EDP 1

Contenido

Métodos Numéricos

para Ingenieros Químicos

Sem 3-2013

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Métodos de

Solución

Aproximada

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Es la expresión matemática que relaciona la razón de cambio de la variable de interés (variable dependiente) con respecto a cada una de las variables independientes del sistema.

Donde a, b, c, d, e, f, g pueden ser funciones de las variables independientes x, y así como también de la variable dependiente u y sus derivadas.

El orden de la ecuación viene dado por la máxima derivada que contenga.

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

𝒂𝜹

𝟐_𝒖

𝜹𝒙𝟐 + 𝒃

𝜹𝟐𝒖 𝜹𝒙𝜹𝒚 +

𝜹𝟐𝒖 𝜹𝒚𝟐 + 𝒅

𝜹𝒖 𝜹𝒙 +

𝛿𝑢

Tema N°5

Objetivos

Aplicar los métodos de resolución de EDP en problemas de ingeniería química.

Definir y clasificar las Ecuaciones Diferenciales Parciales.

Aplicar Criterios de Selección para cada método y sus limitaciones.

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Clasificación de las EDP

Dependiendo de los valores de sus coeficientes, las EDP lineales de segundo orden se clasifican en tres categorías

Las ecuaciones elípticas están asociadas a procesos estacionarios o en equilibrio en los cuales el tiempo no interviene como variable independiente.

Las ecuaciones hiperbólicas surgen en problemas de vibración o en problemas donde una discontinuidad pueda persistir por un tiempo.

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 < 𝟎

𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟎

𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 > 𝟎

Elíptica Parabólica Hiperbólica 𝒂𝜹 𝟐_𝒖 𝜹𝒙𝟐 + 𝒃 𝜹𝟐𝒖 𝜹𝒙𝜹𝒚 + 𝜹𝟐𝒖 𝜹𝒚𝟐 + 𝒅 𝜹𝒖 𝜹𝒙 + 𝛿𝑢

Tema N°5

Las ecuaciones Parabólicas involucran al tiempo como variable independiente . Una aplicación típica es la ecuación de difusión de calor.

Éstas ecuaciones consideran la transmisión de calor en una sola dirección.

Dg - Lámina 05 de 16

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

Extremo Caliente

Extremo Frío

X=0

X=L

dX

El flujo de calor a lo ancho de una placa de

espesor L también se representa con EDP

parabólicas.

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

Flujo de calor

Cara Fría Cara Caliente

X=0 X=L

dX

Tema N°5

Métodos de solución

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

Muy pocas EDP tienen solución analítica por lo que es necesario recurrir a métodos numéricos.

Las Soluciones por diferencias finitas son dadas mediante un número finito de puntos discretos, los cuales luego deben ser ajustados a la mejor curva que represente su comportamiento.

Las aproximaciones por diferencias finitas

proporcionan una metodología sencilla de aplicar con resultados realmente satisfactorios.

Una de las EDP de mayor interés es la ecuación de difusión de calor, esto quiere decir que el

problema a estudiar solo tiene dos variables independientes

El tiempo

Entrada

Problema de Estudio

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

Considere una barra larga, delgada y de sección transversal uniforme de longitud L que esta aislada alrededor de su perímetro de manera que el calor solo fluye longitudinalmente.

Caliente Frío

L

La distribución de temperatura U(X,T) de la barra para cualquier tiempo T>0 puede determinarse con un

balance de energía no estacionario en un elemento diferencial

𝑸 𝑿 ∆𝒀∆𝒁∆𝑻 − 𝑸 𝑿 + ∆𝑿 ∆𝒀∆𝒁∆𝑻 = ∆𝑿∆𝒀∆𝒁𝑪𝝆∆𝑼

Tema N°5

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

Dividiendo entre el delta de volumen ∆𝑋∆𝑌∆𝑍 y entre un diferencial de tiempo ∆𝑇 se tiene:

𝑸 𝑿 − 𝑸(𝑿 + ∆𝑿)

∆𝑿 = 𝐂𝛒

∆𝑼 ∆𝑻

Tomando el Límite de la expresión anterior la ecuación de balance de energía queda como:

𝛿𝑸

𝛿𝑿 = 𝑪𝝆 𝜹𝑼 𝜹𝑻

Por otra parte la ley de Fourier para la conducción de calor expresa que:

𝑸(𝑿) = −𝑲𝛿𝑼

𝛿𝑿 Conductividad térmica

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

Sustituyendo la ley de Fourier para la conducción de calor en la ecuación del balance de energía se tiene la ecuación:

𝑲𝜹𝟐𝑼

𝛿𝑿𝟐 = 𝑪𝝆 𝜹𝑼 𝜹𝑻

Ecuación de

difusión de calor en una dimensión

O lo que es lo mismo a:

𝒌 𝒄𝝆

𝜹𝟐𝑼 𝛿𝑿𝟐 =

𝜹𝑼 𝜹𝑻

Donde:

k es la conductividad térmica C es el calor específico

Ρ es la densidad

Tema N°5

Al resolver la ecuación anterior se obtiene la

temperatura U en cualquier posición o distancia

X de la barra después de transcurrido un tiempo

T de someter ambas caras externas de la placa

a una perturbación dada.

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

Requerimientos:

La condición Inicial de la barra

U(X,0) = f(X)

Las condiciones de borde

Adimensionalización y Normalización

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

Adimensionalizar persigue obtener una solución general válida para un número considerable de casos.

La normalización busca acotar los valores dentro de un rango fijo. Usualmente [0, 1].

