L ´
OGICO MATEM ´
ATICA
Gonzales Caicedo Walter Orlando
´
Indice
1. L ´OGICA DE PROPOSICIONES 4
1.1. L´ogica Formal . . . 4
2. CUANTIFICADORES 8
2.1. Cuantificador Existencial . . . 8 2.2. Cuantificador Universal. . . 9 2.3. Negaci´on de Cuantificadores . . . 10
L ´OGICO MATEM ´ATICA
PRESENTACI ´ON
Bienvenidos al curso deL´ogico Matem´atica, la finalidad del presente trabajo es para ayudar a entender y analizar algunos de los temas que se presentan en el desarrollo de esta materia, en su formaci´on como estudiantes de pregrado.
El fin supremo que nos motiva a presentar el trabajo, es que la persona interesada en la materia, tenga algo pr´actico de principio a fin, y que de esa forma pueda encontrar la soluci´on a problemas que se le presentan en la vida pr´actica.
En general, hemos optado por detallar las soluciones de ejercicios sobre la l´ogica de proposiciones y cuantificadores.
1.
L ´
OGICA DE PROPOSICIONES
Uno de los procesos por los cuales adquirimos conocimientos es el proceso de razona-miento. A su vez, hay una variedad de modos o formas mediante las cuales razonamos o argumentamos a favor de una conclusi´on. Ciertas formas de razonamiento parecen mostrar que si se suponen ciertas premisas, entonces la conclusi´on se cumple necesaria-mente. A tales razonamientos son denominados deductivos y forman el objetivo central de lo que cl´asicamente se ha llamado l´ogica.
En un sentido amplio, el t´ermino l´ogica hace referencia al estudio de todos los razona-mientos, y en un sentido m´as especifico al estudio del razonamiento deductivo.
Cierto tipo de razonamiento deductivo se basa en la l´ogica proposicional.
1.1.
L´
ogica Formal
1. L´ogica Formal: es la ciencia del razonamiento formalmente v´alido. Para esto la l´ogica formal se apoya en el proceso de deducci´on.
Deducci´on: una deducci´on, razonamiento, argumentaci´on o inferencia, es un tipo de pensamiento que se basa en la generaci´on de conocimiento nuevo (la conclusi´on) a partir de un conocimiento existente (las premisas). Para la evaluaci´on de la validez de las afirmaciones (representadas por f´ormulas) y de los razonamientos, la l´ogica formal dispone de dos enfoques bien diferenciados:
La teor´ıa Interpretativa: es un m´etodo que estudia la validez de las f´ormulas y de las argumentaciones seg´un el significado (de valor de verdad) de sus componentes constitutivos. Tambi´en se le denomina M´etodo de la Sem´antica.
La teor´ıa de las Demostraciones:(M´etodo Axiom´atico) estudia la validez de las f´ormulas y la conclusi´on seg´un su derivaci´on a partir de las f´ormulas premisas, definidas axiom´aticamente mediante el uso de reglas de la inferencia correctas.
Ejemplo 1. Si un persona entra en un ascensor y le pregunta a otra que ya esta dentro:
¿Sube o baja?
Esta responde: Si
As´ı tenemos:
Sube o Baja V V F F V V
Ejemplo 2. Orlando se encuentra con Aldo y le dice:
Hola Aldo ¿C´omo te va?
Muy bien, estoy llevando un curso de l´ogica.
¿L´ogica? y ¿En que consiste?
Te lo explicar´e. ¿A ti te gustan las plantas?
S´ı, claro.
Y si te gustan las plantas, ¿te gustar´a la naturaleza?
Por supuesto.
Y si te gusta la naturaleza, ¿ser´as un hombre sociable?
Si, muy sociable.
Y si eres sociable, ¿te gustar´an las mujeres?
Pues s´ı, me gustan bastante.
Eso es l´ogica. ¿Lo entiendes?
Si.
En este ejemplo Orlando le demostr´o paso a paso a su amigo Aldo que a ´el le gustan las mujeres partiendo de las premisas y de las valoraciones (si a todas) que Aldo le da, en combinaci´on con una regla de inferencia denominada Modus Ponens.
An´alisis del ejemplo:
Identifiquemos las proposiciones:
p : “te gustan las plantas” q : “te gusta la naturaleza” r : “eres sociable”
s : “te gustan las mujeres”
Formalicemos las premisas:
1. p
2. p → q
3. q → r
5. r → s
6. s
Demostraremos que a partir de las premisas planteadas, Orlando llega a la con-clusi´on de que a su amigo Aldo le gusta las mujeres, es decir:
De (1) y (2):
p
p → q Modus Ponens
∴ q (7)
De (3) y (7):
q → r
q Modus Ponens
∴ r (8) = (4)
De (4) y (5):
r
r → s Modus Ponens
∴ s (9) = (6)
Luego de aplicarla regla de inferencia Modus Ponens, se llega a la conclu-si´on de que ha Aldo le gusta las mujeres.
