4º ESO – Académicas
Ejercicios de Trigonometría
Resolución de triángulos II
1) En un triángulo rectángulo, los catetos miden 6 y 8 centímetros. Calcula la medida de la altura sobre la hipotenusa y la distancia desde su pie hasta los extremos.
2) Resuelve estos triángulos:
a) a = 25 m , b = 20 m , Â = 90⁰ b) a = 6 cm , B = 45⁰ , Ĉ = 105⁰
c) a = 10 mm , c = 7 mm , B = 30⁰
3) Los brazos de un compás miden 12 cm. ¿Qué ángulo forman cuando se traza un orco de 7 centímetros de radio?
4) El lado desigual de un triángulo isósceles mide 16 metros, y el ángulo desigual 80⁰. ¿Cuál es la medida de la altura sobre la hipotenusa?
5) Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 6,4 y 3,6 centímetros. Halla la longitud de sus lados.
7) Resuelve el triángulo. ¿De qué tipo es?
8) Resuelve los siguientes triángulos:
Soluciones
1) En un triángulo rectángulo, los catetos miden 6 y 8 centímetros. Calcula la medida de la altura sobre la hipotenusa y la distancia desde su pie hasta los extremos.
Resolución:
En este caso nos piden la altura sobre la hipotenusa y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Así pues aplicaremos el teorema del cateto.
Lo primero calcular la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras:
c2 = a2 + b2 => c2 = 62 + 82 => c2 = 100 => c = 10
Aplicando ahora el teorema del cateto a cada uno de ellos tenemos que
a2 = m * c => 62 = m * 10 => m = 36/10 = 3,6 cm
b2 = n * c => 82 = n * 10 => n = 64/10 = 6,4 cm
Para calcular la altura aplicaremos el teorema de Pitágoras por ejemplo al triángulo AHC
2) Resuelve estos triángulos:
Resolución:
a) a = 25 m , b = 20 m , Â = 90⁰
Como siempre hagamos un dibujo del ejercicio,
Nos dan dos lados y un ángulo, siendo un lado y su ángulo opuesto, así pues usaremos el teorema del Seno,
25
sen 90⁰ =
20 sen B
sen B = 20∗sen 90⁰
25 =
20
25
=
0,8 => B = 53,1301023542⁰ (usando el arc sen B)Ĉ = 180⁰ – 90⁰ – 53,1301023542⁰ = 36,869897646⁰
Para el lado que nos falta usaremos también el teorema del Seno,
25
sen 90⁰ =
c
sen 36,869897646 ⁰ => c =
25∗0,6
1 = 15 m
b) a = 6 cm , B = 45⁰ , Ĉ = 105⁰
Como siempre hagamos un dibujo del ejercicio,
Nos dan dos ángulos y un lado, así pues usaremos el teorema del Seno, aunque primero obtendremos el ángulo que nos falta,
 = 180⁰ – 45⁰ – 105⁰ = 30⁰
Así pues ahora tenemos que,
6
sen 30⁰ =
b sen 45⁰
b = 6∗sen 45⁰
sen 30⁰ = 8,485281 cm
Para el lado que nos falta usaremos también el teorema del Seno,
6
sen 30⁰ =
c
sen 105⁰ => c =
6∗sen 105⁰
sen 30⁰ = 11,591109 cm
c) a = 10 mm , c = 7 mm , B = 30⁰
Como siempre hagamos un dibujo del ejercicio,
Nos dan dos lados y un ángulo, pero no coinciden, es decir, no nos dan un lado y un ángulo opuesto, lo que nos dan son dos lados y el ángulo comprendido (si lo dibujas lo verás) así pues usaremos el teorema del coseno
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
que sustituyendo,
b2 = 102 + 72 – 2*10*7 cos 30⁰ => b2 = 100+ 49 – 121,24655653 = 27,75644347
b = 5,26843842804 mm
Ahora para calcular cualquiera de los otros ángulos usaremos el teorema del seno,
5,26843842804
sen 30⁰ =
7
sen Ĉ => sen Ĉ =
7∗sen 30⁰
5,26843842804 = 41,6312115856⁰
Para el ultimo ángulo, usaremos la fórmula de lza suma de ángulos de un triángulo,
Ĉ = 180⁰ – 30⁰ – 41,6312115856⁰ = 108,368788414⁰
3) Los brazos de un compás miden 12 cm. ¿Qué ángulo forman cuando se traza un orco de 7 centímetros de radio?
Resolución:
Nos dicen que es un compás con lo que el triángulo que se forma es isósceles. Adicionalmente nos dicen que se traza un arco de 7 cm de radio, eso quiere decir que la amplitud el compás es de 7 cm con lo que el otro lado del triángulo que se forma al abrir el compás es de 7 cm.