Para facilitar los cálculos definimos el coeficiente de difusividad como 𝛼 = 𝑘

𝑐𝜌

El siguiente paso es definir las variables adimensionalizadas y normalizadas

𝐱 = 𝑿

𝑳 Posición

Tema N°5

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

La temperatura se adimensionaliza y se normaliza de la siguiente forma:

Lado caliente UMAX

Lado Frío UMIN

𝒖 =

𝑼 − 𝑼

𝑼

− 𝑼

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

El tiempo por su naturaleza inherente no puede ser acotado, no obstante puede ser adimensionalizado mediante la expresión:

𝒕 = 𝜶 𝑻 𝑳𝟐

En resumen el problema podría escribirse como sigue:

𝜹𝟐𝒖 𝜹𝒙𝟐 =

𝜹𝒖 𝜹𝒕

Para 0<x<1 y 0<t<T

Condición Inicial u(x,0)=f(x) Condiciones de borde u (0,t)= g(t)

Tema N°5

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

Consiste en reemplazar las expresiones analíticas de las derivadas parciales por expresiones de diferencias finitas divididas adecuadas.

Con el fin de obtener una ecuación equivalente definida por valores discretos que representan la solución al problema planteado.

Las diferencias finitas vienen expresadas sobre la base de operadores lineales discretos siendo los más usados:

∆𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙) Diferencias hacia delante

𝛁𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙 − 𝒉) Diferencias hacia atrás

𝜹𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙 + 𝒉

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

El valor del salto interviene de manera decisiva el valor del salto, definido anteriormente como:

𝒉 = 𝒙_𝒊+𝟏 − 𝒙_𝒊

Este parámetro es el que hace que estos operadores sean de carácter discreto

En el caso de la ecuación de calor planteada anteriormente habría que definir un salto para la variable espacial x y otro salto para la variable espacial tiempo t.

𝜹𝟐𝒖 𝜹𝒙𝟐 =

Tema N°5

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

Para obtener solución de la ecuación diferencial que define el problema en forma de puntos discretos se

emplea una tabla como la que se muestra a continuación

X, cm _{X0 X1 X2 X3 X4 X5}

X,adim _{x0 x1 x2 x3 x4 x5}

T, seg t, adim _{i j 0 1 2 3 4 5}

T0 t0 0 u0,0 U0,1 U0,2 U0,3 U0,4 U0,5

T1 t1 1 u1,0 U1,5

T2 t2 2 U2,0 U2,5

T3 t3 3 U3,0 U3,5

T4 t4 4 U4,0 U4,5

Condición Inicial

Condición de borde

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

Lo anterior conduce a una red de puntos que permite el movimiento discreto en las direcciones definidas por las variables independientes.

Consiste en reemplazar las expresiones analíticas de las derivadas parciales por expresiones en diferencias

Tema N°5

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

Conociendo que el problema a resolver es la

transferencia de calor en una dirección espacial bajo condiciones iniciales y de borde conocidas se procede a establecer una red de puntos a través de la región de estudio.

X0 Xi Xm

tn

Δt

Δx

ui-1,j ui,j ui+1,j ui,j+1

𝒖_{𝒊,𝒋+𝟏} = 𝒓𝒖_{𝒊−𝟏,𝒋} + 𝟏 − 𝟐𝒓 𝒖_𝒊,𝒋 + 𝒓𝒖_{𝒊+𝟏,𝒋}

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

La convergencia de los Métodos de solución aproximada de las EDP es función del parámetro r el cual debe estar en el intervalo [0, 1/2]

En estos casos la solución es estable lo que implica que los errores cometidos en cada etapa de cálculo no son amplificados sino que son atenuados en cuanto el

Tema N°5

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

Representa la derivada respecto al espacio en un nivel de tiempo posterior j+1

Esta ecuación se aplica para para j=0 y variando i=1 hasta i=n-1

𝒖

= −𝒓𝒖

+ 𝟏 + 𝟐𝒓 𝒖

− 𝒓𝒖

X, cm _{X0 X1 X2 X3 X4 X5}

X,adim _{x0 x1 x2 x3 x4 x5}

T, seg t, adim _{i j 0 1 2 3 4 5}

T0 t0 0 u0,0 U0,1 U0,2 U0,3 U0,4 U0,5

T1 t1 1 u1,0 U1,5

T2 t2 2 U2,0 U2,5

T3 t3 3 U3,0 U3,5

Ecuaciones

Diferenciales

Parciales

Introducción

𝒖

= −𝒓𝒖

+ 𝟏 + 𝟐𝒓 𝒖

− 𝒓𝒖

𝟐𝒓 + 𝟏 −𝒓

−𝒓 𝟐𝒓 + 𝟏 −𝒓

−𝒓 𝟐𝒓 + 𝟏 −𝒓 −𝒓 𝟐𝒓 + 𝟏

El sistema de ecuaciones queda de la siguiente forma:

Matriz de las

incógnitas 𝒓𝒖𝟏,𝟎 + 𝒓𝒖𝟎,𝟏

𝒖_𝟎,𝟐 𝒖_𝟎,𝟑

𝒓𝒖_𝟎,𝟒 + 𝒓𝒖_𝟓,𝟏

Matriz de coeficientes

𝒖_𝟏,𝟏 𝒖_𝟏,𝟐 𝒖_𝟏,𝟑

𝒖_𝟏,𝟒 Matriz de

Términos

independientes Los valores de la matriz de coeficientes no cambia, solo los