Metodo multicapa con leyes de elasticidad no lineal

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(1)UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID TRABAJO FIN DE MASTER. “METODO MULTICAPA CON LEYES DE ELASTICIDAD NO LINEAL”. Elaborado por: Randy Rodolfo Tejada Jiménez. Dirigido por: Dr.-Ing. Celso Iglesias Pérez. Máster Universitario en Ingeniería de las Estructuras, Cimentaciones y Materiales. Madrid, Junio-Julio 2010 1.

(2) Índice. 1. Agradecimientos:. 3. 2. Introducción. 4. 3. Metodología de trabajo. 5. 4. Antecedentes. 6. 4.1. Método multicapa. 6. 4.2. Campo de aplicación. 6. Definiciones generales. 5. 7. 5.1. Tensión deformación del hormigón:. 7. 5.2. Tensión deformación de las armaduras pasivas:. 8. 5.3. Tensión deformación de las armaduras activas:. 9. 5.4. Tensión deformación de Acero Estructural:. 10. Deducción de las ecuaciones equilibrio y compatibilidad.. 6. 11. 6.1. Esfuerzos internos en el hormigón.. 11. 6.2. Esfuerzos internos en los aceros.. 18. 6.3. Ecuaciones de equilibrio en la sección:. 21. 6.4. Resolución del sistema de ecuaciones.. 21. Algoritmo computacional. 7. 24. 7.1. Manual de usuario:. 24. 7.2. Programa principal:. 26. 7.3. Subrutinas:. 28. 8. Ejemplo. 35. 9. Futuro del método. 37. 10. Conclusiones. 38. 11. Bibliografía. 39. 2.

(3) 1. Agradecimientos: En primer lugar y de manera especial quisiera expresar mi satisfacción por haber realizado. este trabajo junto a mi tutor, Celso Iglesias Pérez, quien me ha guiado, aconsejado y tratado de manera excepcional. Agradecer hoy y siempre a mi familia porque a pesar de no estar presentes físicamente, se que procuran mi bienestar desde mi país, Republica Dominicana, y está claro que si no fuese por el esfuerzo realizado por ellos, mis estudios no hubiesen sido posible. A la Secretaria de Estado de Educación Superior Ciencia y Tecnología (SEESCYT) porque sin su ayuda esto no sería posible, gracias sinceramente por haberme dado esta gran oportunidad de desarrollarme en el área que tanto me gusta. A mis compañeros de máster por estar presente en esta travesía que hemos realizado juntos y que esperando que le haya sido de provecho. A los profesores de esta gran institución por esforzarse en transmitirnos los conocimientos necesarios para ser mejor profesional en el presente y en el futuro.. 3.

(4) 2. Introducción El método multicapa se puede definir como un cálculo a nivel sección que utiliza una. subdivisión de la sección en capas de un único material homogéneo o con capas de distintos materiales homogenizados para el análisis. El método permite unificar el cálculo de secciones generales de hormigón armado, pretensado, mixtas (acero estructural y hormigón) y cualquier otro material de que se conozca su ley tensión-deformación.. Este método permite tener en cuenta deformaciones impuestas (retracción, fluencia y temperatura) así como esfuerzos impuestos (axil y momento) en secciones con eje de simetría vertical. En este desarrollo se plantea el método para el caso de material elástico no lineal, lo que en hormigón equivale a superar tensiones de compresión del orden de 40-45% de su resistencia característica, lo que coincide también con el límite de la denominada fluencia lineal.. En particular, esto permitirá por tanto estudiar el efecto de los fenómenos de fluencia en rangos no lineales de tensiones. La introducción de otros efectos no lineales a nivel sección, tales como la fisuración y rigidización por tracción (tensión-stiffening) es también posible, así como la extensión del estudio a nivel de sección al estudio a nivel de estructura de todos los problemas anteriores.. El alcance de este estudio es analizar secciones sometidas a esfuerzos impuestos y deformaciones impuestas en el rango tanto lineal como no lineal de leyes generales tensióndeformación, no se tiene en cuenta la fisuración del hormigón, siendo esto último una futura ampliación a realizar al método.. El trabajo se inscribe en una línea de investigación iniciada por Celso Iglesias (1996), tesis doctoral en la que se utiliza precisamente el método.. 4.

(5) 3. Metodología de trabajo El método de trabajo a seguir será: . Deducir a partir de las leyes tensión-deformación las ecuaciones necesarias para satisfacer las condiciones de compatibilidad entre los diferentes materiales (hormigón, acero pasivo, acero activo y acero estructural).. . La condición de compatibilidad será la habitual, hipótesis de Navier de resistencia de Materiales. . Resolución de los sistemas de ecuaciones no lineales que se generan al trabajar en el rango no lineal (método Newton-Raphson).. . Creación de algoritmos computacionales a partir de los pasos anteriores.. . Ejemplo de aplicación.. 5.

(6) 4. Antecedentes. 4.1 Método multicapa Consiste en realizar un cálculo a nivel sección utilizando una subdivisión de la sección en capas de un único material homogéneo o con capas de distintos materiales homogenizados para el análisis.. En un principio el método fue desarrollado entre otras por Iglesias (1996) para el análisis de secciones con leyes elásticas lineales para los materiales involucrados en la sección, por este motivo para la comprobación de secciones ya construidas en estado límite último no podía ser aplicado por ejemplo, si se comprueba una estructura que haya sido afecta por una solicitación en rotura, en el rango elástico lineal de los materiales, el método no resulta aplicable.. Este trabajo consiste en la adaptación del método para el análisis no lineal por el material, procediendo al desarrollo de las ecuaciones y algoritmos necesarios para la adaptación del método a las a las leyes elásticas no lineales de los materiales.. 4.2 Campo de aplicación El campo de aplicación que puede tener el método puede ir desde el comportamiento de secciones sometidas a ambientes agresivos que puedan provocar pérdida de sección o resistencia hasta incendios en estructuras, a saber:  Efecto de incendios en estructuras.  Estudio de los gradientes térmicos.  Análisis de solicitaciones accidenta en ELU (evento extremo).  Estudio de inestabilidades a nivel estructura, con no linealidades acopladas de tipo geométrico o de segundo orden (pandeo).  Estudio de la transición de rango elástico al rango plástico en estructuras.. 6.

