Matrices y sistemas lineales Matrices. Suma y producto de matrices. Tipos de matrices. Operaciones elementales sobre filas y columnas. Matriz reducida. Rango de una matriz. Inversas de matrices cuadradas. Determinante de matrices cuadradas. Transformacion

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(1)

Enrique Guzmán y Valle

Alma Máter del Magisterio Nacional

FACULTAD DE CIENCIAS

Escuela Profesional de Matemática e Informática

MONOGRAFÍA

Matrices y Sistemas Lineales

Matrices. Suma y producto de matrices. Tipos de Matrices. Operaciones elementales sobre filas y columnas. Matriz Reducida. Rango de una matriz.

Inversas de matrices cuadradas. Determinante de Matrices cuadradas. Transformaciones lineales y matrices. Sistema de Ecuaciones Lineales.

Solución de Sistema Lineales.

Examen de Suficiencia Profesional Res. N° 1328-2018-D-FAC

Presentada por:

Jesús Roque Sachahuamán Flores

Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación

Especialidad: Matemática e Informática

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(3)

A mi familia por su permanente apoyo, comprensión y por ser fuente de fortaleza y superación para ser un mejor profesional cada día.

(4)

Índice de contenidos

Dedicatoria……….….iii

Índice de contenidos ………...iv

Introducción.………....vi

1. Matrices ... 9

1.1. Matrices iguales ... 10

2. Tipos de matrices ... 11

2.1. Matriz cuadrada ... 11

2.2. Matriz columna ... 12

2.3. Matriz fila ... 12

2.4. Matriz identidad ... 12

2.5. Matriz nula ... 13

2.6. Matriz diagonal ... 13

2.7. Matriz transpuesta ... 14

2.8. Matriz triangular ... 14

3. Suma y producto de matrices... 15

3.1. Adición de matrices ... 15

3.2. Producto de un escalar por una matriz ... 17

3.3. Sustracción de matrices ... 18

3.4. Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna ... 20

3.5. Multiplicación de matrices m × n ... 21

4. Operaciones elementales sobre filas y columnas ... 22

5. Matriz reducida ... 24

6. Rango de una matriz ... 25

7. Inversas de matrices cuadradas... 25

7.1. Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada por el método de Gauss-Jordan ... 27

7.2. Cálculo de la inversa de una matriz por determinantes o adjunto ... 29

7.2.1. Determinante de una matriz ... 29

7.2.2. Menor y cofactor de un elemento ... 30

7.2.3. Matriz adjunta ... 31

7.2.4. Cálculo de la inversa ... 33

8. Determinantes de matrices cuadradas... 35

8.1. El determinante de una matriz 2 x 2 ... 36

(5)

8.3. El Determinante de una matriz n × n (Método de Cofactores) ... 38

8.4. Método del pivote o de Chio ... 40

8.5. Método triangularizante ... 42

8.6. Propiedades de los determinantes ... 43

9. Transformaciones lineales y matrices... 47

10. Sistemas de ecuaciones lineales ... 49

10.1. Ecuación Lineal ... 50

10.2. Sistema lineal ... 51

10.3. Clasificación de los sistemas lineales ... 52

10.4. Interpretación grafica de un sistema lineal ... 52

10.5. Teorema de Rouché-Frobenius ... 59

11. Solución de sistemas lineales ... 62

11.1. Métodos de resolución elementales de sistemas lineales: Sustitución, Reducción e Igualación ... 62

11.1.1. Método de sustitución ... 63

11.1.2. Método de reducción o eliminación ... 64

11.1.3. Método de igualación ... 65

11.2. El método de Gauss para la resolución de sistemas lineales ... 66

11.3. El método de Gauss Jordan para la resolución de sistemas lineales ... 71

11.4. La regla de Cramer para la resolución de sistemas lineales ... 77

12. Aplicación didáctica ... 83

12.1. Aplicación práctica 1 ... 87

12.2. Aplicación práctica 2 ... 90

12.3. Aplicación práctica 3 ... 94

Síntesis ... 95

Apreciación crítica y sugerencias ... 97

Conclusiones ... 98

(6)

Introducción

El gran avance del Algebra Lineal ocurre en el siglo XIX como consecuencia principalmente de los trabajos desarrollados por los matemáticos británicos J. Sylvester y Cayley. En 1850, se introduce por primera vez el término matriz, así como el

desarrollo inicial de la teoría recae en el matemático W.R. Hamilton en 1853; y la representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales por A. Cayley en 1858.

