Cap´ıtulo 1
Elementos de C´
alculo vectorial
1.1.
Algrebra de Vectores en
´
R
3Esta es una lista de identidades elementales del ´algebra vectorial, que se supondr´an bien conocidas
⃗
A·B⃗ =AxBx+AyBy+AzBz
⃗
A×B⃗ = (AyBz−AzBy)ˆi+ (AzBx−AxBz) ˆj+ (AxBy−AyBz) ˆk
⃗
A×A⃗ = 0
⃗
A·!A⃗×B⃗"= 0
⃗
A·!B⃗ ×C⃗"=!A⃗×B⃗"·C⃗
⃗
A×!B⃗ ×C⃗"=!A⃗·C⃗"B⃗ −!A⃗·B⃗"C⃗
1.2.
C´
alculo diferencial en
R
3Seaf : [R3]→R una funci´on real. Tambi´en es llamadacampo escalar, pues a cada punto
del espacio (R3) le asocia un n´umero real (un escalar). Ejemplo de un campo escalar puede ser
Fig. 1.2: La velocidad de los ´atomos de un objeto que rota es un ejemplo de campo vectorial
1.2.1.
Derivadas de un campo escalar
Si f es un campo escalar diferenciable (y por lo tanto una funci´on continua) sobre un
dominio D⊆R3, entonces est´a definido el Gradientedef
⃗
∇f(x, y, z) = #
∂f(x, y, z)
∂x +
∂f(x, y, z)
∂y +
∂f(x, y, z)
∂y $
El gradiente es un campo vectorial, pues a cada punto en D le asocia un vector. Es
inmediato notar que el gradiente es perpendicular a curvas en donde el campo escalar f es
constante, como las curvas que se muestran en la figura 1. (Llamadas isotermas en el caso de que el campo escalar sea la temperatura). En efecto, la curva
f(x, y, z) =C
puede ser parametrizada
f(x(t), y(t), z(t)) =C
Derivando con respecto at, se obtiene
∂f
∂xx
′(t) + ∂f
∂yy
′(t) +∂f
∂zz
′(t) = 0
#
∂f(x, y, z)
∂x +
∂f(x, y, z)
∂y +
∂f(x, y, z)
∂y $
·(x′(t), y′(t), z′(t)) = 0
y entonces el gradiente es perpendicular a la direcci´on tangente a la curva. M´as a´un, si ˆues
un vector unitario, se define laderivada direccional def en la direcci´on ˆucomo
Dˆuf(x, y, z) =∇⃗f(x, y, z)·uˆ
Se puede demostrar que la derivada direccional se maximiza en la direcci´on del gradiente,
1.3.
∇
⃗
como un operador
Conviene considerar al gradiente como algo independiende de que funci´on se est´a derivando.
Llamamos∇⃗ al operador
⃗
∇= #
∂ ∂x,
∂ ∂y,
∂ ∂z
$
Por supuesto que este operador as´ı escrito no significa nada. El operador ∇⃗ debe operar
sobre una funci´on, por ejemplo
⃗
∇f = #
∂f
∂x,
∂f
∂y,
∂f
∂z $
Tiene completo sentido en este caso. Hemos ”multiplicado” al operador por una cantidad escalar. Hay que tener ciertas precauciones con este tipo de notaci´on, por ejemplo, del ´algebra
de vectores es sabido que si αes un escalar
α ⃗A=A⃗α
sin embargo,f∇⃗ no tiene sentido por si mismo, en efecto, es un nuevo operador
f∇⃗ = #
f ∂
∂x, f
∂ ∂y, f
∂ ∂z
$
1.3.1.
