PROCESO DE OBJETIVACIÓN DE LA DERIVADA EN
ESTUDIANTES PARA PROFESOR DE MATEMÁTICAS
JORGE EDWIN MORENO CABEZA
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
PROCESO DE OBJETIVACIÓN DE LA DERIVADA EN
ESTUDIANTES PARA PROFESOR DE MATEMÁTICAS
JORGE EDWIN MORENO CABEZA
Trabajo de grado como requisito parcial para obtener el título de Magíster
en Educación
Asesor: Dr. Rodolfo Vergel Causado
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
Dedicatoria.
A mi madre, que está guiándonos y disfrutando en todo momento.
A mi padre, por su acompañamiento en todo ese camino de crecer.
A mis hermanas, por todas sus concordias y discordias.
A Tigis, por todo el estoicismo, aliento y colaboración que ha tenido conmigo.
Agradecimientos.
Al Dr. Rodolfo Vergel por su paciencia, disposición y labor conjunta.
A todos aquellos presentes y ausentes que de una u otra forma permitieron y participaron en el logro de este objetivo.
CONTENIDO
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Introducción 1
Capítulo 1. Aspectos preliminares 4
1.1 Justificación 4
1.2 Pregunta de investigación 7
1.3 Objetivos 8
Capítulo 2. Marco teórico 10
2.1 Teoría cultural de la objetivación 10
2.1.1 La interacción social y los medios semióticos de objetivación como fuentes de elaboración de significados 12
2.1.2 Procesos de generalización en matemáticas 14
2.1.3 El aula de clase 15
2.2 Respecto a la noción de derivada 15
2.2.1 Derivada desde lo histórico 15
2.2.2 Derivada desde lo epistemológico histórico 16
2.2.3 Estructura didáctica de la derivada 17
2.2.4 Estructura de las tareas 18
Capítulo 3. Metodología 20
3.2 Caracterización de los sujetos participantes en la investigación 27
3.3 Las tareas 29
3.3.1 Tarea 1 30
3.3.2 Tarea 2 34
3.3.3 Tarea 3 37
3.4 La recolección de la información 39
Capítulo 4. Análisis de datos 42
4.1 Categorías de análisis 42
4.2 Configuración de los datos 43
4.3 Análisis de los datos 44
4.3.1 La actividad de Jefferson, Jhon y César 45
4.3.2 La Actividad de David, Paola y Lina 60
Capítulo 5. Conclusiones 75
5.1 Introducción 75
5.2 Respuesta a la pregunta de investigación 75
5.3 Observaciones 79
5.4 Reflexiones y apuntes 81
Referencias bibliográficas 83
Índice de figuras, diagramas y tablas
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Figura A. Tarea 1 piloteada 31
Figura B. Tarea 2 piloteada 35
Figura C. Punto 2 prueba piloto tarea 2 36
Figura D. Punto 3 prueba piloto tarea 2 36
Figura E. Punto 3 prueba piloto tarea 2 36
Figura F. Tarea 3 piloteada 37
Figura G. Punto 1 prueba piloto tarea 38
Figura H. Punto 2 prueba piloto tarea 3 38
Figura 1.Paola corriendo como representante del grupo 44
Figura 2.Gráfico obtenido por Paola 44
Figura 3.Gráfica de referencia 45
Figura 4.Señalamiento del eje y como distancia 47
Figura 5.Señalamiento del intervalo de tiempo 47
Figura 6.Indicación del punto gráfico inicial 49
Figura 7.Paso a indicar la posición inicial 49
Figura 8.Indicación del primer pico gráfico 49
Figura 9.Correspondencia con de la posición más 49
Figura 11.Explicación de espacio para velocidad 54
Figura 12.Explicación del movimiento que se realiza 54
Figura 13.Jhon realiza un gesto para acotar el espacio 54
Figura 14.Gestualización de los picos para representar el movimiento en el recorrido 56
Figura 15.Indicación de un eje para el recorrido 57
Figura 16.Indicación de la magnitud de recorrido 57
Figura 17.Indicación de una magnitud relevante de entre varias en un intervalo 58
Figura 18. Gesto ubicado indicando que se toma el mayor pico 58
Figura 19.Expresión escrita de la conciencia de velocidad promedio en el problema 59
Figura 20a.Inicio de un recorrido 61
Figura 20a.Punto de vuelta 61
Figura 21.Primer segmento creciente 61
Figura 22.Curva como segmentos de recta 64
Figura 23.Índice y pulgar en forma de “C” 65
Figura 24.Índices apuntándose y alternándose 65
Figura 25. Índice y pulgar en forma de “C” 65
Figura 26.Palmas mirándose 65
Figura 28.Tabulación de intervalos 69
Figura 29.Respuesta a las preguntas 2, 3 y 4, guía 2 70
Figura 30.Elección de preguntas a contestar 71
Figura 31.Respuesta preguntas 2 y 3, guía 3 72
Figura 32.Solución dada a la pregunta 1, guía 3 73
Diagrama 1. Comparación de la metodología propuesta para la investigación, respecto a la de investigación longitudinal. 22
Diagrama 2. Análisis de voz de Jhon en el programa Praat 48
Diagrama 3. Evolución del nodo semiótico “calificación de la cantidad de movimiento” 60
Diagrama 4.Evolución del nodo semiótico acotamiento del espacio referencial de relación 74
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRAIA EN EDUCACIÓN
RESUMEN ANALÍTICO EN EDUCACIÓN
RAE
ASPECTOS FORMALES
TIPO DE DOCUMENTO Trabajo de Grado
TIPO DE IMPRESIÓN Imprenta
ACCESO AL DOCUMENTO Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Centro de Documentación. Sede Posgrados
Número Topográfico
TITULO Proceso de objetivación de la derivada en estudiantes para profesor de matemáticas
AUTOR Jorge Edwin Moreno Cabeza
DIRECTOR Rodolfo Vergel Causado
ASPECTOS DE INVESTIGACIÓN
PALABRAS
CLAVES
DESCRIPCIÓN Desde la perspectiva de la teoría cultural de la objetivación, y bajo un enfoque microgenético, se realiza un análisis multimodal del proceso de pensamiento
ocurrido durante la implementación de un conjunto de tres tareas que propenden por el desarrollo del objeto matemático derivada desde un punto de vista variacional y geométrico.
Mediante el análisis se encontró la emergencia de diversos medios semióticos (gestuales, verbales, kinestésicos, escritos, alfanuméricos) que se coordinaron y complementaron durante segmentos de la actividad, conformando los nodos semióticos calificación de la cantidad de movimiento y acotamiento del espacio referencial.
Los recursos semióticos se refinaron hacia formas gestuales y alfanuméricas, generando una contracción semiótica de los mismos, evidenciando un proceso de objetivación respecto al objeto matemático derivada.
FUENTES PRINCIPALES
Se usaron en total 50 fuentes, de las cuales las más importantes son:
Dolores, C. & García, M. (2011). Derivada: una propuesta para su comprensión. Centro de Investigación en Matemática Educativa, Universidad Autónoma de Guerrero, México.
Miranda, I., Radford, L. & Guzmán, J. (2007). Interpretación de gráficas cartesianas sobre el movimiento desde el punto de vista de la teoría de la objetivación.
Educación Matemática, 19(3), 5-30.
