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Índice
1º Números naturales --- Pág.5 2º Divisibilidad --- Pág. 7 3º Números enteros --- Pág. 12 4º Potencias --- Pág. 15 5º Raíces --- Pág 19 6º Fracciones --- Pág 28 7º Números decimales
7.1 Números decimales --- Pág. 38 7.2 Fracción generatriz --- Pág. 42 7.3 La notación científica --- Pág. 44 8º Magnitudes proporcionales
8.1 Proporcionalidad numérica --- Pág. 49 8.2 Magnitudes directamente proporcionales --- Pág. 50 8.3 Magnitudes inversamente proporcionales --- Pág. 52 8.4 Regla de tres simple directa --- Pág. 54 8.5 Regla de tres simple inversa --- Pág. .55 8.6 Regla de tres compuesta --- Pág. 59 8.7 Reparto directamente proporcional: --- Pág. 63 8.8 Reparto inversamente proporcionales: --- Pág. 65 8.9 Los porcentajes --- Pág. 67 9 º Expresiones algebraicas
9.1 Expresiones algebraicas--- Pág. 73 9.2 Monomios --- Pág. 77 9.3 Polinomios --- Pág. 80 10 Ecuaciones
10.1 Ecuaciones de primer grado --- Pág. 86 10.2 Ecuaciones de segundo grado --- Pág. 95 11º Sistemas de ecuaciones --- Pág. 99 12º Funciones
12.1 Coordenadas cartesianas --- Pág. 105 12.2 Tablas y gráficas. Interpretación --- Pág. 107 13º Función de proporcionalidad directa e inversa --- Pág. 112 14º Medidas. Teorema de Pitágoras
14.1 Cálculo de errores --- Pág. 118 14.2 El sistema sexagesimal --- Pág. 119 14.3 El teorema de Pitágoras --- Pág. 121 15º Semejanza. El teorema de Tales --- Pág. 123 16º Cuerpos geométricos
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1º Números naturales
Un número natural es cualquiera de los números que se usan
para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.
Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el cero puede
considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del autor y la tradición, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:
Definición sin el cero:
Definición con el cero:
donde la N de natural se suele escribir en negrita
OPERACIONES COMBINADAS
El orden en que hay que hacer las operaciones es el siguiente: 1º Paréntesis.
2º Potencias y raíces
3º Multiplicaciones y divisiones. 4º Sumas y restas.
Ejercicios
1º Opera respetando la jerarquía de operaciones 1) 78 – 6 – 12 + 8 – 1 + 7 + 2 – 3 =
2) 189 + 72 – 4 + 53 – 7 + 19 = 3) 700 – 250 · 2 + 9 · 3 – 25 - 1 · 9 = 4) 54 + 45 + 2 · 123 – 2 · 6 – 3 · 5 + 1 ·3 = 5) 5 · 7 – 6 · 4 + 3 · 10 · 5 – 2 – 1 + 150 : 5 + 7 = 6) ( 98 – 89 + 6 · 3 · 2 – 5 · 2 ) : 7 =
7) 25 – ( 46 – 11 ) : 7 + 3 · 8 =
8) ( 14 – 4 ) · 2 + 8 · 7 – 2 + ( 14 – 6 ) : 2 + 7 · 4 = 9) 6 · ( 4 + 2 · 3 ) + 3 – 2 · ( 4 + 25 : 5 ) =
10) 25 + ( 89 – 45 ) : 11 – 4 · 2 + 17 =
11) ( 6 · 4 + 8 · 10 + 11 · 6 ) : ( 26 – 6 · 2 –- 4 ) = 12) [2 · (8 – 5 ) + 4 · 3 – 56 : 7 + 2 ] · 3 = 13) 2 · 9 ·3 – 5 + 4 · 3 – ( 5 · 2 + 4 ) = 14) 89 – 10 – 15 + 7 + 1 – 7 + 24 – 13 = 15) 19 + 42 – 5 + 33 – 17 + 1 =
16) 600 – 120 · 2 + 4 · 5 – 15 – 2 · 6 = 17) 24 + 35 + 2 · 13 – 3 · 5 – 5 · 2 + 6 : 2 =
6
21) (8 – 6 ) · 3 + 9 · 7 – 10 + ( 20 – 6 ) : 7 + 9 · 3 = 22) 5 · ( 4 · 2 + 3 ) + 11 – 4 · ( 4 + 15 : 3 ) = 23) 10 + ( 78 – 45 ) :(3 + 8) – 5 · 2 + 25 = 24) ( 5 · 3 + 3 + 11 · 6 ) : ( 18 – 5 · 2 – 2 ) = 25) [3 · (9 – 5 ) + 2 · 5 – 49 : 7 + 3 ] : (12 – 9) = 26) 3 · 4 · 5 – 5 + 7 · 3 – ( 6 · 2 + 9 ) =
27) 45 - 5 – 12 + 4 – 1 + 7 + 2 – 6 = 28) 172 + 25 – 4 + 67 – 7 + 15 =
29) 400 – 150 · 2 + 8 · 3 – 25 – 1 + 1 · 9 = 30) 54 – 45 + 2 · 123 – 3 · 6 – 2 · 5 + 2 · 3 = 31) 5 · 7 – 6 · 4 + 3 · 10 · 5 – 2 – 1 + 250 : 5 + 3 = 32) ( 98 – 89 + 6 · 3 · 2 – 5 · 2 ) : 7 =
33) 25 – ( 66 – 13 ) : 7 + 3 · 5 =
34) ( 18 – 4 ) · 2 + 3 · 9 – 2 + ( 12 – 6 ) : 2 – 5 · 5 = 35) 9 · ( 10 – 2 · 4 ) + 3 – 2 · ( 4 + 75 : 5 ) =
36) [ 25 + ( 76 – 13 )] : {11 – 4 · 2 + 8} = 37) ( 5 · 4 +8 · 10 + 11 · 4 ) : ( 16 – 4 · 2 + 4 ) = 38) [ 2 · ( 9 – 5 ) + 4 · 3 – 49 : 7 + 2 ] : 3 = 39) 2 · 9 –5 + 4 · 3 – ( 5 · 3 + 4 ) =
40) [ 25 – ( 5 – 4 + 2 · 6 + 10 ) ] · ( 2 : 2 + 7 –3 ) : ( 5 – 4 + 3 · 2 – 6 ) = 41) [ 5 + ( 10 – 2 – 3 · 4 + 10 ) ] · ( 6 · 2 – 10 + 2 ) : ( 5 + 6 + 4 · 2 – 4 ) = 42) [ ( 15 + 6 ) · 2 : 6 – 3 ] · [ 36 : 2 – ( 4 + 6 ) ] : [ ( 36 – 20 ) : 4 ] = 43) [ ( 15 + 3 ) · 2 : 6 – 3 ] · [ 28 : 2 – ( 4 + 6 ) ] : [ ( 25 – 16 ) : 9 ] = 44) [ 25 – ( 5 – 4 + 2 · 6 + 10 ) ] · [ ( 2 : 2 + 7 –3 ) : ( 5 – 4 + 3 · 2 – 6 )] = 45) [ ( 10 + 4 ) · 3 : 6 – 5 + 2 ] · [ 26 : 2 – ( 4 + 6 ) ] : [ ( 26 – 10 ) : 4 ] =
2º Calcula el valor de las siguientes operaciones combinadas con potencias: a) 3² (15 + 5)² + 2³ (15 – 5)4 =
b) 5 (4 – 2)² + 1² (2³ - 5)² = c) 560 – 2² (34 –24)² = d) 532 + 2 (4³ - 4²)² = e) 2 (3² - 3)² + 2² (5² - 5)² =
f) (8 – 5)³ +2 (4² – 13) – 7 (6² – 30) g) 720 + 3² (20 –15) =
h) 3³ - 2² + 4 (7 – 2)² =
i) (10 – 3)² + 2 [6 – 5 (3² - 2)²] = j) [(2 – 1)³ + 2] [2² - (3²)²] = k) 4² : (-8) – [9 - (-6)]
l) 36.15 3.(23 5)
m) ( 30 + 5.7 ) : 4 - 25=
n)[60+5.(42− 49]+5=
o) (3.7 −42) : 5 + 64=
p) (8 . 7 – 11) : 9 + 25=
q) 81 3 22 24 2 .
r ) 16 22 32 2 .52 42
s ) 2 2
5 9 3 4 5 9
t) 4 9 2 8 2 22 2
u ) 2 2 64 22 32 5 1
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2º Divisibilidad
Los múltiplos de un número natural son los números naturales que resultan de multiplicar ese número por otros números naturales.
Decimos que un número es múltiplo de otro si le contiene un número entero de veces.
Los divisores de un número naturalson los números naturales que le pueden dividir, resultando de cociente otro número natural y de resto 0.