Observaci´on 1. Tambi´en podemos probar la validez e invalidez de los argumentos, a trav´es de las tablas de verdad, las leyes de equivalencia l´ogica o empleando el m´etodo abreviado que consiste en suponer la conjunci´on de premisas verdaderas y la conclusi´on falsa.
Ejemplo 3. Probar la validez e invalidez del argumento del ejemplo (2), es decir:
[p∧(p→q)∧(q→r)∧r∧(r →s)] =⇒s
Demostraci´on. Probaremos la validez del argumento aplicando:
Tablas de Verdad
Evaluando en tablas de verdad:
[p∧(p→q)∧(q→r)∧r∧(r →s)] =⇒s
p q r s [p ∧ (p → q) ∧ (q → r) ∧ r ∧ (r → s)] → s
V V V V V V V V V V V V
V V V F V V V V V F F V
V V F V V V F F F F V V
V V F F V V F F F F V V
V F V V F F F V F F V V
V F V F F F F V F F F V
V F F V F F F V F F V V
V F F F F F F V F F V V
F V V V F V F V F F V V
F V V F F V F V F F F V
F V F V F V F F F F V V
F V F F F V F F F F V V
F F V V F V F V F F V V
F F V F F V F V F F F V
F F F V F V F V F F V V
F F F F F V F V F F V V
Se tiene los valores de verdad de conectivo de mayor jerarqu´ıa en la matriz principal todas son verdaderas de esta forma se obtiene que es unaTautolog´ıa. As´ı se tiene que el argumento esv´alido.
M´etodo Abreviado
Tambi´en utilizando elm´etodo abreviadose puede demostrar la validez del argumento, es decir:
[p∧(p→ q)∧(q →r)∧r∧(r →s)]
| {z }
=⇒ s
|{z}
V F
Donde:
V(s) = F
[p∧(p→q)∧(q →r)∧r∧(r→s)] =V
Se tiene:
V(p) = V
p → q = V, entonces V(q) = V
q → r = V, entonces V(r) = V
r → s = V, entonces al reemplazar los valores de verdad de r y s se
Leyes de Equivalencia L´ogica
Utilizando las leyes de equivalencia l´ogica podemos simplificar el esquema mole-cular, es decir:
[p∧(p→q)∧(q →r)∧r∧(r→s)] =⇒s
≡∼[p∧(∼p∨q)∧(∼q∨r)∧r∧(∼r∨s)]∨s , condicional y asociativa
≡∼[(p∧q)∧r∧(∼r∨s)]∨s , asociativa y absorci´on
≡∼[(p∧q)∧(r∧s)]∨s , absorci´on
≡∼[(p∧q∧r)∧s)]∨s , asociativa
≡[∼(p∧q∧r)∨ ∼s]∨s , Morgan
≡∼(p∧q∧r)∨(∼s∨s) , asociativa y tercio excluido
≡∼(p∧q∧r)∨V , identidad
≡V
Luego se tiene que el argumento esv´alido.
2.
CUANTIFICADORES
2.1.
Cuantificador Existencial
Las expresiones:
“Existe un x”
“Hay x”
“Exixte x, tal que”
“Alg´un x”
“Algunos x”
“Para alg´un x”
2.2.
Cuantificador Universal
Las expresiones:
“Para cualquier x”
“Todo x”
“Cada x”
“Para todo x”
nos representa al “Cuantificador Universal” el cual se simboliza por: ∀.
Ejemplo 4. Consideremos lo siguiente:
Todos los lambayecanos son peruanos.
Puede traducirse respectivamente como:
Para todo x, si x es lambayecano entonces x es peruano.
En forma simb´olica tenemos:
∀ x:L(x)→P(x)
Todos las aves tienen alas.
Puede traducirse respectivamente como:
Cualquier x, si x es ave, entonces x tiene alas.
En forma simb´olica tenemos:
∀ x:A(x)→V(x)
Algunos universitarios son sanmarquinos.
Puede traducirse respectivamente como:
Existe por lo menos un x tal que, x es universitario y x es sanmarquino.
En forma simb´olica tenemos:
∃ x/U(x)∧S(x)
A algunas personas les gusta la m´usica cl´asica.
Puede traducirse respectivamente como:
En forma simb´olica tenemos:
∃ x/M(x)
2.3.
Negaci´
on de Cuantificadores
Tenemos que la negaci´on del cuantificador universal es el existencial y la negaci´on del cuantificador existencial es el universal. Es decir:
∼[∀x∈DP :P(x)]≡ ∃x∈DP/∼P(x)
∼[∃x∈DP/P(x)]≡ ∀x∈DP :∼P(x)
Ejemplo 5. Negar las proposiciones del ejemplos (4), es decir:
Tenemos: ∀ x:L(x)→P(x)
Su negaci´on es:
∼[∀ x:L(x)→P(x)]≡∼(∀ x)/∼[L(x)→P(x)] ≡∼(∀ x)/∼[∼L(x)∨P(x)] ≡ ∃ x/L(x)∧ ∼ P(x)]
En lenguaje coloquial:
Algunos lambayecanos no son peruanos.
