Las matemáticas nacieron en las antiguas civilizaciones que poblaron la tierra. Las necesidades sociales y económicas en cada comunidad impulsaron el desarrollo del pensamiento matemático y sus aplicaciones.
En casi todos los pueblos surgió un sistema de numeración que permitió contar los objetos, pero el desarrollo del concepto de número fue muy lento. Transcurrieron muchos siglos desde el momento en que los números se utilizaron para contar hasta que se pudieron escribir. Las ramas de las matemáticas que primero se desarrollaron fueron la aritmética y la geometría, a pesar de que en algunos casos, la aritmética se limitaba al arte de contar, y la geometría a medir tierras y trazar fronteras.
Introducción
LA RECTA NUMÉRICA, UN CAMINO AL ESTUDIO DE LOS NÚMEROS REALES
Descripción del conjunto de números racionales
Los antiguos chinos utilizaron un sistema de numeración decimal y multiplicativo. En cambio los romanos utilizaron un sistema aditivo y acumulativo. En Egipto existió la tendencia a utilizar las matemáticas en la solución de problemas prácticos cotidianos: dividir porciones de alimentos
1 16
1
32 1
64
1 2 1
8
1 4
Figura 1. Niño
Figura 2. Sistema de numeración decimal
entre hombres o animales; calcular la cantidad de ladrillos para construir una edificación o el número de hombres necesarios para transportar un bloque pesado. La egipcia fue la primera gran civilización que utilizó las fracciones y el cálculo con fracciones, las cuales no surgieron de la división de los números naturales, sino del proceso de medición que combina la aritmética con la geometría.
La geometría nació en Egipto y más tarde fue transmitida a los griegos. La medición de los
Figura 3. Conjunto de los racionales
Determinar las características del conjunto de los números racionales.
A partir de la anterior animación y el siguiente diagrama sobre el conjunto de los números racionales ℚ, responde los siguientes interrogantes:
Objetivos de aprendizaje
Identificar las propiedades del conjunto de números racionales
Actividad 1
Definición y elementos de los números racionales
N Z
Q
cuerpos sólidos: pirámides, cubos y esferas, fue hecha probablemente por medios experimenta-les, más que por cálculo matemático. Pero los más importantes descubrimientos en geometría son obra de los griegos. Con ellos el mundo pasó de los intentos por resolver problemas prácticos de aritmética y geometría, a la construcción de las más audaces y afortunadas estructuras teóricas. Los antiguos afirmaban que Tales, que vivió en la primera mitad del siglo VI A.C, aprendió la geometría en Egipto (Escobar, O. 2014).
1. ¿Qué conjuntos numéricos están dentro del conjunto de los racionales?
3. Si tienes un tira de papel como esta, y la doblas a la mitad, ¿qué número obtienes? Si la vuelves a doblar a la mitad, ¿qué número obtienes?
¿Cuántas veces puedes seguir doblando el papel? Ahora piensa en la recta numérica, ¿cuantos números racionales hay en un segmento de unidad, por ejemplo entre el tres y cuatro?
5. Teniendo en cuenta el comportamiento de los números enteros en la recta numérica:
• Un número racional que esté a la derecha del cero, y más alejado de este, ¿cómo es con respecto a los demás números? _____________________________________________________________________________
• En igual sentido, un número que esté a la izquierda del cero y más alejado de este, ¿cómo es con respecto a los números que están a la derecha de él? ______________________________________________
6. Retomando la animación de los niños comiendo pizza: ¿Un número racional se puede representar en qué formas?
___________________________________________ y __________________________________________
4. ¿De acuerdo al signo o la posición en la que se encuentren con respecto al cero, sobre la recta numérica, los racionales pueden ser?
_______________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________
2.Escribe dentro de la gráfica, al menos cuatro elementos diferentes para cada uno de los conjuntos
Figura 4.Segmento
N Z
Q
7. De acuerdo a las preguntas anteriores:
Enuncia cuatro características de los números racionales
__________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________
8. Por último, y teniendo en cuentas las preguntas anteriores:
Da una definición del conjunto de los números racionales
_________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________
Figura 5. Recta 1
-4 -3 -2 -1
0
1 2
3
4 ...
...
Actividad 2
Ejercicio
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Teniendo en cuenta la animación de la actividad, ubica los siguientes números racionales sobre la recta. Recuerda que el denominador indica el número de partes iguales en que se divide la unidad, y el numerador el número de partes que se toman.
Para ello, escribe el número en el lugar exacto que le corresponde sobre la recta
¿A qué conjunto numérico pertenecen los números que representan las oraciones?