Número primo es el número natural que solamente tiene de divisores a él mismo y al número 1
Numero compuesto es el número natural que se le puede obtener como producto de números primos.
Descomponer un número en factores es ponerlo como producto de factores primos.-
Para descomponer en factores un número lo dividimos por el primer número primo que podamos.
- El cociente que haya resultado lo colocamos bajo el número. - Si podemos seguimos dividiendo sucesivamente ese cociente por el mismo número primo.
- Cuando no podamos hacer la divisiónpor ese número primo lo hacemos por el siguiente primo que se pueda.
- Así sucesivamente hasta que el cociente final sea 1. - Finalmente ponemos ese número como un producto de
potencias de factores primos. 144=24.32
El mínimo común múltiplo de varios números es el número más pequeño que es múltiplo de todos esos números, sin considerar el 0.
Obtención del mínimo común múltiplo
8
El máximo común divisor de varios números es el número más grande que es divisor de todos esos números.
Obtención del máximo común divisor
Para obtener el máximo común divisor de varios números los descomponemos en factores primos, y multiplicamos solamente los factores comunes elevados al exponente menor.
Continuando con el ejemplo anterior
Criterios de divisibilidad
Para saber si un número es divisible por algún otro número utilizamos los llamados criterios de divisibilidad. Son estos:
• Divisibilidad por 2: un número es divisible por dos si termina en cero o en cifra par. • Divisibilidad por 3: un número es divisible por tres, si la suma de sus cifras es
múltiplo de tres.
• Divisibilidad por 4: las dos últimas cifras tienen que ser dos ceros o un número múltiplo de 4.
• Divisibilidad por 5: un número es divisible por cinco cuando acaba en cero o en cinco. • Divisibilidad por 6: tiene que ser divisible por 2 y por 3.
• Divisibilidad por 9: un número es divisible por nueve cuando la suma de sus cifras es múltiplo de nueve.
• Divisibilidad por 10: tiene que terminar en cero. de manera similar, si termina en 00 es divisible por 100; si termina en 000 es divisible por 1000.
• Divisibilidad por 11: un número es divisible por once cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupa la posición par y la suma de las cifras que ocupan la posición impar son múltiplo de once.
Ejercicios
1) Descomponer en factores primos los números siguientes: 1. 48
2. 120 3. 196 4. 240 5. 225 6. 360
7. 405 8. 420 9. 840 10. 210 11. 144 . 12. 720
13. 1260 . 14. 1430 . 15. 2000 . 16. 2835 17. 2400 18. 5000
2)Obtener 5 múltiplos cualesquiera de los números siguientes: a) 4 .
b) 6 . c) 8 .
d)10 e)12 f) 25
g)100 h)125 i) 240
3)Completa los huecos con la palabra múltiplo o divisor:
9 4) a) Busca un múltiplo de 26 comprendido entre 300 y 350.
b) Busca todos los múltiplos de 15 comprendidos entre 151 y 200.
5)Hallar el m.c.m. de los números siguientes: a)36 : 14 ; 18 .-
b)56 ; 40 ; 24 .- c) 8 ; 32 ; 26 ; 4 .- d)8 ; 15 ; 84 .-
e) 9,12 ; 21 f) 12 ; 40 ; 36 g) 35 ; 21 14 . h)27 ; 9 ; 18 ; 4 .
i) 12 ; 8 ; 6 . j) 20 ; 15 45 .- k) 35, 125, 28 l) 32, 40, 100
6)Hallar el m.c.d. de los números siguientes:
a) 72, 108 y 60 b) 50, 300, 150 c) 24, 72,48
d) 30, 150,180 e)35, 70, 140 f)72, 900, 180
g) 56, 112 y 84 h) 8, 12, 4 y 20 i) 20, 30, 40, 50 y 60
7)Calcula:
a) M.C.D. (72, 108) b) M.C.D. (270, 234) c) m.c.m. (72, 108) d) m.c.m. (270, 234)
e) M.C.D. (560, 588 f) M.C.D. (210, 315, 420) g) m.c.m. (560, 588) h) m.c.m. (210, 315, 420)
Problemas de aplicación de múltiplos y divisores
1. Para saber si un año es bisiesto se comprueba si es múltiplo de 4 (¿te acuerdas de su regla de divisibilidad?). Esto no se cumple para aquellos años que terminan en dos ceros (00) si, al suprimirlos, el número que quede no es múltiplo de 4. Por ejemplo, el año 1700 no es bisiesto porque si le quitamos los ceros queda 17, que no es múltiplo de 4.. Sabiendo esto, razona si serían bisiestos los años siguientes: 1324 ; 1658 : 1800 ; 1936 ; 2000 3500 ; 3600 ; 4328.
2. A un alumno le dan las notas cada 6 días. Razona si se las darían en los días del curso siguiente: 18 ; 36 ; 47 ; 54 y 68.
3. Cada 6 días tomamos melocotón de postre y cada 8 días spaghettis. Razonar si en los siguientes días de funcionamiento de comedor coinciden ambas cosas: 16; 24; 32; 48; 54; 64 y 72.
4. Los alumnos de un Colegio no sobrepasan los 2200 y se pueden agrupar de 15 en 15, de 20 en 20, de 25 en 25 y de 35 en 35. ¿Cuántos alumnos hay?.
5. En un pueblo hay tres iglesias cuyas campanas tocan cada 15 minutos, cada 20 minutos y cada 35 minutos. Suponiendo que en este instante han coincidido tocando las tres a la vez, ¿cuándo volverán a coincidir?.
6. Una señora tiene tres ahijados que van a verla, uno cada 4 días; otro, cada 6 y otro, cada 8. Hoy han coincidido en la visita los tres. ¿Cuándo volverán a coincidir?.
7. Un enfermo tiene que tomarse una pastilla cada 4 horas, un jarabe cada 6 horas y han de ponerle una inyección cada 8 horas. En este instante han coincidido las tres. ¿Cuándo volverán a hacerlo?
8. A la entrada de un puerto hay tres faros: El A luce cada 20 minutos, el B cada 30 minutos y el C cada 25 minutos. A las 6 de la tarde se encienden los tres a la vez. ¿Cuándo
10 9. En una carretera hay indicadores de distancia cada 20 metros, postes de telégrafos cada
12 metros y señales de tráfico de una clase u otra cada 504 metros. Hemos pasado un punto en donde coinciden los tres. ¿A cuántos metros se producirán las siguientes tres coincidencias?
10. Nos encontramos en un puerto del que han salido tres buques de pasajeros que siguen las líneas A, B y C. El A sale cada 6 días, el B cada 8 y el C cada 9. ¿Cuándo tendremos que volver para ver partir otra vez a los tres?
11. En un rascacielos de 160 pisos hay tres tipos de ascensores: el A, que sólo para en los pisos 3, 6, 9, 12, ...; el B, que para de 4 en 4 pisos; y el C, que para en los múltiplos de 6. Se desea saber: a) ¿Cuál es el piso más bajo donde coinciden los tres ascensores?.- b) ¿Coincidirán en el piso 84?.- c) ¿Cuál es el piso más alto en el que coinciden?.- d) ¿Cuáles son los ascensores que coinciden en el piso 36?.- e) El ascensor A y C, ¿coinciden
siempre?. ¿Por qué?.- f) Donde para el C, ¿para el A?. ¿Por qué?.
12. ¿Cuál es el menor número de caramelos que hay en una bolsa si se pueden
amontonar de 4 en 4, de 6 en 6 y de 15 en 15, sin que sobre ninguno en cualquier caso?.
13. Una madre, para la fiesta de la Piñata de Reyes de sus hijos ha comprado para repartir 20 mata- suegras, 40 globos, 30 silbatos y 10 caretas. ¿Cuántos hijos tiene y cuántos de estos utensilios entra en cada bolsa?.
14. Se tienen 324 chicles de limón, 252 de menta y 648 de fresa. ¿Cuántos paquetes pueden hacer- se?.¿Cuántos chicles de cada clase entran en cada paquete?.
15. Una editorial fabrica sobres de cromos decidiendo meter en cada uno de los tipos A, B, C. Habiendo editado 72.000 cromos del tipo A; 108.000 cromos del tipo B y 180.000 del tipo C, ¿cuántos sobres puede obtener y cuántos cromos mete en cada sobre?.
16. Tenemos 110 bolas de color rojo, 88 amarillas, 132 verdes y 66 azules. Deseamos hacer paquetes de ellas, de tal forma que entren el mismo número de cada una. ¿Cuántos paquetes haremos y cuántas bolas de cada clase entran en cada paquete?.
17. Se disponen de 54 barras de turrón de la clase A, 36 de la clase B y 90 de la clase C que van a formar parte de cestas de Navidad. ¿Cuántas cestas hay y cuántas barras de cada clase se van a poner en cada cesta?.
