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Derivadas de funciones reales de variable real Derivadas de funciones reales de variable real: Teoremas básicos. Derivadas de orden superior. Máximos y mínimos. Puntos extremos. Aplicaciones de máximos y mínimos. Gráfica de funciones. Derivación implícit

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(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN

Enrique Guzmán y Valle

Alma Máter del Magisterio Nacional

FACULTAD DE CIENCIAS

Escuela Profesional de Matemática e Informática

MONOGRAFÍA

DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Derivadas de funciones reales de variable real: Teoremas Básicos. Derivadas de

Orden Superior. Máximos y Mínimos. Puntos Extremos. Aplicaciones de

máximos y mínimos. Gráfica de funciones. Derivación implícita. Regla de

L’Hospital. Diferenciales.

Examen de Suficiencia Profesional Res. N° 0687-2018-D-FAC

Presentada por:

Luis Antonio CHOQUECAHUA GUEVARA

Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación

Especialidad: Matemática e informática

Lima, Perú

(2)
(3)

Dedicatoria:

(4)

Contenido

Portada i

Designación de jurado ii

Dedicatoria iii

Contenido iv

Lista de figuras viii

Introducción x

Capítulo I Derivadas de funciones reales de variable real 1. La Derivada 12

1.1. Reseña histórica. 12

1.2. Definición. 13

1.3. Interpretación geométrica de la derivada. 16

1.4. Rectas tangentes. 17

1.4.1. Definición. 17

1.5. Derivadas laterales. 20

(5)

Capítulo II

Teoremas básicos

2.1. Derivada de una constante. 24

2.2. Derivada de la identidad. 25

2.3. Derivada de la potencia. 25

2.4. Derivada de la suma o diferencia. 26

2.5. Derivada de un producto. 27

2.6. Derivada de un cociente. 29

2.7. Derivadas de las funciones trigonométricas. 30

2.8. La derivada de una función compuesta. 31

Capítulo III Derivadas de orden superior 3.1. Definición. 35

3.2. Reglas de las derivadas de orden superior. 35

Capítulo IV Máximos y mínimos de una función y puntos extremos 4.1. Máximos y mínimos absolutos. 38

4.2. Definición de mínimo absoluto. 38

4.3. Definición de punto extremo. 38

4.4. Extremos de una función. 40

4.5. Teorema del valor extremo. 41

4.6. Punto crítico. 41

(6)

4.8. Teorema del Valor medio. 44

4.8.1. Teorema de Rolle. 45

4.8.2. Teorema de Lagrange. 46

4.8.3. Función constante. 48

4.8.4. Teorema de la diferencia constante. 49

4.9. Funciones monótonas y concavidad. 49

4.9.1. Definición. 49

4.9.2. Teorema criterio de la monotonía. 50

4.9.3. Concavidad. 52

4.9.4. Teorema criterio de concavidad. 53

4.10. Puntos de inflexión. 54

4.10.1. Definición. 54

4.10.2. Método para hallar los puntos de inflexión. 55

Capítulo V Máximos y mininos relativos 5.1. Definición. 58

5.2. Teorema del punto crítico para extremos locales. 58

5.3. Teorema de la primera derivada para extremos locales. 59

5.4. Estrategia para hallar los extremos relativos. 61

5.5. Teorema de la segunda derivada para extremos locales. 62

5.6. Aplicaciones de máximos y mínimos. 63

5.7. Ejercicios Múltiples. 65

(7)

Capítulo VII

Derivación implícita

7.1 Regla de L’ Hospital. 88

7.1.1 Cálculo del límite cuando termina de la forma:0 0 𝑦 ∞ ∞ 88

7.1.2. Otras formas indeterminadas. 88

Capítulo VIII Diferenciales 8.1. Definición. 91

8.2. Fórmulas para diferenciales. 91

8.3. Diferenciales visto como una aproximación 92

8.4. Diferenciales de orden superior 93

Aplicación didáctica. 95

Ficha de trabajo para el estudiante. 102

Ejercicios de práctica. 104

Ficha de Metacognición. 105

Síntesis. 107

Apreciación crítica y sugerencias. 108

Referencias. 111

Páginas web. 112

(8)

Lista de figuras

Figura 1. Interpretación geométrica de la derivada. 17

Figura 2. Rectas tangentes. 18

Figura 3. Ecuación de la recta tangente. 19

Figura 4. Recta tangente buscada. 20

Figura 5. Recta tangente no vertical. 23

Figura 6. Recta tangente no vertical con derivadas laterales diferentes. 23

Figura 7. Casos particulares en problemas de derivación. 26

Figura 8. Derivación de funciones compuestas. 32

Figura 9. Máximos y mínimos de una función y puntos extremos. 39

Figura 10. Función continua. 40

Figura 11. Extremos de una función. 41

Figura 12. Valores extremos. 44

Figura13. Teorema de Rolle. 45

Figura 14. Teorema: valor medio de Lagrange. 47

Figura 15. Signo en cada intervalo. 51

Figura 16. Representación. 51

Figura 17. Concavidad. 52

Figura 18. Interpretación. 53

Figura 19. Representación de la función. 54

Figura 20. Método para hallar los puntos de una inflexión. 55

Figura 21. Punto de inflexión. 56

Figura 22. Máximos y mínimos relativos. 57

Figura 23. Máximo local. 60

Figura 24. Mínimo local. 60

(9)

Figura 26. Signo de la derivada en los intervalos. 61

Figura 27. Primer criterio de derivada. 62

Figura 28. Criterio de segunda derivada. 63

Figura 29. Ejercicio de geometría. 66

Figura 30. Rectángulo de área máxima. 67

Figura 31. Extremos soldados. 67

Figura 32. Función cuadrática con dominio restringido. 68

Figura 33. Ejercicio cálculo. 68

Figura 34. Figura de solución. 69

Figura 35. Signo de la derivada primera. 70

Figura 36. Bosquejo de la gráfica de la función. 70

Figura37. Aserrado de listón. 71

Figura 38. Presentación gráfica del ejercicio. 71

Figura 39. Ejercicio de costo de producción. 73

Figura 40. Representación gráfica para la solución. 73

Figura 41. Figura para verificar los signos. 74

Figura 42. Ejercicio costo de alambrado. 75

Figura 43. Representación gráfica para la solución. 75

Figura 44. Representación para hallar puntos críticos. 76

Figura 45. Ejercicio de superficie de siembra. 77

Figura 46. Vértice de la parábola representativa. 80

Figura 47. Máximo relativo y mínimo relativo. 84

Figura 48. Esta figura también nos dice que (2, f (2)) = (2,2) es punto de inflexión. 84

Figura 49. Esbozo de esta gráfica. 85

(10)

Introducción

La presente monografía titulada: Derivadas de funciones reales de variable real, tiene como propósito recoger y analizar la literatura sobre el tema; asimismo, permite que el docente y estudiantes aprenda a investigar sobre un determinado tema y revise la bibliografía pertinente.

Mediante el estudio del concepto fundamental del cálculo diferencial nos adentraremos y conoceremos de un cociente especial, para posteriormente definir lo que es derivada y sus diferentes usos ,que incluso están inmersos en diferentes problemáticas hoy en día, sin embargo, en los albores del concepto de la derivada tuvo varios inconvenientes y hubo una selección adecuada de las ideas para luego concluir en un tema nuevo con propiedades y aplicaciones en nuestros días conforme al desarrollo de la ciencia del ser humano.

Muchas de las aplicaciones de este tema de la Derivada se utilizan en los llamados problemas de optimización. En los cuales solo tenemos que encontrar el máximo o mínimo de una función, por lo cual el alumno o docente debe de comprender el tema de la derivación en funciones y ser capaz de relacionarlo con nuestra actividad humana y otras ramas de la ciencia, como la física, biología, química, Ingeniería, agricultura, economía, industria, etc.

Haré mención sobre el tema de límites cuando llegamos a una indeterminación, en la presente investigación se resolverá por la regla de L’Hospital, si bien esta regla no resuelve todos los límites indeterminados, resuelve la mayoría de una forma sencilla y práctica. También, conoceremos el tema de diferenciales y presentaremos algunos ejemplos.

(11)

este trabajo solo una propuesta, en lo que concierne a la parte didáctica, la presentación de una sesión de aprendizaje y su respectiva evaluación.

(12)

Capítulo I

Derivadas de funciones reales de variable real

1. La Derivada.

1.1. Reseña histórica

El origen incipiente de la derivada estuvo en la época de los griegos, en la cuales no tuvieron, la atención debida, puesto que no encontraron la sistematización de resolución hasta los siglos posteriores y fueron utilizadas por Isaac Newton y Leibniz.

La derivada tiene sus inicios en dos concepciones geométricas las cuales se mencionan a continuación:

 El problema de la tangente a una curva de A. de Perge.

 El teorema de los extremos: máximos y mínimos de P. de Fermat.

Es a partir de estos conocimientos se dio inicio al cálculo diferencial que conocemos hasta nuestros días. Los matemáticos se aventuraron al estudio de los infinitos: Así tenemos a dos eminentes personajes Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri que utilizaron por primera vez, iniciando un camino que lo llevaría a descubrir el Cálculo Infinitesimal.