(7) 5. Definiciones generales. 5.1 Tensión deformación del hormigón: Diagrama experimental El diagrama tensión-deformación de una probeta de hormigón en el ensayo de compresión rápido presenta el aspecto de la figura, donde el modulo de deformación Eij representa la pendiente de la recta que pasa por el origen y corta a la curva en el punto de ordenada 0.5σ’j. Se observa que el acortamiento último en rotura de la probeta es del orden del 3.5/1000.. Diagrama cálculo. La relación entre deformación  y tensión en el hormigón σ se puede definir por la función:  En la práctica, para evaluar la influencia de la ley de tensión-deformación del hormigón, se puede plantear con una la ley cúbica, de la cual la ley parábola-rectángulo es un caso particular. Ley cúbica. . 3. 2. A  (y)  B  (y)  C  (y)  D  . Siendo A, B, C y D constantes que se calculan de la siguiente manera:  co  A. Eco  cm.  2.  co. 3. c  cm. 3 B. c. Eco  2  co   cm  cm  co. C. 2. Eco: Modulo elasticidad de hormigón. co: Deformación inicial del hormigón. σc: Resistencia característica del hormigón. ϒcm: Coeficiente de reducción del hormigón.. 7. Eco  cm. D. 0.

(8) 5.2 Tensión deformación de las armaduras pasivas: El diagrama tensión-deformación de cálculo del acero pasivas (en tracción o en compresión) se deduce del diagrama característico mediante una afinidad oblicua, paralela a la recta de Hooke, de razón 1/γs. Cuando se utiliza el diagrama de la figura, se obtiene el diagrama de cálculo de la figura en la que se observa que se puede considerar a partir de fyd una segunda rama con pendiente positiva, obtenida mediante afinidad oblicua a partir del diagrama característico, o bien una segunda rama horizontal, siendo esto último suficientemente preciso en general. Se pueden emplear otros diagramas de cálculo simplificados, siempre que su uso conduzca a resultados que estén suficientemente avalados por la experiencia.. Diagrama tensión-deformación de cálculo en las armaduras pasivas. Se adoptara una deformación máxima del acero en tracción en el cálculo εmax = 0,01. Es: Modulo de elasticidad de la primera rama en la curva bilineal. fyd : Resistencia de fluencia del acero. fyk : Resistencia característica del acero.. 8.

(9) 5.3 Tensión deformación de las armaduras activas: El diagrama tensión-deformación de cálculo del acero activo, se deducirá del correspondiente diagrama característico, mediante una afinidad oblicua, paralela a la recta de Hooke, de razón 1/γs .. Como simplificación:. Se asume para el acero activo que solamente elásticamente debido a la incertidumbre que existe sobre la ductilidad que puede alcanzar.. 9.

(10) 5.4 Tensión deformación de Acero Estructural: El diagrama característico tensión-deformación del acero estructural es el que se adopta como base de los cálculos. Tiene la propiedad de que los valores de la tensión presentan un nivel de confianza del 95 por 100 con respecto a los correspondientes valores obtenidos en el ensayo de tracción. En compresión se adopta el mismo diagrama que en tracción.. Diagrama tensión-deformación de cálculo del acero es el que se deduce del diagrama característico mediante una afinidad oblicua, paralela a la recta de Hooke, de razón 1/γM, siendo γM el coeficiente parcial para la resistencia de que se trate.. Se puede utilizar también el diagrama tensión-deformación bilineal, con segunda rama horizontal (figura A), si bien, en el caso de análisis no lineal puede utilizarse como alternativa el diagrama tensión-deformación bilineal, con segunda rama inclinada (figura B). Figura A diagrama tensión deformación bilineal.. Figura B diagrama tensión deformación bilineal con segunda rama inclinada. 10.

(11) Deducción de las ecuaciones equilibrio y compatibilidad.. 6. 6.1 Esfuerzos internos en el hormigón. Siendo el eje de referencia. la fibra inferior de la capa inferior.. Ley tensión-deformación del hormigón: . 3. 2. A   ( y )  B  ( y )  C  ( y )  D.  ( y).    0    0 y. Nint.    dA . y  2   b d y y 1. y  2 3 2 b  A   ( y )  B  ( y )  C  ( y )  D d y y. . . 1. Separando en 4 integrales tenemos que: y  2 3 I1  A    ( y ) d y y. y  2  A  y. 1.     0     0  y d y 3. 1. de donde y  2   y.     0     0  y d y 3. 1. 3     0     0  y.    03. 3.    03  3    02   0 y  3   02 y2    0    03 y3. 2. 2. 3.   3    0  3    0   0. . 2 . . . 2 2 . 2. 3    0    0  y. . 3   0  y     0.   03 y3. 2. 2. 2. 3    y  3   0 y  6   0  y  6   0 0 y  3  0   y  3  0  0 y.  3   2  3   2  6     6     3  2   3  2    y 2 0 0 0 0 0 0 0 .  3  3 2   3   2   3  y3 0 0 0  . Integrando elemento a elemento y sustituyendo la integral definida: Valores AC 19. Variables. y2  y1. .  y 4  y 4 1   2 AC 18. . 4. 3 y 2  y 1 . 2. 2. AC 17. AC 16. 3. . 3. 2.  . 2.  y 3  y 3 1   2. 2.  . 11.

(12)  y 2  y 2 1   2 AC 15 3  0  y 2  y 1  3 0. . 2.  y 4  y 4 1  3 3  2 AC 14 3 0   0  y 2  y 1    4. AC 13. 3  0  y 2  y 1 . 2. AC 12. 3  0  y 2  y 1  3 0 0  y 2  y 1 . 2. 2. . 3  3   2 0  y 2  y 1 . . 2. 2. 2 3 3   0   y 2  y 1 . 4  y 2  y 2  4 2 1  3 3 2  y2  y1    AC 11 3  0   2 0 0 y 2  y 1  30    2 4 2. 2. . 2.  . . .  y 2  y 2  y 4  y 4 2 1  1  2 3 3 3   2 AC 10  0   y 2  y 1  3  0  0  0   0  y 2  y 1   0    2 4 3. 2. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------y  2 2 I2  B   ( y ) d y y 1. y  2 B   y. 2     0     0 y d y. 1. de donde y  2   y. 2    0     0  y d y. 1. 2     0     0  y.    02  2    0   0 y    02 y2.    02  2  2    0   02 2     0     0  y 2    y  2   0 y  2  0  y  2  0 0 y   02 y2. 2 2. 2. 2 2.   y  2  0 y  0  y. Integrando elemento a elemento y sustituyendo la integral definida : Valores AC 25. Variables. y2  y1. . 12. 2.

(13)  y 3  y 3 1   2 AC 24. . 3. AC 23.  y 2  y 2 1   2. AC 22.  y 2  y 1  2.  . 2.   0  2  0  y2  y 1. .  y 3  y 3 1   2 AC 21  y 2  y 1   0  2 0   3 2. 2. 2. .  y 3  y 3 1  2 2 2  2 AC 20 0    0 0  y 2  y 1    0   y 2  y 1   3 2. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------y  2 I3  C   ( y ) d y y. y  2  C  y. 1. y  2   y.     0     0  y dy. 1.    0     0  y dy. 1.    0    0 y.    0   y  0 y. Integrando elemento a elemento y sustituyendo la integral definida : Valores AC 32. Variables. y2  y1. .  y 2  y 2 1   2 AC 31. . 2. AC 30. . .  0 y 2  y 1 . 0 y 2  y 1  2. 2. . 2. 13.