18. Se van a confeccionar cajas de botellas de vino con las 208 botellas de la marca A, las 312 de la marca B y las 468 de la marca C. ¿Cuántas cajas van a confeccionarse y cuántas botellas de cada clase entran en cada caja?.
19. Andrés va a celebrar su cumpleaños y desea hacer bolsas-sorpresas para sus amigos. Para ello dispone de 156 caramelos; de 84 chocolatinas y 72 chicles; y quiere que, en cada bolsa, entre el mismo número de golosinas. ¿Cuántas bolsas puede hacer y cuántas golosinas de cada clase entrarán en cada bolsa?.
20. En un Colegio se quieren hacer paquetes de regalos de lectura disponiéndose de 45 libros, 90 cuentos y 60 tebeos. ¿Para cuántos chicos pueden hacerse paquetes, si todos ellos tienen que llevar el mismo número de elementos de lectura?.¿Cuántos de ellos entran en cada lote?
11 22. Una confitería fabrica paquetes de merienda de bollos suizos, torteles y bizcochos.
Elabora 84 suizos, 56 torteles y 168 bizcochos. ¿Cuántas bolsas pueden hacer y cuántos bollos de cada clase entran en cada bolsa?.
23. Un muchacho dispone de 180 sellos de España, 120 de Francia y 96 de Gran Bretaña. Decide repartirlos en sobres de regalos para sus compañeros de clase. ¿A cuántos compañeros les va a regalar los sellos y cuántos de éstos entran en cada sobre?.
24. Ana viene a la biblioteca del instituto, abierta todos los días, incluso festivos, cada 4 días y Juan, cada 6 días. Si han coincidido hoy. ¿Dentro de cuántos días vuelven a coincidir?
25. María y Jorge tienen 30 bolas blancas, 27 azules y 42 rojas y quieren hacer el mayor número posible de hileras iguales. ¿Cuántas hileras pueden hacer?
26. Un ebanista quiere cortar una plancha de 10 dm de largo y 6 de ancho, en cuadrados lo más grandes posibles y cuyo lado sea un número entero de decímetros. ¿Cuál debe ser la longitud del lado?
27. La alarma de un reloj suena cada 9 minutos, otro cada 21 minutos. Si acaban de coincidir los tres dando la señal. ¿Cuánto tiempo pasará para que los tres vuelvan a coincidir?
28. En una peluquería se utilizan 3 tipos de champú. Disponen de 1500 cm3 para cabello graso, 1750 cm3 para cabello seca y 2500 cm3 para cabello normal. Se quieren envasar en frascos de la mayor capacidad posible y todos de igual capacidad. ¿Cuántos cm3 medirá el frasco?
29. Un reloj suena cada 10 minutos y otro cada 25. ¿Cada cuánto tiempo sonarán los 2 a la vez?
30. Los autobuses de la línea 26 pasan por una parada cada 9 minutos, y los de la línea 33 cada 12 minutos. Si acaban de salir ambos de la parada, ¿cuánto tardarán en coincidir otros 2 autobuses?
31. 3 barcos realizan sus recorridos entre las islas Canarias en 6, 9 y 12 días,
respectivamente. El día de la Candelaria coincidieron en el puerto de la Luz. ¿Cuándo volverán a coincidir en ese puerto?
32. Una pajarería quiere enviar 18 loros y 24 periquitos en jaulas iguales, sin mezclarlos, de modo que en todas quepa el mismo nº de animales. ¿Cuántos animales deben ir en cada jaula si su nº es el mayor posible?
33. Un autobús de la línea A pasa por cierta parada cada 9 minutos y el de la línea B cada 12 minutos. Si acaban de salir ambos a la vez, ¿cuánto tardarán en volver a coincidir?.
34. Un pastelero utiliza 20 vasos de harina en la receta de las magdalenas y 30 vasos en la receta de los bollos suizos, pero resulta demasiado laborioso medir la harina vaso a vaso, por lo que decide usar un recipiente mayor. ¿Cuál debe ser la capacidad, en vasos, del mayor recipiente posible para que le sirva para medir la harina en ambas recetas?
35. Cinco timbres tocan simultáneamente y volverán a tocar cada 6, 7, 8, 9 y 10 segundos, respectivamente. Si coinciden a las 11 de la mañana. ¿A qué hora volverán a coincidir?
12
3º Números enteros
Los números enteros son un conjunto de números que incluye a
los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0.
- El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...},
La recta numérica
Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este
número se le llama el valor absoluto:
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales «| |».
El opuesto de un número entero a, es el mismo números pero con el signo cambiado
Ejemplos: opuesto de 2 =−2 y opuesto de−5=5
Ejercicios
1. Calcula el valor absoluto de los siguientes números enteros:
a) 15
b) 153
c) 1
d) 200
e) 16
f) 25
2. Calcula el opuesto de los siguientes números enteros:
a) 18
b) 25
c) 37
d) 96
e) 135
f) 49
Regla de los signos
(+) × (+)=(+)Más por más igual a más.
(+) × (−)=(−)Más por menos igual a menos.
(−) × (+)=(−)Menos por más igual a menos.
13 3. Para los siguientes números enteros: 8,6,0,, 5,12, 7,10,8:
a) Calcula el valor absoluto de cada uno de ellos. b) Calcula el opuesto de cada uno de ellos. c) Ordénalos de menor a mayor.
4. Realiza las siguientes multiplicaciones de números enteros:
a) 18 5
b) 14 6
c) 6 85
d) 2 8
e) 3 4 5
f) 40 3 10
g) 5 5 5
5. Realiza las siguientes divisiones de números enteros:
a) 72: 6
b) 70: 14
c) 77:11
d) 294: 7
e) 375: 15
f) 432:6
g) 504: 42
6. Aplica la propiedad distributiva y resuelve:
a) 3 5 6 9
b) 5 1 7 2
c) 4 6 2 5 1 6 8
d) 7 6 10 2 3 1 5
7. Sacar factor común en las siguientes expresiones y resolver:
a) 8 5 8 6 9 8 8
b) 3 3 3 8 3 6 3 3 10
c) 77 56 35 28
d) 5 8 25 7 5 100
e) 2 3 2 5 30 10 9
8. Realiza las siguientes operaciones combinadas de números enteros:
1) 3 - { 2 - 3 - [ - 2 + (1 + 3)] - 3} =
2) 2 - 4 - (- 2 - 3) - {2 - [- 2 - ( - 2 + 3)] - 1} + 2 =
3) 5 4 3 9 18 25
4) 10 25 7 15 23 7
5) 12 15 50 25 10 9 7
6) 12 17 5 19 57 10 19
7) 7 8 5 8 2 3 5 4 12 : 3
8) 11 9 6 16: 7 3 4 2 9
9) 4 34:2 9 3 8 72:6 54:6
10) 1 6 4 4 8:2 9:3
11) 32 27 10 35: 5
12) 5 4 2 8 3 15 4
13) 8 5 2 88: 7 4 2 7 4
14) 12: 2 4 8 10: 7 2 7 9 3
14
16) 5 4 :2 5 10 2 : 5
17) 10 15 : 3 4 7:7 4 5
18) 2 15: 5 3 7 4 13 18 : 3
19) 8 4 15: 5 4 6
20) 6 5 3 4 : 4 5 8
21) 16: 4 3 5 6 3
22) 8: 2 32:4 12 :2 3 2 7 4
23) 2 4 5 5 27: 3 6 14: 7
24) 5 2 12:3 18: 15 21 8 90: 10
25) 6 2 7 14: 9 2 57 35 : 33 5 7
26) 25 3 66:11 81:9 32: 9 1 7 7
27) 72:8 60:12 10 15:3 25 15 2
28) 3 4 5 32: 8 3 4 6 3
29) 32 50 5 9 7 3 52 22 2 .
30) 52 25 9 2 34 8 1 10 23
31) 12 1 3 7 3 22 1 32 2
32) 3 4 52 32 3 1 4 5 20 22
9. Operaciones con potencias:
1. ( 2 + 3 )2 – 22 + 32 =
2. 33 – 32 + ( 4 – 3 )2 =
3. 32 + 32 : 30 – 33 =
4. 4 + 3 · 22 – (3 – 5)3 =
5. 5 – (32 + 4 · 3) =
6. 3 + 2 · (6 – 23 : 4) =
7. 7 + 3 · [5 + (6 -8)3] =
8. 2. 3 + 3 · 22 – (2 – 5)2 =
9. 4 – (32 + 5 · 7) =
10.-8 + 2 · (2 – 23 : 4) =
11.6 + 3 · [4 + (3 -5)3] =
12.( 5 + 6 )2 – 52 + 62 =
13.42 – 32 + ( 4 – 3 )2 + 16=
14.20 + 42 : 40 – 23 =
15.10 – 33 + 03- (- 4)2 =
16.72- (- 7)2 + 31 – 13 =
17.3 + 3 · 22 – (2 – 5)2 =
18.4 – (32 + 5 · 7) =
19.( 2 + 3 )2 – 22 + 32 =
20.33 – 32 + ( 4 – 3 )2 =
21.32 + 32 : 30 – 33 =
22.-8 + 2 · (2 – 23 : 4) =
23.6 + 3 · [4 + (3 -5)3] =
24.(- 4)2 + (- 4)3- 42 -(- 4)
25.8 + 4 · (- 2) + 4 : 2 - 2 =
26.16 - 5 · 9 + 4 · (-2)2=
27.4 – 33 + (-1)3 · [(4– 32) – 32]=
28.-33 + 2 · [3 – 2 · (-5 + 2 · 42)] =
29.(3 – 4 – 2)2 + (7 - 4 – 2)3 + (-1)15- (- 2)4 =
30.(- 10)1 + (- 1)3 - (- 2)2 + (- 3)4 =
31.[(- 2)2·(- 2)3 ]2 - (- 5 + 9 -8)3 + 50 =
15
4º Potencias
El producto a × a × a × a × a × a × a tiene sus siete factores iguales. Este producto se puede indicar de forma abreviada como a7.
