SISTEMAS
LINEALES DE
INECUACIONES
Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas
ÍNDICE
Inecuaciones lineales
de
dos incógnitas
...
Sistemas de inecuaciones
lineales ...
Problemas textuales
de
sistemas de inecuaciones
(1º bachillerato) ...
La
solución
de una inecuación de dos incógnitas
es un
semiplano
.
Los pasos a seguir para resolverla son:
1
erpaso
:
representar
la recta (cambiamos el símbolo
por un igual)
2º paso
:
elegir
un punto del plano (que no esté en la
recta anterior) y
estudiar
cómo responde a la
inecuación.
3
erpaso
:
colorear
el semiplano solución.
Resuelve la inecuación:
5
x
2
y
3
Represento la recta:
5
x
2
y
3
Despejo la variable y:
2
x
5
3
y
Tabla de valores:
x
y
1
-1
3
-6
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:
0
2
0
3
0
3
5
Como el punto (0,0)
RESPONDE BIEN
a la inecuación, el
semiplano
en el que está es la solución
.
Algunas inecuaciones son sencillas:
0
x
)
a
b
)
y
0
c
)
x
3
d
)
x
2
e
)
y
4
Si la inecuación tiene una sola variable, la
recta es paralela
a alguno de los ejes.
Asocia cada inecuación con su solución
b
a
c
d
e
Resuelve las inecuaciones:
6
y
3
x
2
)
a
Asocia cada inecuación con
su solución
b
a
c
d
y
x
2
)
b
c
)
x
2
y
4
d
)
3
x
4
y
7
La
solución
de un
sistema de inecuaciones
de
dos incógnitas es una
región
(si existe).
Los pasos a seguir para resolverla son:
1
erpaso
:
representar
la recta (cambiamos el símbolo
por un igual)
2º paso
:
elegir
un punto del plano (que no esté en la
recta anterior) y
estudiar
cómo responde a la
inecuación.
3
erpaso
:
colorear
el semiplano solución.
Resuelve el sistema de inecuaciones:
7
y
3
x
2
1
y
x
3
Represento la recta:
3
x
y
1
Despejo la variable y:
y
3
x
1
Tabla de valores:
x
y
1
4
-2
-5
Elijo el punto (2,2), que no está en la
recta, y estudio cómo responde la
inecuación:
3
2
2
1
4
1
Como el punto (2,2)
NO RESPONDE BIEN
a la inecuación, el
semiplano en el que está
NO ES LA SOLUCIÓN
.
Resuelve el sistema de inecuaciones:
7
y
3
x
2
1
y
x
3
Represento la recta:
2
x
3
y
7
Despejo la variable y:
3
x
2
7
y
Tabla de valores:
x
y
2
1
-2
3
Elijo el punto (0,0), que no está en la
recta, y estudio cómo responde la
inecuación:
2
0
3
0
7
0
7
Como el punto (0,0)
NO RESPONDE BIEN
a la inecuación, el
semiplano en el que está
NO ES LA SOLUCIÓN
.
2º paso:
Busco el semiplano solución de la segunda inecuación
Resuelve el sistema de inecuaciones:
7
y
3
x
2
1
y
x
3
2º paso:
Tengo el semiplano solución de la segunda inecuación
1
erpaso:
Tengo el semiplano solución de la primera inecuación
3
erpaso:
Busco la intersección de los dos semiplanos anteriores
Resuelve los sistemas de inecuaciones:
4
y
x
2
3
y
x
)
a
Asocia cada sistema con su solución
Problemas de texto
con inecuaciones
Los pasos a seguir para resolverlo son:
1
erpaso
:
plantear
el sistema de inecuaciones.
2º paso
:
resolver
el sistema
dibujando
la región
solución.
3
erpaso
:
resolver
el problema, dando la solución con
una frase si es posible.
Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de
manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se pueden elaborar?
1er paso: Organizamos los datos en una
tabla y hallamos las inecuaciones Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.)