(14) AC 40. y2  y1. En resumen Valores. Variables 3. A19. AC 19 A  b. ------------------------------------------------------------------------------. . A18. AC 18 A  b. ------------------------------------------------------------------------------. . A17. AC 17 A  b. ------------------------------------------------------------------------------.  . A16. AC 16 A  b. ------------------------------------------------------------------------------.  . A15. ( AC 15 A  AC 25 B)  b ---------------------------------------------------------------. . A14. ( AC 14 A  AC 24 B)  b ---------------------------------------------------------------. . A13. ( AC 13 A  AC 23 B)  b ---------------------------------------------------------------.  . A12. ( AC 12 A  AC 22 B  AC 32 C)  b. -----------------------------------------------. . A11. ( AC 11 A  AC 21 B  AC 31 C)  b. -----------------------------------------------. . A10. ( AC 10 A  AC 20 B  AC 30 C  AC 40 D)  b. 3. 2. 2. 2 2. Axil interno en el hormigón Nint. 3. 3. 2. 2. 2. 2. A19   A18   A17     A16     A15   A14   A13     A12   A11   A10. 14.

(15) Determinación del momento interno analogamente como el axil. 3. . 2. A   ( y )  B  ( y )  C  ( y )  D.  ( y).    0    0 y. M int.    y d A . y  2   b  y d y y 1. y  2 3 2 b  A   ( y )  B  ( y )  C  ( y )  D  y d y y. . . 1. Apartir de los resultados obtenidos en el axil podemos intuir los resultado de las integrales. I5. y  2 3  A  ( y)  y dy y. . . 1. y  2 A  y. 3     0     0  y  y d y. 1. Integrando elemento a elemento y sustituyendo la integral definida: Valores. Variables.  y 2  y 2 1   2 BC 19. .  y 5  y 5 1   2 BC 18. . 2. 5. BC 17.  y 3  y 3 1   2 3 y 2  y 1 . BC 16. 3. 2.  . 4. 4. 3. . 2.  . 4.  y 2  y 2 1  3 3  2 BC 15 3  0  0  y 2  y 1    2. .  y 5  y 5  y 4  y 4 2 1 1     3   2 BC 14 3 0 0 5. 4.  y 4  y 4 1  3 3  2  BC 13  0 y 2  y 1  30   2. 2. . 2.  . 15.

(16)  y 2  y 2  y 4  y 4 2 1  1  3 3 2   2 BC12 3  0    0 0  y 2  y 1   30    2 4. .  y 4  y 4  y 5  y 5 2 1  1  3 3 2  2   BC11  0  y 2  y 1  3 0 0  30    2 5. . 2. 2.  y 2  y 2  y 4  y 4  y 5  y 5 2 1  2 1 1  2 3 3 2 3     2 BC10  0    0  0  y 2  y 1   3 0   0  0    2 4 5 3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------y  2 2 I6  B   ( y )  y d y y. y  2 B   y. 1. y  2   y. 2     0    0  y  y d y. 1. 2     0     0 y  y dy. 1. Integrando elemento a elemento y sustituyendo la integral definida : Valores. Variables.  y 2  y 2 1   2 BC25. .  y 4  y 4 1   2 BC24. . 2. 4. BC23. 2 y 2  y 1 . BC22. 2 y 2  y 1 . BC21. 2 y 2  y 1 . 2. 2. 3. 3. .  . 3 3. 3. 3 3. 3.        y 2  y 2 0 0 2 1   y 4  y 4 1        2 0 0 2. . 3.  y 4  y 4  y 3  y 3  y 2  y 2 2 1  2 1  1  2  2   BC20 0   2 0 0  0  4 3 2 2. 16. .

(17) 2. B17 BC 17A  b. ------------------------------------------------------------------------------.  . B16 BC 16A  b. ------------------------------------------------------------------------------.  . 2. 2. B15 ( BC 15A   BC 25B  )b. ---------------------------------------------------------------. . B14 ( BC 14A   BC 24B  )b. ---------------------------------------------------------------. . B13 ( BC 13A   BC 23B  )b. ---------------------------------------------------------------.  . B12 ( BC 12A   BC 22B   BC 32C  )b. -----------------------------------------------. . B11 ( BC 11A   BC 21B   BC 31C  )b. -----------------------------------------------. . 2. B10 ( BC 10A   BC 20B   BC 30C   BC 40D  )b Momento interno en el hormigón M int. 3. 3. 2. 2. 2. 2. B19   B18   B17     B16     B15   B14   B13     B12   B11   B10. 17.

(18) 6.2 Esfuerzos internos en los aceros. 6.2.1 Ley tensión-deformación del Acero activ o: . E  ( y ).  ( y). .  . Nint.    dA . .    0    0  y. yd. 0.  A.  E. A: A rea del acero activo. E  ( y )  A. Nint. .  . . E     0    0  y  A  . Valores. Variables. APA12. E A. . APA11. E A  y. . APA10. A  E  0  A  E y  0. Axil interno en el acero activ o Nint. APA12   APA11   APA10. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Momento interno en e l acero Activ o. M int.    y d A .  y  A. M int. E  ( y )  y  A. .  . . E     0    0  y  y  A  . Valores. Variables. BPA12 E A  y BPA11 E A  y.  2.  2. BPA10 A  E  0 y  A  E y  0 Momento interno en el acero activo M int. BPA12   BPA11   BPA10. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6.2.2 Leyes tensión-deformación del Acero Pasiv o: yk  E  ( y ) E1  y   ( y)    0    0  y. .  . . E2. u  yk.  u   y . E1: Modulo elasticida d en la primera recta del digrama s-d E2: Modulo de elasticidad de la segunda recta del diagrama s-d. 18.

(19) E. E1. E. E2.     u    dA . Nint. 0    y. Para.  A. Nint. Valores. E  ( y )  A. .  . . E     0    0  y  A   Variables. AP12. E A. . AP11. E A  y. . AP10. A  E  0  A  E y  0. Axil interno en el acero P asiv o Nint. AP12   AP11   AP10. ------------------------------------------------------------------------------------------------------Momento interno en el Acero P asiv o. M int.    y d A .  y  A. M int. Valores. E  ( y )  y  A.  . Variables. BP12 E A  y BP11 E A  y. .  2.  2. BP10 A  E  0 y  A  E y  0 Momento interno en el A cero P asivo M int. BPA12   BPA11   BPA10. ------------------------------------------------------------------------------------------------------6.2.3 Leyes tensión-deformación del Acero Estructural: yk  E  ( y ) E1 E2  y   ( y)    0    0  y. .  . . u  yk.  u   y . E1: Modulo elasticidad en la primera recta del digrama s-d E2: Modulo de elasticid ad de la segunda recta del diagrama s-d. 19. . E     0    0  y  y  A  .