Pino-Fan, L., Godino, J. & Font, V. (2013). Diseño y aplicación de un instrumento para explorar la faceta epistémica del conocimiento didáctico-matemático de futuros profesores sobre la derivada (Parte 1). REVEMAT, 8(2), 1-49. Recuperado de: http://dx.doi.org/10.5007/1981-1322.2013v8n2p1
Radford, L. (2006a). Elementos de una teoría cultural de la objetivación. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, número especial sobre semiótica, cultura y pensamiento matemático. 103-129. Radford, L. (2008b). Iconicity and contraction: a semiotic investigation of forms of
algebraic generalizations of patterns in different contexts. ZDM. The International Journal on Mathematics Education, 40, 83-96. Recuperado de:
http://www.luisradford.ca/pub/45_zdm_radford.pdf
Radford, L. (2010a). Layers of generality and types of generalization in pattern activities. PNA, 4(2), 37-62.
Radford, L. (2010b). Sings, gestures, meanings: Algebraic thinking from a cultural semiotic perspective. Research in Mathematics Education 12(1), 1-19. Radford, L. (2014). De la teoría de la objetivación. Revista Latinoamericana de
Etnomatemática, 7(2), 132-150.
Radford, L. (2015a). Introduction: the phenomenological,Epistemological, and semiotic Components of generalization. PNA, 9(3), 129-141
http://www.luisradford.ca/pub/Epistemological%20foundations%20of%20th e%20TO_31.1.15.pdf
Radford, L., Demers S., Guzmán, J. & Cerulli M. (2003). Calculators, graphs and gestures and the production of meaning”. En N. Pateman, B. Dougherty & J. Zilliox (eds.), Proceedings of the 27 Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pme27 –pmena25), University of Hawaii, vol. 4, pp.55-62.
Radford, L., Demers, S., Cerulli, M, & Guzmán, J. (2004). The sensual and the conceptual: Artefact-mediated kinesthetic actions and semiotic activity. En
M. J. Høines and A. B. Fuglestad (eds.), Proceedings of the 28 Conference of the international group for the psychology of mathematics education (PME 28), 4, Norway: Bergen University College. 73-80
Ramírez, E. (2009). Historia y epistemología de la función derivada. TED No. Extraordinario, 2009. Recuperado de:
http://revistas.pedagogica.edu.co/index.php/TED/article/viewFile/261/252
Sánchez, G., García, M. & Llinares, S. (2008). La comprensión de la derivada como objeto de investigación en didáctica de las matemáticas. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática educativa, 11(2), 267 – 296.
Vergel, R. (2015a). Generalización de patrones y formas de pensamiento algebraico temprano. PNA, 9(3), 193-215.
Vergel, R. (2015b). ¿Cómo emerge el pensamiento algebraico? El caso del pensamiento algebraico factual. UNO Revista de Didáctica de las Matemáticas, 68, 9-17.Wertsch, J. (1988). Vygotsky y la formación social de la mente. Barcelona: Paidós.
CONTENIDOS Capítulo 1, Aspectos preliminares. Se realiza una justificación de la investigación y de los enfoques teóricos que sustentan la investigación, se formula la pregunta de investigación y los correspondientes objetivos
Capítulo 2, Marco teórico. Explicita los elementos teóricos correspondientes a la teoría cultural de la objetivación, la idea de derivada que se trabaja y los elementos didácticos que se toman en cuenta para su presentación en las tareas propuestas. Capítulo 3, Metodología. Presenta el diseño metodológico, caracterización de los sujetos que participan en la investigación, las tareas propuestas y los métodos de recolección de la información.
Capítulo 4. Análisis de datos. Evidencia la manera en que se conformación dos nodos semióticos y la manera en que estos evolucionan constituyendo un proceso de objetivación de la derivada.
Capítulo 5. Conclusiones. Muestra la respuesta a la pregunta de investigación, la síntesis de los análisis realizados, y algunas observaciones y reflexiones respecto a la investigación.
METODOLOGÍA Investigación descriptiva, cualitativa e interpretativa (Coffey & Atkinson, 2003), desde una perspectiva microgenética (Vergel, 2014; Wertsch, 1988, Martínez 1999) del proceso de objetivación de la derivada.
La metodología corresponde a un ciclo de cuatro etapas que inicia con el diseño de las tareas a desarrollar, enfocadas en la derivada desde un punto de vista geométrico y variacional, las cuales son piloteadas; la implementación de las mismas, momento en que se recoge la información, durante dos sesiones de clase de dos horas cada una; la conformación y análisis de datos, realizado bajo un análisis multisemiótico (Radford, Edwards & Arzarello, 2009); y finalmente la comparación con los referentes teóricos y las conclusiones a que haya lugar.
La población de trabajo fue un grupo de 20 estudiantes para profesor de matemáticas de la Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Metemáticas de la Universidad Distrital, Bogotá.
CONCLUSIONES Se evidencia la emergencia de diversos medios semióticos (gestuales, verbales, escritos) que se posicionan como constituyentes del objeto matemático derivada. Estos recursos se complementan y coordinan en segmentos de la actividad de los estudiantes, conformando dos nodos semióticos llamados calificación de la cantidad de movimiento y acotamiento del espacio referencial.
Del primero se muestran tres episodios que muestran su evolución desde un espacio de calificación de la cantidad de movimiento desde lo pragmático, pasando a una significación desde lo kinestésico gestual, y desembocando en una contextual desde lo gestual – gráfico.
Del segundo se presentan cuatro episodios que revelan el desarrollo desde una etapa factual hacia un estrato de generalidad simbólico, logrando instanciar el saber cultural referente a la derivada.
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Introducción
Investigaciones desde diversas perspectivas teóricas en la educación matemática resaltan la importancia de estudiar los procesos que se llevan a cabo para dotar de significado el concepto derivada. Por ejemplo Sánchez, García & Llinares (2008) sugieren, desde un punto de vista constructivista, un espacio de investigación enfocado a los sistemas de representación como herramienta para pensar sobre las derivadas. Al respecto, especifican la importancia de las representaciones pues “se asume que el significado de los conceptos es construido a partir de los signos” (Sánchez et al., 2008, p. 276), y citando a Font (2000), reconocen que una prueba de la comprensión de un concepto es la coordinación de diferentes sistemas de representación.
Por otro lado Pino, Godino y Font (2013) desde la línea pragmática antropológica del Enfoque Ontosemiótico, teorizan la conformación de un objeto matemático a partir de “sistemas de prácticas” que conllevan elementos discursivos y operatorios como elemento principal para su significación (cabe decir que además se forma en un conjunto de funciones semióticas)1. Esto es utilizado por los autores con el fin de determinar diferentes significados parciales de la derivada reconstruyendo así uno holístico, a partir de un análisis histórico epistemológico de la misma.
Así, las teorías mencionadas rescatan (entre otras) dos cosas importantes: por un lado el uso de los signos, y por el otro los sistemas de prácticas, como elementos fundamentales para dar significado y comprensión a los objetos de conocimiento. Sin embargo, desde la perspectiva constructivista los sistemas semióticos y los signos son utilizados como una herramienta, una extensión que ayuda al pensamiento (entendido como algo interno al sujeto) en el proceso de construcción del concepto; y en el Enfoque Ontosemiótico los elementos discursivos de los sistemas de prácticas se están generando en un juego del lenguaje (en el sentido de Wittgenstein 1953, citado por Santi, 2011), en el que la negociación de significados juega un papel importante. Desde una perspectiva histórica cultural, la Teoría Cultural de la Objetivación (TCO) permite dar a la idea de signo,
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sistemas semióticos y la de sistemas de prácticas una conformación diferente a las descritas anteriormente.
Para ello, es importante reconocer que en la TCO el pensamiento no se considera algo interno al sujeto, algo mental, sino que es un proceso de actividad humana. Esto conlleva a que los sistemas semióticos (en los que se encuentran inmersos los signos) y los procesos sociales (en donde la interacción, más que negociación de significados, media la relación sujeto-objeto) se conviertan en elementos constitutivos del pensamiento. Por tanto el aprendizaje (como una actividad de aquel) corresponde a una labor social, un proceso de elaboración activa de significados, llamado objetivación. En este se toma conciencia progresivamente de algo que se encuentra en nuestra cultura, mientras lo dotamos de sentido (Radford, 2006a).