Cada vez más las matrices adquieren gran importancia por su aplicación en los diversos campos de la actividad humana, como: el cálculo y análisis numérico y algebraico, métodos cuantitativos, la estadística, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el cálculo diferencial e integral, geometría, economía, física, procesamiento de datos por computadora, lenguajes de programación, la inteligencia artificial, entre otros.

En el procesamiento de datos la aplicación de las matrices o arreglos constituyen el fundamento de los lenguajes de programación, la programación estructurada y la forma bidimensional de entrada de los datos, organización de base de datos, la gestión de los datos en las hojas electrónicas de cálculo, el almacenamiento interno y externo de la computadora en donde los datos se organizan en tablas organizadas en filas y

columnas.

(7)

El uso de matrices y determinantes contribuyen al desarrollo de habilidades de pensamiento lógico y analítico matemático en los estudiantes especialmente de la educación secundaria y educación superior, y de actividades como el razonamiento, la resolución y planteamiento de problemas, la comunicación, el modelamiento, la simulación, de casos del mundo real y que faciliten la gestión de la toma de decisiones en diferentes escenarios, campos de la actividad humana o ciencia.

Comúnmente, por ejemplo, las notas académicas de los estudiantes de una determinada asignatura de la universidad son presentadas en forma tabular; así se tiene que las notas de tres estudiantes de la asignatura de matemática aplicada

correspondiente al tercer semestre académico, es:

EP1 EP2 EF PF

Jesús 14 16 18 16

Marco 11 13 16 13

Carlos 10 12 11 11

En esta tabulación de datos EP1, EP2, EF3 y PF representan: la nota del primer examen parcial, la nota del segundo examen parcial, la nota del examen final y el promedio final, respectivamente.

El procedimiento para determinar la nota de Marco en el examen final o determinar el promedio final de Jesús se podría realizar mediante una distribución o tabulación en filas y columnas. En el mismo orden de la tabla precedente se definen los encabezados (columnas) y la relación de los estudiantes (filas), la matriz o arreglo se resumen mediante la representación de tres filas y cuatro columnas de números enteros de la siguiente manera:

(8)
(9)

1. Matrices

El conjunto de números, generalmente reales R, arreglados en una estructura rectangular de filas y columnas, es llamado matriz. Estas, generalmente se encuentran denotadas por letras mayúsculas y se caracterizan por la dimensión de las mismas. Por ejemplo, si una matriz tiene m filas y n columnas, se dirá que esta es una de dimensión u orden . Los elementos o entradas de estas son números reales y tendrán una posición fija dentro de una matriz, definida por la fila y la columna en la que se encuentren.

( )

Donde con . En esta se cumple que:

 Si la matriz A tiene m filas y n columnas se dice que A es de tamaño o que A

es de orden o ( ).

 Si , se dice que A es de orden n.

 La expression ( ) representa la i-ésima fila de la matriz A; así:

( ) ( )

 La expression ( ) representa la j-ésima columna de A, así:

( ) (

,

 La letra hace referencia a números reales, nótese que este es un elemento de

(10)

 El elemento , entrada de A que está ubicado en la i-ésima fila y en la j-ésima

columna, es también denotado como 〈 〉 .

 El conjunto formado por todas las matrices de tamaño con entradas reales es denotado como ( ). Si, en este caso, , la expression finalmente es

( ).

 Las matrices generalmente reciben el nombre de letras mayúsculas, como A, B, etc. y sus elementos, en caso estén como incógnitas o variables, con letras minúsculas. 1.1. Matrices iguales

Se dice que dos matrices y son iguales si y solo si ambos tienen las mismas

dimensiones, es decir, el mismo número de filas y columnas, y además cada uno de los elementos de es igual a los elementos correspondientes de la matriz . Por ejemplo, para las matrices ( ) y ( ) , se dirá que estas son iguales,

, si y solo si para cada uno de los valores de .