(13)

punto de desarrollo que antes no se podía imaginar y hasta nuestros tiempos perdura y seguirá siendo la base de los futuros matemáticos y los apasionados a esta ciencia tan hermosa.

Lo que conlleva a la síntesis de los conceptos llamados “derivadas” e integrales”. Por lo cual se desarrolló las reglas de la derivación y se mostró que estos dos conceptos son inversos lo que se convirtió en el teorema fundamental del cálculo.

Newton presentó su propia forma de calcular las tangentes y años posteriores encontró un algoritmo para la derivación de funciones algebraicas, Creando el concepto de “Fluxión” para desligarse de los infinitesimales.

Leibniz (1675) descubrió e inicio el desarrollo del cálculo diferencial. Sus publicaciones tienen los mismos resultados que Sir Isaac Newton: En este aspecto Leibniz mantuvo un carácter más geométrico creando lo que hoy conocemos como cociente incremental. Leibniz fue el personaje que invento varios símbolos matemáticos. A este Gran matemático se le debe los nombres de Calculo diferencial y calculo Integral, así como sus símbolos.

1.2. Definición

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. (a, t (a)) es.

m=𝒙→𝒂𝒍𝒊𝒎 𝒕(𝒙)−𝒕(𝒂)𝒙−𝒂

Por lo tanto, si: x-a = h ⇒ x = a+h x→a ⇒x-a → 0 ⇒ h→0

m = 𝑡(𝑎+ℎ)−𝑡(𝑎)

ℎ ℎ→0𝑙𝑖𝑚

La derivada de una función t(x) en x=a representada por t´(a) es:

𝑡´(𝑎) = 𝑡(𝑎 + ℎ) − 𝑡(𝑎)

(14)

Siempre y cuando el límite existe, si el límite existe, se dice que t(x) es derivada en x=a.

En forma equivalente.

𝒕´(𝒂) = 𝒕(𝒙) − 𝒕(𝒂)

𝒙 − 𝒂

𝒙→𝒂𝒍𝒊𝒎

La función derivada

Tenemos la función real de variable real y= t(x), si x∈ 𝐷𝑡,

Entonces la expresión de derivada de la función t(x) con respecto a x la definiremos por la siguiente representación que se muestra a continuación:

𝒕´(𝒙) = 𝒕(𝒙 + 𝒉) − 𝒕(𝒙)

𝒉

𝒉→𝟎𝒍𝒊𝒎

Siempre y cuando el límite exista. El proceso de calcular una derivada se llama “diferenciación” o derivación.

Ej. 1. Encontrar la derivada de la función t(x) = 𝑥3 para una x cualquiera

Solución:

Se tiene:

t’(𝑥) = lím

ℎ→ 0

𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥)

ℎ = límℎ→ 0

𝑡 (𝑥+ℎ)3−𝑥3

ℎ = límℎ→ 0

𝑥3+3𝑥2ℎ+ 3𝑥ℎ2 +ℎ3−𝑥3 ℎ

= lím

ℎ→ 0

ℎ(3𝑥2ℎ+ 3𝑥ℎ+ℎ2)

ℎ = límℎ→ 0 3𝑥

2ℎ + 3𝑥ℎ + ℎ2 = 3𝑥2

Ej. 2. Calcular la derivada de la función t(x) = 1

𝑥 para una x cualquiera (x≠0)

Solución: Se tiene:

t’(𝑥) = lím

ℎ→ 0

𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥)

ℎ = límℎ→ 0

1 𝑥+ℎ−

1 𝑥

ℎ = límℎ→ 0

𝑥−(𝑥+ℎ)

(15)

lím

ℎ→ 0 −1 (𝑥+ℎ) = -

1 𝑥2

Observación:

Si a una derivada de una función t(x) se desea calcular en un punto x = x₀, simplemente se reemplazará x en x₀ es decir:

𝑡´(𝑥0) = lím∆𝑥→ 0

𝑡(𝑥₀ + ℎ) − 𝑡(𝑥₀) ℎ

Ej. 3. Calcular t´(-1) si t(x) = 8 - 2𝑥2 ó es equivalentemente decir hallar la

derivada de la función en el punto x = -1.

Solución:

se tiene que: t´ (-1) = lím

ℎ→ 0

𝑡(−1+ℎ)−𝑡(−1) ℎ

= t´(-1) lím

ℎ→ 0

𝑡(8−2(−1+ℎ)3)−(8−2(−13))

= lím

ℎ→ 0− 2ℎ

2+ 6ℎ − 6 = −6

Nota:

Si t es la función que tiene dependencia de la variable independiente x entonces esta derivada lo representaremos así:

y = t(x) ⇒ y´ = t ´(x) = 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝑑𝑦𝑑𝑥 =𝐷𝑥𝑡

La notación que más se usa es 𝑑𝑦

𝑑𝑥 (notación de Leibniz) y se lee: la derivada de “y” con

respecto a “x”.

(16)

Observación 1:

Si x= x₀ + ∆𝑥 ⇒ ∆𝑥 = ℎ entonces h = x - x₀ y cuando x→x₀ se tiene que h→0. Por lo tanto, la definición de derivada es:

lim

∆𝑥→ 0

𝑡(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑡(𝑥) ∆𝑥

Observación 2:

La función real de variable real y= t(x) es derivable en un punto llamémosle x = x₀ si existe su derivada en dicho punto es decir en el punto x = x₀, es decir, si t´(x₀) existe.

Además, la función t es diferenciable en un intervalo [ a, b] si la función t es diferenciable en cada uno de los puntos del intervalo [ a, b].

Ej.1.Mostrar que la función t definida por t(x) =

Diferenciable o derivable en el punto x = 0.

Solución:

Para que la función t sea derivable en x = 0, debe haber o existir t´ (0), en efecto

t’(0) = lim

ℎ→ 0

𝑡(0+ℎ)−𝑡(0)

ℎ = limℎ→ 0

𝑡(ℎ)−𝑡(0)

ℎ = limℎ→ 0

ℎ32 cos(1)

ℎ = limℎ→ 0 √ℎ cos ( 1 ℎ) = 0

Luego ∃ t ´ (0) = 0 ⇒t(x) es diferenciable en x = 0

Ej. 2.

Mostrar que dicha función t definida por t(x) = 𝑥2 3 , 𝑥 ∈ 𝑅, no es diferenciable en x = 0.

𝑥2 3 cos (1

𝑥 ) ; x > 0

(17)

Resolución:

Para que la función t no sea derivable en x = 0, comprobaremos que ∄ t´(0),es decir

t´(0)= lim

ℎ→ 0

𝑡(𝑜+ℎ)−𝑡(0)

ℎ = limℎ→ 0

𝑡(ℎ)−𝑡(0)

ℎ = limℎ→ 0 ℎ23

ℎ = limℎ→ 0 1 ℎ13 Por lo tanto, t ´ (0) no existe ⇒ t no es diferenciable en x = 0.

1.3. Interpretación geométrica de la derivada

Consideremos la curva C: una función y = t(x) además un punto fijo P₀(x₀ ,y₀) de esta curva , sea 𝐿𝑠

La recta secante que atraviesa por A y por el punto B ∈ C La inclinación de la recta secante que pasa por los puntos A y B.

t(x) ∝

∝ 𝜃

0 x x + h

Figura 1. Interpretación geométrica de la derivada.

𝑚𝐿𝑠 = 𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥)

Observamos que al acercarse B al dicho punto A a través de la curva C nos recuerda a la memoria el concepto de límite, en consecuencia, en algún momento la recta secante

coincidirá con la recta tangente, o sea, tg ∝ =tg𝜃, en términos de límites tenemos que:

(18)

𝑚𝐿𝑡 = 𝑡´(𝑥) = límℎ→0 𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥)

1.4. Rectas tangentes

Dando respaldo a la definición, el problema geométrico de la recta tangente, nos sirvió de motivación para introducir al tema de la derivada, ahora nos toca dar a conocer un poco más de este tema.

1.4.1. Definición

Sea t diferenciable en nuestro punto a.

a. La recta tangente a este gráfico de la función t(x) en el punto A = (a, t(a)) es la recta que cruza o atraviesa A y tiene una inclinación m = t ´(a), es la recta:

y - t(a) = t ´(a)(x-a)

b. La recta normal a este gráfico de la función t(x) en el punto A = (a,t(a)) es la recta que atraviesa A y tiene un ángulo de noventa grados a la recta tangente en A; por consiguiente la recta se expresa por la siguiente expresión:

y – t(a) = - 𝑡´(𝑎)1 (x-a), y t ´(a) ≠ 0

Y

a X

Figura 2. Rectas tangentes.

Ej.1

Hallar la ecuación de una recta que es tangente al grafico de una función t(x) = 1

𝑥−2 en el

punto de Abscisa 𝑥0 .

(a , t(a)) = A

(19)

Solución:

El punto de la gráfica de la función t(x) = 𝑥−21 correspondiente a 𝑥0 = 3, tiene por ordenada

t(3) = 3−21 = 1. El punto de tangencia es entonces p = (3,1). La pendiente de la recta tangente a la gráfica de t(x) = 𝑥−21 en p la obtenemos con el límite:

lim

ℎ→ 0

𝑡(𝑥0+ℎ)−𝑡(𝑥0)

ℎ .