Así, signos y recursos semióticos tales como los gestos, lo kinestésico, lo escrito y lo hablado, ocurridos en el marco de una actividad matemática conjunta, se imbrican al tiempo que reflejan un proceso de elaboración de significado, mientras evolucionan a formas de comunicación más refinadas. Es en este marco, para responder a lo propuesto por Sánchez et al. (2008), que se desarrolla la presente investigación.
Partiendo de un estudio cualitativo de tipo descriptivo e interpretativo, se pretende analizar los medios semióticos que emergen en la actividad matemática de estudiantes para profesor, y cómo evolucionan, cuando se enfrentan a una tarea sobre la derivada que propende por su interpretación desde una perspectiva variacional y geométrica, analizado a la luz de la teoría cultural de la objetivación propuesta por Radford (2006a, 2014).
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al concepto de derivada desde el punto de vista didáctico, presentando estudios que se enfocan en analizar las prácticas y dificultades que muestran los estudiantes cuando se enfrentan a problemas que involucran este concepto, y algunas propuestas para modificarlas; también se brinda una breve reseña de un estudio histórico epistemológico acerca del desarrollo de la derivada y las prácticas que le dieron origen, como elementos para sustentar las tarea a proponer.
La manera en que se afronta la investigación, su diseño, los sujetos que son partícipes, las tareas que se proponen, y la recolección de la información se hacen explícitos en el tercer capítulo. La configuración de los datos a partir de lo anterior, y el análisis de los mismos, se desarrolla en el cuarto capítulo.
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Capítulo 1
Aspectos preliminares
1.1 Justificación
La propuesta tiene como eje dos componentes: la teoría cultural de la objetivación y la didáctica del objeto matemático derivada, correspondiente al pensamiento variacional.
La teoría cultural de la objetivación como sustento teórico ha sido utilizada especialmente en el espacio del pensamiento algebraico temprano (early algebra). En Colombia se encuentran varios trabajos al respecto, como el de Villanueva (2012) quien analiza los medios semióticos de objetivación que aparecen en la actividad semiótica de niños de primero de primaria, resaltando los procesos de contracción semiótica y orquestación icónica que se presentan.
Lasprilla (2012) aborda una tarea de secuencias figurales con niños de grado tercero, e identifica los medios semióticos movilizados. Como resultado se reconoció la presencia de diferentes recursos semióticos para dar solución a la tarea planteada; en especial se reconoce que aunque los niños utilizaron medios semióticos semejantes, la manera en que se expresaban respecto a ellos resultaba diferente.
Vergel (2014, 2015a, 2015b) identifica y analiza las formas de pensamiento algebraico temprano en niños de 9 a 10 años en tareas de generalización de secuencias puramente figurales, figurales con apoyo tabular, secuencias puramente numéricas y numéricas con apoyo tabular, en su tesis doctoral. De las diferentes conclusiones generadas, se resalta la importancia que le da a las fórmulas corpóreas y su evolución, asociado al proceso de contracción semiótica. También es importante el peso que le otorga a la conformación de nodos semióticos como una característica de la actividad reflexiva en los niños.
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Cadavid, L. Cadavid, S. & Jaramillo (2011) aportan los resultados de una investigación alrededor de la objetivación de la parábola y de la función, resaltando la importancia de las actividades generadas en orden de producir la objetivación de los objetos matemáticos puestos en juego. Igualmente Quintero (2015) reporta el desarrollo de una investigación (que se encuentra en la fase de interpretación y análisis de información) acerca del pensamiento teórico que se origina alrededor de la objetivación del límite de una función en estudiantes de grado once.
Sin embargo, no se encontraron referencias de trabajos que relacionen la derivada en el campo de la teoría cultural de la objetivación.
En el ámbito internacional se encuentran investigaciones como las realizadas por Miranda (2009) en su trabajo doctoral, analizando desde la teoría de la objetivación una situación de pensamiento variacional. La tarea propone que los estudiantes indaguen acerca del movimiento lineal representado con gráficas cartesianas generadas a partir de un experimento con un CBR (detector de movimiento), que ellos mismos desarrollan. El autor evidenció la importancia que tuvo la posición espacial de los sujetos que se movieron durante el experimento en la manera en que los estudiantes le dieron significación al origen de coordenadas de la gráfica producida. Igualmente Miranda, Radford & Guzmán (2007) presentan un trabajo sobre interpretación de gráficas de movimiento representadas en el plano cartesiano, obteniendo entre sus conclusiones, que la forma de interpretar estuvo caracterizada por diferentes niveles de toma de conciencia frente a los medios semióticos manejados.
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Es de resaltar la invitación que brindan las propuestas mencionadas para continuar el desarrollo de elementos teóricos en el campo de la teoría cultural de la objetivación, dados su perspectiva de análisis y potencial para describir los procesos de enseñanza- aprendizaje al interior del salón de clases.
También cabe reconocer que los últimos dos trabajos son más cercanos a los fines de la presente investigación al analizar desde la teoría de la objetivación algunos elementos relacionados con el pensamiento variacional, y con la tangente de una función (cuya pendiente corresponde al valor de la derivada de una función en un punto). En particular, la búsqueda de información realizada no reveló propuestas en las cuales se analice la emergencia del objeto matemático derivada desde esta perspectiva, con lo que se decide desarrollar la investigación indagando por el proceso de enseñanza –aprendizaje de este.
Por otro lado, el Ministerio de Educación reconoce al docente como “un profesional de la interacción de las significaciones compartidas” (Ministerio de Educación Nacional, 2013, p. 13), lo que permite entender un sentido social en su labor. Además, el conocimiento disciplinar hace parte inherente de su quehacer, con lo que se espera que sea capaz de, por ejemplo, describir fenómenos de cambio y dependencia; la derivada es un concepto que permite capturar y describir tales fenómenos.
Investigar la manera en que los estudiantes para profesor de matemática comprenden el concepto de derivada es importante ya que “el desarrollo del pensamiento y competencias matemáticas de los estudiantes dependen esencialmente de los conocimientos, competencias, habilidades, de sus profesores.” (Pino et al., 2013, p. 2). Desde esta necesidad, pensar al docente como sujeto que hace parte de una labor conjunta, implica reconocer en él el significado cultural que del objeto matemático se ha elaborado.
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estos propios de la Teoría Cultural de la Objetivación. Con esto se espera contribuir al desarrollo de esta teoría, en especial en el campo del pensamiento variacional.
1.2 Pregunta de investigación
La investigación se enmarca en la didáctica de la variación tomando como referencia de análisis la teoría cultural de la objetivación (Radford, 2006a), específicamente se centra en los nodos semióticos que emergen en el desarrollo de un problema que involucra el concepto de derivada. Como lo afirman Sánchez et al. (2008), la derivada es un concepto de difícil comprensión tanto a nivel de educación media como superior; en diversas investigaciones (y desde la práctica cotidiana en el aula de clase) se ha observado que la mayoría de los estudiantes “solo logra un dominio razonable de los algoritmos algebraicos para calcular límites y derivadas” (Dolores & García, 2011, p. 385). Esta situación ha sido analizada desde perspectivas teóricas especialmente cognitivistas y más recientemente, socioepistemológicas.
En estos ámbitos, Dolores & García (2011) señala que la enseñanza de la derivada se da principalmente desde dos aspectos: la organización del contenido clásico, que conlleva a los enfoques algebraico, numérico, formal y de aproximación afín local; y la organización que se genera mediante la necesidad de resolver problemas, que concibe el enfoque geométrico y el variacional.