Nos los tres lados de un triángulo con lo que usaremos el teorema del coseno.
72 = 122 + 122 – 2*12*12 cos α, donde α representa el ángulo de apertura.
cos α = 49−144−144
4) El lado desigual de un triángulo isósceles mide 16 metros, y el ángulo desigual 80⁰. ¿Cuál es la medida de la altura sobre la hipotenusa?
Resolución:
Como siempre, realizamos un dibujo del enunciado que nos ayudará a entenderlo mejor.
Nos piden la altura, y el triángulo isósceles no ha quedado dividido en dos triángulos rectángulos, siendo uno de sus catetos de longitud 8 m y el ángulo opuesto es de 40⁰, así pues,
tg 40⁰ = 8
h => h = 8
tg 40⁰ => h =
8
0,839099631177 = 9,53402874076 m
5) Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 6,4 y 3,6 centímetros. Halla la longitud de sus lados.
Resolución:
Nos dan las proyecciones sobre la hipotenusa con lo que sumándolas, tenemos lo que mide ésta.
c = 6,4 + 3,6 = 10 cm
Aplicando el teorema del cateto a cada uno de ellos tenemos que
a2 = m * c = 6,4 * 10 => a2 = 64 => a = 8 cm
b2 = n * c = 3,6 * 10 => b2 = 36 => b = 6 cm
6) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 centímetros, y la proyección de uno de los catetos sobre ella, 4 centímetros. Resuelve el triángulo.
Resolución:
Como siempre, realizamos un dibujo del enunciado que nos ayudará a entenderlo mejor.
Nos dan la hipotenusa y una proyección, con lo que usando el teorema del cateto podemos calcular uno de ellos,
a2 = m * c = 4 * 20 => a2 = 80 => a = 8,94427191 cm
El otro cateto lo podemos obtener con el teorema de Pitágoras,
c2 = a2 + b2 => 202 = 8,944271912 + b2 => b2 = 400 – 80 => b2 = 320 cm
Así pues, b = 17,88854382 cm
Ahora aplicando la definición de seno de ángulo a ambos catetos tendremos los ángulos
sen α = 8,94427191
20 = 0,4472135955 => α = 26,5650511771⁰
7) Resuelve el triángulo. ¿De qué tipo es?
Resolución:
Como vemos en el dibujo nos dan dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, así pues podemos aplicar el teorema del coseno y así obtener el lado a,
a2 = 132 + 192 – 2*13*19 cos 50⁰
Operando tenemos,
a2 = 169+ 361– 317,537079186 => a2 = 212,462920815 => a = 14,5761078761 cm
Para calcular ahora los ángulos usamos el teorema del seno,
14,5761078761sen 50⁰ = 13
sen β => sen β =
13∗sen 50⁰
14,5761078761 => sen β = 0,683212407949
Así pues, β = 43,0951848249⁰
Adicionalmente tenemos α = 180⁰ – 50⁰ – 43,0951848249⁰ = 86,9048151751⁰
8) Resuelve los siguientes triángulos:
Resolución:
a) a = 2 cm , c = 3 cm , Ĉ = 140⁰
Como siempre hagamos un dibujo del ejercicio,
Nos dan dos lados y un ángulo, siendo un lado y su ángulo opuesto, así pues usaremos el teorema del Seno,
3
sen 140⁰ =
2
sen Â
sen  = 2∗sen 140⁰
3 =
1,28557521937
3
=
0,428525073123 =>Â = 25,3739939391⁰ (usando el arc sen Â)
B = 180⁰ – 140⁰ – 25,3739939391⁰ = 14,626006061⁰
Para el lado que nos falta usaremos también el teorema del Seno,
3
sen 140⁰ =
b
sen 14,626006061 ⁰ => c =
3∗0,642787609687
0,252508567123 = 1,17850078308 cm
b) a = 19 cm , b = 8 cm , B = 62⁰
Nos dan dos lados y un ángulo, siendo un lado y su ángulo opuesto, así pues usaremos el teorema del Seno,
8
sen 62⁰ =
19
sen Â
sen  = 19∗sen 62⁰
8 =
7,94652833573
8
= 0,993316041966 =>
 = 83,3717835085⁰ (usando el arc sen Â)
Ĉ = 180⁰ – 62⁰ – 83,3717835085⁰ = 34,628216492⁰
Para el lado que nos falta usaremos también el teorema del Seno,
8
sen 62⁰ =
c
sen 34,628216492 ⁰ => c =
8∗0,538249046712