(20) E. E1. E. E2. Nint. 0    y. Para.     u y  2  E         y  b d y  0 0   y.    dA . .  . . 1.  y 2  Nint b  E     0     0  y d y  y 1  Valores. Variables. . . APE12 b  E y 2  y 1. .  y 2  y 2 1   2 APE11 E b . . 2.  y 2  y 2 1   2 APE10 E b   0  y 2  y 1  b  E 0 2. Axil interno en el Acero Estructural Nint. APE12   APE11   APE10. -------------------------------------------------------------------------------------------------------Momento interno en e l Acero E structural. M int.    y d A . y  2  E         y  b  y d y  0 0   y. .  . . 1. M int. y  2 b E   y.     0    0  y  y d y. 1. Valores. Variables.  y 2  y 2  2 1 BPE12 b  E   2  . .  y 3  y 3 1   2 BPE11 E b . . 3. 20.

(21)  y 2  y 2  y 3  y 3 2 1  1    2 BPE10 E b   0  b  E 0 2. 3. Axil interno en el Acero Estructural BPE12   BPE11   BPE10. M int. 6.3 Ecuaciones de equilibrio en la sección: Si Next, Mext son los esfuerzos aplicados en el centro de gravedad de la sección resultantes de un cálculo a nivel estructura: Next. . . Nint . Concreto. . Nint . Aceropasivo. . Nint . Aceroactivo. Nint. Aceroes truc. Donde se toma momento respecto de la fibra superior(y) de la sección. Mext  Next Y. . Mint . Concreto. . Mint . Aceropasivo.  Aceroactivo. Mint . . Mint. Aceroes truc. 6.4 Resolución del sistema de ecuaciones. 6.4.1 Método Newton-Raphson El método Newton Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales es una generalización del caso de una variable, para la cual utilizamos funciones vectoriales ƒ: Ʀn → Ʀm cuando n=m.. Recurriendo a la forma tradicional de introducirlo si se supone que ƒ Є C1 y en un punto xk de un proceso iterativo tendente a resolver ƒ(x) =0 se aproxima la función mediante el modelo. Mk(xk), que define el desarrollo en serie de Taylor alrededor de ese punto, truncándolo a partir de los términos de segundo orden, se tiene que..  . Mk xk.  . . ( x)  J xk  xk  x. De donde J(xk) es la matriz Jacobiana del sistema en xk.. 21.

(22)  . J xk.           . .  1 x x 1. . . .. .. . . .. .. . . .. .. . . ..  n ( x) x 1. . .. ..   x n   .  .   .   n ( x)  x n    1 ( x). Si se utiliza esa aproximación lineal de la función y se resuelve el sistema de ecuaciones lineales que define:.  . . ( x)  J xk  xk  x. 0. Su solución es: x.   1 (x). xk  Jk xk. Determinará un nuevo punto del proceso iterativo. La relación de recurrencia del método de Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales es pues: x( k+1).   1 (x). xk  Jk xk. El paso de Newton es xk+1-xk: una aproximación de x*-xk.. Volviendo a considerar las ideas que se exponen en el caso de una sola variable, en el método Newton Raphson para sistema de ecuaciones no lineales cada ecuación ƒi: Ʀn → Ʀ , se reemplaza o aproxima por el hiperplano tangente en xk a la curva que define esa ƒi . La solución del sistema de ecuaciones lineales de la expresión anterior determina el punto de intersección de todos los hiperplanos resultantes.. El algoritmo de Newton-Raphson para resolver sistema de ecuaciones no lineales es el que se describe a continuación. El paso 1 de este algoritmo comporta la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. . Ni que decir tiene que todas las consideraciones que hacíamos al hablar. de los métodos para resolver sistemas lineales de ecuaciones referentes a estabilidad numérica, 22.

(23) condicionamiento, etc, tienen, si cabe, una mayor trascendencia aquí puesto que de su buen tratamiento o toma en consideración depende que el procedimiento funcione adecuadamente.. Algoritmo de Newton-Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales. Definir un x0 Є Ʀn ; hacer k = 1 y xk ← x0 Determinar la solución de Si. , para: el problema está resuelto. Si no, hacer. ,. e. ir al paso 1.. 6.4.2 Aplicación al método multicapa con leyes no lineales de tensión-deformación: El sistema de ecuaciones no lineales a resolver es el siguiente: 3. 3. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. A19   A18   A17     A16     A15   A14   A13     A12   A11   A10 3. 3. Next. 2. B19   B18   B17     B16     B15   B14   B13     B12   B11   B10 Mext. Siendo la solución:. 3. 3. 2. 2. 2. 2. 1 (  ). A19   A18   A17     A16     A15   A14   A13     A12   A11   A10  Next. 2 (  ). B19   B18   B17     B16     B15   B14   B13     B12   B11   B10  Mext. 3. 3. 2. 2. 2. 2.    1(  )   1(  )        J(  )    2(  )   2(  )            .   0   J22 J12   1(  )  1     0  J11 J22  J12 J21  J21 J11   2(  ) . Repetir los pasos hasta encontrar la convergencia. 23. ..

(24) 7. Algoritmo computacional Para el desarrollo de los algoritmos que implementa el método utilizaremos el fortran 90, en. su versión visual fortran. Para nuestro caso utilizaremos un programa principal y l diferentes subrutinas para el desarrollo de los pasos necesarios.. 7.1 Manual de usuario: 7.1.1 Objeto: Este programa calcula la respuesta en deformaciones y tensiones de una sección de un elemento estructural. Dicho sección puede estar sometido a dos tipos de solicitaciones como son las deformaciones impuestas entre ellas gradiente de temperatura, retracción, pretensado entre otras y esfuerzos impuestos.. El grado de precisión del programa se puede controlar si más que sub-dividir la sección en más o menos capas según su usuario lo desee.. En general este programa estudia cualquier sección estructural que este compuesto por materiales como el hormigón armado, pretensado, estructura metálica y mixtas.. 7.1.2 Datos: Los datos se organizan en dos ficheros uno de entrada de datos y otro de salida. 1- Fichero de entrada: En un principio tiene el nombre de input pero modificando el nombre en el algoritmo puede tener cualquier nombre. 2- Fichero de salida: En un principio tiene el nombre de output pero modificando el nombre en el algoritmo puede tener cualquier nombre.. Fichero de entrada:  TIT: Titulo general (máximo 20 caracteres).  NCAPA: Número de capas.  TPA: Tipo de material de la capa a estudiar; 0: hormigón, 1: Acero  GCM: coeficiente de minoración de la capa  TP: Dentro del material tipo de ley tensión deformación; en el acero 1: Acero pasivo, -1: Acero activo y 0: Acero estructural. 24.

