segundos:
Dp = F Dt = 30 N 4 s = 120 kg m/s b) Como el objeto estaba inicialmente en reposo:
? ?
p pF p0 m vF m 0
D = - =
-Por tanto, la velocidad que adquiere el objeto tiene igual dirección y sentido que la fuerza, y su módulo es:
? ?
v m
F t
2 30 4
60 kg
N s
m/s F
D
ACTIVIDADES
1 Un cañón de 1200 kg dispara proyectiles de 15 kg
que salen del cañón a una velocidad de 30 m/s. ¿Con qué velocidad retrocede el cañón?
Solución: 0,375 m/s
2 Tres amigas de 70 kg cada una van en una barca de 100 kg que se desplaza a una velocidad de 1 m/s en un lago de aguas en reposo. En un momento determinado, una de las amigas salta de la barca. Calcula la velocidad a la que se moverá después la barca si la que saltó lo hizo en sentido contrario al de avance de la barca y su velocidad
respecto al agua en el salto fue de 2 m/s.
Solución:1,875 m/s
3 Una bala de 30 g impacta a 100 m/s en un bloque
4 Un petardo de 6 g que está en reposo estalla
en tres pedazos de 1, 2 y 3 g. El de 1 g sale disparado hacia la derecha a 20 cm/s. El de 2 g sale disparado perpendicularmente al anterior a 5 cm/s.
¿A qué velocidad y en qué dirección sale disparado el tercer fragmento?
Solución: 7,45 cm/s y formando un ángulo de 206° 34’ con respecto al movimiento del primer pedazo
5 Dos chicos están parados en medio de una pista de hielo. Uno de ellos, de 70 kg, empuja al otro, de 60 kg, que sale a una velocidad de 0,5 m/s. ¿A qué velocidad retrocede el primero?
Solución: 0,43 m/s
Dos bolas de 20 y 50 g chocan frontalmente. Antes del choque, la primera se movía hacia la derecha a 4 m/s, y la segunda, hacia la izquierda a 2 m/s. Si después del choque la primera retrocede hacia la izquierda a 3 m/s, ¿cuál es la velocidad con la que se mueve la segunda después del choque?
20 g
50 g
4 m/s 2 m/s
i
El momento del sistema antes del choque es:
p0=m1v01+m2v02= 0,020 kg 4 i m/s + 0,050 kg (-2 i ) =-0,02 i kg m/s
El momento final después del choque es:
pF=m1vF1+m2vF2= 0,020 kg (-3 i ) m/s + 0,050 kg vF2=-0,06 i kg m/s + 0,050 kg vF2
No hay fuerzas externas, así que el principio de conservación del momento lineal asegura que:
p0=pF&-0,02 i kg m/s =-0,06 i kg m/s + 0,050 kg vF2
Por tanto:
vF2= 0,8 i m/s
Nombre:
Curso: Fecha:
PROBLEMAS PROPUESTOS
1 ¿Cuál es la constante k’ de un medio en el que dos cargas de 5 mC, separadas una distancia de un metro, se repelen con una fuerza de 0,1 N?
2 Tenemos tres cargas, A, B y C, cuyos valores son de 2 mC, -3 mC y 4 mC, respectivamente. Están alineadas ocupando B la posición intermedia. La separación entre A y B es de 30 cm, mientras que la separación entre B y C es de 40 cm. Calcula la fuerza que sufre la carga B debido a la presencia de las cargas A y C. Dato: k = 9 ? 109 N ? m2/C2.
EJEMPLO
Tenemos dos cargas iguales y positivas de 1 mC cada una situadas en los puntos (0 , 2) y (1 , 0). ¿Cuál es la fuerza que ejercen sobre otra carga idéntica a las anteriores y situada en el origen de coordenadas? Dato: k = 9 ? 109 N ? m2/C2.
La fuerza que ejerce la carga situada en el eje de ordenadas sobre el origen es vertical y está dirigida hacia abajo:
F1 ? ?
d q q k
12 1
= (-j) 9 10? ? ? ? ? ? 2 1 10 1 10 C N m m C C 9 2 2 2 2 6 6 = -
(-j) = -2 25 10, ? -3 jN
La fuerza que ejerce la carga situada en el eje de abscisas sobre el origen es horizontal, dirigida hacia la izquierda:
F2 ? ?
d q q k 2 2 2
= (-i ) 9 10? ? ? ? ? ? 1 1 10 1 10 C N m m C C 9 2 2 2 6 6 = -
(-i ) = -9 10? -3 i N
La fuerza resultante de la suma vectorial de estas fuerzas es:
F = F1 + F2 = -9 ? 10-3 i N- 2,25 ? 10-3 j N
Que forma un ángulo con el eje horizontal positivo:
? ? ,
9 10 2 25 10
194 2 arctg 33 ° ’ a= -=
-Y su módulo resulta:
;F;= (-2 25 10, ? -3 2) + -( 9 10? -3 2) =9 3 10 N, ? -3
+1 mC
+1 mC F2
Nombre:
Curso: Fecha:
PROBLEMAS PROPUESTOS
3 ¿A qué distancia deben estar dos cargas iguales de 3 mC cada una para que entre ellas se produzca una repulsión de 0,1 N? Dato: k = 9 ? 109 N ? m2/C2.