Autores como Azcárate & Camacho (2003), Cantoral (1995), Salazar, Díaz, & Bautista (2009), Carabús (2002) han revelado, entre otras conclusiones, el deficiente manejo que tienen los estudiantes frente al concepto de derivada respecto a su representación gráfica (enfoque gráfico) y su influencia en problemas planteados en este contexto. Así, Sánchez et al. (2008) resalta la importancia de estudiar los procesos que se llevan a cabo para dotar de significado y dar comprensión a la derivada, junto a lo cual sugieren, entre otras, un espacio de investigación enfocado a los sistemas de representación como herramienta para pensar sobre las derivadas.
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en que son usados (manera que está impregnada por los sistemas culturales en que se desarrollan) son constitutivos del objeto conceptual. Es decir, actúan como medios semióticos de objetivación del saber: “éstos [los signos y su forma de uso, como medios semióticos] objetivan2 al objeto”. Cuando en un momento de la situación problema varios medios semióticos se movilizan de manera simultánea, permitiendo tomar conciencia de elementos que aportan claridad al desarrollo del mismo, se tiene lo que en la teoría se conoce como nodo semiótico (Radford, 2003).
Durante el proceso de toma de conciencia sobre el objeto, los signos utilizados para objetivarlo se van volviéndolos cada vez más sofisticados. Esto obliga a que el significado se concentre. Es decir, a partir de un nodo semiótico se realiza un proceso de reducción de recursos semióticos, lo que implica un refinamiento en las formas de pensamiento. A este proceso, que constituye un proceso de objetivación, se le denomina
contracción semiótica (Radford, 2008b).
Así, de acuerdo con lo anterior, y como respuesta al perfil de trabajo propuesto por Sánchez et al. (2008), se busca indagar por los nodos semióticos que emergen en el proceso de objetivación del objeto matemático derivada en estudiantes para profesor en la asignatura “matemática del movimiento II” del proyecto Curricular de Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas de la Universidad Distrital, a partir de dar respuesta a la pregunta ¿Qué medios semióticos de objetivación movilizan estudiantes para profesor de matemáticas, y cómo evolucionan, cuando resuelven tareas asociadas a los enfoques variacional y geométrico de la derivada?
1.3 Objetivos
Objetivo general
Describir y analizar los medios semióticos de objetivación que movilizan estudiantes para profesor de matemáticas cuando se enfrentan a tareas sobre los enfoques variacional y geométrico de la derivada.
9 Objetivos específicos
1. Diseñar un conjunto de tareas desde los enfoques variacional y geométrico de la derivada e implementarlas bajo los principios de la teoría cultural de la objetivación en un grupo de estudiantes para profesor de matemáticas.
2. Identificar y describir los medios semióticos de objetivación que emergen en la actividad matemática de los estudiantes para profesor cuando se enfrentan a las tareas propuestas.
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Capítulo 2
Marco teórico
La investigación tiene como base conceptual, en primer lugar, a la teoría cultural de la objetivación propuesta por Radford (2006a, 2013), en especial lo correspondiente a la noción de nodos semióticos y su evolución, generando la idea de contracción semiótica (Radford, 2008b).
En segundo lugar, se reconocen los elementos históricos epistemológicos orientados por Ramírez (2009) y Pino-Fan, Godino & Font (2011); y los didácticos del objeto matemático derivada a partir de las categorías propuestas por Dolores (2011) respecto a la derivada.
2.1 Teoría cultural de la objetivación
La teoría cultural de la objetivación corresponde a una perspectiva semiótica cultural que permite dar explicación a los procesos de enseñanza y aprendizaje que ocurren en el aula de clase, considerando a los sujetos como individuos culturales3 e históricamente situados mientras se desarrolla una labor conjunta.
Los anteriores elementos parten de cuatro principio: 1) Epistemológico, reconoce que conocer es una instanciación del saber, 2) Ontológico, en el cual se reconoce una diferencia entre lo potencial y lo actual, el saber es una posibilidad mientras que el conocimiento es la actualización del saber, 3) Educativo, en el que el aprendizaje es un proceso cultural de objetivación, 4) Ético, en el que se considera al sujeto como un conjunto de relaciones sociales (Radford, 2015a).
Así, la principal categoría ontológica corresponde a la categoría de Labor o Actividad
desarrollada por Hegel, Marx, Leontiev y la escuela del materialismo dialéctico (Radford, 2013). Aquí, la actividad es un proceso social en el que los sujetos se
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comprometen a conseguir un objeto, el cual está enmarcado dentro de la cultura en la que se encuentran. En particular, la labor de enseñanza y aprendizaje es entonces un proceso social, como lo es la actividad cognitiva que en ella se desarrolla.
El pensamiento, como expresión de la actividad cognitiva, deja de ser entonces un concepto mental. Radford (2006a) lo define como “una reflexión mediatizada del mundo, de acuerdo con la forma o modo de la actividad de los individuos” (p. 107). Al ser una práctica social, el pensamiento es encarnado en recursos semióticos presentes en el sistema cultural que los subyace. Es decir, el pensamiento es mediatizado4 por los recursos semióticos que emergen en el transcurso de la actividad y que, al estar inmersos en una cultura, vienen cargados de los significados propios de ella. Esto implica que el pensamiento es subsumido por la cultura al mismo tiempo que la produce.
La actividad reflexiva del pensamiento es la que sintetiza los objetos matemáticos, pues estos se entienden como “patrones fijos de actividad reflexiva incrustada en el mundo en cambio constante de la práctica social mediatizada por los artefactos” (Radford, 2006a, p. 111). Estos últimos se reconocen entonces como parte constitutiva del objeto en la actividad reflexiva, y esta nos lleva a una toma de conciencia5 progresiva de algo que con su presencia nos ob-jeta. Esto es lo que se denomina “proceso de objetivación”, una elaboración6 activa de significados.
Sin embargo, no es solamente objetos de saber lo que se produce en la actividad de enseñanza y aprendizaje. Entendiendo que estos no son dos procesos separados, ellos desarrollan una labor conjunta, en la cual se produce un sujeto que está en permanente constitución, en una relación dialéctica en la que al tiempo que está conociendo (knowing) también se está transformando continuamente (becoming) (Radford, 2013). Por lo tanto es un sujeto producto de interacciones sociales, es él a través de los otros, un ser que se subjetiva al tomar posición y acción frente a las prácticas culturales que lo constituyen.
4 La mediación semiótica será entendida en el sentido de Vigotsky en la cual el signo, más allá de representar un objeto, posibilita la actividad reflexiva (Vergel, 2014).
5 Conciencia se entiende, de acuerdo con Vigotsky, como “un caso particular de la experiencia social” (Radford, 2014, p. 142).
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Para finalizar, es importante resaltar que el proceso de objetivación se establece a partir de dos fuentes de elaboración de significados: la interacción social y la interacción con los artefactos (objetos, instrumentos o sistemas de signos). La primera conlleva a que el sujeto se esté formando discursivamente7 (Vergel, 2014), con lo que mi discurso se constituye a través del discurso del otro. Los segundos forman lo que en la teoría se conoce como recursos semióticos (Radford, 2010a), que poseen una inteligencia histórica y cultural depositada en ellos y, al mediatizar la actividad, se convierten en medios semióticos de objetivación. Las anteriores características permiten entender que “el aprendizaje es esencialmente un proceso social de objetivación mediado por una actividad semiótica multi-sistémica”8 (Radford, 2006b).
2.1.1 La interacción social y los medios semióticos de objetivación como fuentes de elaboración de significado. Como se comentó anteriormente, el proceso de aprendizaje se constituye a partir de la interacción social del sujeto y de los recursos semióticos que medien en el desarrollo de la actividad.