Las cuentas se ven como: 𝑚𝑡 = lim

ℎ→ 0

𝑡(𝑥0+ℎ)−𝑡(𝑥0)

ℎ = limℎ→ 0

𝑡(3+ℎ)−𝑡(3)

ℎ = limℎ→ 0

1 3+ℎ−2 − 1

ℎ = limℎ→ 0

1 ℎ+1 − 1

= lim

ℎ→ 0

1−(ℎ+1)

ℎ(ℎ+1) = limℎ→ 0 −ℎ

ℎ(ℎ+1) = limℎ→ 0 −1

(ℎ+1) = −1

La ecuación buscada de la recta tangente es: Y – 1 = (-1) (x-3) O bien:

y = - x + 4 Y

4

0 X

Figura 3. Ecuación de la recta tangente.

Ej. 2 Tenemos la función q(x) = 1𝑥 resolvemos :

a. La recta tangente en el gráfico de q en el punto donde x = -12 b. La recta normal en el gráfico de q en el punto donde x = - 12

y = -x + 4 y = 1

(20)

Solución:

a. Debemos hallar q´(x) = (−12) sabemos que q´(x) = −𝑥12 y por tanto q´(−12) = − 1

[− 12]2 = 4 así tenemos que: g´ (−12) = 1

−12 = -2

b.Después la recta tangente que buscábamos es:

y = - q (−12) = q´(−12)(x-(-12)) ⇒ 𝑦 − (−2) = −4 (𝑥 +12) ⇒ y+ 4x +4 = 0 c. La recta normal buscada es

y -q(−12) = - 1

𝑞´(−12) ( 𝑥 − (− 1

2)) ⇒ 𝑦 − (−2) = − 1 −4 (𝑥 +

1

2) ⇒ 𝑜 𝑦 − 2𝑥 +

15 = 0.

Y

X

Figura 4. Recta tangente buscada.

1.5. Derivadas laterales

(21)

a) La derivada de la función f en el punto x =x₀, por la derecha la cual denotaremos con t´(𝑥₀+) y está definida por:

t´(𝑥₀+) = lim ℎ→ 0+

𝑡(𝑥₀ + ℎ) − 𝑡(𝑥₀) ℎ

Equivalentemente a la forma:

t’(𝑥₀+) = lim 𝑥→ 𝑥₀+

𝑡(𝑥) − 𝑡(𝑥₀) 𝑥 − 𝑥₀

Si el límite existe.

b) La derivada de la función f en el punto x=x₀, por la izquierda representaremos por t´C𝑥₀−) y está definido por:

t’(𝑥₀−) = lim ℎ→ 0−

𝑡(𝑥₀ + ℎ) − 𝑡(𝑥₀) ℎ

O equivalentemente a la forma:

t’(𝑥₀−) = lim 𝑥→ 𝑥₀−

𝑡(𝑥) − 𝑡(𝑥₀) 𝑥 − 𝑥₀

Siempre y cuando el límite exista.

Ej. Hallar 𝑡´( 𝑥0+) 𝑦 𝑡´𝑥

0− 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑥0 𝑠𝑖 𝑡(𝑥)=

f ’(2+) = lim ℎ→ 0+

𝑡(2 + ℎ) − 𝑡(2) ℎ

= lim

ℎ→ 0+

𝑡(8(2 + ℎ) − 11) − (8 − 3) ℎ

= lim

ℎ→ 0+

16 + 8ℎ − 11 − 8 + 3

ℎ = limℎ→ 0+

8ℎ

ℎ = 8 2𝑥2− 3 , 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2

(22)

t ’(2−) = lim ℎ→ 0−

𝑡(2+ℎ)−𝑡(2)

ℎ = limℎ→ 0−

𝑡(2 (2+ℎ)2−3)−(8−3)

ℎ = limℎ→ 0−

8+8ℎ+2ℎ2−3−8+3

ℎ =

lim

ℎ→ 0−

8ℎ+2ℎ2

ℎ = limℎ→ 0− 8 + 2ℎ = 8 Observación:

Aclaramos que la derivada de una función t(x) existe en el punto x = x₀, si sus derivadas laterales existen y son iguales, simbólicamente:

∃ t´(x₀) ⇔ t ´ (𝑥₀+) = t´ (𝑥₀)

1.6. Derivabilidad y continuidad

Las principales propiedades de las funciones en el cálculo son: la continuidad y la derivabilidad; como estas dos concepciones la definimos mediante un límite, por ello nos hacemos estas preguntas:

- ¿Si la función es continua, es derivable en ese punto?

- ¿Si la función es derivable es también continua o tal vez estas propiedades son equivalentes?

Estas preguntas nos llevan a enunciar el siguiente:

Teorema: Sea una función t y x₀ ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑡, si t es diferenciable en x₀ entonces la función t es continua en la variable x₀

Demostración:

Al plantear la hipótesis sabemos que la función t es diferenciable en x₀, esto quiere decir que existe t´(x₀), por ello:

límℎ→0 ( 𝑥₀ + ℎ) − 𝑡(𝑥₀) = límℎ→ 0 𝑡(𝑥₀+ℎ)−𝑡(𝑥₀) h

lím

ℎ→ 0+

𝑡(𝑥0+ℎ)−𝑡(𝑥0)

ℎ . límℎ→ 0ℎ = 𝑡´(x₀)0 = 0

Entonces: lím

ℎ→ 0 ( 𝑡(𝑥₀ + ℎ) − 𝑡(𝑥₀) )⇒ límℎ→ 0 𝑡(𝑥₀ + ℎ) − límℎ→ 0𝑡(𝑥₀) = 0

lím

(23)

Comentamos:

Sabemos que al existir lím

ℎ→ 0

𝑡(𝑥₀+ℎ)−𝑡(𝑥₀)

ℎ entonces existe una recta tangente que no

es vertical que está bien definida y es la única en el punto (x₀, t(x₀))

(x₀ , f(x₀)) Y

y = |x|

0 x

Figura 5. Recta tangente no vertical.

Cuando no halla la existencia de la recta tangente no vertical, cuando las derivadas laterales existan, y son diferentes. Tenemos el caso del valor absoluto t(x) = |x| en donde sus derivadas laterales en x₀ = 0 son totalmente diferentes t´ (0+)≠ t´ (0) y no exista recta

tangente no vertical cuando uno o las dos derivadas laterales no existen , es +∞, −∞ como esta recta tangente no vertical es la única, las gráficas de las funciones presentan esquinas, como lo muestra la figura siguiente.

(24)

Capítulo II

Teoremas básicos de derivación

Se define al concepto de la derivación al procedimiento para hallar la derivada de una función. Para evitar utilizar la definición y calcular ciertos límites que es muy laborioso, utilizaremos teoremas que nos ayudaran hallar la derivada de muchas funciones de manera instantánea y sencilla, para no utilizar a los conceptos de Limites.

2.1. Derivada de una constante

Si la función f es constante t(x) =c, entonces t´(x) = 0 Demostración:

t ’(𝑥) = lím

ℎ→ 0

𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥)

ℎ = límℎ→ 0 𝑐−𝑐

ℎ = límℎ→ 0 0

(25)

Desde el punto de vista geométrico, debemos tener en cuenta que el hallar la derivada de una función en algún punto de su abscisa o dominio nos proporciona la pendiente o inclinación de una recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. Una función t constante tiene por gráfica una recta sin inclinación es decir horizontal. Ahora recordemos que la derivada de una función constante es igual a cero, podremos hacer referencia a la gráfica, que es una recta horizontal, y pensar que como su recta tangente es la misma recta, la inclinación de esa recta es igual a cero.

Ej.:

a. (-3) ´= 0 b. 𝜋2 = 0 c. 𝑑(322.23334) 𝑑𝑥 = 0

2.2. La derivada de la identidad

t(x) = 1 es la función constante, también t ´(x) = 1 Demostración:

t ’(𝑥) = lím

ℎ→ 0

𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥)

ℎ = límℎ→ 0

𝑡( 𝑥+ℎ)−𝑥

ℎ = límℎ→ 0 ℎ

ℎ = límℎ→ 0 1 = 1 ∴ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1

2.3. Derivada de una potencia

Si t(x) = 𝑥𝑛 y n es un número real, entonces: t´(x) = n𝑥𝑛−1

Demostración:

En este caso solo demostrare el presente teorema para el caso en el que n representa a cualquier número natural.

t ’(𝑥) = lím

ℎ→ 0

𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥)

ℎ = 𝑙í𝑚𝑥→ 3

(𝑥+ℎ)𝑛−𝑥𝑛

ℎ para n ∈ N

= lím

ℎ→ 0(𝑥 + ℎ − 𝑥) [

(𝑥 + ℎ)𝑛−1(𝑥 + ℎ)𝑛+2𝑥

ℎ + … +

(𝑥 + ℎ)𝑥𝑛−2+ 𝑥𝑛−1

ℎ ]

(26)

=𝑥𝑛−1+𝑥𝑛−1+𝑥𝑛−1+…+𝑥𝑛−1+𝑥𝑛−1 = n𝑥𝑛−1

∴ t ´(x) = n𝑥𝑛−1

A continuación, se presenta tres casos particulares que siempre aparecen en los problemas de derivación de una función.

n=1 n = 12 n = -1

Figura 7. Casos particulares en problemas de derivación.