4 ¿Con qué fuerza se repelen dos protones de un núcleo atómico si cada uno de ellos tiene una carga de 1,6 10-19 C y la distancia que los separa es de 10-15 m? Dato: k = 9 ? 109 N ? m2/C2.
EJEMPLO
Nombre:
Curso: Fecha:
PROBLEMAS PROPUESTOS
6 En los extremos de una barra de 1 m de longitud se aplican fuerzas perpendiculares a la barra y del mismo sentido con módulos 5 N y 8 N. Dibuja el sistema de fuerzas, y halla el módulo y el punto de aplicación de la fuerza que equilibra la barra.
Isabel y Juan llegan al mismo tiempo a coger la última copia disponible en una tienda del último videojuego de moda. Si ambos cogen la caja y tiran de ella, Isabel con una fuerza de 30 N y Juan con una de 40 N, calcula la fuerza que equilibraría en los siguientes casos:
a) Tiran en sentidos contrarios.
b) Tiran en direcciones perpendiculares.
c) Tiran en direcciones que forman 135° entre sí.
Se fija como sistema de referencia el de origen en la caja, y direcciones, la de la fuerza que aplica Isabel, i , y su sentido; y la otra dirección i perpendicular a esta.
a) En este supuesto las fuerzas del enunciado son FIsabel = 30 i N y FJuan = -40 i N. La resultante es la suma vectorial de las fuerzas aplicadas:
R1 = FIsabel + FJuan = 30 i N - 40 i N = -10 i N La fuerza que equilibraría es:
E1=+10 i N
b) En este segundo supuesto las fuerzas del enunciado son FIsabel = 30 i N y:
FJuan = 40 (cos 90° i + sen 90° j) N = 40 j N La resultante es la suma vectorial de las fuerzas aplicadas:
R2 = FIsabel + FJuan = 30 i + 40 j N La fuerza que equilibraría es:
E2= -30 i-40 i N
c) En este tercer supuesto las fuerzas del enunciado son FIsabel = 30 i N y:
FJuan = 40 (cos 135° i + sen 135° j) N = -28,28 i + 28,28 j N La resultante es la suma vectorial de las fuerzas aplicadas:
R3 = FIsabel + FJuan = 30 i N - 28,28 i + 28,28 j N = 1,72 i + 28,28 j N La fuerza que equilibraría es:
PROBLEMAS PROPUESTOS
7 Se aplica una fuerza F1 de módulo 40 N sobre un cuerpo formando un ángulo de 30° con la horizontal. Descompón F1 como suma de dos fuerzas, una horizontal y otra vertical.
8 Tenemos un sistema de cuatro fuerzas aplicadas sobre un punto. F1 es vertical hacia arriba y su módulo es 20 N; F2 es vertical hacia abajo y su módulo es 30 N; F3 es horizontal hacia la derecha y su módulo es 40 N
y F4 es horizontal hacia la izquierda y su módulo es 50 N. Calcula la expresión vectorial de la resultante de las cuatro fuerzas y el ángulo que forma con la horizontal.
9 Un avión ultraligero de 100 kg despega mediante una fuerza de sus motores de 4000 N que lo impulsan hacia delante. Al mismo tiempo, el empuje aerodinámico lo empuja hacia arriba con una fuerza de 1000 N. El rozamiento con el aire es de 3200 N. Calcula el módulo de la fuerza resultante y el ángulo que forma con la horizontal. Dato: g = 9,8 m/s.
Nombre:
EJEMPLO
Nombre:Curso: Fecha:
PROBLEMAS PROPUESTOS
10 Manuel va patinando a una velocidad de 2 m/s cuando choca con Laura, que en ese momento estaba
parada en la pista. Si las masas de Manuel y Laura son de 70 y 50 kg, respectivamente, y suponemos que después del choque se mueven juntos, calcula cuál será su velocidad.
Un jugador de billar golpea con su taco una de las bolas, que se dirige con velocidad 0,5 m/s a golpear a una segunda bola que está en reposo en el tapete. Si la segunda bola sale a una velocidad de 0,3 m/s y en una dirección que forma un ángulo de 30° con la dirección en que se movía la primera, ¿con qué velocidad y en qué dirección se mueve ahora la primera bola?
Se considera que el golpe entre las dos bolas de billar es elástico: entonces ha de conservarse el momento lineal. Sea m la masa de las bolas de billar e i un vector unitario paralelo a la velocidad inicial de la primera bola. Antes del choque, esta bola tiene un momento lineal igual a:
p10=m1v10= 0,5 mi kg m/s
Mientras que el momento lineal de la segunda bola, que está en reposo, es nulo. Después del choque, el momento lineal de la segunda bola es:
p2F=m2v2F= 0,3 m (cos 30° i + sen 30° j) = 0,26 m i + 0,15 m j kg m/s
(Suponemos que m1=m2=m).