(25)  F: Resistencia característica de la capa,  FU: Resistencia ultima de la capa, para el hormigón y acero activo no importa el valor ya que no lo utiliza mientras que para el acero estructural y pasivo al tener las leyes tensión deformación bilineal si es utilizado por el cual recomendamos un valor entre 1-10% mayor de la resistencia característica.  EO: En el caso de que la capa a analizar sea hormigón o acero activo dicho valor es el modulo de elasticidad y para el caso de acero estructurales y pasivo la deformación donde se produce el cambio a la segunda rama del diagrama tensión deformación.  ECO: En el caso que la capa a analizar sea hormigón o acero activo dicho valor es la deformación inicial de la capa por ejemplo en el hormigón 0.002 y en el caso acero estructural y pasivo es la deformación ultima del material.  AR: Área de la capa para acero estructural y hormigón este valor no tiene importancia.  YI: Distancia desde la fibra de referencia hasta fibra inferior de la capa.  Y: Distancia desde la fibra de referencia hasta el centro de la capa.  YII: Distancia desde la fibra de referencia hasta fibra superior de la capa.  BI: Base de la capa.  EI: Deformación impuesta.  WI: Curvatura impuesta.  NEXT: Axil externo.  MEXT: Momento externo.  YE: Distancia desde la fibra de referencia hasta la ubicación del axil externo.  EF: Valor de la deformación para la primera iteración para el Newton-Raphson.  EF: Valor de la curvatura para la primera iteración para el Newton-Raphson.. 7.1.3 Formato del archivo de entrada: TIT NCAPA TPA,GCM,TP,F,FU,EO,ECO,AR,YI,Y,YII,BI,EI,WI (tantas líneas como NCAPA). NEXT, MEXT, YE. EF, WF. 25.

(26) 7.2 Programa principal: INTEGER NCAPA,TPA,TA,I,NE,NS CHARACTER (20) ::TIT,INPUT,OUTPUT REAL(8):: ECO,EO,EU,GCM,FC,F,YI,Y REAL(8):: YII,BI,EL,ENL,FU,A,C,EI REAL(8):: WI,B,NEXT,MEXT,EY,AR,EF REAL(8):: WF,DWF,DEF,TOL,CP,F11,F22 REAL(8):: ACC19,ACC18,ACC17,ACC16,ACC15 REAL(8):: ACC14,ACC13,ACC12,ACC11,ACC10 REAL(8):: BCC19,BCC18,BCC17,BCC16,BCC15 REAL(8):: BCC14,BCC13,BCC12,BCC11,BCC10 REAL(8):: A19,A18,A17,A16,A15,A14,A13 REAL(8):: A12,A11,A10,J1,J2,J3,J4,B19 REAL(8):: B18,B17,B16,B15,B14,B13,B12 REAL(8):: B11,B10,YE,EY2,EY1,F1,F2,F3,F4 DIMENSION TPA(100),GCM(100),TP(100),F(100) DIMENSION FU(100),EO(100),ECO(100),YI(100) DIMENSION Y(100),YII(100),BI(100),EI(100) DIMENSION WI(100),EL(100),ENL(100),AR(100) DIMENSION EY(100),EY2(100),EY1(100),ACC19(100) DIMENSION ACC18(100),ACC17(100),ACC16(100) DIMENSION ACC15(100),ACC14(100),ACC13(100) DIMENSION ACC12(100),ACC11(100),ACC10(100) DIMENSION BCC19(100),BCC18(100),BCC17(100) DIMENSION BCC16(100),BCC15(100),BCC14(100) DIMENSION BCC13(100),BCC12(100),BCC11(100) DIMENSION BCC10(100),AP12(100),AP11(100) DIMENSION AP10(100),BP12(100),BP11(100) DIMENSION BP10(100),APE12(100),APE11(100) DIMENSION APE10(100),BPE12(100),BPE11(100) DIMENSION BPE10(100),APA12(100),APA11(100) DIMENSION APA10(100),BPA12(100),BPA11(100) DIMENSION BPA10(100),APP12(100),APP11(100) DIMENSION APP10(100),BPP12(100),BPP11(100) DIMENSION BPP10(100),APEE12(100),APEE11(100) DIMENSION APEE10(100),BPEE12(100),BPEE11(100) DIMENSION BPEE10(100) COMMON/PART1/NCAPA,TPA,TP,TA,I,F1,F2,F3,F4,A,C COMMON/PART2/ECO,EO,EU,GCM,FC,F,YI,Y,YII,EL,ENL COMMON/PART3/EI,WI,B,NEXT,MEXT,EY,BI,AR,YE,FU COMMON/PART4/TIT,INPUT,OUTPUT,EY2,EY1,NE,NS COMMON/PART5/EF,WF,TOL,CP,F11,F22,DWF,DEF,J1,J2,J3,J4 COMMON/PARTE6/A19,A18,A17,A16,A15,A14,A13,A12,A11,A10 COMMON/PARTE7/B19,B18,B17,B16,B15,B14,B13,B12,B11,B10 COMMON/PARTE8/ACC19,ACC18,ACC17,ACC16,ACC15,ACC14,ACC13,ACC12,ACC11,ACC10 COMMON/PARTE9/BCC19,BCC18,BCC17,BCC16,BCC15,BCC14,BCC13,BCC12,BCC11,BCC10 COMMON/PARTE10/APA12,APA11,APA10,APE12,APE11,APE10,AP12,AP11,AP10 COMMON/PARTE11/BPA12,BPA11,BPA10,BPE12,BPE11,BPE10,BP12,BP11,BP10 COMMON/PARTE12/APP12,APP11,APP10,BPP12,BPP11,BPP10 COMMON/PARTE13/APEE12,APEE11,APEE10,BPEE12,BPEE11,BPEE10 !NCAPA: # CAPAS DE LA SECCION. 26.