_________________________________________________________________________________________________________ Figura 6. Ubicación en la recta
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
3/7 9/4 -3/4 -7/5 6/3 1,5 3,5 -8/3
Actividad 3
Transformación de los números racionales
Lee las siguientes oraciones y luego resuelve los ejercicios:
a) Deme un octavo de pintura.
b) Necesito un cuarto de galon de gasolina.
c) Media libra de arroz.
d) Un cuarto de pulgada.
e) Compraré cuatro kilos y medio de papa.
f) He caminado un tercio del recorrido
Escribe el número específico que representa cada oración
Ejercicio 1
Ahora observa la animación de la actividad y resuelve los ejercicios
Figura 7. Ciclista
De acuerdo a la animación de la actividad, y a la clasificación de los decimales, realiza las operaciones e indica qué tipo de decimales son (da el resultado con tres decimales)
95
4 =
12
72 =
28
12 =
250
8 =
362
6 =
452
360 =
Tipo de decimal:
Tipo de decimal:
Tipo de decimal: Tipo de decimal:
Tipo de decimal:
Tipo de decimal:
Posteriormente indica que características tienen los números que calculaste
1.__________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________
3._________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________
4._________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________
5._________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________
6._________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________
Ejercicio 2
Transformar de decimal a fraccionarios los siguientes valores; simplifícalos hasta donde sea posible
0,12 =
; 0,88 =
; 0,35 =
Actividad 4
Racionales equivalentes
Si los racionales que se presentan en la imagen son equivalentes, resuelve las siguientes preguntas y ejercicios:
Figura 8. Equivalencias
1
Figura 9. Flores
Pregunta 1
Pregunta 2
De acuerdo a la imagen anterior, ¿cómo es cada racional y la torta que representa, con respecto a los demás racionales de la imagen?
_________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________
Completa la siguiente oración en la que se da una definición de los racionales equivalentes, para ello usa las siguientes palabras:
misma, diferentes, fracciones
Racionales equivalentes son aquellas ________________ que representan una________________ cantidad a pesar de que se escriben con números ____________
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Multiplica en cruz los siguientes racionales, y observa el resultado de cada multiplicación e Indica cuál par de racionales es equivalente, encerrando con un círculo rojo aquellos que sí lo son.
Si en un cultivo de flores, las rosas ocupan del total del cultivo, indica:
¿Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes al área que cubre el cultivo de rosas?
Marca con una x en los recuadros las que NO lo son, y con un chulo las que SÍ los son:
3
3
3
12
25
6
8
5
9
8
6 =
=
=
=
6
5
16
4
5
Actividad 5
Amplificación y simplificación
Observa detenidamente el diagrama y resuelve los ejercicios
Figura 10. Ampliación y simplificación = = 2∙ 2∙ = = 2∙ 2∙ = = = = 1∙
1∙ ÷ 1
÷ 1 =
= ÷ 2
÷ 2 =
= ÷ 2 ÷ 2 Fracción original
32
48 1624 128 128 128 46 23
Amplificación Simplificación
Ejercicio 1
De acuerdo a la imagen de ampliación y simplificación, define cada proceso y descríbelo: Ampliación: ____________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ Simplificación: ____________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________
¿ Qué relación tienen entre sí, las fracciones resultantes del proceso de amplificación y simplificación?
Ejercicio 2
Ejercicio de amplificación
División inicial
Piensas dividir la torta para tu fiesta en ocho porciones iguales, y repartir solo la mitad entre tus cuatro invitados, dando a cada uno de ellos la misma cantidad. Pero si el número de invitados se duplica, ello te obliga a dividir la torta de otra forma. Encuentra, por medio de la amplificación, la fracción equivalente que te permita dar un pedazo de torta igual a cada uno, y que solo implique la repartición de la mitad de la misma.
Figura 12. Galpón
1
1 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212
Ejercicio 3
Ejercicio de simplificación
Una granja está dividida en doce corrales iguales, de los cuales nueve están destinados para gallinas. Debido a que hoy se vendió una tercera parte de las gallinas, el granjero desea reducir el número de corrales y así brindar a las gallinas corrales más amplios, pero sin cambiar el área total que sumaban los doce anteriores, ni la proporción del área total que se usaba para las gallinas.