Ejemplo 1:

. / (

+

Orden: Orden:

Ejemplo 2:

( ) . / ( ) . /

(11)

2. Tipos de matrices

2.1. Matriz cuadrada

Una matriz cuadrada es aquel arreglo en el cual el número de filas y el número de columnas es el mismo. Una matriz cualquiera, llamada , de orden o dimensión puede ser denominada . Si , entonces la matriz es cuadrada y sería de orden

, simplemente escrita como .

(

,

La diagonal principal de una matriz cuadrada como la mostrada está compuesta por el conjunto ordenado de los elementos , en la que , tomándose los datos desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha. Por lo tanto, los principales elementos contenidos por la diagonal principal serán los .

La diagonal secundaria está compuesta por el conjunto ordenado de los elementos , en la que , tomándose los datos desde la esquina superior derecha hasta la esquina inferior izquierda. Por lo tanto, los principales elementos contenidos por la diagonal principal serán los ( ) .

Ejemplo 1:

(

+

(12)

2.2. Matriz columna

Una matriz que consiste en una sola columna es llamada una matriz columna o un vector columna. Una matriz columna de dimensiones , sería por lo tanto, un arreglo de filas y columna.

Ejemplo 1:

( ,

2.3. Matriz fila

Una matriz que consiste en una sola fila es llamada una matriz fila o un vector fila. Una matriz fila de dimensiones , sería por lo tanto, un arreglo de 1 fila y columnas.

( )

2.4. Matriz identidad

Aquella matriz escalar en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad (1), mientras que el resto de las entradas son igual cero (0), es llamada la matriz identidad o matriz unidad. Una matriz de estas características de orden o solo , es usualmente denotada por . En general, una matriz cualquiera [ ] , es una matriz identidad si y solo si los elementos para y , para .

( +

(13)

(

)

Una matriz identidad de orden 2, es:

. /

2.5. Matriz nula

La matriz nula, o matriz cero, es aquella en la que todos los elementos que la integran son iguales a cero. Una matriz nula de orden es denotada por , aunque generalmente es representada por 0. En este último caso, las dimensiones de la matriz son determinadas por el contexto de las operaciones en las que se incluya.

( +

. /

( +

2.6. Matriz diagonal

(14)

〈 〉 {

Donde, con . Por lo tanto, la matriz es de la forma:

(

)

2.7. Matriz transpuesta

Dada una matriz inicial de dimensiones , la matriz transpuesta es aquella de orden obtenida al intercambiar las filas y las columnas de . La denotación de la matriz transpuesta de la matriz es . En general, la transpuesta de una matriz

, - está definida como la matriz , -, con para y , siendo .

( , ( + Ejemplo 1: . / ( )

2.8. Matriz triangular

La matriz triangular es aquella matriz cuadrada en la que todos los elementos o entradas ubicados a uno de los lados de la diagonal principal son igual a cero. Existen dos tipos de matrices triangulares: la matriz triangular superior y la matriz triangular inferior.

(15)

Una matriz cuadrada de orden es una matriz triangular superior si y solo si

cuando , es decir, los elementos por debajo de la diagonal. Estas, tienen

hasta un total de ( ) entradas diferentes de cero.

(

,

Ejemplo 1:

( +

Matriz triangular inferior

Una matriz cuadrada de orden es una matriz triangular inferior si y solo si

cuando , es decir, los elementos por encima de la diagonal. Estas, tienen

hasta un total de ( ) entradas diferentes de cero.

(

,

Ejemplo 1:

( +

3. Suma y producto de matrices

3.1. Adición de matrices

(16)

iguales a la suma de los elementos correspondientes de y . Esta operación solo puede ser realizada cuando el orden de las dos matrices a adicionar es igual, para el caso en el que no lo sean, el resultado es indeterminado.

En general, sean las matrices ( ) y ( )ambas de orden , se define la suma , definiéndose ( ) con , para y

. En resumen, 〈 〉 〈 〉 〈 〉 ( , ( , Entonces, ( ,

Propiedades de la suma de matrices:

A partir de la definición provista para la adición de matrices, se verifica las siguientes propiedades. En estas, asumimos que tanto A, B y C son matrices de las mismas dimensiones.

1. Propiedad conmutativa: A + B = B + A

(17)

3. Propiedad del elemento nulo: A+0 = 0+A=A. Adicionar una matriz nula (elemento neutro de esta operación de matrices) a otra, no tiene ningún efecto. 4. Propiedad del inverso aditivo: A + (–A) = 0. La adición de una matriz opuesta

obtenida al cambiar de signo a todos los elementos de otra, da como resultado el elemento nulo.