2.4. Derivada de una suma o diferencia

Llamaremos a las funciones t y q diferenciables en x por consiguiente tenemos que t ± q es diferenciable en x, y este cumple que:

(t ± q) ´(x) = t´(x) ±q´(x)

Por lo cual, concluimos que la derivada de una suma o diferencia de funciones es igual a la suma o diferencia de dichas derivadas.

Demostración:

(𝑥𝑛)´ = 𝑛𝑥𝑛−1

(x)´ = 1 (√𝑥) ´ = 1

(27)

(t ± q )´(x) = lim

ℎ→ 0

[𝑡(𝑥+ℎ) ±𝑞(𝑥+ℎ)]−[(𝑡(𝑥)±𝑞(𝑥)]

ℎ = limℎ→ 0

𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥)

ℎ ± limℎ→ 0

𝑞(𝑥+ℎ)−𝑞(𝑥) ℎ

= t´(x) ± q ´(x). Ej. 1:

Calcular la derivada de la función t(x) = 𝑥3+ 4.

Solución:

t ´(x) =(𝑥3+ 4)´ = (𝑥3)´ + (4)´ = 3𝑥2

Ej. 2:

Calcular la derivada de la función t(x) =𝑥4+ 𝑥 + 1

𝑥+ 23

Solución:

t´(x) = (𝑥4+ 𝑥 + 1𝑥 + 23) ´ = (𝑥4)´ + (𝑥)´ + ( 1𝑥) ´ + (23)´ = 4𝑥3+ 1 + (− 𝑥12 ) + 0 = 4𝑥3 + 1 − 1

𝑥2

2.5. Derivada de un producto

Sean dos funciones t y la otra q estas son funciones diferenciables en x, entonces la expresión tq que representa el producto es diferenciable en x y se cumple:

(tq) ´(x) = t(x) q´(x) + q(x) t(x)´

Demostración:

Sea y = t(x) = t(x). q(x), entonces:

t´(x) = lim

ℎ→ 0

𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥)

ℎ = limℎ→ 0

(28)

Ahora sumamos y restamos t(x+h). q(x) en el numerador f ´(x) = lim

ℎ→ 0

𝑡(𝑥+ℎ)𝑞(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥+ℎ)𝑞(𝑥)−𝑡(𝑥)𝑞(𝑥)+𝑡(𝑥+ℎ)𝑞(𝑥) ℎ

f´(x)= lim

ℎ→ 0 𝑡(𝑥 + ℎ)

𝑞(𝑥+ℎ)−𝑞(𝑥)

ℎ + 𝑞(𝑥)

𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥) ℎ

= lim

ℎ→ 0 𝑡(𝑥 + ℎ) limℎ→ 0

𝑞(𝑥+ℎ)−𝑞(𝑥)

ℎ + limℎ→ 0 𝑞(𝑥) limℎ→ 0

𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥) ℎ

= t(x) q´(x)+q(x) t ´(x)

∴ (tq)´(x) = t(x) q´(x) + q(x)t(x)´

Ej.1:

Hallar utilizando la definición de la suma. la derivada de t(x) = (𝑥3+ 𝑥2 + 𝑥 − 2)(𝑥4+ 𝑥3+ 12)

Solución:

t´(x) = (𝑥3+ 𝑥2+ 𝑥 − 2)(𝑥4+ 𝑥3 + 12)´ +( 𝑥4+ 𝑥3+ 12) (𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 2)´

= (𝑥3+ 𝑥2+ 𝑥 − 2)(4𝑥3+ 3𝑥2) + (𝑥4+ 𝑥3+ 12)(3𝑥2+ 2𝑥 + 1)

Corolario si k representa a la constante y sea la función t diferenciable en x, Por consiguiente, tenemos que, kt es diferenciable en x por lo tanto lo denotaremos así:

(kt ´) (x) = kt´(x).

Demostración:

Aplicando la regla del producto y la regla de la constante tenemos que:

t’(𝑥) = lim

ℎ→ 0

𝐾(𝑡(𝑥+ℎ))−𝑘𝑡(𝑥)

ℎ = t ’(𝑥) = 𝐾 limℎ→ 0

𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥)

(29)

Ej.2:

Algunos casos concretos son:

a. 3𝑥4 = (3)(4)𝑥3 = 12𝑥3 b.8𝑥7)´ = (8)(7)𝑥6 = 56𝑥6 c. (-6𝑥2)´ = −12𝑥

Una extensión obvia de este corolario es como sigue en los siguientes casos: (𝑡1𝑡2𝑡3) = 𝑡1(𝑥)𝑡2(𝑥)𝑡3´(𝑥) + 𝑡1(𝑥)𝑡 2´(𝑥)𝑡3(𝑥) + 𝑡1 ´(𝑥)𝑡2(𝑥)𝑡3(𝑥)

(𝑡1𝑡2𝑡3𝑡4) = 𝑡1(𝑥)𝑡2(𝑥)𝑡3(𝑥)𝑡´4(𝑥) + 𝑡1(𝑥)𝑡2(𝑥)𝑡´3(𝑥)𝑡4(𝑥) + 𝑡1(𝑥)𝑡´2(𝑥)𝑡3(𝑥)𝑡4(𝑥) + 𝑡´ 1(𝑥)𝑡2(𝑥)𝑡3(𝑥)𝑡4(𝑥)

Y así sucesivamente.

2.6. Derivada de un cociente

Sean dos funciones representados por t y q, y a la vez estas son diferenciables en x y q(x) ≠0 ,por consiguiente tenemos que 𝑞𝑡 es diferenciable en x y se concluye así:

(𝑞𝑡) ´ = [𝑞(𝑥)𝑡´(𝑥)]−[(𝑡(𝑥)𝑞´(𝑥)][𝑞(𝑥)]2

Demostración:

Sea y = t(x) = 𝑞(𝑥)𝑡(𝑥) , entonces

𝑑𝑦𝑑𝑥 = lim

ℎ→ 0

𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥)

ℎ = limℎ→ 0

𝑡(𝑥+ℎ) 𝑞(𝑥+ℎ)−

𝑡(𝑥) 𝑞(𝑥)

ℎ = limℎ→ 0

𝑞(𝑥)𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥)𝑞(𝑥+ℎ) ℎ𝑞(𝑥)𝑞(𝑥+ℎ)

Ahora sumando y restando f(x) g(x) en el numerador se tiene: 𝑑𝑦𝑑𝑥= lim

ℎ→ 0

𝑞(𝑥)𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥)𝑞(𝑥)−𝑡(𝑥)𝑞(𝑥+ℎ)+𝑡(𝑥)𝑞(𝑥) ℎ𝑞(𝑥)𝑞(𝑥+ℎ)

= lim

ℎ→ 0

𝑞(𝑥)𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥) − 𝑡(𝑥)𝑞(𝑥+ℎ)−𝑞(𝑥)

𝑞(𝑥)𝑞(𝑥+ℎ) =

𝑞(𝑥)𝑡´(𝑥)−𝑡(𝑥)𝑞´(𝑥) 𝑞(𝑥)𝑞(𝑥+0) =

[𝑞(𝑥)𝑡´(𝑥)]−[(𝑡(𝑥)𝑞´(𝑥)] [𝑞(𝑥)]2

(30)

Ej. 1:

Hallar la derivada de la siguiente función. t(x) = 2𝑥2+13

6𝑥3−8𝑥−1 t´(x) =[ 2𝑥

2+13

6𝑥3−8𝑥−1]´ = (

(6𝑥3−8𝑥−1)(2𝑥2+13)´−(2𝑥2+13)(6𝑥3−8𝑥−1)´ (6𝑥3−8𝑥−1)2 =

(6𝑥3−8𝑥−1)(4𝑥)−(2𝑥2+13)(18𝑥2−8)

(6𝑥3−8𝑥−1)2

2.7. Derivadas de las funciones trigonométricas

1. 𝐷𝑥 (sen x) = cos x Demostración:

𝐷𝑥 (Senx) = t ’( sen 𝑥) = limℎ→ 0 𝑠𝑒𝑛 (𝑥+ℎ)−(𝑠𝑒𝑛 𝑥)

Pero usando la propiedad del seno (la identidad) de una suma tenemos que: Sen(x+h) –sen x = sen x.cosh + cos x sen h – senx

= sen x (cos h – 1) + cos x sen h

𝐷𝑥 (senx)= lim

ℎ→ 0

𝑠𝑒𝑛𝑥(cos ℎ−1)

ℎ + limℎ→ 0

cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ ℎ

= lim

ℎ→ 0 𝑠𝑒𝑛𝑥 limℎ→ 0

cos ℎ−1

ℎ + limℎ→ 0 𝑐𝑜𝑠𝑥 limℎ→ 0 𝑠𝑒𝑛ℎ

= (senx)(0) + (cos x )(1) = cos x

2. 𝐷𝑥 (cos x) = -sen x Demostración:

𝐷𝑥 (cosx) = t ’( cos 𝑥) = lim

ℎ→ 0

𝑐𝑜𝑠 (𝑥+ℎ)−(𝑐𝑜𝑠 𝑥)

ℎ = limℎ→ 0

cos x.cosh − senx sen h – cosx ℎ

= lim

ℎ→ 0− (𝑐𝑜𝑠 𝑥

(1−cos ℎ)

ℎ ) - (𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑠𝑒𝑛ℎ

ℎ ) = -cos x(0) –senx(1) = -senx

(31)

Demostración:

𝐷𝑥 (tgx) = 𝐷𝑥 ( cos 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥) = limℎ→ 0 cos x.(senx)´ − senx ( cosx )𝑐𝑜𝑠2𝑥 =

cos x.cosx+ senx senx 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =

𝑐𝑜𝑠2x+ 𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥1 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥

4. 𝐷𝑥 (ctg x) = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥

5. 𝐷𝑥 (sec x) = sec x tg x Demostración:

𝐷𝑥 (sec x) = 𝐷𝑥cos 𝑥 1 = cos x . 𝐷𝑥 (1)−(1)𝐷𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑥 (cos 𝑥) = 0 −(−senx) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = senx) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥1

= tan x sec x

6. 𝐷𝑥 (cosec x) = -cosec x ctg x

Ej.:

Calcular la derivada de la función t(x) = 9senx +14 cosx. Solución: Las operaciones paso a paso se ven como:

t(x)´ = (9senx +14 cos x)´ = (9senx)´ +(14 cosx)´ = 9(senx)´ +14 (cosx)´ = 9cos x. 9cos x + 14(-senx) = 9 cosx -14senx.

2.8. La derivada de una función compuesta

Si t es diferenciable en x g es diferenciable en t(x), por consiguiente, tenemos que, la función q ∘ t que llamaremos compuesta, es diferenciable en x y se denota así:

(q ∘ t)´(x) =q´(t(x))f´(x) Demostración:

(32)

(q ∘ t)´(x) = lim

ℎ→ 0

[(q ∘ t)(x+h)−(q ∘ t)(𝑥)] ℎ = limℎ→ 0

𝑞(𝑡(x+h))−q(t(𝑥)) ℎ

Al multiplicar el numerador y denominador por ∆𝑡 t(x+h) –t(x) (q ∘ t)´(x)= lim

ℎ→ 0

[𝑞(𝑡(x+h))−q(t(𝑥))][ 𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥) ℎ[𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥)]

= lim

ℎ→ 0

[𝑞(𝑡(x+h))−q(t(𝑥))] 𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥) limℎ→ 0

𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥) ℎ

= lim

ℎ→ 0

[𝑞((x+∆f))−q(t(𝑥))] ∆𝑡 limℎ→ 0

𝑡(𝑥+ℎ)−𝑡(𝑥) ℎ

Ahora veamos al segundo límite de lo visto en la notación de arriba t´(x) en relación al primer limite, cuando h se acerca a 0, por ser la función f continua, la notación ∆t = t (x + h) –t(x) observamos que se acerca a 0 y por tanto, este primer límite es q´(f(x)) en consecuencia (q ∘ t)´(x) =q´(t(x))t´(x)

Observación: De lo anterior, al hacer la división entre ∆t = t (x +h) – t(x), he considerado a ∆t ≠ 0. Y en el supuesto que ∆t = 0 Se dará un procedimiento demostrable aparte.

En resumen, desde esta nueva perspectiva, el problema de la derivación de funciones compuestas se ve como:

SE TIENE DOS FUNCIONES

y = 𝜑(𝑡) CON DERIVADA: 𝑑𝑦𝑑𝑡

t =𝜔 ( 𝑥) CON DERIVADA: 𝑑𝑥𝑑𝑡

SE HACE LA COMPOSICIÓN: (SE SUSTITUYE t =𝜔 ( 𝑥) EN y = 𝜑(𝑡))

y = 𝜑(𝜔 ( 𝑥))

Figura 8. Derivación de funciones compuestas. y 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 LA DERIVADA DE LA

(33)

Una idea que conveniente tener presente cuando estemos derivando funciones compuestas, es decir, de dos o más funciones, debemos de identificar, primero como es la composición que queremos derivar, de la función externa hacia adentro (hacia la función más interna) y comenzar a derivar estas funciones, multiplicando los resultados de las derivadas. Ej. 1:

Derivar la función t(x) = 𝑙𝑛2(𝑥6+ 2)

Tenemos que identificar la función más externa en esta composición (la que está más a la izquierda) es la función que eleva al cuadrado, luego viene la función ln, y por último, la función más interna es y = 𝑥6+ 2. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠.

t´(x) = 2𝑙𝑛(𝑥6+ 2) = 1

𝑥6+2 = 6𝑥2

= [2 ln(𝑥6+ 2)] [ 1

𝑥6+2] (6𝑥2)

Ej. 2:

Calcule la derivada de: t(x) = 𝑠𝑒𝑛2(√𝑐𝑜𝑥 + 13 .

Solución. La función dada es una composición de cuatro funciones. 𝜑1(𝑥) = 𝑥2 𝜑

2 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝜑3(𝑥) = √𝑥3 𝜑4(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1

en otras palabras.

t (x) = (𝜑1 ∘ 𝜑2∘ 𝜑3∘ 𝜑4)(x)

Las derivadas de cada una de estas funciones son: 𝜑´1(𝑥) = 2𝑥 𝜑´2 (𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝜑´3(𝑥) = −13𝑥−

2

3 𝜑´4(𝑥)= −𝑠𝑒𝑛𝑥 Entonces: t ´(x) = (𝜑1 ∘ 𝜑2∘ 𝜑3∘ 𝜑4)´(x)

Derivada de 𝑥6 Derivada de una función

( . )2

(34)

= 𝜑´1( 𝜑2(𝜑3(𝜑4))) 𝜑´2(𝜑3(𝜑4)) (𝜑´3(𝜑4))(𝜑´4)(x)

= [2 sen (√𝑐𝑜𝑠𝑥 + 13 )][cos(√𝑐𝑜𝑠𝑥 + 13 )] [13(cos 𝑥 + 1)− 2

3] [−𝑠𝑒𝑛 𝑥]

= 2𝑠𝑒𝑛( √𝑐𝑜𝑠𝑥+1

3 )𝑐𝑜𝑠 √𝑐𝑜𝑠𝑥+13 𝑠𝑒𝑛𝑥

3 √(𝑐𝑜𝑠𝑥+1 )3 2

Corolario:

Si t es una función diferenciable en x, entonces 𝐷𝑥[𝑓(𝑥)]𝑛 = 𝑛(𝑓(𝑥))𝑛−1𝐷

𝑥 𝑓(𝑥)

Demostración:

Consideremos la función q(v) = 𝑣𝑛 ,cuya derivada es q´(v) = 𝑛𝑣𝑛−1

Ahora: (𝑡(𝑥))𝑛 = 𝑔(𝑓(𝑥)) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) Finalmente, utilizaremos el teorema de la regla de la cadena: 𝐷𝑥[(𝑡(𝑥)𝑛] = ( q ∘ t )´(x) = q´(t(x)) t´(x) = n (𝑡(𝑥))𝑛−1𝐷

𝑥 t(x).

Nota:Cuando setrata de tres funciones t,q,s, se tiene:

(35)

Capítulo III

Derivadas de orden superior

3.1. Definición

Cuando derivamos una función t hallamos t´, y a la ves a esta derivada hallada la podemos hallar otra vez donde el dominio es el conjunto de todos los puntos x de dominio de t´ para los cuales, se denota de esta forma:

t´´(x) = lim

ℎ→ 0

𝑡´(𝑥+ℎ)−𝑡 ´(𝑥) ℎ

La función (t´) ´ se llama la segunda derivada de t y se denota por t” .si t(a) existe el proceso de derivación podemos continuarlo más allá de la segunda derivada, pero es a partir de la derivada segunda que se les puede llamarderivadas de orden superior.

Para mayor comodidad a partir de la cuarta derivada utilizaremos un superíndice abreviado encerrado entre paréntesis del modo siguiente:

𝑡(1) = t´ , 𝑡(2) = t´´, 𝑡(3) = t´´´, 𝑡(4) = t’’’’ , etc.