La interacción social permite ver dos elementos clave, conocidos en la teoría como Togethering, y el espacio de interacción conjunta. El primero hace referencia al esfuerzo conjunto que realizan los sujetos para lograr el objetivo de la actividad, representado en la tarea común que se desea resolver. El segundo implica el lugar (corpóreo y no corpóreo) en el que se tiene una interrelación de pensamiento de los participantes “haciendo el pensamiento un fenómeno colectivo” (Radford & Roth, 2010, p. 6).
En este punto puede ser necesario diferenciar entre “actividad” como se explicó con anterioridad, y “tarea”. Esta corresponde al problema que el estudiante intenta resolver, este es el objetivo de la actividad; ejemplo de esto sería para esta investigación “determinar la velocidad instantánea en un punto”. La tarea (o un conjunto de tareas) constituye una parte de la actividad, y tiene como rol ser el elemento que precipita la discusión, la materia a partir de la cual toma forma la práctica reflexiva de la actividad. También es en esta donde se refleja la intención pedagógica que el profesor busca poner
7El discurso debe entenderse en el sentido dialógico del acto, un dialogo reflexivo con otro. (Radford, 2000; Vergel, 2014).
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en juego, que corresponde al objeto de la actividad. Para este caso, el objeto corresponde a que los estudiantes para profesor lleguen a pensar variacional y geométricamente el objeto matemático derivada.
Por otro lado, los medios semióticos de objetivación (objetos, gestos, sistemas de signos) son instrumentos que poseen una carga histórica y cultural en el proceso de objetivación, y que permiten “una forma estable de conciencia” para hacer aparecer la intencionalidad de la labor y organizar las acciones que desarrollan para lograr el objetivo de la misma (Radford, 2010b). Esto resalta el hecho de que el pensamiento tiene un carácter multisemiótico, es decir, se reconoce que diferentes recursos como lo escrito, lo hablado, lo gestuado, y lo kinestésico se convierten en partes constitutivas del proceso cognitivo y por tanto del pensamiento (Radford, 2009).
El gesto como medio semiótico. Entre los medios semióticos enunciados, es relevante el papel que juega el gesto. Este permite poner de presente la intencionalidad del sujeto, hacerla visible, especialmente cuando estos se encuentra ligados con el discurso, evidenciándose como gesticulaciones (Kendon, citado por Vergel, 2015b).
Además da la posibilidad de expresar una conciencia acerca de un objeto cultural, o una relación entre objetos, cuando otro sistema semiótico no es suficiente o satisfactorio para comunicarla (Radford, citado por Vergel, 2014). Esta virtud los ubica como mediadores de una conciencia frente a algo, es decir, como medios semióticos de objetivación. Al respecto se dice:
“Ellos [los gestos] son elementos indispensables en el proceso de objetivación del saber de los estudiantes. Los gestos ayudan a los estudiantes a hacer visibles sus intenciones, a notar las relaciones matemáticas y a tomar conciencia de los aspectos conceptuales de los objetos matemáticos” (Radford, citado por Vergel, 2014, p. 74).
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que diferentes medios semióticos interactúan, se coordinan y complementan buscando objetivar el saber.
La objetivación del saber se logra cuando los nodos semióticos evolucionan. Una forma en que esto ocurre es cuando se toman elementos de labores anteriores que permiten clarificar la labor actual, o si se toman gestos o intenciones de otros sujetos para convertirlos en propios. Este proceso se conoce en la teoría como iconicidad.
Otra forma de evolución de los nodos semióticos (y por tanto de objetivación) corresponde a una disminución en el número de recursos semióticos utilizados a medida que se vuelven más sofisticados, implicando una concentración del significado. Este proceso se conoce como contracción semiótica (Radford, 2008b). Se puede distinguir este proceso cuando el sujeto se exprese con un discurso más corto y mejor hilado, acompañado con gestos más precisos, o produciendo fórmulas simbólicas en el que los gestos ahora están expresados en un sistema alfanumérico (Radford, 2008b); ambas reconocen que en el sujeto se está produciendo una reorganización psíquica que “lleva al sujeto a una toma de conciencia del objeto cultural” (Vergel, 2014, p. 76).
2.1.2 Procesos de generalización y pensamiento variacional. Los procesos de generalización no son un proceso exclusivo de un objeto matemático particular. Según Radford (2015a), hacen parte del mundo de la educación en que estamos inmersos, pues se usan de forma tácita. En especial, una búsqueda de variables lleva a poner atención a aquellas características que son relevantes en un proceso, o de un objeto, y la educación se vale de ello: “… [las corrientes epistemológicas reconocen] las ideas de generalización que implícita o explícitamente, adoptamos y convenimos en nuestras prácticas educativas” (Radford, 2015a, p. 130). Aceptado esto, toda práctica educativa implica un proceso de generalización. Desde la teoría cultural de la objetivación, un proceso de generalización (en el conocimiento) involucra tres factores: uno fenomenológico, uno epistemológico-ontológico y otro semiótico.
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característica de un grupo de objetos de tal manera que se pueda decir algo respecto de otro grupo de objetos. El tercero implica los medios semióticos con los que puede ser expresado o referido lo generalizado (Radford, 2015a). Estos elementos están presentes en todo acto de conocimiento, por tanto serán susceptibles de ser analizados dentro de un estudio que trate de explicar el acto de conocer.
2.1.3 El aula de clase. El principio fundamental en el salón de matemáticas es ser con otros (Radford, 2006a), situación en la que más que autonomía, lo que se espera es que el sujeto haga parte de una comunidad. Se proponen tres fases como estructura para que se desarrolle la clase, las cuales son:
1. Trabajo en pequeños grupos, se sugiere de tres o cuatro estudiantes (Radford, 2004), mientras el profesor circula por los grupos y discute con los estudiantes. 2. Intercambio entre pequeños grupos, lo que implica que las reflexiones realizadas
en pequeños grupos sean confrontadas y mejoradas a partir de las reflexiones de los otros.
3. Discusiones generales. Es otro momento de intercambio de ideas; el profesor lo aprovecha para profundizar en el objetivo de la actividad.
Cabe resaltar que al ser un espacio en el que se trabajan objetos matemáticos, y estos son elaborados en actividades mediadas por diversos medios semióticos, el salón de clase se convierte entonces en un aula multisemiótica (Radford, 2010a).
2.2 Respecto a la noción de derivada
2.2.1 Derivada desde lo epistemológico histórico. Pino-Fan, Godino & Font9 (2011) exponen que los problemas que se trabajaron históricamente, y dieron origen al estudio de la derivada, se enmarcan en tres aspectos. Estos son: trazado de tangentes, calcular la velocidad de un cuerpo, máximos y mínimos de una curva.
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Un método de solución al primer problema, se puede ver en el libro de los Elementos de Euclides, proposición XVII, libro III; en esta se pide trazar la recta tangente a un círculo en un punto dado, y su trabajo es netamente geométrico deductivo. Posteriormente se puede encontrar el método algebraico, desarrollado en el siglo XVII por matemáticos como Descartes y utilizando el trabajo con geometría analítica como base. En esta época también se resalta el trabajo de Barrow y Fermat, que conlleva un método vía infinitesimales con la tangente como posición “límite” de las secantes, entendiendo el límite de una manera intuitiva.