_ a7se llama potencia, y al factor a, base.
_ El número de veces que se repite el factor se llama exponente.
La potencia x2 se llama cuadrado, y la potencia x3, cubo. Las siguientes se llaman
cuarta, quinta, sexta ….y, en general, enésima potencia.
La potencia an, (n > 1), es el producto de n factores iguales a la base:
an= a × a × a ×…..× a (n veces)
Propiedades de las potencias
El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente la suma de los exponentes.
am× an= am+n
El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente la diferencia de los exponentes.
am: an= am-n
El producto de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el producto de las bases y por exponente el mismo.
am⋅bm= (a ⋅b)m
El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el cociente de las bases y por exponente el mismo.
am : bm = (a : b) m
La potencia de una potencia es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente el producto de los exponentes.
(an) m = an.m
Las potencias de exponente negativo: se definen
n n
a
16
Ejercicios
1)Realiza las siguientes operaciones dando el resultado en forma de potencia
1. 33 · 34 · 3 =
2. 57 : 53 =
3. (53)4 =
4. (5 · 2 · 3)4
5. (34)4 =
6. [(53)4 ]2 =
7. (82)3
8. (93)2
9. 25 · 24 · 2 =
10.27 : 26 =
11.(22)4 =
12.(4 · 2 · 3)4 =
13.(25)4 =
14.[(23 )4]0=
15.(272)5=
16.(43)2 =
17.(45 · 43)4 : 42 =
18.(25)2 · (22)3 =
19.(-55)3 : (53)3 =
20.(65 : 62) · (- 6)2 =
21.(- 3)2· (- 3)4 · (- 3)7 =
22.(- 7)3 · 74· ( 72)5 =
23.[(- 3)4]2: (- 3)4 =
24.[(- 49 : 72)3]5 =
25.( - 23 )5 · (25 : 22)=
26.( 710 · 75 ) : (-7)3· 70 =
27.-(86 : 84 )2·(- 8)2 =
28.58 : (53 · 52)=
29.(-6)2 · (-6)3 =
30.( 33 )5 ·(32)4=
31.43· 40 · (-4)2 =
32.26 : (-2)4 · 23 =
33.[(- 36 : 6)3]5 =
34.(25 : 22) · (- 2)2.23=
2)Operar:
a) 22.22.25.2.24
b) a3.a4.a.a5.a3
c) x4.x2.x.x3.x7.x2
d) m4.m.m.m7.m3.
e) x3·x5·x· y4·y3·x·y2
f) x4.x3.y2.y2.y4.x3.x2.x5
g) 22·a3·a · b2·b4·23 =
h) 38
a a
i) 52
x x
j) 4232 8
. 2 . . 2 b b a
k) 24 2
l) 6 3
2
m) a4 3
n) 2 25
. . b a b a
o) x3 2
p) 4 2 2 5 3 3 . x x x q) 4 3 2 3 8 2 4 5 . . . a b b a a r) 3 2 3 2 2 4 7 5 4 6 2 3 2 . . 3 . . 3 . 2 b a b a s) 4 4 3 2 6 4 8 2 4 3 3 7 4 6 3 5 . . . . . . . y x y x x x y y x y x t) 3 4 5 2 3 6 4 3 5 2 8 12 3 7 9 . . . . . . . b c a b c b c b a u) 2 5 4 3 3 6 2 4 3 4 5 3 6 3 5 7 2 3 6 4 4 n m m n m n m m n n n m = v) 4 2 2 5 3 3 . x x x
3) Realizar las siguientes operaciones con potencias:
1)(−2)2 · (−2)3 · (−2)4 =
2)(−8) · (−2)2 · (−2)0 (−2) =
3) (−2)−2 · (−2)3 · (−2)4 =
4) 2−2 · 2−3 · 24 =
5) 22 : 23 =
6) 2−2 : 23 =
7) 22 : 2−3 =
8) 2−2 : 2−3 = 2
9)[(−2)− 2] 3 · (−2)3 · (−2)4 =
17 4) Realizar las siguientes operaciones con potencias:
1) (−3)1 · (−3)3 · (−3)4 =
2) (−27) · (−3) · (−3)2 · (−3)0=
3) (−3)2 · (−3)3 · (−3)−4 =
4) 3−2 · 3−4 · 34 =
5) 52 : 53 =
6) 5−2 : 53 =
7) 5 2 : 5 −3 =
8) 5−2 : 5−3 =
9) (−3)1 · [(−3)3]2 · (−3)−4 =
10) [(−3)6 : (−3)3] 3 · (−3)0 · (−3)−4
5) Efectúa las siguientes operaciones con potencias dando el resultado en forma de producto o cociente de potencias de base un número primo y exponente positivo:
a) 2 3 2 5 3 3 5 3 2 5 2
3 b) 23 3 52 22 3 5
c) 3 3 3 3 6 5 4
7 d) 72 23 52 2 52
e) 5
3 3 4 21 3 21 7
3 f) 4 5
3 g) 3 a2 3
h) 3 5 2 2 3 7 2 3
i) 3 3 2 2
a 3 3
a j)
3 5 4 4 3 3 2
6) Efectúa las siguientes operaciones con potencias dando el resultado en forma de potencia de base y exponentes los que creas más adecuados en cada caso:
a) 3 2 3 4
4 b) 53 5 2 2 c) 7 4 2
d) 4 3 1
2 , 4 2 ,
4 e) 7 3 7 5 2 f) 93 3
g) 2 3 2
9
9 h)
3
3
1 i) 2 3
9
j) 2 4 2 9
27 k) 2 4
9 l) 2 3
27
m) 2 3 2
4
8 n) 92 35 2 o) 163 83 4
p) 2 2 3
9
27 q) 32 35 2 r) 5,15 5,17 3
s) 3 5 3 5
5 t) 3,2 4 3,2 3 1 u) 73 7 4 2
v) 3 7 2
9
9 w) 9 106 3 104
7) Efectúa las siguientes operaciones dando el resultado como una sola potencia:
a) 3 5 7
2 2
2 b) 4 5 4 6 44 3 c)32 34 35
d) 11 3 2
2
2 e) 42 83 2 f) 8 2 4 3 3
g) 3 3 4
4
2 h) 16 3 2 83 4 i) 52 252 3
j) 2 4 4
27
18 8) Opera y expresa el resultado en forma de potencia
1. 5 4 2
4 3 : . . a a a a a
. 4 2 4 5 3 2
:a a a a a a 2. 2 3 4 2 3 3 2 3 ) ) (( ) ( b a ab b a
. 4 2 3
3 4 2 b b a a b a
3. 6 5 3 2 4
4 1 3 5 2 3 2 3 ) ( ) ( ) ( b a b a b a b a b a - 4.-a a a a a a . . . 3 2 5 5 . 4 3 2 4 . a a a
5.- 3 2 3 2 4 6
4 3 3 2 ) ) (( ) ( b a b a b a b a 6.- a . a a . a a 1 a . a 3 3 4 3 4
7.- 2 3 3 2 : . a a a a a a 8.- 4 2 3 5 3 4 2 ) ( . . . a a a a a a
9.- 2
2 2 3 4 2 1 4 2 3 4 2 1 ) ( ) ( ) ( xy y x y x y x y x 10 5 3 2 3 4 2 3 1 3 27 3 3 1 81 ) ) (( ) (
11.- 4 2 3 3
2 3 4 2 a b b a b a b a
.a3b 3(a 3b3)2(a4b2)2 12.- 3 2 3 ) 2 ( 2 1 . 1024
13.- (8)3 2 4 3 ) 2 ( 4 1 .