(27) !TPA: TIPO DE MATERIAL DE CAPA !TP: SEGUN EL MATERIAL DE LA CAPA !TIT: TITULO !ncapa: # CAPAS DE LA SECCION !eco: DEFORMACION INICIAL DEL HORMIGON DIAGRAMA TENSION-DEFOR. !Eo: MODULO DE DEFORMACION INICIAL !GCM: COEFICIENTE REDUCION DE RESISTENCIA !F: RESISTENCIA CARACTERISTICA DE LA CAPA !yi: DISTANCIA MEDIDA DESDE LA FIBRA DE REFERENCIA HASTA LA PARTE INFERIOR DE LA CAPA !y: CENTROIDE DE LA CAPA MEDIDA DESDE LA CAPA DE REFERNCIA !yii: DISTANCIA MEDIDA DESDE LA FIBRA DE REFERENCIA HASTA LA PARTE SUPERIOR DE LA CAPA !ei: DEFORMACION IMPUESTA DE LA CAPA !wi: CURVATURA IMPUESTA EN LA CAPA !bi: ANCHO(BASE) DE LA CAPA !FU: RESISTENCIA ULTIMA DE LA CAPA !tpa: IPO DE MATERIAL DE CAPA !TP: TIPO DE LEY DEFORMACION !AR: AREA DE LA CAPA !EF: APROXIMACION DE LA RESPUESTA NEWTON RAPSON !WF:APROXIMACION !YE: UBICACION DEL AXIL Y MOMENTO EXTERNO CORRESPECTO A LA CAPA INFERIOR NE=1 NS=3 OPEN(NE,FILE='INPUT') OPEN(NS,FILE='OUTPUT') READ(NE,*)TIT READ(NE,*)NCAPA WRITE(NS,*)TIT WRITE(NS,*)NCAPA DO I=1,NCAPA READ(NE,*)TPA(I),GCM(I),TP(I),F(I),FU(I),EO(I),ECO(I),AR(I),YI(I),Y(I),YII(I),BI(I),EI(I),WI(I) END DO DO I=1,NCAPA IF (TPA(I)<1) THEN CALL HORMIGON ELSE CALL TDACERO END IF END DO READ(NE,*)NEXT,MEXT,YE READ(NE,*)EF,WF MEXT=MEXT+NEXT*YE 5 CONTINUE CALL INICV DO I=1,NCAPA. 27.

(28) CALL VARIABLE END DO CALL NEWRHA DO I=1,NCAPA EY(I)=(EF-EI(I))+(WF-WI(I))*Y(I) EY2(I)=(EF-EI(I))+(WF-WI(I))*YII(I) EY1(I)=(EF-EI(I))+(WF-WI(I))*YI(I) IF(EO(I)>SQRT(EY(I)**2)) THEN CONTINUE ELSE IF(TPA(I))7,7,10 7 GOTO 25 10 IF(TP(I))15,20,20 15 CONTINUE GOTO 25 20 GOTO 5 25 CONTINUE END IF END DO DO I=1,NCAPA EY(I)=(EF-EI(I))+(WF-WI(I))*Y(I) EY2(I)=(EF-EI(I))+(WF)*YII(I) EY1(I)=(EF-EI(I))+(WF)*YI(I) WRITE(NS,*)I WRITE(NS,*)EY2(I),EY1(I) WRITE(NS,*)A*ABS(EY2(I)**3)+B*EY2(I)**2+C*ABS(EY2(I)),A*ABS(EY1(I)**3)+B*EY1(I)**2+C*ABS(EY1(I)) END DO END. 7.3 Subrutinas: SUBROUTINE HORMIGON () !LEY TENSION DEFORMACION HORMIGON LEY CUBICA. IF (TP(I)>0) THEN A=EO(I)/(GCM(I)*ECO(I)**2)-2*F(I)/(GCM(I)*ECO(I)**3) B=3*F(I)/(GCM(I)*ECO(I)**2)-2*EO(I)/(GCM(I)*ECO(I)) C=EO(I)/GCM(I) D=0 ELSE ! LEY TENSION DEFORMACION HORMIGON LEY PARABOLA-RECTANGULO A=0 B=-F(I)/(GCM(I)*ECO(I)**2). 28.

(29) C=2*F(I)/(ECO(I)*GCM(I)) D=0 END IF ! !. ESFUERZO INTERNOS SOBRE EL HORMIGON INTEGRAL I F1=YII(I)-YI(I) F2=YII(I)**2-YI(I)**2 F3=YII(I)**3-YI(I)**3 F4=YII(I)**4-YI(I)**4 AC19=F1 AC18=F4*0.25 AC17=F2*1.5 AC16=F3 AC15=-3*EI(I)*F1-1.5*WI(I)*F2 AC14=-0.75*WI(I)*F4-EI(I)*F3 AC13=-3*EI(I)*F2-2*WI(I)*F3 AC12=3*(EI(I)**2)*F1+3*EI(I)*WI(I)*F2+(WI(I)**2)*F3 AC11=0.75*F4*WI(I)**2+1.5*F2*EI(I)**2+2*EI(I)*WI(I)*F3 AC10=-F1*EI(I)**3-0.25*F4*WI(I)**3-1.5*WI(I)*F2*EI(I)**2-EI(I)*F3*WI(I)**2. !. INTEGRAL II AC25=F1 AC24=F3/3 AC23=F2 AC22=-2*EI(I)*F1-WI(I)*F2 AC21=-2*WI(I)*F3/3-EI(I)*F2 AC20=F1*EI(I)**2+F3*(WI(I)**2)/3+WI(I)*EI(I)*F2. !. INTEGRAL III AC32=F1 AC31=0.5*F2 AC30=-EI(I)*F1-0.5*WI(I)*F2. !. INTEGRAL IV AC40=F1. !. AXIAL INTERNO EN EL HORMIGON ACC19(I)=BI(I)*A*AC19 ACC18(I)=BI(I)*A*AC18 ACC17(I)=BI(I)*A*AC17 ACC16(I)=BI(I)*A*AC16 ACC15(I)=BI(I)*A*AC15+BI(I)*B*AC25 ACC14(I)=BI(I)*A*AC14+BI(I)*B*AC24 ACC13(I)=BI(I)*A*AC13+BI(I)*B*AC23 ACC12(I)=BI(I)*A*AC12+BI(I)*B*AC22+BI(I)*C*AC32 ACC11(I)=BI(I)*A*AC11+BI(I)*B*AC21+BI(I)*C*AC31 ACC10(I)=BI(I)*A*AC10+BI(I)*B*AC20+BI(I)*C*AC30+BI(I)*D*AC40. !. MOMENTO EN EL HORMIGON. 29.