Notación: 𝑡(x)= 𝐷(0)t(x) = t(x)

3.2. Reglas de las derivadas de orden superior

(36)

1 𝐷ₓ𝑛(t(x) ±𝑞(𝑥)) = 𝐷ₓ𝑛 t(x) ± 𝐷ₓ𝑛𝑞 (𝑥)

2 𝐷ₓ𝑛(t(x)𝑞(𝑥)) = ∑ (𝑛

𝑘)𝐷ₓ𝑛−𝑘f(x)𝐷ₓ𝑘 q(x) 𝑛

𝑘=0 (regla de Leibniz)

(𝑚−𝑛)!𝑚! si 0 ≤ 𝑛 < 𝑚 3 𝐷ₓ𝑛 𝑥𝑛 = m ! si n = m

0 si n > m

Segunda derivada es igual a decir derivada de segundo orden y se sigue en ese orden. Ej.1:

Calcule la cuarta derivada de la función t(x) = cos (3x). t´(x) = [-sen(3x)](3) = -3sen(3x)

la segunda derivada es:

t ´´(x) =-3[cos(3x)](3) = -9cos(3x) la tercera derivada es:

t ´´´(x) = -9[-sen (3x)](3) = 27sen(3x) y por último la cuarta derivada es: 𝑡(4)(𝑥) = 27[cos(3x)](3) = 81 cos(3x)

Ej. 2:

Derivar tres veces la función t(x) = x𝑒𝑥

Resolución:

La primera derivada es:

(37)

la segunda derivada es:

t´´(x) = (x+ 1) 𝑒𝑥+ 𝑒𝑥 = (x+2)𝑒𝑥

La tercera derivada es:

t´´´(x) = ( x+ 2) 𝑒𝑥+ 𝑒𝑥 = (x+3)𝑒𝑥

Incluso se podría conjeturar que la n-ésima derivada de la función t(x) = x𝑒𝑥

(38)

Capítulo IV

Máximos y mínimos de una función y puntos extremos

4.1. Máximos y mínimos absolutos

Tenemos la función t(x): D ⊂ R →R, esta tiene un máximo absoluto en t(c) Veamos que:

c ∈ D si t(c) ≥ t(x) .∀ x ∈ D

4.2. Definiciónde mínimo absoluto

Tenemos La función t(x): D ⊂ R →R, tiene un valor mínimo absoluto en t (c) donde:

c ∈ D si t(c) ≤t(x) .∀ x ∈ D

4.3. Definiciónde punto extremo

t(c) es un extremo o (punto extremo) de t. sí t(c) es el máximo o un mínimo.

Observación. Algunas funciones tienen máximos y mininos absolutos sobre un intervalo

y otras no. Ej.

(39)

= cos x es -1 y es también alcanzado infinitas veces. En efecto para cada 𝐶𝑛 = (2𝑛 + 1) 𝜋 con n entero, se tiene que cos (2𝑛 + 1) = −1.

b. La función q(x) = √𝑥 tiene mínimo, que es q (0) =√0 = 0; pero no tiene máximo. c. La función s(x) = 1 - 𝑥2 tiene máximo, que es s (0) = 1 pero no tiene mínimo d. La función t(x) = 1𝑥 carece de máximo y mínimo.

y y

1

0 x 0 x

y = cos x Max = 1 Min = 1 y = √𝑥 Max = no tiene Min = 0

Y Y

0 x 0 x

y = 1- 𝑥2 Max = 1 Min = no tiene y = 1

𝑥 Max =no tiene Min = no tiene.

Figura 9. Máximos y mínimos de una función y puntos extremos. Teorema:

Tenemos que t es continua en un intervalo cerrado [a.b], para lo cual la función tiene un mínimo absoluto y un máximo absoluto en dicho el intervalo.

1 -1

(40)

Observamos que:

En el caso que el intervalo sea abierto, dicho teorema no necesariamente se cumple. Por ejemplo:

Tenemos que t(x) = 1

𝑥 es continua en <0,1> pero carece de máximo absoluto:

Y

0 1 X

Figura 10. Función continúa.

4.4. Extremos de una función

Sea y = t(x) continua en un intervalo cerrado [a,b]. Vemos la figura y,

Los puntos A y D serán los máximos absolutos. Los puntos F y H se denomina máximos relativos Los puntos C, E y G se denomina mínimos relativos.

(41)

Y

C E G B

0 a b c d e f g X

Figura 11. Extremos de una función.

4.5. Teorema del valor extremo

Tenemos que una función t es continua en un intervalo cerrado. Por lo tanto esta función tiene máximo y mínimo, en donde encontramos dos puntos del dominio llamaremos a estos puntos c y d en el intervalo [a,b] donde t ( c) es el máximo de la función y t(d) es el mínimo de la función.

4.6. Punto crítico

Cumple con lo siguiente:

1. t´ (c) = 0 o 2. t´(c) no existe

Ej.:

Buscar los puntos críticos de t(x) = 33√𝑥2− 2𝑥 Solución:

Hallamos.

t(x) = 3√𝑥3 2− 2𝑥 ⇒ t(x) = 3(𝑥2− 2x) 1

3 ⇒t´= 3(1

3)[𝑥

2 − 2𝑥]3 2(2𝑥 − 2)

A

D F

(42)

⇒ t´(x) = 2𝑥−2

[𝑥2−2𝑥]23

⇒ t ´(x) = 2(𝑥−1)

[𝑥(𝑥−2)]23

Ahora. t ´(x) = 0 ⇔ 2(x-1) = 0 ⇔ x = 1

Además, vemos que t´(x) no está definida en x = 0 y en x = 2 Luego los puntos críticos de t son 1, o y 2

Teorema (teorema del punto crítico). Tenemos que la función t está en un intervalo I que además tiene como elemento al punto c. Si t(c) es un valor extremo, entonces:

1. c es un punto frontero de I o 2. c es un punto crítico de t. Demostración:

Bastara probar que si c no es un punto de frontera y si t´(c), entonces t´(c) = 0 Caso 1: la función t(c) es máximo:

Al existir t´(c), se debe de cumplir que: t’´(𝑐) = lim

ℎ→ 0+

𝑡( 𝑐+ℎ)−𝑡(𝑐)

ℎ = t´(𝑐) = limℎ→ 0−

𝑡( 𝑐+ℎ)−𝑡(𝑐)

ℎ (1)

Por ser t (c) el valor máximo, para todo h tal que c + h está en el dominio de t, se tiene: t(c + h)≤ t(c) y por tanto ,t( c + h) –t(c) ≤ 0 (2) Luego para h>0 se tiene

𝑡( 𝑐+ℎ)−𝑡(𝑐)

ℎ ≤ 0 ⇒ limℎ→ 0+

𝑡( 𝑐+ℎ)−𝑡(𝑐)

ℎ ≤ 0 (3)

Ahora para h < 0, tomando en cuenta (2) ,se tiene :

𝑡( 𝑐+ℎ)−𝑡(𝑐)

ℎ ≥ 0 ⇒ limℎ→ 0−

𝑡( 𝑐+ℎ)−𝑡(𝑐)

ℎ ≥ 0 (4)

Caso 2: t(c) es mínimo:

(43)

4.7. Método para hallar los valores extremos

A partir de los teoremas propuestos resulta la siguiente estrategia para encontrar los valores extremos de una función continua t en un intervalo cerrado [a, b]

A. Encontrar los puntos críticos de t en el intervalo [a, b]

B. Analizar la función t en a y la función t en b y también en los puntos críticos.

El que expresa mayor cantidad de los valores del paso 2 es el máximo o es el mínimo.

Ej.:

Encontrar los extremos de la función que se denota a continuación en el intervalo [0,4] t(x) = 3 - 3√(𝑥 − 3)2

Solución:

A: Encontramos los puntos críticos de g en el intervalo [0,4] t(x)= 3-(𝑥 − 3)23 t´(x) = −23(𝑥 − 3)− 13

t´(x) = 2

3 √𝑥−33

t´ no está definida en x = 3 y por lo tanto no se anula en ningún punto. Luego t tiene un único punto crítico que es 3 y este está en el intervalo [0,4]

(44)

t(4) = 3 - √(4 − 3)3 2 = 3 - 1 = 2 t(3) = 3 - 3√(3 − 3)2 = 3

Luego: El máximo es t(3)= 3 y el mínimo, t(0) ≈ 0,9199

Figura 12. Valores extremos.

4.8. Teorema del valor medio

Una de las tareas importantes del cálculo es usar la derivada para obtener información de la función información de la función. Para este propósito, el teorema del valor medio nos brinda valiosa ayuda. Presentemos en primer lugar, una definición.

Definición: Tenemos una función y la denotamos con t una función diremos que:

a. La función t es diferenciable en un intervalo abierto (a,b) si t es diferenciable en todo punto de (a,b) , por lo tanto ∃ t´( x) ,∀ x ∈ (a,b)

3

0,92

(3,3)

3 4

Y

(45)

b. La función t es diferenciable en un intervalo cerrado [a,b] si t es diferenciable en el intervalo abierto (a,b) y además posee la derivada por derecha en a y por izquierda en b.

Es obvio que además tiene diferenciabilidad en un intervalo semiabierto, por ello su definición es obvia.

Un caso particular del teorema del valor medio es el teorema de ROLLE. llamado así en honor al matemático francés Michel Rolle (1652-1719). geométricamente, este teorema menciona de manera contextual que, dado el caso que el gráfico de una función continua atraviesa el eje X en dos puntos y además posee al menos una tangente en todo punto entre estos dos, entonces debe tener al menos una tangente horizontal en un punto intermedio.