128
14.-3 2 4 2 3 2 2 1 ) ) (( b a a b
a 15.- 3
4 2 3 2 3 4 3 2 3 2 1 ) ) (( ) ( ) ( ab a b a b a b a 16. 3 4 4 4 3 3 1 2 64 2 a a a
a ( )
- 17.- 3
5 2 4 4 3 4 1 ) 2 ( ) ( 64 32 a a a a
18.- 32.(2)3a4.(a3)264.(a3) 4
19.-2 2 4 2 5 ) 3 .( ) a ( a
81 .27 9 1
20.- .81.(27) 3
1 ) ) 3
(( -3
5 3 2
21.- 4 2 2
5 2 3 2 2 2 ) y x ( x y x ) y x (
22.- 2 3
2 ) 125 ( 5 5 1
625 23.- 5 1
3 ) 625 ( 5 25 1
125 24.- 3 2 3 5
4 2 1 4 2 3 4 2 y y x y x y x y x ) ( ) ( ) (
25.- 4 2 2
3 2 2 2 ) ( ) ( b a b b a
26.- 5 6 2 4 3
2 2 4 6 4 4 3 2 ) ( ) ( ) ( b a b a b a b a b a
27.- 3 2 2
19
5º Raíces
Calculo de una raíz cuadrada
1º Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las cifras en grupos de dos empezando por la derecha.
2ºCalculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de cifras por la izquierda.
¿Qué número elevado al cuadrado da 8?
8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos: 4 y 9, entonces tomaremos la raíz del cuadrada del cuadrado perfecto por defecto: 2, y lo colocamos en la casilla correspondiente.
3ºEl cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer grupo de cifras que aparecen en el radicando.
El cuadrado de 2 es 4. se lo restamos a 8 y obtenemos 4.
4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando, separando del número formado la primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el duplo de la raíz anterior.
Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492. 49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.
5 El cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo de la raíz, multiplicando el número formado por él, y restándolo a la cantidad operable del radicando.
Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando, habríamos probado por 8, por 7... hasta encontrar un valor inferior.
6 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.
20 7º Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores.
Como 5301 > 5125, probamos por 8.
Subimos el 8 a la raíz
8º Prueba. Para que el resultado sea correcto, se tiene que cumplir:
Radicando= (Raíz entera)2 + Resto89 225 = 2982 + 421
Ejercicios
21 2ºEfectua y halla la raíz cuadrada
3º Halla la raíz cuadrada y el resto de:
4º Completa
5º Calcular las siguientes raíces cuadradas.
6 º Calcular las siguientes raíces cuadradas enteras:
7º Calcular :
22 9º Calcula las siguientes raíces sacando un decimal
a)
b)
c)
d)
e)
f)
10º ¿Qué número multiplicado por sí mismo más 42 es igual a 1.267?
11º La suma de los cuadrados de dos números es 954. Uno de ellos es 15. ¿Cuál es el otro? 12º Hallar las siguientes raíces cuadradas de números decimales
a)
b)
c)
d)
e)
f)
13ºDos hermanos tienen dos cajas llenas de minerales. En total tienen 1753minerales. Si las cajas son cuadradas y una de ellas tiene 27 minerales en cada lado, ¿cuántos minerales hay en cada lado de la otra caja?
14ºQueremos cercar con una valla que cuesta 15,5 € el metro, un terreno cuadrado que mide 2.916 m2 de superficie. ¿Cuánto nos costará la valla?
15ºDisponemos de 9 cajas de plantas con 484 plantas cada una para plantarlas en un terreno de forma cuadrada. ¿Cuántas plantas podremos colocar en cada lado?
16ºUn albañil utilizó 4.900 baldosas cuadradas de 20 cm. de lado para cubrir una habitación cuadrada. ¿Cuántos m. mide el lado de la habitación?
23 18º Piensa un número, lo multiplicas por sí mismo y al resultado le restas 21. Si obtienes
1.500, ¿qué número has pensado?
19º Marca aquellos números que sean cuadrados perfectos:
125 529 216 638 441 242 10.000 731 313
382 784 404 297 1.024 900 812 576 5.625
20º Un alumno ha extraído la raíz cuadrada a un nº y ha obtenido como raíz 53 y como resto 107. ¿Está bien hecha la operación? ¿Por qué?
21º. - Al cuadrado de un número le sumamos 216 unidades y hemos obtenido 1.240 ¿Con qué número hemos operado?
22º . - Al cuadrado de un número le restamos 143 unidades y hemos obtenido 1.378¿Con qué número hemos operado?
23º . - Hemos multiplicado el cuadrado de un número por 17 y hemos obtenido 80.937¿Cuál es ese número?
24º . - Hemos dividido por 3 el cuadrado de cierto número y hemos obtenido 3.072¿Cuál era ese número?
25º ¿Cuál será el lado de cada pieza de un puzzle si con las 225 piezas iguales que lo componen se forma un dibujo de 1.089 cm2. de superficie.?
26º¿Cuántas tomates había a cada lado de una caja cuadrada, si después de quitar 111
27º Calcula las siguientes raíces cuadradas con dos decimales
a)
b)
c)
d)
e)
f)
28º Hemos dividido por 3 el cuadrado de cierto número y hemos obtenido 3.072¿Cuál era ese número?
29º ¿Es posible que la raíz de 65.565 sea 255 y el resto 540 ¿Por qué?
30º . - Halla el número por el que debes cambiar la letra "a" para que la raíz cuadrada del número 12.32a sea exacta
24
Definición de raíz n-ésima de un número real
Llamamos raíz n-ésima de un número real a, a otro número real b que, elevado a la potencia n, nos da como resultado el radicando.
n a b bn a
81 3) ( pues 3 81 32 2 pues 2 32 :
Ejemplos 5 5 4 4
En la siguiente raíz los elementos que la componen reciben el nombre de
Todas las operaciones en las que aparece el signo radical se llaman operaciones con radicales o
simplemente radicales
Los radicales son homogéneos si tienen el mismo índice. 5 5 5 2x , yz , x Ejemplo
Los radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando. 5 5 5 x 3 , x 5 , x Ejemplo
Los radicales de índice par y radicando positivo tienen dos soluciones, una positiva y otra negativa. :416 2
Ej
Los radicales de índice par y radicando negativo no tienen solución real. noexiste
Ej 4 16 :
Los radicales de índice impar tienen una solución, del mismo signo que el radicando. 2
8 :3
Ej
OPERACIONES CON RADICALES:
1) Para calcular de radicales exactos realizamos la división del exponente del radicando entre el índice. Ejemplo :3 29x6 22x2
2) Para extraer factores de un radical realizamos la división del exponente del radicando entre el índice. El cociente es el exponente del factor que extraemos de la raíz y el resto es el exponente del factor que se queda en el radicando. Sólo se pueden extraer los factores que tienen un exponente mayor o igual que el índice. 3 7 3 2 2 3 2
2y x 2 y x 2 : Ejemplo
3) Para introducir un factor dentro de un radical, basta elevar ese factor a un exponente igual al índice del radical. 23 3 3 6
y x 4 y . 4x : Ejemplo
25 En el caso de que los radicales no sean semejantes, hay que intentar transformarlos en otros equivalentes que sí lo sean (sacando factores o racionalizando) En el caso que no se pueda, la operación se deja indicada.
Ejemplos:
8 8 8 ) 5 3 ( 8 5 8 3
5 3 5 ) 3 2 2 ( 5 3 5 2 5 2 5 . 3 5 2 5 . 2 45 5 2
20 2 2
bc a) (a bc 2a) a (a bc 2a bc a bc
a 2 2 2
26 4.
27 6.
1.- 2+7 2-11 2+ 2
2.- 5-3 5+4 5- 5
3.- 33 7+73 7-33 7+83 7
4.- 4 5 4- 2 1 5
4+35 4
5.- 2 1
3+ 3
6.- 4 5 -3 1
5+ 2 3
5
7.- 2 7 3 28 63 2 175
8.- 18 + 50 - 2
-9.- 50a - 18a+2
10.- 75 +2 27 +4 12-3 3 175 2 63 28 3 7 2
11.
12.- 2 5 18 200 3 98
13.- 3· 8 2· 18 32 5· 50
14.- 108 2· 48 27 3 147
15.- 3 48-4 27+5 75 +6 3
16.- 32+4 50 -3 98-7 128
17.- 108 2· 48 27 3 147
18.-3 2 -3316 +53 250
19.- 3 5 435 33 625
20.- 3 7 23 56 43 2401
21.- 3 432 316 3 250 3 54
22.- 245+4 180 3 45 3
2
8
a 2
28
6º Fracciones
Se llama número RACIONAL a todo aquel que puede ser expresado como una fracción. Es decir, incluye los números
b a
, en los cuales a y b son enteros, y b es
distinto de cero.
2 4 2
2 1 5 , 0
3 15 5
1 3 3
5 7 1,4
9 0 0
− El conjunto de los números racionales está formado por el conjunto de los números enteros y los números fraccionarios, y se representa con una Q. − Los números racionales pueden expresarse mediante una fracción, es decir
como el cociente de dos números enteros (con denominador distinto de cero).