Respecto a la problemática variacional, aunque hay una discusión desde las paradojas formuladas por Zenón de Elea sobre la ilusión del movimiento, el problema de cálculo de velocidades se inicia con el aporte que realizó Oresme en el siglo XIV configurando de manera gráfica diferentes tipos de movimiento. Uno de sus aportes importantes es la relación de la magnitud de una variable representada con la longitud de un segmento. Posteriormente aparece el trazado de tangentes desde una concepción cinemática, en lo que personajes como Torricelli proponen una solución tomando como principio que una curva es lo que describe un punto en movimiento, configurando: a) concepto intuitivo de movimiento instantáneo; b) “Una curva es la trayectoria de un punto móvil”; c) “…su tocante en cualquier punto es la línea de dirección del movimiento que tiene en ese mismo punto el móvil que la describe (tangente de Roberval)”; d) “…una tangente… resulta de la composición de dos movimientos de un punto móvil que traza la curva (concepción de tangente de Sluse)”. Pino-Fan, Godino & Font (2011, p. 159).
Respecto al tercer tipo de problemática que conlleva la idea de derivada, el cálculo de máximos y mínimos, tiene a Fermat como referente. El método de solución plantea de manera implícita el uso de cantidades infinitesimales y el paso al límite. Finalmente aparecen el método de fluxiones y el método de cociente de diferenciales de Newton y Leibnitz respectivamente, quienes dejaron ya establecidas las bases para el cálculo diferencial. La obra matemática posterior ha conllevado a dar fundamentación rigurosa a estos enfoques, constituyendo a la derivada como un límite.
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El primero corresponde a Lagrange (1736-1813), desde un análisis estándar enfocado en el manejo de series; el de Cauchy (1789-1857), que es el que tradicionalmente se imparte en la educación y cuya característica principal es entrar a la derivación mediante el proceso de límite, elemento que lo hace complejo para estudiantes de matemáticas básicas y de primeros semestres de universidad; y el de Robinson (1918-1974) con el análisis no estándar, más intuitiva que la anterior al permitir manejar un proceso de acercamiento, con los hiperreales como una extensión de los números reales. Respecto a estas epistemologías, cabe decir que el lenguaje que cada una utiliza para describir la idea de derivada cambia dependiendo desde cuál de ellas se está tratando.
2.2.3 Estructura didáctica de la derivada. Desde diferentes posturas epistemológicas se han realizado propuestas didácticas sobre la derivada, aunque muchas de ellas concuerdan en varios aspectos. Por ejemplo Dolores (2011) relaciona dos líneas desde las que se presenta tradicionalmente la derivada en el aula.
La primera desde el análisis matemático, que recoge un enfoque algebraico (trabajo con algoritmos), numérico (sucesiones numéricas al usar el límite de funciones), formal (definición por límites épsilon-delta), y de aproximación afín local (pendiente de la recta, pendiente de la secante, tangente como límite de secantes). La segunda a partir de la necesidad de resolver problemas prácticos, que reúne a un enfoque geométrico (tangente a la curva en un punto), y el variacional (tasa de cambio a la que está cambiando f(x) comparada con respecto a x). El autor también agrega lo que llama un enfoque computacional, que se desprende del trabajo con programas de computadora y métodos numéricos.
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Dado que se desarrolla un trabajo con gráficas, es importante reconocer resultados que Miranda et al. (2007), desde la postura de la Teoría Cultural de la Objetivación, han elaborado acerca de la interpretación de gráficas de movimiento en el plano cartesiano. Una de ellas corresponde a que las interpretaciones que se realizan se mueven en dos planos diferentes: un espacio fenomenológico de evocación del movimiento, en el que los estudiantes elaboran su discurso manteniendo como referencia el movimiento realizado; y el llamado espacio geométrico de representación en el que las expresiones se realizan en torno a elementos geométricos, como segmentos de recta y otros que conforman el plano cartesiano. Además, reconoció el uso de una diversidad de medios semióticos para llegar a significar el movimiento representado en el plano cartesiano.
También desde la teoría de la objetivación se ha hecho un acercamiento a la idea de derivada, desde el trabajo realizado por Santi (2011). El autor analiza el concepto de tangente a una curva por parte de estudiantes de educación secundaria. De los resultados obtenidos, se resalta la postulación de unos niveles de generalidad de la derivada, que se corresponden con los elementos históricos antes expuestos, ya que los sintetiza también desde una idea de sistemas de prácticas:
(i) Generalidad corpórea: se usan medios semióticos de objetivación figurales, manteniendo la noción en un nivel estrictamente de experiencia corporal y perceptiva, comprendiendo la derivada como la recta que “toca un punto”. (ii)Generalidad simbólica: se manejan medios semióticos simbólicos, y comprende
la tangente como solución de un sistema de ecuaciones bajo la condición de una recta que toca a la curva en un solo punto.
(iii)Generalidad analítica: proceso dinámico en el que una recta pasó de “cortar” a “tocar” a una curva, en un complemento geométrico y simbólico, tomando en cuenta métodos infinitesimales, que llevan la idea de “tocar” a una forma generalizada para cualquier curva derivable.
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2.2.4. Estructura de las tareas. Las tareas son propuestas bajo los principios de la Teoría Cultural de la Objetivación expuestos en el apartado 2.1., por tanto estas deben propiciar espacios de interacción social, donde los sujetos se involucren en la solución de las tareas propuestas, se reconozcan en transformación continua y conlleve el uso de medios semióticos de objetivación. Además, deben reflejar la intención pedagógica del docente (en este caso del investigador), que para la presente es llevar a los estudiantes a pensar variacional y geométricamente en torno a la derivada.
Como un conjunto de elementos que deben verificar las tareas, se pueden dar:
1. Emergencia de medios semióticos: esto se verifica en el pilotaje de las tareas. 2. Que sea un problema que objete al estudiante y que le oponga resistencia: dadas
las evidencias conocidas en la búsqueda de información realizada, y por el objetivo de las tareas, se propone un problema variacional en contexto gráfico. 3. Generación de interacción y discusión: esto se verifica en el pilotaje de las tareas;
además la estructura de la clase potencializa esta característica.
4. Emergencia de objetos matemáticos: Se puede verificar en el pilotaje. Sin embargo el evento de la actividad puede llevar a que no emerja el objeto matemático.
5. Objetivación: Las situaciones propuestas deben propender por una actividad reflexiva continua.
6. Organización didáctica: De acuerdo con lo expresado por Dolores (2000) se estructura una actividad que ponga en discusión la idea de velocidad media en la primera tarea, la idea de velocidad instantánea en la segunda tarea, y en la tarea se propone un acercamiento al objeto matemático derivada establecido como saber cultural.
7. Objetivo de la actividad: Determinar la velocidad media, la velocidad instantánea, y la caracterización de la derivada a partir de aproximaciones.
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Capítulo 3
Metodología
La investigación desarrollada es de tipo cualitativo, descriptivo e interpretativo entendidos en el sentido de Wollcot10 (citado por Coffey & Atkinson, 2003), de un estudio microgenético (Vergel, 2014; Wertsch, citado por Martínez, 1999) del proceso de objetivación de la derivada. La microgénesis se entiende como “el estudio minucioso de los procesos de aprendizaje y desarrollo en períodos muy cortos de tiempo […], se refiere al proceso de formación de una función psicológica en un contexto espacio temporal concreto y limitado.” (Martínez, 1999, p. 22). Como parte de su metodología, el análisis microgenético implica realizar una profunda descripción de los fenómenos (actividad gestual, corporal, perceptual, discursiva) y su evolución durante el desarrollo de tareas propuestas en torno a la variación del movimiento generado en una experiencia grupal y representada en un contexto gráfico. Estas tareas, acerca de la derivada en sus enfoques variacional y geométrico, se proponen:
1. porque de lo expuesto por varios autores, entre ellos Dolores & García (2011), el concepto de derivada es de difícil comprensión para estudiantes tanto a nivel de colegio como de educación superior, y se sugiere abordarlo (contrario al tratamiento tradicional) desde un enfoque variacional y geométrico (Caballero & Cantoral, 2013; Dolores y García, 2011; MEN, 2006). Se pretende así contribuir al conocimiento de este objeto. En tanto objeto conceptual, la derivada puede aparecer para los estudiantes como pura posibilidad o virtualidad, lo cual armoniza con el principio ontológico esbozado anteriormente.