4.8.1. Teorema de Rolle

Tenemos una función t y cumple lo siguiente: 1. t es continua en el intervalo cerrado [a,b] 2. t es diferenciable en el intervalo abierto (a,b) 3. t(a) =0 =t(b)

Entonces ∃ c ∈(a,b) tal que f´(c) = 0 Y

( c t(c)) t(c)

0 a c b X

(46)

Demostración:

Caso 1. t es la función constante t(x) = 0 ,∀𝑥 ∈ [a,b]

es este caso, tenemos que t´(x) = 0 ∀𝑥 ∈ (a,b) . por tanto, cualquier número c ∈ (a,b) cumple con t´( c ) = 0

Caso 2. La función t no es constante: t(x₀) ≠ 0, para algún x₀ ∈ [a, b]

Además t es continua en el mencionado intervalo [a,b] y además por el mencionado teorema del valor extremo, la función t tiene máximo y mínimo en [a,b].

Luego:

si t(x₀) > 0 y t(c) es le máximo de t en [a,b], entonces t(c ) ≥ t(x₀) > 0 luego c ≠ 0, por tanto c ∈(a,b) . en esta situación, el teorema del punto crítico nos asegura que t´(c) = 0

si t(x₀) < 0 y t( c ) es el mínimo de t en [a,b] , entonces t(c) ≤ t(x₀) < 0 se repite el argumento anterior para conseguir t´(c) = 0

4.8.2. Teorema de Lagrange

Tenemos la función t que cumple lo siguiente: 1.La función t es continua en el intervalo cerrado [a,b] 2.La función t es diferenciable en el intervalo abierto (a,b) Por consiguiente ∃ c ∈ (a,b) tal que :

(47)

t(a) P(a,t(a))

t(b)

a c b x

Figura 14. Teorema del valor medio de Lagrange.

Por geometría este teorema explica lo siguiente:

Observamos esta recta secante que atraviesa por los puntos 𝑃1 = (a, t(a)) y 𝑃2=(𝑏, 𝑡(𝑏)) tiene por pendiente a 𝑡(𝑏)−𝑡(𝑎)𝑏−𝑎 y la inclinación de esta recta tangente en el punto (c, t(c)) es t´(c).Después menciona el teorema que, si la gráfica de una función continua tiene una tangente en cada punto entre a y b, entonces existe por lo menos un c entre a y b, tal que la recta tangente en el punto (c, t ( c ) es paralela a la recta secante.

Demostración:

Introducimos la nueva fórmula q(x) o t(x) –t(a) + 𝑡(𝑏)−𝑡(𝑎)𝑏−𝑎 (x-a) La función q satisface la hipótesis del teorema de Rolle:

1. teniendo a q que es continua en [a, b] pues q es la suma de dos funciones continuas en [a, b] que son t y el polinomio

P(x) = -t(a) + 𝑡(𝑏)−𝑡(𝑎)𝑏−𝑎 (x-a).

2. Y teniendo a q que es diferenciable en (a, b), ya que t y el polinomio p(x) también lo son. Además:

(48)

3. q(a) = t(a) - t(a) + 𝑡(𝑏)−𝑡(𝑎)𝑏−𝑎 (a-a) = 0 , q(b) = t(b) –t(a) + 𝑡(𝑏)−𝑡(𝑎)𝑏−𝑎 (b-a) =0

Por tanto, esta hipótesis del teorema de Rolle están satisfechas, luego. Existe c ∈(a,b) tal que: q’(c) = 0 (2)

Si en (1) tomamos x = c, obtenemos

q´(c) = t´(c)- 𝑡(𝑏)−𝑡(𝑏)𝑏−𝑎 (3) De (2) y (3) se tiene

t´(c)- 𝑡(𝑏)−𝑡(𝑏)𝑏−𝑎 = 0 ⇒ t´(c) = 𝑡(𝑏)−𝑡(𝑎)𝑏−𝑎

4.8.3. Función constante

Tenemos a la función t continua en un intervalo I.

t´(x) = 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 ⇔ t(x) = C, ∀ 𝑥 ∈ 𝐼, donde C es una constante Demostración:

Simplemente nos dedicaremos a probar la parte recíproca.

Veamos que 𝑥1 y 𝑥2 dos puntos cualesquiera de un intervalo I y además que 𝑥1 < 𝑥2

Tenemos la hipótesis t´(x) = 0 para tales x ∈ I, asumiendo que, t´(x) = 0 para todo x en [𝑥1, 𝑥2]. Por consiguiente, t es diferenciable en [𝑥1, 𝑥2] y continua en [𝑥1, 𝑥2].

Se han satisfecho las hipótesis del teorema del valor medio. Luego existe c ∈ (𝑥1, 𝑥2)

tal que:

t(𝑥2)- t(𝑥1) = t´(c) (𝑥1- 𝑥2)

(49)

Observamos que 𝑥1 y 𝑥2 son dos puntos cualesquiera de I, tenemos que t es constante en I.

4.8.4. Teorema de la diferencia constante

Sean t y q dos funciones diferenciables en un intervalo I

t´(x) = q’(x) , ∀ x ∈ I ⇒ t(x) = q(x) + C , ∀ ∈ I ,donde c es una constante Demostración:

Sea h(x) = t(x) –q(x).

La función h es diferenciable en I, ya que f y g lo son. Además, h´(x) = t´(x) – q´(x) = 0, ∀ x ∈ I

Después, por el teorema antes mencionado, existe una constante c que cumpla: h(x) = C, ∀ x ∈ I ⇒t(x) –q(x) = C, ∀ x ∈ I ⇒ t(x) = q(x) + C, ∀ x ∈ I

4.9. Funciones monótonas y concavidad

4.9.1. Definición

Sea t una función definida en un intervalo I (abierto cerrado o semiabierto).

1. T es creciente en el intervalo I si para cualquier par de puntos 𝑥1 , 𝑥2 de I se cumple que: 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ t ( 𝑥1 ) < t ( 𝑥2 ).

2. t es decreciente en el intervalo I para cualquier par de puntos 𝑥1 , 𝑥2 de I se cumple que:

3. t es monótona en el intervalo I si t es creciente o decreciente en I

(50)

4.9.2. Teorema criterio de la monotonía

Sea t una función continua en un intervalo I y diferenciable en todo punto interior de I.

1. Si t´(x) > 0 en todo punto interior de I, entonces t es creciente en I 2. Si t´(x)< 0 en todo punto interior de I, entonces t es decreciente en I

Demostración:

1. Sean 𝑥1 y 𝑥2 dos puntos cualesquiera de I supongamos que 𝑥1 < 𝑥2 como [𝑥1, 𝑥2 ] está contenido en el intervalo I ,t es continua en [𝑥1, 𝑥2 ] y es diferenciable en ( 𝑥1, 𝑥2)

Por el teorema del valor medio, existe c en ( 𝑥1, 𝑥2)tal que:

t(𝑥2) - 𝑡(𝑥1) = t´(c) ( 𝑥2- 𝑥1).

Pero t´(c) > 0 y 𝑥2- 𝑥1 > 0 luego, t (𝑥1) < t(𝑥2). Como:

𝑥1 y 𝑥2 son dos puntos cualesquiera de I, se concluye que t es creciente en I

2. Se procede como 1 Ej.:

Encontrar intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la siguiente expresión: m(x) =2𝑥2 − 3𝑥2 .12𝑥 + 5

Solución:

Hallamos estos puntos críticos de I

m ´(x) = 6𝑥2− 6𝑥 − 12 ⇔ m´(x) = 6(x+1)(x-2)

m´(x) = 0 ⇔6(x+1)(x-2) = 0 ⇔ x = -1 ó x= 2

(51)

⇒ x + 1 < 0 y x - 2 < 0 ⇒ m´(x) = 6(x+1) (x-2) >0 ⇒la función m es creciente en el intervalo (-∞, −1 )

Lo anterior, lo representamos, en la siguiente figura.

indica que la función m es creciente y indica que la función m es decreciente.

m(x)= 6(-)(-) = + m´(x) =6(+)(-)= - m´(x) = 6 (+)(+)= +

Esta figura nos dice que m es creciente en ( - ∞,-1], decreciente en [-1,2] y creciente en [2,+∞]

Figura 15. signos en cada intervalo.

Veamos el gráfico: Y

x

Figura 16. Representación.

-2

-1

-∞ -1 2 +∞

12

(52)

4.9.3. Concavidad

Concluimos esta sección aplicando la segunda derivada para estudiar concavidad y los puntos de inflexión nos servirán para trazar, con mayor precisión, los gráficos de funciones.

Definición: tenemos a la función t diferenciable en un intervalo I.

1. El gráfico de t es cóncavo hacia arriba en I si t´ es creciente en I. 2. El gráfico de t es cóncavo hacia abajo en I si t´ es decreciente en I

t´ crece si t´> 0

t´ decrece si t´< 0

Cóncavo hacia arriba cóncavo hacia abajo

Figura 17. Los dos tipos de Concavidad.

(53)

4.9.4. Teorema criterio de la concavidad

Sea m una función diferenciable dos veces en un intervalo I.