− Así, las fracciones positivas o negativas son números racionales, pues representan cocientes de números enteros.
− Las expresiones decimales, positivas o negativas, que pueden pasarse a fracciones son también números racionales.
− Los números enteros son también números racionales, pues pueden ser expresados como fracciones de denominador igual a 1.
29
Ejercicios
1. Calcula las fracciones siguientes:
1) 3 7 3 11 4 2) 8 1 4 1 2 1 3) 6 48 7 4 3 4) 16 1 8 1 4 1 2 1 5) 8 1 4 1 2 1 8 5 4 3 16 2 4 3 6) 6 48 7 4 3 2 3 3 7) 15 6 3 2 · 5 3 8 9 8) 9 4 3 ) 5 ( · 2 7 5 ) 3 ( 9) 2 1 · 5 3 25 2 4 10 · 4 5 10) 8 1 : 15 3 · 9 16 : 25 2 · 4 10 : 4 5 11) 9 4 3 ) 5 ( · 2 7 5 ) 3 ( 12) 4 5 12 7 3 ) 4 ( 13) 4 5 12 ) 7 ( : 3 ) 4 ( 14) 18 7 : 2 1 4 9 · 8 15 12 1 15) 7 3 : 4 3 3 1 4 5 : 5 4 3 2 : 5 3 16) 9 5 6 2 3 7 17) 3 1 6 3 6 4 18) 4 1 2 1 : 4 3 19) 10 3 : 2 1 5 3 20) 5 12 . 3 1 2 1 1 21) · 12 5 2 1 3 5 · 8 3 22) 3 5 : 2 5 · 6 35 = 23) 3 5 : 4 5 · 6 15 24) 7 12 2 2 2 3 25) 9 1 3 1 8 5 2 1 26) 10 3 5 2 6 3 3 1 27) 4 1 3 2 1 2 5 28) 3 2 5 3 8 3 2 1 : 8 7 29) 10 2 3 1 5 2 6 4 6 3 30) 4 10 2 5 3 1 31) 9 5 : 2 3 · 6 15
32) :3
30 39) 4 1 3 1 · 2 1 4 3 3 1 1 40) 20 3 3 2 2 1 4 3 1 3 1 5 3 41) 3 7 3 10 4 6 3 3 2 6 1 3 2 42) 6 1 3 2 3 4 : 4 1 6 5 2 7 3 2
2. Realiza las siguientes potencias de fracciones
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. Opera 1) 2) 3 3 3 5 . 5 2 3) 2 2 7 9 : 7 4 4) 4 – 3 5 3 . 5 2 5) 2 5 64 9 : 4 3 6) 3 7 125 49 : 5 7 7) 2 3 2 – 3 – 27 4 3 2 8) 5 2 25 36 3 2 : 16 3 9) 2 3 : 2 1 3) .( 9 8 1 3 2 10) 2 2 4 3 2 5 : 5 2 4
11) :10
5 4 1 . 2 1 2 1 1 12) 49 25 ) 7 ( 21 10 5 6 3 7 1 2 13) 1 5 1 3 5 5 3 ) 1 ( ) 3 ( : 9 4 14) 16 25 2 1 ) 2 ( 4
1 1 2
31
1º 2
3 5 2º 2 1 4 3 3º 2 3 4 4º 3 2 3 1 . 4 5º 15 2 1 . 5 6º 2 3 . 4 6 7º 4 5 2 1 3 8º 16 3 4 3 . 7 9º 2 1 1 5 10º 16 4 1 1 11º 10 3 1 5 3 1 12º 5 3 4 1 4 3 5. 1 13º 6 1 1 4 3 3 14º 2 2 3 8 3
6 15º
5 2 6 1 5 3 3 2 16º 6 1 2 1 6. 8 3 3 2 . 5 17º 5 2 3. 2 1 5 1 4. 2 1
18º 2
3 2 1 1
19º 3
2 1
3 1 1
20º 3
1 2 1 3 1 2 1
21º 6
1 3
2 1 1
22º 30
23 30 1 5 2 3 1 23º 5 1 2 4 1 3 2 3 2 1 4 24º 10 1000 1 100 1 10 1 25º 5 7 . 7 2 2 1 5 3 . 6 5 4 3
26º 5
7 . 14 1 10 1 2 1 2 9 4 . 2 3 4 1 8 7 27º 3 2 5 13 1 3 ). 24 7 8 1 5 3 (
28º 2
1 1 : 6 12 5 ). 5 4 . 3 1 1 : 9 (
29º 3
1 1 5 1 1 7 6 4 3 2
30º 3
4 1 2 8 4 1 3 3 4 2 2 1 7 1
31º 10
1 4 5 1 2 2 1 1 3 1 1 32º 11 2 3 7 5 2 1 1 3 3 7 7 3 21 9 8
33º 2
1 2
1 1
34º 2
32
35 º 3
1 2 1 1 1 4 36º 2 1 1 1 1 1 3 1 2
37º 6
1 5 1 4 1 3 1 2 MÁS CASTILLOS 1) 2 1 1 ) 2 ( 3 2 2) 7 4 : 2 11 3 8 4 9 , 6 7 3) 2 1 1 1 3 8 4) 6 5 3 25 2 5) 6 7 : 3 5 9 8 · 4 3 6) 7 6 9 2 4 11 3 8 7) 8 3 1 4 1
8) 2
1 1 ) 1 ( 5 2 9)
10) 2
33
Problemas de aplicación de fracciones
1. En un cine hay 56 personas, de las que
7 4
son chicas. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas
hay?
2. Un compuesto químico está formado por
5 2
de agua,
5 1
de edulcorante y el resto por
una composición de distintos elementos. ¿Qué cantidad de cada elemento hay en 10 gramos de dicho compuesto químico?
3. Ana ha comprado, con
8
1 del dinero que llevaba, un ordenador que costaba 1600 euros.
Posteriormente entró en una tienda de rebajas y se gastó
3 2
del dinero que le quedaba.
¿Cuánto dinero llevaba?¿Cuánto dinero se gastó en la segunda compra?
4. Un señor toma en un bar, de Lunes a Viernes, las fracciones de tortilla que se indican en la tabla adjunta. Se desea saber:
a. ¿Cuántas tortillas enteras y qué fracción de ella se ha comido entre todos los días?
b. ¿Cuánto ha sobrado de la última tortilla?
5.Unos amigos se toman en un bar, de
Lunes a Viernes, las fracciones de empanada que se indican en la tabla adjunta. Se desea saber:
1º) ¿Cuántas empanadas enteras y qué fracción de ella se han comido en esos días?
2º) ¿Cuánto ha sobrado
6.Se necesitan hacer dos bocadillos para cada uno
de los 123 alumnos de un Colegio: de tortilla y de chocolate. Sabiendo que la barra de pan se divide en tres partes iguales, la tortilla en 7 partes iguales y la tableta en 8 partes iguales (pastilla), se desea saber:
a) La cantidad de pan que se va a gastar (barra y fracción de ella), las barras de pan que han de comprarse y la fracción de barra que sobra.-
b) Idem. para las tortillas.- c) Idem. para el chocolate.
(Para resolverlo, te ayudamos con el siguiente cuadro, que irás rellenando).
DÍA divide en partes La tortilla se se come el señor Partes que
Lunes 8 5
Martes 4 3
Miércoles 6 7
Jueves 4 1
Viernes 3 2
DÍA La empanada se divide en partes
Partes que se comen
los amigos
Lunes 12 5
Martes 7 3
Miércoles 8 3
Jueves 9 4
34
Artículo Fracción Operaciones
Se comen Compra
r Sobra
Enteras Fracción
Pan
Tortilla
Chocolate
7. El plato de postre para los alumnos de un Colegio consiste en sandía, melón y piña, en el mismo plato. Cada una de las primeras se divide en 8 partes iguales, el melón en 9 partes iguales y la piña en 11 partes iguales. Teniendo en cuenta que el número de alumnos que va a entrar en el comedor son 257, se desea saber:
a) La cantidad de sandía (entera y fracción de ella) que se va a comer, las que hay que comprar y la fracción que sobra.-
b) Idem. para el melón.- c) Idem. para la piña.
8. En la comida de Navidad se le da a cada uno de los 157 alumnos de un turno, 2 trozos de turrón blando, 1 de turrón duro, 3 del de fruta y 4 caramelos de una caja de 36. Las barras de turrón se dividen según la tabla adjunta.
1º) ¿Qué cantidad entera y fraccionaria de cada barra y caja de caramelos se v a consumir?.-
2º)¿Cuánto hay que comprar de cada clase de dulce?.- 3º) ¿Cuánto sobra de cada uno?.