2. para brindar un nuevo enfoque en el estudio del proceso de enseñanza y aprendizaje de la derivada. El aprendizaje es una toma continua de conciencia, es un proceso de objetivación, que está dado de manera social y mediado por recursos semióticos, con lo que el aula de clase es un espacio multisemiótico. Por
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tanto su emergencia se analiza desde una perspectiva multimodal de la cognición (Radford, Edwards & Arzarello, 2009; Arzarello 2006).
La idea de multimodalidad del pensamiento permite reconocer la naturaleza multisemiótica del acto cognitivo. Lo gestuado, lo hablado, lo escrito, son analizados en conjunto, es decir, no tiene sentido analizar cada uno de estos medios semióticos de manera independiente porque ellos constituyen nuestros procesos cognitivos (Vergel, 2015a, 2015b).
La búsqueda de información para la investigación es guiada por los elementos teóricos de la Teoría Cultural de la Objetivación y la concepción de la multimodalidad del pensamiento, especialmente lo correspondiente a la emergencia de medios semióticos de objetivación y la aparición de nodos semióticos y su evolución; por la población de trabajo, correspondiente a estudiantes para profesor de matemáticas; por el objeto matemático de estudio, correspondiente a una concepción variacional y geométrica de la derivada; y en conjunción con las anteriores, la propuesta y modificación de las tareas de acuerdo al pilotaje realizado de las mismas.
La recolección de la información es guiada por la manera en que se desarrolla el evento, haciéndose operativa a partir de la emergencia sincrónica de medios semióticos de objetivación. Así mismo, se asegura que la información y la investigación son confiables y válidas dado que a partir de una fuente de información primaria, y dentro de las
estrategias11 propuestas por Le Compte & Goetz (citado por Martínez, 2006) utilizadas para el desarrollo del trabajo, se propone como categoría de análisis los nodos semióticos (segmentos de la actividad en la que sistemas semióticos aparecen de forma simultánea) y su evolución (contracción semiótica). Estos se hacen explícitos a partir de la unidad de análisis correspondientes a medios semióticos de objetivación, y se reflejan en los episodios (segmentos de la actividad) los cuales son abstraídos de videograbaciones de las sesiones de trabajo, con apoyo de las hojas de trabajo de los estudiantes. Lo anterior permite realizar una descripción suficiente y detallada de los elementos involucrados, así como del análisis realizado.
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A continuación se realiza una ampliación de los elementos descritos anteriormente.
3.1. Diseño de la investigación
Dado que la investigación se encuentra enmarcada dentro de la perspectiva de la Teoría Cultural de la Objetivación (Radford, 2006a), se utiliza como base la metodología propuesta por Radford (2010a). Esta consta de un ciclo de cuatro fases correspondientes, primero al diseño de las actividades a desarrollar, segundo, a la implementación de las actividades, tercero, al análisis de la información e interpretación de datos, y cuarto, la generación de teoría, de lo cual se pasa nuevamente al diseño de las actividades (tareas).
En esta investigación se asume la estructura metodológica desarrollada por Moreno (2014), en la cual, por un lado, se habla en términos de tareas y no de actividades, y, por otro lado, en la cuarta fase no se realiza una generación de teoría propiamente dicha, sino que se plantean comparaciones teóricas y se generan conclusiones. A continuación se presentan las dos estructuras metodológicas, la de Radford (2010a), y la de Moreno (2014).
Metodología investigación longitudinal Metodología de la investigación (Radford, 2010a) (Moreno, 2014)
Diagrama 1. Comparación de la metodología propuesta para la investigación, respecto a la de investigación longitudinal.
A continuación se describe, para esta investigación, cada una de las fases de la estructura metodológica basadas en la adaptación propuesta por Moreno (2014):
1. Diseño de tareas.
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producción del objeto matemático derivada en una situación variacional y con representación gráfica.
b. Pilotaje de las tareas: Se realizó con una pareja de profesoras de matemáticas, con la finalidad de determinar posibles inconsistencias en las tareas propuestas y observar la aparición de medios semióticos durante su desarrollo. El tiempo del que dispusieron para la resolución fue libre, a pesar de que cada una de las tres tareas estaba pensada para un tiempo de dos horas. Sin embargo necesitaron menos tiempo del que se tenía pensado, lo cual se reflejó en la implementación pues el tiempo del que finalmente se dispuso para la aplicación fue de 4 horas para las tres tareas dadas.
c. Modificación de la tarea: de acuerdo a los resultados del pilotaje, se hizo necesario realizar algunos cambios en la forma en que se presentaban los ítems, especialmente en términos del lenguaje y redacción utilizados. Por otro lado, cada una de las profesoras utilizó una diversidad de medios semióticos para el desarrollo de las tareas propuestas, principalmente deícticos espaciales y representaciones alfanuméricas.
Cabe decir que la recolección de información respecto al pilotaje se realizó mediante videograbaciones, las hojas de trabajo de los profesores, y la observación del investigador.
2. Implementación de las tareas.
a. Selección del grupo focal: las tareas rediseñadas se desarrollaron en el grupo de la asignatura Matemática del movimiento II perteneciente a la línea de Matemáticas escolares y pensamiento matemático avanzado del proyecto curricular de Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas de la Universidad Distrital, Bogotá, Colombia.
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participación de 20 estudiantes, de los cuales 2 asisten voluntariamente a clase, y 3 están repitiendo la asignatura.
b. Desarrollo de las tareas: Estas se trabajaron en el transcurso de dos sesiones. En la primera, correspondiente a un espacio de dos horas, se desarrolló la tarea 1. Para la segunda, de las dos horas disponibles se hicieron efectivas solamente una hora y 40 minutos aproximadamente; en esta se desarrolló la tarea número 2 y algunos grupos completaron la tarea 3.
c. Una de las ventajas que tiene la organización con que la profesora titular realiza sus clases es el manejo de grupos de trabajo. En este caso, se tuvo una organización de seis grupos de tres estudiantes cada uno, y un grupo de dos estudiantes. Esta característica organizativa potenció el proceso de enseñanza y aprendizaje desde la teoría de la objetivación, pues se evidenciaron elementos como el Toghetering y el espacio de acción conjunta (Radford & Roth, citado por Vergel, 2014).
La información se recolectó según lo recomendado por Miranda, Radford & Guzmán (2007). Este modelo comprende:
(i) Grabar tanto los momentos de clase general como a los integrantes del grupo para capturar las representaciones que realizaron. Para ello se dispusieron dos cámaras de video, por lo que se requirió la ayuda de colaboradores en una de las cámaras. Para cada sesión se contó con un colaborador diferente, sin embargo con ambos se socializaron los principios de la teoría, y cuáles eran los elementos a tener en cuenta al momento de realizar las grabaciones.
(ii)Se recogieron las hojas de trabajo de los estudiantes, donde se encuentran evidencias de registros semióticos gráficos, alfanuméricos y algebraicos. (iii)Se realiza la transcripción de los videos grabados durante las sesiones de
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(iv)Finalmente, se hace un análisis de los videos (con sus transcripciones) y las hojas de trabajo de los estudiantes, buscando la evidencia de emergencia de medios semióticos.
3. Interpretación de la información y generación de datos.
a. Generación de hipótesis y categorías iniciales. La unidad de análisis corresponde a los medios semióticos que movilizan los estudiantes para profesor. Las categorías son:
(i) Nodos semióticos: correspondiente a segmentos de la actividad de los estudiantes en las que se presenta coordinación de recursos semióticos.