1. Si m´´(x)> 0 para todo punto x interior de I, por consiguiente, la gráfica de la función m es cóncavo hacia arriba en I

2. Si m´´(x) < 0 para todo punto x interior de I, por consiguiente, la gráfica de la función m es cóncavo hacia abajo en I.

Ej. los intervalos de concavidad de la función w, es decir, encontrar donde f es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.

𝑤(𝑥) = 𝑥3− 3𝑥2+ 4

Resolviendo:

El criterio de concavidad dado anteriormente, buscaremos los intervalos de la función w.

w ´´(x) > 0 y donde f ´´(x) < 0

Tenemos que: w´(x) = 3𝑥2 − 6𝑥 y w´´(x) = 6x -6 = 6(x-1)

Luego: w´´(x) = 0 ⇔ x= 1 , w´´(x) <0 ⇔ x < 1 y w´´(x) > 0 ⇔x > 1

Vemos en la figura que el símbolo ∪ significa cóncavo hacia arriba y ∩ significa cóncavo hacia abajo.

w´´ = 6(-) = - ∩

w´´ = 6(+) = + ∪

Figura 18. Interpretación.

(54)

Tenemos la gráfica de w que es cóncava hacia abajo en el intervalo que muestra

<-∞, 1] y es cóncava hacia arriba como se muestra en el intervalo [1,+∞ >

Y

Figura 19. Representación de la función.

4.10. Puntos de inflexión

4.10.1 Definición

Tenemos a la función t que es continua en c. Por ello el punto (c, t(c)) es el punto que denominaremos punto de inflexión en la gráfica de la función t en el caso que sea cóncavo de un lado hacia arriba del punto de inflexión y hacia el otro lado es cóncava hacia abajo.

Tenemos (c, t(c)) es un punto de inflexión de la siguiente función y=t(x) , en los casos donde x están cercanos a c se debe cumplir que los signos de t´´(x) antes de c y después de c deben ser distintos .En este punto c la derivada t´´(c) existe como también puede no existir, y si existe, debe cumplirse que t´´(c) = 0 .Después , los posibles puntos de inflexión son los puntos donde t´´(c) = 0 o t´´(c) no existe, ósea los puntos críticos de la función derivada t´. Este resultado nos proporciona la siguiente estrategia para encontrar los puntos de inflexión del grafica de una determinada función.

-1 X

2 4

(55)

4.10.2. Método para hallar los puntos de inflexión

Paso 1. Hallar puntos críticos de t´, los x tales que t´´(x) =0 o t´´(x) no existe.

Paso 2. Se estudia el signo de t´´ a la izquierda y a la derecha de cada uno de los puntos hallados en el paso 1. Los signos en ambos lados deben ser distintos.

Ej. encontrar los intervalos de concavidad y además los puntos de inflexión de: q(x) = √𝑥 − 2

3

+ 1

Solución:

q(x) = (𝑥 − 2)13 + 1

⇒ 𝑞´(𝑥) =1

3 (𝑥 − 2)

−23

⇒ 𝑞´´(𝑥) = −2

9 (𝑥 − 2)−

5 3

⇒𝑞´´(𝑥) = − 2

9 √(𝑥−2)3 5 vemos que q´´(x) no se anula en ningún punto, sin embargo, q´´(x) no existe en 2. Debemos analizar el signo de q´´ en los intervalos (-∞, 2) y (2, +∞).

q´´(x) = - (−)2 = +

q´´(x) = -2 = - ∩

La figura de g es cóncava hacia arriba en <-∞,2] y cóncavo hacia abajo en [2, +∞ >

Figura 20. Método para hallar los puntos de una inflexión.

(56)

El punto (2, q (2)) = (2,1) es un punto de inflexión.

Y

Figura 21. Punto de inflexión.

(2,1)

(57)

Capítulo V

Máximos y mínimos relativos

En la siguiente figura la gráfica representa a una función que es continua en un intervalo cerrado. Allí aparecen “colinas” con “valles”. La alta colina nos determina al máximo absoluto de la función, y el valle profundo determina al mínimo absoluto. Pero ¿y las demás curvas que son? Para ellos introducimos los conceptos de máximo local y mínimo local: Un máximo local o un mínimo local es un máximo o un mínimo, pero solamente a una determinada parte del dominio de una función.

Figura 22. Máximos y mínimos relativos.

Máximo local

Mínimo absoluto Mínimo

local Máximo

local

Máximo absoluto

Y

(58)

5.1. Definición

Una función t es un:

a. Es un máximo local (o un máximo relativo) en el punto c si cumple que, si existe un 𝛿 > 0 tal que: t(c) ≥ t(x) ,∀ 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿)

b. Un mínimo local (o un mínimo relativo) en el punto c si cumple que, si existe un 𝛿 > 0 tal que: t (c) ≤ t(x) ,∀ 𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿)

Los máximos relativos y los mínimos relativos de t también podemos llamarles extremos relativos de t.

Observemos que los valores extremos locales de una determinada función t pueden alcanzarse en puntos donde la derivada no existe o en los puntos críticos. Esto nos dice que tenemos una versión local del teorema del punto crítico. En efecto:

5.2. Teorema del punto crítico para extremos locales

Si t tiene un extremo local en c, entonces c es un punto crítico de t. Demostración:

Debemos probar que no existe f´(c) o f´(c) = 0

Lo anterior equivale a probar que si existe f´(c), entonces f (c) = 0

(59)

Observación: El recíproco del teorema antes mencionado no se cumple. Para ello consideremos la función:

ℎ(𝑥) = 𝑥3

Tenemos que ℎ´(𝑥) = 3𝑥2

Luego, 0 es un punto crítico de h. Sin embargo, h(0) = 0 no es un extremo local de f.

El ejemplo anterior nos comunica que necesitamos más información para saber cuándo un punto crítico es un máximo relativo, un mínimo relativo o ninguna de las dos cosas. Para ello se cuenta con dos criterios muy sencillos, que hacen uso de la primera y segunda derivada.

5.3. Teorema de la primera derivada para extremos locales

Tenemos una función t continua en un intervalo (a, b) y sea c ∈ (a , b) un punto crítico de t .

1. Si t´(x) > 0 para x ∈ (a,c) y t´(x) < 0 para x ∈(c,b), en consecuencia t(c) es un máximo local.

2. Si t´(x) < 0 para x ∈ (a,c) y t´(x) > 0 para x ∈(c,b), en consecuencia t(c) es un mínimo local.

3. Si t´(x) tiene el mismo signo en (a,c) y en (c,b), en consecuencia t(c) no es un extremo local.

(60)

c Gráficamente se muestra:

f´(x) > 0 f´(x) < 0

c X

Figura 23. Máximo local.

Y

f´(x) < 0 f (x) > 0

Figura 24. Mínimo local

f´(x)>0 f´(x) <0

No hay extremo local

Figura 25. No hay extremo local. Y Y

(61)

Demostración:

Probaremos la parte 1.

1. Si t´(x) > 0 en (a,c), en consecuencia t es creciente en (a,c]. Si t´(x) < 0 en (c,b),en consecuencia t es decreciente en [c,b). Después concluimos que, t tiene un máximo local en c.

5.4. Estrategias para hallar los extremos relativos

Paso 1. Buscamos los puntos críticos.

Paso 2. Utilizar el criterio de la 1era derivada en los puntos críticos. Ej. 1. Buscar los extremos locales de la función q(x) = 𝑥(5 − 𝑥)23 Solución:

Paso 1. Hallamos los puntos críticos. q´(x) = 𝑥 (23) (5 − 𝑥)−13(−1) + (5 − 𝑥)

2

3 ⇔ q´(x) = 5(3−𝑥)

3 √5−𝑥3 ⇒q ´(x) =0 ⇒5(3-x) ⇒ x= 3

Vemos que, q´(x) no existe en x=5 en consecuencia los puntos críticos de q son 3 y 5. Paso 2. Utilizamos el criterio de la primera derivada.

Para esto analizamos el signo de la derivada en los intervalos:

(−∞, 3) (3,5) 𝑦 (5, +∞) los resultados lo sintetizamos en la siguiente figura:

Figura 26. Signo de la derivada en los intervalos. q´(x) = (−)

(−)= + q ´(x) =

(−)

(+)= − q´(x) =

(−) (−)= +

(62)

El criterio de la primer derivada nos dice que f(3) =33√4 es máximo local y f(5) = 0 es mínimo local. Gráficamente tenemos:

Y

3 3√4

0 3 5 X

Figura 27. Primer criterio de derivada.

5.5. Teorema de la segunda derivada para extremos locales

Supongo que t´(c) = 0 además t´´ es continua en un intervalo abierto que contiene a c. 1.t´´(c) > 0 ⇒ t(c) es mínimo local

2.t´´(c) < 0 ⇒ t(c) es máximo local. Demostración:

1. Vemos que t´´(c) > 0 y t´´ es continua en el intervalo abierto I tal que: t´´(x) > 0, ∀ x ∈ I

Se interpreta, a través del criterio de concavidad, donde tenemos que el gráfico de la función de t es cóncavo hacia arriba en el intervalo I. en consecuencia, c es un punto crítico, ya que t´(c) = 0. En consecuencia, t(c) es mínimo local.

(3,3 √43 )

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