2
3 25 1
5 25
1
3 25
Figura 14. Fracciones 1 Figura 15. Fracciones 2 Figura 16. Fracciones 3 Si dos fracciones tienen igual
numerador, es mayor la de
___________ denominador
Si dos fracciones tienen igual denominador, es mayor la de
___________ numerador
Si las dos fracciones tienen dife-rente numerador y denomina-dor, un camino para saber cuál es mayor, es utilizar el Mínimo Ahora observa las imágenes y completa las oraciones con las palabras: mayor o menor
Preguntas
1. ¿Es mayor -5, 25 que -1, 5? : ____________________________________________
2. ¿Es menor -11/3 que -1/3? : _____________________________________________
3. ¿Es mayor 1/2 que 11/3? : _____________________________________________
4. ¿Es mayor 4,5 que -1.5? : ____________________________________________
5. ¿Es mayor -11/3 que 11/3? : ______________________________________________
Actividad 6
Compara números racionales en sus diversas presentaciones
Teniendo en cuenta las preguntas que resolviste en la primera actividad, y la posición de los números racionales sobre la recta numérica, resuelve las siguientes preguntas:
Figura 13. Regla
-6
-5,25 -1,5 1,5
4,5 11
3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
11 3
-1 3
Después de ver el ejemplo compara 2/4 y 1/3 y socializa tu resultado en clase
6 , 1 4 7
6,147
6 , 1 9 5
6,195
Figura 17. Fracciones 4
4. Para comparar decimales:
Compara las cifras del número de la izquierda, con las cifras del número de la derecha, y al final indica cuál de los dos números es menor que el otro.
Para ello usa los signos de = y <
3. Después multiplica el numerador y el denominador de cada fracción por el número obtenido en el paso anterior, así:
Ejemplo:
Si deseas comparar las fracciones: y , considera los siguientes pasos:
1. Saca el mínimo común múltiplo de los denominadores (5 y 3), para lo cual puedes multiplicar ambos números, si ninguno de los dos contiene al otro un número exacto de veces. En este caso el m.c.m es 15
1
15
15
2
3
5 = 3
3
= 5
5
2
5
•3
3
=
15
6
1
3
•5
5
=
15
5
2. Luego divide el m.c.m por cada uno de los denominadores de las fracciones, así:
Actividad 7
Ubica y ordena números racionales
De acuerdo a la actividad anterior, ubica los siguientes números sobre la recta numérica (escríbelos sobre la recta)
12
8
-1,5 0,75 0,25
9
4
6
6
Luego ordénalos de mayor a menor en los recuadros, de tal forma que se cumpla la relación planteada:
es > es > es > es > es >
Figura 18. Regla
El conjunto de los números racionales
Estar representados
por fracciones Entre dos números positivos, el mayor es el que esté mas
alejado del cero
Son infinitos Se pueden
representar con una recta
No poseen un consecutivo
fijo
Estan representados por decimales
Entre dos números negativos, el mayor es el que esté más cercano
al cero Fracciones
decimales
La amplificacion
Equivalentes
Finitos
Periódicos puros Fracciones
comunes
La simplificación
Infinitos
Periodicos Mixtos Sus números tienen caracteristicas como
Aquel que contiene los números fraccionarios, los decimales (positivos
y negativos), y los números enteros
Es
Las cuales pueden ser
Se pueden obtener de ellas
Y a ellas se pueden llegar através de
Los cules pueden ser
Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales, utiliza para ellos el signo <:
Transformar a fraccionario o decimal los siguientes números, luego simplifica cada fracción, si es posible.
7
8
4
9
1
5
8
9
0,25 ;
;
;
;
2,5 ;
;
0,4
6,2597
258,1217
58
65
78
160
Soluciona la siguiente situacion problema
Un grupo de 4 estudiantes decide realizar un taller de matemáticas de 24 ejercicios:
El primero decide hacer 1/4 El segundo piensa en hacer 8/32 El tercero dice hacer 4/16
El cuarto se decide por 2/8
Y entre los 4 deciden que si falta algo lo hará un 5° miembro. ¿Cual hizo más ejercicios?
Actividad 1
Actividad 2
Lista de figuras
Figura 1. Niño
Figura 2. Sistema de numeración decimal
Figura 3. Conjunto de los racionales
Figura 4. Segmento
Figura 5. Recta 1
Figura 6. Ubicación en la recta
Figura 7. Ciclista
Figura 8. Equivalencias
Figura 9. Flores
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tulip_field_Kamiyubetsu_Hokkaido_japan.jpg Figura 10. Ampliación y simplificación
Figura 11. Torta
Figura 12. Galpón
Figura 13. Regla
Figura 14. Fracciones 1
Figura 15. Fracciones 2
Figura 16. Fracciones 3
Figura 17. Fracciones 4
Figura 18. Regla
Lista Referencias
Escobar, O. (s.f.). es.slideshare.net. Recuperado el 19 de Agosto de 2014, tomado de http://ima