Y el momento lineal final de la primera bola, p1F, debe ser tal que verifique el principio de conservación del momento lineal:
p10+p20=p1F+p2F& 0,5 m i =p1F+ (0,26 m i + 0,15 m j) p1F= 0,24 m i - 0,15 m j
Por tanto, la velocidad de la primera bola es:
v1F= m p1F
= 0,24 i - 0,15 j m/s
Nombre:
Curso: Fecha:
PROBLEMAS PROPUESTOS
Nombre:
Curso: Fecha:
EJEMPLO
PROBLEMAS PROPUESTOS
12 Kevin trata de subir un cuerpo de 2 kg por un plano inclinado 45° tirando hacia abajo de una cuerda que pasa por una polea situada en el punto más alto del plano inclinado
y a la que está unido el cuerpo. Si el coeficiente de rozamiento es m= 0,1, calcula la fuerza mínima que debe hacer Kevin para subir el cuerpo y si la cuerda resistirá sin romperse.
(Tensión máxima soportada por la cuerda = 50 N). Dato: g= 9,8 m/s2.
Dos cuerpos, A de 4 kg y B de 5 kg, están unidos por una cuerda inextensible y de masa despreciable. Cuelgan tal y como aparece en el dibujo. Si el ángulo A es de 30°, el ángulo B de 45°
y el coeficiente de rozamiento es m= 0,2 en ambos planos, calcula la aceleración del sistema.
Dato: g= 9,8 m/s2.
El bloque mayor se desplaza sobre un plano con mayor pendiente, así que el sistema se desplazará hacia su lado con una aceleración a. Las fuerzas externas que actúan sobre el sistema son las componentes paralelas de los dos bloques, en sentidos contrarios, y las fuerzas de rozamiento, en sentido contrario al movimiento.
Por tanto:
mTa=PB sen 45° -PAsen 30° – mNB-mNA
(mA+mB) a=mB g sen 45° - mA g sen 30° -mmB g cos 45° -mmA g cos 30°
(4 + 5) kg a= 5 kg 9,8 m/s2 0,71 - 4 kg 9,8 m/s2 0,5 - 0,2 5 kg 9,8 m/s2 0,71 +- 0,2 4 kg 9,8 m/s2 0,87
a=0,16 m/s2
B A
30° 45°
B A
30° 45°
N T N
FRA
PA
PB FRB
Nombre:
Curso: Fecha:
EJEMPLO
PROBLEMAS PROPUESTOS
13 Un cuerpo entra en un plano horizontal con una velocidad de 3 m/s. Si el coeficiente de rozamiento
es m = 0,2, calcula cuánto tiempo estuvo en movimiento el cuerpo hasta quedar parado.
Dato: g = 9,8 m/s2.
14 Al aplicar una fuerza de 40 N durante 5 s sobre un cuerpo, este aumenta su velocidad de 2 a 4 m/s.
¿Cuál es la masa del cuerpo?
Un futbolista aplica durante 0,02 s una fuerza de 500 N a un balón de 0,45 kg de peso, ¿qué velocidad le proporciona?
El impulso lineal que aplica el futbolista cambia el momento lineal del balón según F Dt = Dp. Como el balón estaba inicialmente en reposo:
Dp = pF - p0 = m vF
Y, por tanto, la velocidad que adquiere el balón tiene igual dirección y sentido que la fuerza y módulo:
? ?
, v
m F t
0 45
0 0
kg 5 0 N 0, 2 s
22,2 m/s F
D
Nombre:
Curso: Fecha:
PROBLEMAS PROPUESTOS
15 Una pelota de tenis de 56 g de masa impacta en una pared a la velocidad de 5 m/s
y sale rebotada a 2 m/s. Si el tiempo de contacto entre la pared y la pelota fue de 0,01 s, calcula el valor de la fuerza que la pared aplicó sobre la pelota.
Nombre:
Curso: Fecha:
PROBLEMAS PROPUESTOS
17 Un coche teledirigido de masa 14 kg está situado en la parte más baja de un plano inclinado 20° respecto
al suelo. En lo alto del plano inclinado hay un único árbol situado a 30 m de altura sobre la horizontal. Sabemos que el coeficiente de rozamiento es m= 0,7. Dato: g = 9,8 m/s2.
a) ¿Con qué fuerza F debería tirar el motor hacia arriba para que el coche subiera con una a = 1,5 m/s2? b) ¿Con qué velocidad llegó al árbol si partió del reposo?
c) ¿Con qué fuerza debería tirar el motor hacia arriba para que el coche subiera con velocidad constante?
(Pista: utiliza la 2.a ley de Newton expresada anteriormente e introduce el nuevo dato).
Nombre:
Curso: Fecha:
PROBLEMAS PROPUESTOS
b)
c)
18 Un trineo con motor que, junto con su ocupante, tiene una masa de 150 kg, está situado en la parte más alta de un montículo (a 20 m sobre el suelo) cuya ladera forma 35° respecto a la horizontal. Sabemos que el coeficiente de rozamiento es m = 0,9, muy alto, pues hay poca nieve
y está mezclada con vegetación. Dato: g = 9,8 m/s2.
a) ¿Qué fuerza F debería emplear el motor del trineo para que bajara por la ladera con una a = 3 m/s2?
b) ¿Con qué velocidad llegó al final del plano inclinado si partió del reposo?
c) ¿Con qué aceleración se movería si simplemente se dejara caer, con el motor apagado? Saca conclusiones del resultado que obtengas.