(30) !. !. INTEGRAL V F5=YII(I)**5-YI(I)**5 BC19=F2*0.5 BC18=0.2*F5 BC17=F3 !revisar BC16=F4*0.75 BC15=-1.5*EI(I)*F2-WI(I)*F3 BC14=-0.6*WI(I)*F5-0.75*EI(I)*F4 BC13=-EI(I)*F3-1.5*WI(I)*F4 BC12=1.5*F2*EI(I)**2+EI(I)*WI(I)*F3+0.75*F4*WI(I)**2 !revisar BC11=0.6*F5*WI(I)**2+F3*EI(I)**2+1.5*EI(I)*WI(I)*F4 BC10=-0.75*EI(I)*F4*WI(I)**2-EI(I)**2*WI(2)*F3-0.5*F2*EI(I)**3-0.2*F5*WI(I)**3 !REVISAR INTEGRAL VI BC25=0.5*F2 BC24=0.25*F4 BC23=1.5*F3 BC22=-EI(I)*F2-2*WI(I)*F3/3 BC21=-0.5*WI(I)*F4-2*EI(I)*F3/3 BC20=0.5*F2*EI(I)**2+0.25*F4*WI(I)**2+2*EI(I)*WI(I)*F3/3. !. INTEGRAL VII BC32=0.5*F2 BC31=F3/3 BC30=-0.5*EI(I)*F2-WI(I)*F3/3. !. INTEGRAL VIII BC40=F2/2. !. MOMENTOS INTERNOS BCC19(I)=BI(I)*A*BC19 BCC18(I)=BI(I)*A*BC18 BCC17(I)=BI(I)*A*BC17 BCC16(I)=BI(I)*A*BC16 BCC15(I)=BI(I)*A*BC15+BI(I)*B*BC25 BCC14(I)=BI(I)*A*BC14+BI(I)*B*BC24 BCC13(I)=BI(I)*A*BC13+BI(I)*B*BC23 BCC12(I)=BI(I)*A*BC12+BI(I)*B*BC22+BI(I)*C*BC32 BCC11(I)=BI(I)*A*BC11+BI(I)*B*BC21+BI(I)*C*BC31 BCC10(I)=BI(I)*A*BC10+BI(I)*B*BC20+BI(I)*C*BC30+BI(I)*D*BC40 END. SUBROUTINE TDACERO() !1:ACERO PASIVO; -1:ACERO ACTIVO; 0:ACERO ESTRUCTURAL IF(TP(I))5,10,15 5 continue ! LEY TENSION DEFORMACION DEL ACERO ACTIVO ! Axil interno APA12(I)=AR(I)*EO(I) APA11(I)=AR(I)*Y(I)*EO(I) APA10(I)=-AR(I)*EO(I)*EI(I). 30.

(31) !. Momento interno BPA12(I)=AR(I)*EO(I)*Y(I) BPA11(I)=AR(I)*EO(I)*Y(I)**2 BPA10(I)=-AR(I)*EI(I)*Y(I)*EO(I) GOTO 20. ! LEY TENSION DEFORMACION DEL ACERO ESTRUCTURAL ! Axil interno 10 EL(I)=F(I)/EO(I) ENL(I)=(FU(I)-F(I))/(ECO(I)-EO(I)) APEE12(I)=BI(I)*YII(I)-BI(I)*YI(I) APEE11(I)=BI(I)*YII(I)*YII(I)*0.5-BI(I)*YI(I)*YI(I)*0.5 APEE10(I)=-BI(I)*EI(I)*(YII(I)-YI(I))-BI(I)*WI(I)*(YII(I)*YII(I)-YI(I)*YI(I))*0.5 !revisar !. Momento interno BPEE12(I)=BI(I)*(YII(I)*YII(I)-YI(I)*YI(I))*0.5 BPEE11(I)=BI(I)*(YII(I)**3-YI(I)**3)/3 BPEE10(I)=-BI(I)*EI(I)*(YII(I)**2-YI(I)**2)*0.5-BI(I)*WI(I)*(YII(I)**3-YI(I)**3)/3 GOTO 20. ! LEY TENSION DEFORMACION DEL ACERO PASIVO ! Axil interno 15 EL(I)=F(I)/(EO(I)*GCM(I)) ENL(I)=(FU(I)-F(I))/((ECO(I)-EO(I))*GCM(I)) APP12(I)=AR(I) APP11(I)=AR(I)*Y(I) APP10(I)=-AR(I)*EI(I) !. Momento interno BPP12(I)=AR(I)*Y(I) BPP11(I)=AR(I)*Y(I)*Y(I) BPP10(I)=-AR(I)*EI(I)*Y(I) GOTO 20 20 CONTINUE END. SUBROUTINE VARIABLE() IF(EO(I)>SQRT(EY(I)**2)) THEN APE12(I)=APEE12(I)*EL(I) APE11(I)=APEE11(I)*EL(I) APE10(I)=APEE10(I)*EL(I) AP12(I)=APP12(I)*EL(I) AP11(I)=APP11(I)*EL(I) AP10(I)=APP10(I)*EL(I) BPE12(I)=BPEE12(I)*EL(I) BPE11(I)=BPEE11(I)*EL(I) BPE10(I)=BPEE10(I)*EL(I) BP12(I)=BPP12(I)*EL(I). 31.

(32) BP11(I)=BPP11(I)*EL(I) BP10(I)=BPP10(I)*EL(I) ELSE IF(TPA(I))7,7,10 7 GOTO 30 10 IF(TP(I))15,20,25 15 CONTINUE GOTO 30 20 CONTINUE APE12(I)=APEE12(I)*ENL(I) APE11(I)=APEE11(I)*ENL(I) APE10(I)=APEE10(I)*ENL(I)+F(I)*BI(I)*(YII(I)-YI(I)) BPE12(I)=BPEE12(I)*ENL(I) BPE11(I)=BPEE11(I)*ENL(I) BPE10(I)=BPEE10(I)*ENL(I)+F(I)*BI(I)*(YII(I)**2-YI(I)**2)*0.5 EO(I)=ECO(I) GOTO 30 25 CONTINUE AP12(I)=APP12(I)*ENL(I) AP11(I)=APP11(I)*ENL(I) AP10(I)=APP10(I)*ENL(I)+AR(I)*F(I) BP12(I)=BPP12(I)*ENL(I) BP11(I)=BPP11(I)*ENL(I) BP10(I)=BPP10(I)*ENL(I)+AR(I)*F(I)*Y(I) EO(I)=ECO(I) 30 CONTINUE END IF A19=ACC19(I)+A19 A18=ACC18(I)+A18 A17=ACC17(I)+A17 A16=ACC16(I)+A16 A15=ACC15(I)+A15 A14=ACC14(I)+A14 A13=ACC13(I)+A13 A12=ACC12(I)+APA12(I)+APE12(I)+ AP12(I)+A12 A11=ACC11(I)+APA11(I)+APE11(I)+ AP11(I)+A11 A10=ACC10(I)+APA10(I)+APE10(I)+ AP10(I)+A10 B19=BCC19(I)+B19 B18=BCC18(I)+B18 B17=BCC17(I)+B17 B16=BCC16(I)+B16 B15=BCC15(I)+B15 B14=BCC14(I)+B14 B13=BCC13(I)+B13 B12=BCC12(I)+BPA12(I)+BPE12(I)+BP12(I)+B12 B11=BCC11(I)+BPA11(I)+BPE11(I)+BP11(I)+B11 B10=BCC10(I)+BPA10(I)+BPE10(I)+BP10(I)+B10 END. 32.