Tenemos: ∀ x:A(x)→V(x)
Su negaci´on es:
∼[∀ x:A(x)→V(x)]≡∼(∀ x)/∼[A(x)→V(x)] ≡∼(∀ x)/∼[∼A(x)∨V(x)] ≡ ∃ x/A(x)∧ ∼V(x)]
En lenguaje coloquial:
Tenemos: ∃ x/U(x)∧S(x)
Su negaci´on es:
∼[∃ x/U(x)∧S(x)]≡∼(∃ x) :∼[U(x)∧S(x)] ≡(∀ x) :∼U(x)∨ ∼S(x) ≡(∀ x) :U(x)→∼S(x)
En lenguaje coloquial:
Todos los universitarios no son sanmarquinos.
Tenemos: ∃ x/M(x)
Su negaci´on es:
∼[∃ x/M(x)]≡∼(∃ x) :∼M(x) ≡(∀ x) :∼M(x)
En lenguaje coloquial:
A todas las personas no les gusta la m´usica cl´asica.
A ninguna persona le gusta la m´usica cl´asica.
Observaci´on 2. Las proposiciones universales pueden aparecer negadas.
Como por ejemplo:
Notodos son universitarios.
En este caso la simbolizaci´on ser´a: ∼[∀ x/U(x)]
Las palabras“ ning´un”, “ninguno”, “nada”, “nadie”corresponden tambi´en a enun-ciados universales con negaciones, pero de una manera distinta a las proposiciones anteriores.
Por ejemplo:
Ninguno es universitario.
En este caso la simbolizaci´on ser´a: [∀ x:∼U(x)]
Observaci´on 3. Las proposiciones existenciales pueden estar negadas.
Como por ejemplo:
No es cierto que hay marcianos.
An´alogamente a lo que ocurre con los cuantificadores universales, las proposiciones existenciales pueden tener negaciones internas.
Por ejemplo:
Algo no es eterno.
En este caso la simbolizaci´on ser´a: [∃ x:∼E(x)]
3.
EJERCICIOS
I. Prueba las reglas de inferencia y las identidades en l´ogica proposicional, mostrando en cada paso la regla o identidad implicada y las premisas utili-zadas, as´ı mismo dar la conclusi´on y pruebe la validez o invalidez utilizando los m´etodos estudiados para los siguientes argumentos.
1. Si Joel le apost´o a Mariano, entonces se gast´o el dinero. Si Joel se gast´o el dinero entonces su esposa no compra sus vestidos y su esposa desconf´ıa de ´el. Si su esposa no compra sus vestidos, entonces los ni˜nos no comen o la esposa est´a enojada. Joel le apost´o a Mariano. Los ni˜nos comen por lo tanto su esposa est´a enojada.
2. Si trabajo o ahorro, entonces comprar´e una casa. Si compro una casa, entonces podr´e guardar mi auto en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el auto en mi casa, entonces no ahorro.
3. Si la temperatura supera los 35o
, sube el consumo de energ´ıa el´ectrica. sube el consumo de energ´ıa el´ectrica. Por lo tanto, la temperatura supera los 35o
.
4. El crimen se cometi´o de noche en la m´as absoluta oscuridad o el principal sospe-choso es ciego. El principal sospesospe-choso no es ciego o miente al declarar que no vio nada. No miente al declarar que no vio nada o el detector de mentiras “Couper” est´a estropeado. El caso es que el citado detector de mentiras “Couper” no puede estar estropeado jam´as. En consecuencia: ...
5. Si se hubiese cometido un crimen en esta casa, ustedes habr´ıan necesitado los ser-vicios del detective Couper. Y si lo hubieran necesitado, habr´ıan querido ponerse en contacto telef´onico con ´el. Si hubiesen querido telefoniarle, habr´ıan buscado su n´umero en las p´aginas amarillas, habr´ıan descolgado el auricular y habr´ıan marcado su n´umero. Si hubiesen hecho todo esto habr´ıan estado perdiendo el tiempo. Pero ustedes niegan haber perdido el tiempo de esta manera. Por lo tanto: ...
II. Simbolizar cada uno de los siguientes enunciados utilizando los cuantifi-cadores y a la vez negarlos.
2. Ning´un tri´angulo es circular.
3. Todos los universitarios don estudiantes.
4. Todos los planetas no son astros.
5. Ning´un astro es deportista.
6. Todos los felinos son mam´ıferos.
7. Algunos ciudadanos son crueles.
8. Algunas personas reflexivas son fil´osofos.
9. Ning´un adolescente es congresista.
10. Algunos musulmanes son talibanes.
11. No todos los peruanos son lambayecanos.
12. Existe al menos un m´edico que no es otorrinolaring´ologo.
13. Cualquier pez es vertebrado.
14. No existe un solo peruano que no sea sudamericano.
15. Algunos animales no son mam´ıferos.
Referencias
[1] http://www.cibernous.com/logica/logica-central.html. Programas del Gateway to Logic de Christian Gottschall.