Nombre:
Curso: Fecha:
PROBLEMAS PROPUESTOS
b)
Nombre:
Curso: Fecha:
PROBLEMAS PROPUESTOS
1 ¿Cuál es la constante k’ de un medio en el que dos cargas de 5 mC, separadas una distancia de un metro, se repelen con una fuerza de 0,1 N?
La fuerza electrostática entre dos cargas en un medio se puede expresar en términos de la constante k’ del medio según:
? ? ’ ’ F k d q q ur 2 = ? ? ? ? ? ? ? ? , ( ) k q q F d
5 10 5 10
0 1 1
’
’ C C
N m 4 10 C N m 2 6 6 2 9 2 2 = = - - =
2 Tenemos tres cargas, A, B y C, cuyos valores son de 2 mC, -3 mC y 4 mC, respectivamente. Están alineadas ocupando B la posición intermedia. La separación entre A y B es de 30 cm, mientras que la separación
EJEMPLO
Tenemos dos cargas iguales y positivas de 1 mC cada una situadas en los puntos (0, 2) y (1, 0). ¿Cuál es la fuerza que ejercen sobre otra carga idéntica a las anteriores y situada en el origen de coordenadas? Dato: k = 9 ? 109 N ? m2/C2.
La fuerza que ejerce la carga situada en el eje de ordenadas sobre el origen es vertical y está dirigida hacia abajo:
F1 ? ?
d q q k
12 1
= (-j) 9 10? ? ? ? ? ?
2
1 10 1 10
C N m m C C 9 2 2 2 2 6 6 = -
(-j) = -2 25 10, ? -3 jN
La fuerza que ejerce la carga situada en el eje de abscisas sobre el origen es horizontal, dirigida hacia la izquierda:
F2 ? ?
d q q k 2 2 2
= (-i ) 9 10? ? ? ? ? ?
1
1 10 1 10
C N m m C C 9 2 2 2 6 6 = -
(-i ) = -9 10? -3 i N
La fuerza resultante de la suma vectorial de estas fuerzas es:
F= F1+ F2=-9 ? 10-3 i N- 2,25 ? 10-3 j N
Que forma un ángulo con el eje horizontal positivo:
? ?
, 9 10 2 25 10
194 2
arctg 33 ° ’
a= -=
-Y su módulo resulta:
;F;= (-2 25 10, ? -3 2) + -( 9 10? -3 2) =9 3 10 N, ? -3
+1 mC
+1 mC
F2
Nombre:
Curso: Fecha:
PROBLEMAS PROPUESTOS
La fuerza que ejerce la carga C sobre B también es atractiva:
? ? F d q q u k B
C 2 C
AB C B = ? ? ? ? ? ? , ( ) ( ) , 9 0 0 4 4 10 3 10
0 675 C
N m
m
C C
i i N
9 2 2 2 2 6 6 = - - = -
-La fuerza resultante que actúa sobre la carga B es la suma vectorial de las fuerzas que ejercen sobre ella las cargas:
F=FA+FB=-0,6 i N + 0,675 i N =0,075 i N
que tiene módulo 0,075 N y sentido hacia la carga C.
3 ¿A qué distancia deben estar dos cargas iguales de 3 mC cada una para que entre ellas se produzca una repulsión de 0,1 N? Dato: k = 9 ? 109 N ? m2/C2.
Para que dos cargas de 3 mC se repelan con una fuerza de 0,1 N por efecto de las fuerzas electrostáticas deben estar separadas una distancia d de manera que:
? ? F k d q q u ’ r 2 =
El módulo de la expresión anterior permite calcular la distancia según:
? ?( ? ) 9 10 3 10 C ? ?
?
,
d
F k q q
0 1 ’ N C N m 0,9 m 9 2 2 6 2 = = =
-4 ¿Con qué fuerza se repelen dos protones de un núcleo atómico si cada uno de ellos tiene una carga de 1,6 10-19 C y la distancia que los separa es de 10-15 m? Dato: k = 9 ? 109 N ? m2/C2.
Para dos protones de un núcleo atómico que estén a distancia de 1 ? 10-15 metros:
? ? F k d q q u ’ r 2 = ? ? ? ? ? ? ? u ( ) , , u 9 10 1 10 1 6 10 1 6 10 C N m m C C 230 N r 9 2 2
15 2 2
19 19
r
= - =
-
-Así, se repelen mutuamente con una fuerza repulsiva de módulo 230,4 N.
5 Un cuerpo de masa 1 g y con carga eléctrica levita sobre otro cuerpo situado a 1 cm de distancia por debajo del primero. Si este segundo cuerpo tiene una carga de 2 mC, calcula el valor de la carga del primero.
Dato: k = 9 ? 109 N ? m2/C2.
Para que el cuerpo mantenga su posición de equilibrio en el aire las fuerzas gravitatoria y electrostática tienen que ser de la misma dirección e intensidad y de sentidos contrarios. La fuerza gravitatoria tiene dirección y sentido vertical y hacia abajo. Por tanto, la fuerza electrostática tiene que ser vertical y hacia arriba, así que las cargas eléctricas tienen que ser de igual signo.