Divergencia y Rotor
Si F⃗ es un campo vectorial, entonces
⃗
∇·F⃗
debe ser un escalar, y por lo tanto puede tener un sentido f´ısico. Entendiendo ∇⃗ como un
operador vectorial, se tiene
⃗
∇·F⃗ = #
∂ ∂x,
∂ ∂y,
∂ ∂z
$
·(Fx, Fy, Fz)
⃗
∇·F⃗ = ∂
∂xFx+
∂ ∂yFy+
∂ ∂zFz
A esta cantidad escalar asociada a un campo vectorial se le llamadivergencia deF⃗.
Veamos que m´as es posible definir a partir del operador gradiente. ¿Qu´e ocurre con∇ ×⃗ F⃗?.
Por supuesto que el resultado debe ser un campo vectorial, de hecho, muy ´util en el an´alisis de
funciones vectoriales. Desarrollando este producto cruz seg´un el ´algebra de vectores
!
⃗
∇ ×F⃗" x=
∂Fz
∂y −
∂Fy
∂z
!
⃗
∇f →Vector
⃗
∇·F⃗ →Escalar
⃗
1.3.2.
Segundas derivadas
Hasta ahora hemos definido cantidades que involucran ´unicamente primeras derivadas.
Veamos que ocurre con las siguientes combinaciones
(a)∇⃗ ·!∇⃗f"
(b)∇ ×⃗ !∇⃗f"
(c)∇⃗ !∇⃗ ·F⃗"
(d)∇⃗ ·!∇ ×⃗ F⃗"
(e)∇ ×⃗ !∇ ×⃗ F⃗"
Veamos la primera de ellas, es claro que debe obtenerse un campo escalar. Desarrollando
⃗
∇·!∇⃗f"=∇⃗ · #
∂f
∂x,
∂f
∂y,
∂f
∂z $
⃗
∇·!∇⃗f"= ∂
2f
∂x2 +
∂2f
∂y2 +
∂2f
∂z2
Se ve que esto se puede reescribir como
⃗
∇·!∇⃗f"=∇⃗ ·∇⃗f =!∇⃗ ·∇⃗"f =∇⃗2f
Vemos a∇⃗2como un nuevo operador, y como aparece mucho en f´ısica, tiene un nombre. Es
llamado Laplaciano
Laplaciano→∇⃗2= ∂
2
∂x2 +
∂2
∂y2 +
∂2
∂z2
debido a que el Laplaciano es un operador escalar, podr´ıa aplicarse sobre un vector
⃗
∇2F⃗
por supuesto esto significa que el operador Laplaciano opera sobre cada componente deF⃗
⃗
∇2F⃗ =!∇⃗2Fx,∇⃗2Fy,∇⃗2Fz"
Veamos que ocurre con la expresi´on (b). Notemos que tiene la siguiente forma
⃗
[∇ ×⃗ ∇⃗f]x=∇⃗z !
⃗
∇f" y−
⃗
∇y !
⃗
∇f" z
[∇ ×⃗ ∇⃗f]x= ∂
∂z #
∂f
∂y $
−∂∂y
#
∂f
∂z $
= 0
Del mismo modo se muestra para las dem´as componentes
La expresi´on (c) es por supuesto un campo vectorial
⃗
∇!∇⃗ ·F⃗"
Sin embargo, no hay nada muy especial que decir acerca de ´el. Es simplemente un campo vectorial que podr´ıa aparecer en el futuro
La expresi´on (d) tiene la forma
⃗
A·!A⃗×B⃗"= 0
Es decir, esperamos que
⃗
∇·!∇ ×⃗ F⃗"= 0
Para cualquier campo vectorialF⃗. Es as´ı, y es f´acil de verificar
Por ´ultimo, veamos que sucede con la expresi´on (e)
⃗
∇ ×!∇ ×⃗ F⃗" ´
Esta tiene la forma de
⃗
A×!B⃗ ×C⃗"=B⃗!A⃗·C⃗"−!A⃗·B⃗"C⃗
Podr´ıamos seguir utilizando esta expresi´on y escribir
⃗
∇ ×!∇ ×⃗ F⃗"=∇⃗ !∇⃗ ·F⃗"−!∇⃗ ·∇⃗"F⃗
El ´ultimo t´ermino es el Laplaciano
⃗
∇ ×!∇ ×⃗ F⃗"=∇⃗ !∇⃗ ·F⃗"−∇⃗2F⃗
En resumen, hemos encontrado
⃗
∇·!∇⃗f"=∇⃗2f →Laplaciano sobre f, campo escalar
⃗
∇ ×!∇⃗f"= 0
⃗
∇!∇⃗ ·F⃗"→Campo vectorial
⃗
∇·!∇ ×⃗ F⃗"= 0
⃗
1.3.3.