(33) SUBROUTINE INICV() A19=0 A18=0 A17=0 A16=0 A15=0 A14=0 A13=0 A12=0 A11=0 A10=0 B19=0 B18=0 B17=0 B16=0 B15=0 B14=0 B13=0 B12=0 B11=0 B10=0 END. SUBROUTINE NEWRHA() TOL=0.01 CALL FX CP=sqrt(F11**2+F22**2) do while (TOL<CP) CALL J CALL SOL EF=EF+DEF WF=WF+DWF CALL FX CP=sqrt(F11**2+F22**2) END DO WRITE(NS,*)EF,WF END. 33.

(34) SUBROUTINE FX() F11=A19*EF**3+A18*WF**3+A17*EF*EF*WF+A16*EF*WF*WF+A15*EF**2+A14*WF**2+A13*EF*WF+A1 2*EF+A11*WF+A10-NEXT F22=B19*EF**3+B18*WF**3+B17*EF*EF*WF+B16*EF*WF*WF+B15*EF**2+B14*WF**2+B13*EF*WF+B1 2*EF+B11*WF+B10-MEXT END SUBROUTINE SOL() DEF=-(J4*F11-J2*F22)/(J1*J4-J2*J3) DWF=-(-J3*F11+J1*F22)/(J1*J4-J2*J3) END. 34.

(35) 8. Ejemplo  Sección de hormigón calentada hasta llegar a la rotura. Dimensiones:. Propiedades: . . Condiciones iniciales: .  En la capa 3 y 4 con un valor de . . .  y. Resultado: donde (-) es en la parte inferior de la capa 4 y (+) en la parte superior de la capa 1. 0 0 0.0001 0.0003 0.0005 0.0007 0.0009 0.0011 0.0013 0.0015 0.0017 0.0019 0.0021 0.0023 0.0025 0.0027 0.0029 0.0031 0.0033 0.0035 0.0037 0.00385.     0 0 -0.00002014 0.00001967 -0.000047 4.2656E-05 -0.00006 0.0000562 -0.000545 0.000749 -0.000611 0.00088 -0.000658 0.00103 -0.000697 0.001179 -0.0007275 0.001332 -0.00075 0.00149 -0.000764 0.001654 -0.0007726 0.001823 -0.0007736 0.001998 -0.0007684 0.00217 -0.0007576 0.0023631 -0.000742 0.0025531 -0.0007232 0.002747 -0.000701 0.002945 -0.0006795 0.0031472 -0.000658 0.00335 -0.0006438 0.003503. σ (Mpa) 0 0.585 1.259 1.653 16.684 18.6471 20.3474 21.7852 22.9575 23.8624 24.5004 24.876 24.99999 24.8883 24.5653 24.06405 23.4261 22.702 21.9521 21.2401 20.7721. 35.

(36) -. 30. 25.  (Mpa). 20. 15. 10. 5. 0 0. 0.0005. 0.001. 0.0015. 0.002. . 36. 0.0025. 0.003. 0.0035. 0.004.

(37) 9. Futuro del método Implementar los efectos de la fluencia y tener en cuenta la fisuración así como también el. proceso constructivos. A partir del estudio seccional y estructural en conjunto obtener el estado tenso-deformacional a nivel estructural.. Para esto es necesario hacer pruebas de laboratorio para poder a punto el modelo de fisuración producto del fenómeno de tensión-stiffening.. En la creación de los algoritmos de fisuración en el hormigón se puede considerar subdivisión de capas de este, tomando en consideración que las capas que estén en tracción ser eliminada para tener únicamente las capas del hormigón comprimido, siendo esto una sugerencia para localizar las capas a compresión.. 37.

(38) 10 Conclusiones . Atraves del análisis no lineal de las secciones podemos superar tensiones a compresión en el hormigón superior al 40-45% de su resistencia característica.. . Estudio del estado de tensión-deformación de los elementos sometidos a temperatura extrema como el caso de un incendio.. . Análisis y estudiar los fenómenos de fluencia en rangos no lineales, así como otros efectos no lineales a nivel seccional, tales como la fisuración y rigidización.. . Estudio de la transición de rango elástico al rango plástico en estructuras, lo que nos permite entender mejor el fenómeno.. . Se recomienda para tener resultados más exacto hacer una discretización en capas más finas. Para el método Newton-Raphson se recomienda que los valores iniciales de deformación y curvatura sean lo más aproximado a la solución para así se pueda determinar una convergencia más rápida.. . Para el caso de fisuración en el hormigón se recomienda discretizarlo en N capas, tal que las capas que nos den unas tensiones negativas sean eliminadas del análisis para así tener en cuenta los efectos de la fisuración del material.. 38.

(39) 11 Bibliografía  IGLESIAS PEREZ, C (1993). “Formulation of cracking using the multilayer model (MLM)”. Proceedings of the 5th international RILEM Symposium on Creep and Shrinkage of Concrete. Barcelona, pág. (561-566).  IGLESIAS PEREZ, C (1995). “Redistribución de tensiones en secciones transversales ejecutadas por fases sucesivas”. Hormigón y Acero N 197 pág. (57-76).  IGLESIAS PEREZ, C Y MANTEROLA ARMISEN, J (1996 ). “Estudio de efectos diferidos en secciones fisuradas mediante el método multicapa”. XV Asamblea Técnica Nacional de la Asociación Técnica Española del Pretensado. Logroño, pág. (61-64).  IGLESIAS PEREZ, C (1997). “Estudio de efectos diferidos en secciones fisuradas mediante el método multicapa”. Hormigón y Acero N 206 pág. (27-62).  IGLESIAS PEREZ, C (2006). “Long Term behavior of precast segmental bridges”. Journal of Bridge Engineering. ASCE (American Society of Engineers), May/June.  Instrucción del hormigón estructural (EHE-08). Ministerio de la Presidencia.  DE LA FUENTE O’CONNOR, J (1998). “Técnicas de cálculo para sistemas de ecuaciones, programación lineal y programación entera”. Editorial Reverte.  BRAVO BOLIVAR J, BOTERO ARANGO A y BOTERO ARBELAEZ M (2005). “El método de Newton-Raphson- La alternativa del ingeniero para resolver sistemas de ecuaciones no lineales”. Scientia et Technica Año XI, No 27, Abril 2005.  ADAMS J, BRAINERD W, MARTIN J, SMITH B Y WAGENER J (1992). “Fortran 90 Handbook (complete ANSI/ISO reference)”. McGraw-Hill Book Company.  NILSON, A (1999). “Diseño de estructuras de concreto”. McGraw-Hill Book Company.  Instrucción de Acero Estructural (EAE-2010). Ministerio de la Presidencia.. 39.

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