Nombre:
Curso: Fecha:
EJEMPLO
PROBLEMAS PROPUESTOS
6 En los extremos de una barra de 1 m de longitud se aplican fuerzas perpendiculares a la barra y del mismo sentido con módulos 5 N y 8 N. Dibuja el sistema de fuerzas, y halla el módulo y el punto de aplicación de la fuerza que equilibra la barra.
Isabel y Juan llegan al mismo tiempo a coger la última copia disponible en una tienda del último videojuego de moda. Si ambos cogen la caja y tiran de ella, Isabel con una fuerza de 30 N y Juan con una de 40N, calcula la fuerza que equilibraría en los siguientes casos:
a) Tiran en sentidos contrarios.
b) Tiran en direcciones perpendiculares.
c) Tiran en direcciones que forman 135° entre sí.
Se fija como sistema de referencia el de origen en la caja, y direcciones, la de la fuerza que aplica Isabel, i , y su sentido; y la otra dirección i perpendicular a esta.
a) En este supuesto las fuerzas del enunciado son FIsabel = 30 i N y FJuan = -40 i N. La resultante es la suma vectorial
de las fuerzas aplicadas:
R1 = FIsabel + FJuan = 30 i N - 40 i N = -10 i N
La fuerza que equilibraría es:
E1=+10 i N
b) En este segundo supuesto las fuerzas del enunciado son FIsabel = 30 i N y:
FJuan = 40 (cos 90° i + sen 90° j)N = 40 jN
La resultante es la suma vectorial de las fuerzas aplicadas:
R2 = FIsabel + FJuan = 30 i + 40 jN
La fuerza que equilibraría es:
E2=-30 i-40 i N
c) En este tercer supuesto las fuerzas del enunciado son FIsabel = 30 i N y:
FJuan = (40 cos 135° i + sen 135° j)N = -28,28 i + 28,28 jN
La resultante es la suma vectorial de las fuerzas aplicadas:
R3 = FIsabel + FJuan = 30 i N - 28,28 i + 28,28 jN = 1,72 i + 28,28 jN
Y su módulo es:
E3= -17,2 i -28,28 j N
Nombre:
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PROBLEMAS PROPUESTOS
7 Se aplica una fuerza F1 de módulo 40 N sobre un cuerpo formando un ángulo de 30° con la horizontal.
Descompón F1 como suma de dos fuerzas, una horizontal y otra vertical.
Se elige un sistema de referencia con direcciones horizontal y vertical según el dibujo. En este sistema de referencia la componente de la fuerza sobre la dirección horizontal es:
Fx= 40 cos 30° i = 34,64 i N Y la componente de la fuerza sobre la dirección vertical es:
Fy= 40 sen 30° i = 20 j N
8 Tenemos un sistema de cuatro fuerzas aplicadas sobre un punto. F1 es vertical hacia arriba y su módulo es 20 N;
F2 es vertical hacia abajo y su módulo es 30 N; F3 es horizontal hacia la derecha y su módulo es 40 N
y F4 es horizontal hacia la izquierda y su módulo es 50 N. Calcula la expresión vectorial de la resultante
de las cuatro fuerzas y el ángulo que forma con la horizontal.
Se elige un sistema de referencia con direcciones y sentidos horizontal hacia la derecha y vertical hacia arriba.
En este sistema de referencia las fuerzas aplicadas se expresan según:
• F1= 20 jN • F2= -30 j N • F3= 40 jN • F4= -50 i N La suma de todas ellas es:
R=F1+F2+F3+F4= 20 j - 30 i + 40 i - 50 i = -10 i - 10 j N
Como la componente horizontal y vertical tienen igual módulo, el ángulo que forma la resultante con la dirección horizontal y sentido positivo puede ser 45°, 135°, 225° o 315°. Para decidir cuál de ellos es el adecuado, basta fijarse en el signo de las componentes: ambos negativos, señalan el tercer cuadrante y un ángulo de 225°. En efecto:
cos a =
2 ( ) ( )
R R
10 10
10 2
x
2 2
; ;= - +
-=- ; sen a =
2 ( ) ( )
R R
10 10
10 2
y
2 2
; ;= - +
-=
-Por tanto, el ángulo es de 225°.
9 Un avión ultraligero de 100 kg despega mediante una fuerza de sus motores de 4000 N que lo impulsan
hacia delante. Al mismo tiempo el empuje aerodinámico lo empuja hacia arriba con una fuerza de 1000 N. El rozamiento con el aire es de 3200 N. Calcula el módulo de la fuerza resultante y el ángulo que forma
con la horizontal. Dato: g= 9,8 m/s.
Se elige un sistema de referencia con direcciones horizontal y vertical, y sentidos los que marca el avance del avión. En este sistema de referencia, y en unidades del SI, las fuerzas sobre el avión son:
30º
40 N F1
i j
F1
F4 F3
Nombre:
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EJEMPLO
PROBLEMAS PROPUESTOS
10 Manuel va patinando a una velocidad de 2 m/s cuando choca con Laura, que en ese momento estaba
parada en la pista. Si las masas de Manuel y Laura son de 70 y 50 kg, respectivamente, y suponemos que después del choque se mueven juntos, calcula cuál será su velocidad.