Chocolate x 0’5x 5x
Manzana y 1y 6y
Disponible 9 60
0
y
0
x
60
y
6
x
5
9
y
x
5
'
0
2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación
Represento la recta:
0
'
5
x
y
9
Despejo la variable y:
y
9
0
'
5
x
Tabla de valores:
x y
2 8
6 6
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:
0
0
9
0
9
5
'
0
3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación
Represento la recta:
5
x
6
y
60
Despejo la variable y:
6
x
5
60
y
Tabla de valores:
x y
6 5
12 0
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:
0
6
0
60
0
60
5
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones
0
5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores
La solución del sistema y del problema está representado en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas)
a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?
b) Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar?
c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede fabricar de cada tipo?
d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?
Resuelve los problemas:
Asocia cada problema con su solución
c
b
a
d
Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?
Definimos las incógnitas:
Planteamos las inecuaciones:
Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar?
Definimos las incógnitas:
Planteamos las inecuaciones:
Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede fabricar de cada tipo?
Definimos las incógnitas:
Planteamos las inecuaciones:
ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?
Definimos las incógnitas:
Planteamos las inecuaciones:
Problemas de programación lineal
Los pasos a seguir para resolverlo son:
1
erpaso
:
plantear
el sistema de inecuaciones e identificar la
función objetivo
.
2º paso
:
resolver
el sistema de inecuaciones
dibujando
la
región solución
.
3
erpaso
:
dibujar
el vector de la
función objetivo
, y
buscar
el
punto de la región solución que la
optimiza
.
4º paso
:
escribir
la solución con una
frase
si es posible.
Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. La tarta de chocolate se vende a 12 € y la de manzana a 15 €. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se debe elaborar para que la venta sea máxima?
1er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones
Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.)
Chocolate x 0’5x 5x
Manzana y 1y 6y
Disponible 9 60
0
y
0
x
60
y
6
x
5
9
y
x
5
'
0
2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación
Represento la recta:
0
'
5
x
y
9
Despejo la variable y:
y
9
0
'
5
x
Tabla de valores:
x y
2 8
6 6
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:
0
0
9
0
9
5
'
0
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
9
y
x
5
'
0
3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación
Represento la recta:
5
x
6
y
60
Despejo la variable y:
6
x
5
60
y
Tabla de valores:
x y
6 5
12 0
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:
0
6
0
60
0
60
5
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
60
y
6
x
4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones
0
x
y
0
6º paso: Dibujo el vector de la función objetivo
5º paso: Busco la región solución del sistema como
intersección de los semiplanos anteriores
La solución del problema está en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas).
El vector de la función objetivo es:
15
,
12
5
,
4
y
15
x
12
venta
7º paso: Trazo paralelas al vector de la función objetivo, sobre la región factible, y observo cuál está más alejado.
Los puntos (x,y) de cada recta paralela dan el
mismo valor a la función objetivo. Con cada recta paralela cambia el valor de la función objetivo: paralelas hacia un lado aumentan la función objetivo, y hacia el otro lado la disminuyen. En los punto de la región factible más alejados están los valores óptimos: máximo y mínimo.
Se observa que el punto (6,5) es el que maximiza la función objetivo. Recuerda que los valores decimales de x e y no tienen sentido en este problema.
a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Los beneficios son de 180 € en la normal y de 240 en la de lujo. Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas debe fabricar de cada tipo para maximizar el beneficio?
b) Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Se vende a 1’19 € el tipo A y a 0’89 € el tipo B. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo se deben elaborar para maximizar la venta?
c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. La de paseo la vende a 120 € y la de montaña a 90 €. ¿Cuántas debe fabricar de cada tipo?
d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. El microbús se alquila a 250 € y el autobús a 375 €. ¿Cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar?
Resuelve los problemas:
a) 20 neveras normales y 20 de lujo, que reportan de beneficio de 8.400 €.
b) 20 bollos tipo A y 40 bollos tipo B, que reportan de beneficio de 59’40 €.