(ii) Contracción semiótica: implica la evolución de los nodos semióticos (Radford, 2003), produciendo el procesos de Objetivación (Radford, 2008b)
b. Configuración y sistematización de datos. Teniendo en cuenta las categorías de investigación propuestas correspondientes al nodo semiótico y la contracción semiótica, se configuran los datos de investigación a partir del análisis desde la perspectiva multimodal del pensamiento. Esto significa que el interés se centra en seleccionar de las hojas de trabajo de los estudiantes, de los videos y de las entrevistas los aspectos asociados a la movilización de recursos semióticos, así como a la relación entre ellos. En otras palabras, se seleccionan episodios y fragmentos correspondientes a segmentos de la actividad matemática que reflejen el uso de medios semióticos (gestuales, kinestésicos, hablados, simbólicos, etc.) así como su interacción y evolución. En este sentido, el enfoque microgenético es útil para analizar la formación a corto plazo de algún proceso sicológico determinado (Wertsch, 1988). Como lo expresa Vergel (2014):
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expresan y se despliegan en el espacio y el tiempo. Éstas han pasado desapercibidas en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Consideramos que son elementos importantes en la constitución y manifestación del pensamiento matemático, por lo que se hace necesario detectarlas…” (p. 2)
Cabe resaltar también que, aunque solo se trabajaron dos sesiones, la finalidad del trabajo está dirigida a identificar la emergencia de medios semióticos, así como analizar la manera en que evolucionan, es decir, poner de relevancia un proceso de contracción semiótica. En palabras de Radford & Sabena (2015):
“[los] nodos semióticos son una herramienta metodológica para estudiar el aprendizaje. A través del uso de varios recursos semióticos del estudiante y del docente, nosotros podemos tener, metodológicamente hablando, una idea de la actividad de aprendizaje reflexivo [objetivación] del estudiante y el tipo de interpretaciones y significados que el estudiante produce” (p. 167)
Es decir, en el nodo semiótico, al tenerse una actividad reflexiva eminentemente mediada, se está evidenciando un aprendizaje. La contracción semiótica permite determinar la manera en que el aprendizaje está ocurriendo “La evolución de nodos semióticos nos provee con una visión más general de la manera en la cual el cambio está ocurriendo. Para investigar la evolución del nodo semiótico, hemos introducido el concepto de contracción semiótica” (Radford & Sabena, 2015, p. 167).
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documentar un fenómeno (objetivación de la derivada) que tiene características del enfoque microgenético vygotskiano (Wertsch, 1988).
c. Se realiza una transcripción de los segmentos que enfocan el uso y evolución de los nodos semióticos, que servirán como datos de investigación.
4. Conclusiones y comparaciones teóricas:
a. Triangulación de la información. Con las tres fuentes de datos (transcripción de videos, hojas de trabajo de los estudiantes y entrevistas) se establecen relaciones para profundizar la mirada del fenómeno, en este caso la emergencia y evolución de medios semióticos de objetivación y consecuentemente la objetivación de la derivada. Aquí es donde este proceso de objetivación, particular de los participantes en la investigación, se puede extender hacia aspectos más generalizables a partir de la comparación con resultados de investigación avalados, por esto permanentemente se hacen contrastes con la teoría, en particular, resultados de investigación reportados en la literatura nacional e internacional.
b. Generación de conclusiones.
3.2. Caracterización de los sujetos participantes en la investigación
El trabajo de campo se desarrolló con el grupo de estudiantes para profesor de la Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas de la Universidad Distrital, integrantes del curso de Matemática del Movimiento II situado en el séptimo semestre académico del proyecto curricular.
Dada la dinámica de resolución de problemas propuesta en el proyecto curricular12 y en la misma asignatura, así como por las condiciones del aula de clase, los estudiantes para
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profesor de matemáticas mostraron buena disposición, compromiso e interés para llevar a cabo un trabajo grupal en el desarrollo de la propuesta, y un ambiente ameno para discutir e intercambiar ideas con compañeros de su mismo o de otros grupos, generando debate, exponiendo y defendiendo las ideas surgidas en el desarrollo de las tareas, y reflexionando frente a las ajenas respecto al camino de solución de las mismas.
Fiel a los principios teóricos propuestos por Radford, Demers, Cerulli, & Guzmán (2004) para la estructura de la clase, y bajo la misma tendencia de Vergel (2014), se buscó que los estudiantes interactuaran e intercambiaran ideas al tiempo que se produce discusión entre ellos con el fin de que se constituya un discurso propio a través del discurso del otro, permitiendo el contraste y las congruencias del objeto del saber puesto en juego. Con esta finalidad el investigador entraba en contacto con cada uno de los grupos de trabajo de tal manera que verificaba o provocaba la presencia de las anteriores características.
Entre las tácticas usadas por el docente investigador, se solicitó a los estudiantes en cada grupo que explicaran las estrategias propuestas para dar solución al problema, y realizó preguntas respecto al trabajo que proponían de tal suerte que requirieran la verbalización o uso de alguna forma de comunicación de la experiencia matemática. Esto propició un momento de reflexión y generó retroalimentaciones frente a la manera en que él (el estudiante) estaba dando solución a la tarea, así como respecto a la forma en que podían expresarse acerca de esta.
Los espacios de interacción intergrupal permitieron a los participantes de los grupos reconocer nuevas estrategias de los otros (o reafirmar las propias). Esto conllevó a que tuvieran que reflexionar respecto al conocimiento expresado por los otros.
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Para el desarrollo de las tareas, el primer día se contó con la participación de 20 estudiantes y en el segundo intervinieron 18, los otros dos no asistieron a clase. El curso se dividió en 7 grupos, 6 de tres personas y uno de dos, conformados de forma libre. En la primera clase se contó con la presencia de la profesora titular durante los primeros minutos con el fin de realizar la presentación del investigador (quien dirigiría el proceso de las sesiones) y explicar a los estudiantes la finalidad del trabajo a desarrollar.
La selección de los grupos susceptibles de análisis se realizó por la presencia abundante de medios semióticos (deícticos, gestuales, verbales y escritos), relacionados con los elementos de interés para la investigación. Así, se escogió el grupo número 2 integrado por Paola, David y Lina, quienes además de un uso constante de recursos semióticos, evidenciaron un continuo análisis y reflexión de sus intervenciones propias y de sus compañeros, con lo que la presencia del otro se convirtió en parte fundamental de la actividad, como lo sugiere la idea de “ser con otro” (Radford, 2006a, p. 116). También cabe resaltar que este grupo resume, en términos de elaboración, lo realizado por la mayoría de los otros grupos.
El otro grupo elegido fue el 7, integrado por Jefferson, Jhon y César, quienes presentaron igualmente un manejo constante de recursos semióticos. Este presentó un espacio de resolución que fue abarcado también por los demás grupos, pero este se dio la libertad de tomar más tiempo y generar un mayor espacio de discusión entre ellos frente a la primera parte del trabajo; los otros grupos pasaron por esta etapa.
3.3 Las tareas
Pino-Fan et al. (2011) señala que han sido tres los problemas que históricamente dieron vida a la derivada: el de la determinación de la velocidad, el trazado de rectas tangentes, y el de máximos y mínimos. En esta investigación se decide abordar el objeto derivada desde la problemática de la velocidad, lo cual nos lleva a tratar la derivada en términos de un pensamiento variacional desde un punto de vista problémico. Para esto se adapta una parte de la estructura didáctica13 propuesta por Dolores (2000) partiendo de la idea de velocidad media, para determinar posteriormente la velocidad instantánea, y de allí