Se considera que el choque entre los patinadores es elástico y, por tanto, se conserva el momento lineal. El momento lineal inicial de Manuel es:
pM0=mMvM0= 70 kg 2 i m/s = 140 i kg m/s
Y el momento lineal de Laura, que está parada, es nulo.
Un jugador de billar golpea con su taco una de las bolas, que se dirige con velocidad 0,5 m/s a golpear a una segunda bola que está en reposo en el tapete. Si la segunda bola sale a una velocidad de 0,3 m/s y en una dirección que forma un ángulo de 30° con la dirección en que se movía la primera, ¿con qué velocidad y en qué dirección se mueve ahora la primera bola?
Se considera que el golpe entre las dos bolas de billar es elástico: entonces ha de conservarse el momento lineal. Sea m la masa de las bolas de billar e i un vector unitario paralelo a la velocidad inicial de la primera bola. Antes del choque, esta bola tiene un momento lineal igual a:
p10=m1v10= 0,5 mi
Mientras que el momento lineal de la segunda bola, que está en reposo, es nulo. Después del choque, el momento lineal de la segunda bola es:
p2F=m2v2F= 0,3 m (cos 30° i + sen 30° j) = 0,26 mi + 0,15 m j kg m/s
(Suponemos que m1=m2=m).
Y el momento lineal final de la primera bola, p1F, debe ser tal que verifique el principio
de conservación del momento lineal:
p10+p20=p1F+p2F& 0,5 mi =p1F+ (0,26 mi + 0,15 mj)
p1F= 0,24 mi - 0,15 mj
Por tanto, la velocidad de la primera bola es:
v1F= m
p1F
= 0,24 i - 0,15 j m/s
Nombre:
Curso: Fecha:
PROBLEMAS PROPUESTOS
11 Teresa y Pablo juegan a lanzar coches con sentidos contrarios por una pista y ver cómo chocan.
La masa del coche de Teresa es el doble que la del de Pablo, y sus velocidades son 2 m/s y 3 m/s, respectivamente. Si después del impacto el ángulo que forma la dirección del coche de Teresa con su dirección inicial es de 30°, mientras que la que forma el de Pablo con su dirección inicial es de 45°, ¿cuáles son las velocidades con que se mueven los dos coches después del choque?
Se considera que el choque entre los coches es elástico y, por tanto, se conserva el momento lineal.
Los momentos lineales iniciales de los coches de Teresa y Pablo, de masas 2m y m, respectivamente, son:
pT0=mTvT0= 2m 2 i = 4mi kg m/s pP0=mPvP0=m (-3 i ) =-3mi kg m/s
La velocidad con la que el coche de Teresa se mueve después del impacto tiene módulo vT
y forma 30° con su velocidad inicial:
vTF=vT cos 30° i +vT sen 30° j m/s
Y el momento lineal es:
pTF= 1,73 mvT i +mvT j kg m/s
La velocidad con la que el coche de Pablo se mueve después del impacto tiene módulo vP
y forma 45° con su velocidad inicial:
vPF=-vP cos 45° i -vP sen 45° j m/s
Y el momento lineal es:
pPF=-0,71 mvP i - 0,71 mvP j kg m/s
El principio de conservación del momento lineal afirma que:
pT0+pP0=pTF+pPF
30°
45° Teresa
Pablo
vT0
vT
vP0
vP
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EJEMPLO
PROBLEMAS PROPUESTOS
12 Kevin trata de subir un cuerpo de 2 kg por un plano inclinado 45° tirando hacia abajo de una cuerda que pasa por una polea situada en el punto más alto del plano inclinado
y a la que está unido el cuerpo. Si el coeficiente de rozamiento es m= 0,1, calcula la fuerza mínima que debe hacer Kevin para subir el cuerpo y si la cuerda resistirá sin romperse.
(Tensión máxima soportada por la cuerda = 50 N.) Dato: g = 9,8 m/s2.
La fuerza mínima que tiene que hacer Kevin es la que subiría el cuerpo con movimiento uniforme (a= 0), equilibrando la componente paralela del peso del bloque y la fuerza de rozamiento:
0 =F- m g sen 45° - mm g cos 45°
F=2 kg 9,8 m/s2 0,71 + 0,1 2 kg 9,8 m/s2 0,71 =15,25 N
La tensión de la cuerda, T, sobre el bloque actúa en sentido contrario a la componente paralela del peso y la fuerza del rozamiento. Como el movimiento es uniforme, estas fuerzas están en equilibrio:
T + Px+ FR= 0 & 0 =T-P sen 45° -mN
T=m g sen 45° + m m g cos 45° = 2 kg 9,8 m/s2 0,71 + 0,1 2 kg 9,8 m/s2 0,71 =15,25 N
En efecto, como la cuerda se supone inextensible, la fuerza que aplica Kevin se transmite hasta el bloque, Dos cuerpos, A de 4 kg y B de 5 kg, están unidos por una cuerda
inextensible y de masa despreciable. Cuelgan tal y como aparece en el dibujo. Si el ángulo A es de 30°, el ángulo B de 45°
y el coeficiente de rozamiento es m= 0,2 en ambos planos, calcula la aceleración del sistema.
Dato: g = 9,8 m/s2.