9. Una madre organiza la fiesta de cumpleaños de su hijo a la
que asisten 37 niños en total. Para la misma tiene previsto dar dos clases de tarta: de chocolate y de yema. La primera la dividirá en 8 partes iguales; y la de yema en 7 partes iguales. Se pide:
1º) ¿Qué cantidad, entera y fraccionaria, de cada clase de tarta se va a consumir?.- 2º) ¿Cuántas tartas debe comprar de cada clase
3º) ¿Cuánto sobra?.
4º) ¿Podrían comer el padre y la madre una ración de cada tarta?.
10.Un filántropo dona 6.915 € a un asilo de ancianos, cantidad que van a utilizar para equipar 22 habitaciones. Los 2/3 lo van a destinar a la compra de camas; el 20 % para colchones y el resto para ropa de cama. Se desea saber el precio de cada artículo y lo que ha sobrado en cada caso, sabiendo que ha costado un número entero de euros
TURRÓN DIVIDIDAE N PARTES
BLANDO
DURO
FRUTA
7
6
35 11.Un cabeza de familia calcula que de los 35.000 € que va a ingresar en el año venidero,
va a destinar los 2/5 a vivienda; los 3/8 a comer y vestir; el 15 % a otros gastos y el resto lo ahorra. ¿Qué cantidad va a emplear en cada caso?.
12.Los 26 alumnos de la clase de 1º de E.S.O. piensan organizar una fiesta a final de curso e invitar a los compañeros de otros cursos. Deciden poner cada uno 20 €. Los 3/8 del total que recojan piensan destinarlos a la compra de refrescos (que cuestan cada uno ¾ de €); la 4ª parte para helados (7/9 de € la unidad); 120 € para bolsas de aperitivos (4/5 de € /bolsa) y el resto lo piensan gastar para adornos para la fiesta. ¿Cuánto han comprado de cada artículo y cuánto van a destinar para adorno?.
13.Entre 13 amigos deciden montar un club aportando de salida, cada uno, 90 €. El 50 % lo destinan a la compra de CD’s (a 4 € cada uno) ; el 20 % a la de cassettes (a 5/2 de € cada uno); 1/9 a la compra de un reproductor y el resto para instalación. ¿Qué cantidad han destinado para cada cosa y cuántos CD’s y cassettes han comprado de cada clase?.
14.Un kiosco de periódicos ha gastado 54.000 € en existencias de la siguiente forma: 7/27 en las llamadas revistas del corazón (a 3 € cada una) ; los 5/8 en periódicos corrientes (a ¾ de € el periódico); 1/9 en revistas culturales (a 7/2 de € cada una) y el resto en calendarios(a 4 € el calendario). Se desea saber la cantidad destinada a cada partida, el número de periódicos, revistas de cada clase y calendarios comprados y el dinero sobrante en cada caso.
15.En unos depósitos hay 84 millones de litros de petróleo de los que se obtienen los 2/7 en gasolina de 87 octanos, que se va a vender a 4/5 de € el litro; 1/3 da lugar a gas-oil, que se va a vender a 5/7 de € el litro; y 3/8 da lugar a gasolinas especiales que se va a vender a ¾ de € el litro. El resto se pierde en las transformaciones por diversas causas. Se desea saber los litros que se lleva cada partida (también las pérdidas) y el dinero que se recoge.
16.Un señor reparte 216.000 € entre sus hijos de la siguiente forma: los 2/9 a Juan, los 7/18 a Luis; el 25 % a Andrés; y el resto a José. Juan piensa gastar las 3/4 partes de lo que reciba en un coche, y ahorrar el resto. Luis, los 4/7 de su dinero en un balandro, los 2/7 para viajes, y el resto lo ahorra. Andrés destina los 5/6 en la compra de un piso y el resto en amueblarlo. José los 5/8 de su parte los piensa dedicar en la mejora de una pequeña finca que posee, y el resto a la compra de un tractor. Se desea saber la cantidad que le corresponde a cada uno y el dinero destinado a cada partida.
17.Una señora va con su coche a hacer la compra de la semana a un hipermercado
adquiriendo 3 + 3/4 kg. de pescado, 4 + 3/5 kg de verdura, 9 + 2/3 kg de fruta, además de otras cosas que pesan 12 + 5/6 kg. ¿Cuánto carga en el coche?. (Dar la respuesta en kg exactos y en fracción de kg.).
36 19.Tengo que llevar en la cesta de mi bicicleta 3+ 5/6 kg de carne y 2 + 1/3 kg de pescado.
¿Con cuánto tengo que cargar?. ¿Cuánto pesa de más la carne?.
20.Para preparar el examen final un alumno dedica a una cierta asignatura tres días de repaso. El primero estudia 1/3 de la asignatura ; el segundo, 1/4 y el tercero, 3/8. ¿Le queda algo por estudiar?. En caso afirmativo, ¿cuánto?.
21.Me he gastado en tres días sucesivos 1/3, 1/6 y 4/9 de mi dinero. ¿Qué fracción me queda?. ¿Cuánto he gastado y cuánto me queda si tenía 360 € ?.
22.Javier ganó un premio de $4800 y utilizó ese dinero de la siguiente forma: 2/5 para refaccionar su casa, 1/3 para realizar un viaje y el resto lo guardó en la caja de ahorro del banco. ¿Cuánto dinero destinó en cada caso?¿qué parte del dinero guardó en el banco?
23.Del total de turistas que ingresó en una ciudad, la tercera parte son argentinos, y el resto, extranjeros. De éstos, la cuarta parte proviene de Europa y el resto, de distintos países de América. Escriban la fracción del total que representan los turistas europeos y los americanos no argentinos.
24.Las 2/3 partes de una tubería de agua de 150m de largo se encuentran en mal estado. ¿Qué longitud de tubería debe comprarse para sustituir la parte dañada?
25.Juan tiene $180, su hermano Pedro ¼ del dinero de Juan y su hermana Mercedes 1/3 del dinero de Pedro. ¿Cuánto tienen entre los tres?
26.Debemos hacer un recorrido de 800km, las ¾ partes del mismo las haremos en avión y el resto en automóvil. ¿Qué distancia recorremos en cada medio de transporte?
27.Una muchacha tiene pagado $700 de su equipo de sonido, lo que representa las 4/5 partes del precio total del mismo. ¿Cuánto costó el equipo?
28.Un ganadero propuso en un mercado la venta de 500 reses; un comprador adquirió 2/5 partes de las mismas y otro ¼ del total. ¿Cuántas reses le quedaron?
29.Un trabajador tiene pagado $12000 por una vivienda cuyo precio total es de $40000. ¿Qué parte de la misma es suya?
30.Una fábrica con una plantilla de 1500 trabajadores ha dejado afuera a 300. ¿En cuánto se ha reducido la plantilla?
31.Un vendedor de autos vende en $3550 un auto que le había costado $2200. Determine que parte del precio de compra resultan los beneficios.
32.La semana pasada he leído 1/7 de un libro. A lo largo de esta semana he podido leer 4/5 del resto. En total he leído 87 páginas del libro. ¿Cuántas páginas en total tiene el libro?
37 34.Está previsto destinar 3/14 de una finca a plazas de aparcamiento. Pero se han
destinado ¾ de lo previsto a zonas ajardinadas. ¿Qué fracción de la finca se ha destinado finalmente a zonas de aparcamiento?
35.De un depósito de cereales se han extraído los 8/10 Al día siguiente se extrae 1/4 del resto. ¿Qué fracción del total se ha extraído del depósito?
36.La semana pasada he leído1/3 de un libro. A lo largo de esta semana he podido leer 6/7 del resto. En total he leído 38 páginas del libro. ¿Cuántas páginas en total tiene el libro?
37.De un depósito de cereales se han extraído los 9/11. Al día siguiente se extrae 1/9 del resto. ¿Qué fracción del total se ha extraído del depósito?
38. En un bosque hay 1500 árboles1/3 son robles, 1/15 son castaños, 250 encinas y el resto son hayas. Calcula la fracción de encinas y hayas en el bosque.
39.En una concentración juvenil hay 150 chicos/as. Los 3/5 del total son chicas. De los chicos, la tercera parte son mayores de 16 años y las chicas mayores de 16 años supone los 2/3 del total de las chicas. Calcula:
- El número de chicos mayores de 16 años. - El número de chicas mayores de 16 años. - La fracción de chicos/as mayores de 16 años
40.Los 2/7 de los alumnos de 3º ESO van al teatro, los 3/5 del resto van al museo de ciencias, quedando en las aulas 32 alumnos. ¿Cuántos alumnos de 3º ESO tiene el instituto?