Dos teoremas adicionales
En muchos problemas f´ısicos, sucede que un determinado campo vectorial F⃗ tiene rotor
nulo. Es decir
⃗
∇ ×F⃗ = 0
Hemos visto que el rotor de un gradiente es siempre cero. Podr´ıa ser ciento entonces, que
⃗
F fuera el gradiente de alg´un campo escalar, de esta forma su rotor ser´ıa siempre nulo. Lo
interesante es que esto es siempre as´ı, y enunciaremos el siguente teorema
Si
⃗
∇ ×F⃗ = 0
Existe un campo escalar ψ, tal que
⃗
F =∇⃗ψ
Del mismo modo, hemos visto que la divergencia de un rotor es siempre cero. Luego, si la
divergencia de un campo vectorialF⃗ es nula, podria tenerse queF⃗ fuera el rotor de un campo
vectorial. De ser as´ı, estar´ıa garantizado que su divergencia sea nula. En efecto, enunciamos el segundo teorema
Si
⃗
∇·F⃗ = 0
Existe un campo vectorialA, tal que⃗
⃗
F =∇ ×⃗ A⃗
1.4.
C´
alculo Integral en
R
31.4.1.
Integral de l´ınea de un campo vectorial
Sea F⃗ : [Ω⊆R3]→R3
Consideremos una curva Γ contenida enΩ. Sea ⃗x0,⃗x1, ...⃗xn una partici´on de Γ, (xk, yk) un
punto en el trazo de Γ que va de⃗xk−1 a⃗xk, y∆⃗xk =⃗xk−⃗xk−1. Se define la integral de l´ınea
de F⃗(⃗x) por
ˆ
Γ
d⃗x·F⃗(⃗x) = l´ım n→∞
⃗
F(xk, yk)·∆⃗xk
Esto se puede reescribir como
ˆ
Γ
d⃗x·F⃗(⃗x) = l´ım n→∞
⃗
F(xk, yk)· ∆⃗xk
|∆⃗xk| |
∆⃗xk|=
ˆ
Γ
dsTˆ(⃗x)·F⃗(⃗x)
1.4.2.
Integral de superficie de un campo vectorial
Sea F⃗ : [Ω⊆R3]→R3 yS una superficie contenida enΩ. Se define la integral de flujo del
campoF⃗ sobreS como
¨
S
dS(⃗ ⃗x)·F⃗(⃗x) =
¨
S
dS(⃗x)ˆn(⃗x)·F⃗(⃗x)
corresponde a sumar la proyecci´on del campo F⃗ sobre la normal a la superficie S en cada
punto.
1.4.3.
Teorema de la Divergencia
Sea Ω⊆R3 una regi´on. SeaF⃗ un campo vectorial continuo y diferenciable enΩ. Entonces
˚
Ω
d3x∇⃗ ·F⃗ =
ˆ ✞ ✝☎✆
ˆ
δΩ
dS(⃗ ⃗x)·F⃗(⃗x)
1.4.4.
Teorema de Stokes
SeaSuna superficie enR3. SeaF⃗ un campo vectorial continuo y diferenciable en una regi´on
que contiene aS. Entonces
¨
S
dS(⃗ ⃗x)·!∇ ×⃗ F⃗(⃗x)"=
˛
δS
d⃗x·F⃗(⃗x)