El bloque mayor se desplaza sobre un plano con mayor pendiente, así que el sistema se desplazará hacia su lado con una aceleración a. Las fuerzas externas que actúan sobre el sistema son las componentes paralelas de los dos bloques, en sentidos contrarios, y las fuerzas de rozamiento, en sentido contrario al movimiento.
Por tanto:
mTa=PB sen 45° -PA sen 30° – mNB-mNA
(mA+mB) a=mB g sen 45° - mA g sen 30° -mmB g cos 45° -mmA g cos 30°
(4 + 5) kg a= 5 kg 9,8 m/s2 0,71 - 4 kg 9,8 m/s2 0,5 - 0,2 5 kg 9,8 m/s2 0,71 +- 0,2 4 kg 9,8 m/s2 0,87 a=0,16 m/s2
B A
30° 45°
B A
30° 45°
N T N
FRA
PA
PB
FRB
Nombre:
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EJEMPLO
PROBLEMAS PROPUESTOS
13 Un cuerpo entra en un plano horizontal con una velocidad de 3 m/s. Si el coeficiente de rozamiento es m = 0,2, calcula cuánto tiempo estuvo en movimiento el cuerpo hasta quedar parado.
Dato: g= 9,8 m/s2.
Durante el tiempo de frenada, el cuerpo pierde cantidad de movimiento igual a la diferencia de momento lineal:
Dp = pF - p0 = -m v0
Esta pérdida la origina la fuerza de rozamiento, contraria al movimiento. El impulso generado por esta fuerza es FR Dt, y tiene que coincidir con la variación del momento lineal del sistema. Por tanto:
m m g Dt = m v0&
? ? ?
? , ,
t
m g m v
0 2 9 8 3
m/s m/s 0
2 m
D = = =1,53 s
14 Al aplicar una fuerza de 40 N durante 5 s sobre un cuerpo, este aumenta su velocidad de 2 a 4 m/s. ¿Cuál es la masa del cuerpo?
Si la fuerza tiene la dirección del movimiento, el impulso que aplica sobre el cuerpo tiene que ser igual
Un futbolista aplica durante 0,02 s una fuerza de 500 N a un balón de 0,45 kg de peso, ¿qué velocidad le proporciona?
El impulso lineal que aplica el futbolista cambia el momento lineal del balón según F Dt = Dp. Como el balón estaba inicialmente en reposo:
Dp = pF - p0 = m vF
Y, por tanto, la velocidad que adquiere el balón tiene igual dirección y sentido que la fuerza y módulo:
? ?
,
v
m
F t
0 45 0 0
kg 5 0 N 0, 2 s
22,2 m/s
F D
= = = !
FR
Nombre:
Curso: Fecha:
PROBLEMAS PROPUESTOS
15 Una pelota de tenis de 56 g de masa impacta en una pared a la velocidad de 5 m/s y sale rebotada a 2 m/s. Si el tiempo de contacto entre la pared y la pelota fue de 0,01 s, calcula el valor de la fuerza que la pared aplicó sobre la pelota.
Durante el tiempo de contacto con la pared, la pelota cambia su cantidad de movimiento:
p0 = m v0 = 0,056 kg 5 i m/s = 0,28 i kg m/s; pF = m vF = -0,056 kg 2 i m/s = -0,112 i kg m/s
Para conseguir este cambio en el momento lineal, la pared aplica una fuerza sobre la pelota, contraria a su movimiento inicial, durante 0,01 s. Entonces:
F Dt = pF - p0&
? , s
, , kg m/s
F
t
P P
0 01 0 112i 0 28i
39,2 i N
F 0
D
= - =- - =
-La pared aplica sobre la pelota una fuerza de 39,2 N en sentido contrario a su movimiento.
16 Juan tiene examen de educación física y la primera prueba consiste en saltar verticalmente con los dos pies y marcar con una tiza la mayor altura posible. Al flexionar las piernas, Juan empuja el suelo con una fuerza de 600 N y sus 80 kg alcanzan una altura de 1 m sobre su posición inicial. Calcula el tiempo que Juan estuvo en contacto con el suelo aplicando la fuerza. Dato: g= 9,8 m/s2.
Para alcanzar una altura de 1 m sobre el suelo, la velocidad inicial del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (con la aceleración de la gravedad actuando en contra del movimiento) se calcula resolviendo el siguiente sistema para v0 y t:
?
? ? ?
v v g t
s v t g t
2 1
0
0 2
=
-= -
4
"
? ,,
v t
v t t
0 9 8
1 2 1 9 8 0 0 2 =
-= -
4
Y resulta v0 = 4,43 m/s.
La variación del movimiento lineal de Juan es:
Dp = pF - p0 = 0 - mv0 = 80 kg 4,43 m/s = 354 kg m/s
Y se debe a la fuerza de reacción que ejerce el suelo sobre Juan, hacia arriba, cuando esta aplica la misma fuerza sobre el suelo, hacia abajo:
F Dt = Dp& t ? F p 600 354 N kg m/s 0,595
D = D = =
1 m 5 m/s 2 m/s
Nombre:
Curso: Fecha:
PROBLEMAS PROPUESTOS
17 Un coche teledirigido de masa 14 kg está situado en la parte más baja de un plano inclinado 20° respecto
al suelo. En lo alto del plano inclinado hay un único árbol situado a 30 m de altura sobre la horizontal. Sabemos que el coeficiente de rozamiento es m= 0,7. Dato: g= 9,8 m/s2.
a) ¿Con qué fuerza F debería tirar el motor hacia arriba para que el coche subiera con una a= 1,5 m/s2?
b) ¿Con qué velocidad llegó al árbol si partió del reposo?
c) ¿Con qué fuerza debería tirar el motor hacia arriba para que el coche subiera con velocidad constante?