41.De un solar se vendieron los 2/3 de su superficie, y después, los 2/3 de lo que quedaba. El Ayuntamiento expropió los 3 200 m2 restantes para un parque público. ¿Cuál era su
38
7º Números decimales
7.1 Números decimales
Consta de dos partes: entera y decimal.Cifras decimales
Redondeo de decimales
Para redondear números decimales tenemos que fijarnos en la unidad
decimal posterior a la que queremos redondear. Si la unidad decimal es mayor o igual que 5, aumentamos en una unidad la unidad decimal anterior; en caso contrario, la dejamos como está
Ejemplo
2.36105 2.4 Redondeo hasta las décimas. 2.36105 2.36 Redondeo hasta las centésimas. 2.36105 2.361 Redondeo hasta las milésimas . 2.36105 2.3611 Redondeo hasta las diezmilésimas.
Truncar decimales
Para truncar un número decimal hasta un orden determinado se ponen las cifras anteriores a ese orden inclusive, eliminando las demás.
Ejemplo
39 Ejercicios
1. Leer los siguientes números decimales:
1) 98’327
2) 43’002
3) 0’0013
4) 18’107
5) 234’2
6) 762’18
7) 98’732
8) 0’0012
9) 37’003
10) 193’6
11) 47’325
12) 0’0048
13) 23’185
14) 0’001
15) 20’00042
16) 175’205
17) 4863’004
18) 9’125
19) 8’1702
20) 106’372.-
2. Escribir los siguientes números:
1) Trescientas veintitrés unidades, cuarenta y dos milésimas .
2) Ochenta y tres diez milésimas .
3) Un millón veintitrés mil unidades, seis cien milésimas.
4) Setecientos tres unidades, una centésima .
5) Tres mil doscientas trece unidades, seis centésimas.
6) tres unidades dos mil cuarenta y nueve millonésimas
7) Doscientas veintitrés unidades, catorce diez milésimas
8) Un millón mil uno unidades, mil uno millonésimas.
9) Cuarenta y seis mil doscientas ocho millonésimas .
10) Siete unidades trescientas veinte mil cinco diez millonésimas.
11) Ocho unidades, ciento catorce cien milésimas.-
3. Escribe mediante truncamiento una aproximación de cada uno de los siguientes decimales por las centésimas, por las décimas y por las unidades.
4. Escribe mediante redondeo una aproximación de cada uno de los siguientes decimales a las centésimas, a las décimas y a las unidades.
Decimal 2'3458 85'5758 855'93 0'1005
Aproximación a las centésimas
Aproximación a las décimas
Aproximación a las unidades
Decimal 2'3458 85'5758 0'008 855'93 0'1005
Aproximación a las centésimas
Aproximación a las décimas
40 5. Redondea la parte decimal como se indica:
a. 15.52 al número entero más próximo b. 7.15 al número entero más próximo c. 4.54 aproximando a las décimas d. 3.566 aproximando a las centésimas e. 34.536 aproximando a la decena
f. 4458 aproximando a la centena g. 8889.4 aproximando al millar h. 78208.45 aproximando a la unidad
de millar
Recuerda: Para multiplicar dos números decimales se procede igual que con los números naturales y al final se coloca la coma contando las cifras decimales que tienen los dos números que hemos multiplicado.
Si multiplicas por 10, 100, 1000, … sólo hay que desplazar la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros hayan;
Si divides por 10, 100, 100, … igual pero hacia la izquierda.
6. Obtener el resultado de las operaciones siguientes:
1) 472 : 10.000
2) 54’16 x 1.000
3) 0’0023 x 100
4) 9107’8 : 1.000
5) 0’004 : 10
6) 0’0018 x 100
7) 603’28 x 1.000
8) 1004’36 : 1.000.000
9) 329’3 x 100.000 .-
10) 0’067 : 1.000
11) 7854 x 100
12) 597’23 x 1.000.000.000
13) 4’1002 x 1.000.-
14) 0’00092 x 10.000
15) 5832’7 : 10.000 .
16) 148’004 x 100.000
17) 2’3 : 10.000
18) 107’89 : 1.000
7. Operar :
1)32’57 x 3.000 .
2)0’0032 x 1.700
3) 9371’16 x 2.000 .
4)85’93 x 18.000 .
5)0’2 x 20
6) 6’108 x 2.300 .
7) 1’0069 x 95.000 .
8) 600’02 x 456.000 .
9) 0’0001 x 19.000 .-
10) 93’409 x 10.500 .-
11) 3792 x 10.600 .
12) 4001’8 x 20’200 .-
13) 0’00183 x 290.000 .-
14) 0,2344x 0,002
15) 2042:0,002
8. Realizar las operaciones siguientes :
1) 32’475 + 18’26 + 0’0004 + 63 + 1’003 =
2) 97’38 + 2’356 + 7’483 + 123 + 0’17 = .-
3) 48’312 + 983’12 + 2’003 + 1’8 + 6’004 = .
4) 42’001 + 32’18 + 487’3 + 23’8 + 12 = .-
5) 40’325 + 205’19 + 48’007 + 3’27 + 2’008 =
6) 96’0007 + 383’64 + 165’02 + 1’0003 =
7) 91873’368 – 487’3602 =
8) 23 – 0’004 =
9) 528’37 – 149’2
10) 187’2 – 6’002 = .-
11) 91004’369 – 8742’2 =
12) 1002’69 – 73’008 =
13) 83’107 – 65’32 = .-
14) 9183’2 + 18’73 – 18’6 + 2’3 =
15) 3’4092 – 47’307 + 1002’3 – 17 + 6’8 =
16) 734’69 – 986’2 – 235 + 87’1 – 65’002 =
17) 193’385 – 2837’69 – 18’193 – 9’1 =
18) 65’237 + 473’9 – 48’7 + 14 + 32’28 =
19) 2847’32 + 1469’002 + 34’645 – 83’5 =
20) 38’37 x 29’485 =
21) 25’481 x 0’0006 =
22) 834’102 x 2’0004 =
23) 2’63 x 43’15 =
24) 193’004 x 0’1008 =
25) 36483 x 38’76 =
26) 100’385 x 4’37 =
27) 256’328 x 0’007
28) 108’297 x 19’23 =
29) 45’658 x 78’302 =
30) 23’645 x 48’003
31) 6’457 x 127’12 =
41 33) 4376’89 : 234’56 =
34) 0’000456 : 0’000027 =
35) 4569 : 4’3982 =
36) 239’583 : 7494 =
37) 764003’9 : 295’0004 =
38) 32’7 : 0’0006
39) 7’8743 : 0’0742 =
40) 846’759 : 639’4003 =
41) 0’07295 : 275 =
42) 36’7 : 0’00025
43) 97’00375 : 385’75003 =
44) 95’047 : 897’4 =
45) 96800’04 : 846’75 = .-
9. Calcula las siguientes operaciones a) 37,6 + 25,39 + 2
b) (3,75 +2,83) · 4,7 c)d) (9,27 + 28,001) · 3 (34,87+0,24) – (1,21+5,06)
10. Roberto mide 1,66 m ; Macarena 0,28 m más, y Miguel, 0,23 m menos que Macarena. ¿Cuánto mide Miguel?
11. David ha comprado 15 sellos por 0,21 euros cada uno y un paquete de postales por 1,5 euros. ¿Cuánto dinero se gastó en la compra?
12. Juan salió de comprar con 18,75€. Esta cantidad era insuficiente para la comprar que debía realizar así que decidió ir al cajero y sacar 35€ más. En el supermercado se gastó 21,48€ y en la gasolinera 15€. ¿Sabrías decir cuánto dinero le debe quedar en la cartera?
13.Hemos comprado 300 gramos de jamón. Si el precio del kilo es de 3,25 €, ¿Cuánto hemos pagado?
14.Un CD tiene un precio de 19,80 €. Si nos hacen un descuento de 3,25 € por cada CD que compramos, ¿Cuánto hemos pagado por 6 CD’s?
15.Marta quiere hacerse un vestido y necesita 3,5 m de tela que cuesta 5,75 € el metro. La modista le cobra 32,75 € por hacérselo, ¿cuál será el precio total del vestido?
16.Luis compra tres sobres a 0,38€ cada uno y tres tarjetas a 0,52 € cada una. Si paga con un billete de 10 €, ¿cuánto le devuelven?
17.Dos muñecos cuestan 88,40 €. ¿Cuánto vale cada uno?
18.Un almacenista compra 1 200 litros de refresco y lo envasa en botellas de 1,5 litros. ¿Cuántas botellas llenará?
19.Para la fiesta de fin de curso, los 28 alumnos de una clase compraron 30 litros de refresco a 1,2 € el litro, 12,5 kg de patatas fritas a 5,7 € el kilo y adornos para la clase por 8,5 €. ¿Cuánto tuvo que pagar cada uno?
20. Silvia ha comprado cinco cuadernos y tres bolígrafos. Cada bolígrafo cuesta 0,35 euros y el precio de un cuaderno es cuatro veces el de un bolígrafo. ¿Cuánto se gastó en la compra?
21.Dados los números decimales: a = 35,49 b= 67,50 y c= 15,75, calcula: a) c – a