(Pista: utiliza la 2.a ley de Newton expresada anteriormente e introduce el nuevo dato).
a) Dibuja todas las fuerzas existentes descomponiendo el peso P como la suma de una componente en el eje X & Px y otra en el eje Y & Py.
Identifica por semejanza de triángulos dónde está el ángulo a en los triángulos que te aparecen
y halla el valor de ; ;Px y ; ;Py con tus conocimientos sobre trigonometría:
sen a = P Px ; ; ; ;
& Px; ; =; ;P sen a=mg sen a = 14 kg 9,8 m/s2 sen 20° = 46,9 N
cos a = P Py ; ; ; ;
& Py; ; =; ;P cos a=mg cos a = 14 kg 9,8 m/s2 cos 20° = 128,9 N
Comprueba que ; ;P =mg coincide con ; ;P = ; ;Px2+; ;Py2 :
; ;P = mg= 14 kg 9,8 m/s2= 137,2 N
; ;P = ; ;Px2+; ;Py2= ;46 9,;2+;128 9,;2=137 2 N, h =30 m
P = mg
a
x
Py
Px F
Nombre:
Curso: Fecha:
PROBLEMAS PROPUESTOS
b) Primero halla el espacio que recorre con tus conocimientos de trigonometría.
Ahora calcula la velocidad con la que llega al árbol con tus conocimientos de cinemática.
v2-v02=2? ?a s&v= 2? ?a s= 2 1 5? , m/s2?87 7, m=16 22, m/s
(v0= 0, pues parte del reposo). c) Resuelve:
?
? , , ,
F m a
F P F m a 0 F P F 46 9N 90 23N 137 3N
x Total eje X
x R x & x R
=
- - = = = + = + =
ax= 0, pues la velocidad es constante.
18 Un trineo con motor que, junto con su ocupante, tiene una masa de 150 kg, está situado en la parte más alta de un montículo (a 20 m sobre el suelo) cuya ladera forma 35° respecto a la horizontal. Sabemos que el coeficiente de rozamiento es m= 0,9, muy alto, pues hay poca nieve
y está mezclada con vegetación. Dato: g = 9,8 m/s2.
a) ¿Qué fuerza F debería emplear el motor del trineo para que bajara por la ladera con una a= 3 m/s2?
b) ¿Con qué velocidad llegó al final del plano inclinado si partió del reposo?
c) ¿Con qué aceleración se movería si simplemente se dejara caer, con el motor apagado?
Saca conclusiones del resultado que obtengas.
a) Sigue los siguientes pasos:
Dibuja todas las fuerzas existentes descomponiendo el peso P como la suma de una componente en el eje X " Px y otra en el eje Y " Py.
, ° s
h
s h
20 30
87 7 sen
sen sen m
m &
a
a
= = = =
s h =30 m
a = 20°
y
Nombre:
Curso: Fecha:
PROBLEMAS PROPUESTOS
Identifica por semejanza de triángulos dónde está el ángulo a en los triángulos que te aparecen y halla el valor de ; ;Px y ; ;Py con tus conocimientos sobre seno y coseno de un ángulo:
sen a =
P Px ; ; ; ;
& P; ;x =; ;P sen a=mg sen a = 150 kg 9,8 m/s2 sen 35° = 843,2 N
cos a =
P Py ; ; ; ;
& P; ;y =; ;P cos a=mg cos a = 150 kg 9,8 m/s2 cos 35° = 1204,2 N
Comprueba que ; ;P =mg coincide con ; ;P = ; ;Px2+; ;Py2:
; ;P = mg= 150 kg 9,8 m/s2= 1470 N
; ;P= ; ;Px2+; ;Py2= ;843 2,;2+;1204 2,;2=1470 N Calcula el valor de la normal aplicando la segunda ley de Newton al eje Y:
FTotal eje Y=may&N-Py= 0 &N=Py= 1204,2 N
ay= 0,pues no hay movimiento en el eje Y.
Conocido el valor de la normal, halla el valor de la fuerza de rozamiento.
? , ? , ,
FR=m N=0 9 1204 2N=1083 8N Aplica la segunda ley de Newton al eje X y despeja el valor del módulo de la fuerza con la que debe tirar el motor del coche.
?
? ? , , ? F m a
F P F m a F F P m a 1083 8N 843 2N 150kg 3m/s2 690,6 N
Total eje X x
x R x& R x
=
+ - = = - + = - + =
b) Primero halla el espacio que recorre con tus conocimientos de trigonometría.
Ahora calcula la velocidad con la que llega al árbol con tus conocimientos de cinemática. , °
s h
s h
35 20
34 9 sen
sen sen
m
m
&
a
a
= = = =
s h