Ejemplo 1:

(

+ (

+

(

+ (

+ (

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ))

( +

3.2. Producto de un escalar por una matriz

La multiplicación de un escalar y una matriz es la operación en la cual una matriz es multiplicada por un valor escalar o constante (por ejemplo, un número), cuyo resultado es la multiplicación de cada elemento de la matriz por el valor escalar. Usualmente, se usan letras en minúscula o letras griegas en minúscula para denotar valores escalares. Esta operación es generalmente denotada por yuxtaposición, y el resultado no depende de la ubicación de los elementos en la misma.

En general, si es una matriz de orden y es un número real, entonces es la matriz de orden que se obtiene al multiplicar todas las entradas de por el valor de . Por lo tanto, el elemento ij-ésimo de la matriz está dado por ( ) ( ) .

(18)

〈 〉 〈 〉

Entonces, si y :

(

,

Entonces, el resultado de es:

(

,

Propiedades:

1. Propiedad distributiva 1: k (A + B) = k A + k B 2. Propiedad distributiva 2: (k + h)A = k A + h A 3. Propiedad asociativa mixta: k (h A) = (k h) A 4. Elemento unidad: 1·A = A

5. Elemento cero: 0·A = 0

Ejemplo:

( +

( +

3.3. Sustracción de matrices

(19)

correspondientes de y . Esta operación solo puede ser realizada cuando el orden de las dos matrices a adicionar son iguales.

En general, sean las matrices ( ) y ( )ambas de orden , se define la

suma , definiéndose ( ) con , para y

. Además, la resta de matrices puede ser expresada como ( ).

(20)

3.4. Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna

La multiplicación de una matriz fila y una matriz columna solo se puede realizar cuando el número de elementos de la primera de estas es igual al número de elementos de la segunda. El resultado es igual a la multiplicación normal de los primeros de los elementos de ambas matrices más el resultado de la multiplicación de los segundos elementos y así consecutivamente, hasta sumar al resultado de la última multiplicación de los últimos elementos de cada una.

En general, dados una matriz fila de orden y una matriz columna de orden

, se define el producto de y , denotado por como el número real resultado de:

∑( ) ( )

Por lo tanto, si

( ) (

,

Ejemplo:

( ) (

,

Entonces,

(21)

3.5. Multiplicación de matrices m × n

Se dice que la multiplicación de dos matrices y puede ser realizada si el número de columnas de es igual al número de las filas de , esta operación puede ser realizada si y solo si esta última condición se cumple. El resultado, el producto matriz tiene, por lo tanto, el mismo número de filas que y el mismo número de columnas que . De esto, podemos ver que el orden de los factores de la multiplicación afecta el resultado, pues para multiplicar y , el número de las columnas de tendría que ser igual al número de filas de .

Por lo tanto, dadas las matrices ( ) de orden y ( ) de orden , llamamos producto de por a la matriz ( ) de orden , tal que:

∑( ) ( )

Esto se denota como: Para este caso, la multiplicación no se encuentra definida, a menos que tanto como sean cuadradas del mismo orden.

Propiedades de la multiplicación de matrices:

1. Propiedad asociativa: ( ) ( )

2. Propiedad distributiva aditiva: ( ) 3. P ropiedad no conmutativa:

4. Si no implica que o

5. Si no implica necesariamente que 6. ( )

(22)

Ejemplo 1:

. / ( +

(( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )*

. /

Ejemplo 2:

( +

.

/

El número de columnas de , , es igual al número de filas de , entonces existe

, además:

(

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) )

(

+

4. Operaciones elementales sobre filas y columnas

Dentro de una matriz cualquiera se pueden realizar ciertas operaciones sencillas, llamadas operaciones elementales, entre las filas y las columnas, que permiten obtener una matriz simplificada que sigue manteniendo las mismas características que la original.

(23)

2. Intercambiar las filas i-ésima y j-ésima de : Fi ↔ Fj

3. Modificar la fila de multiplicándola o dividiéndola por un número real k diferente de cero, k ≠ 0: kFi

4. Modificar la i-ésima fila de sumándole o restándole k veces la fila j: kFj + Fi

Para una matriz en los reales, de orden , una operación elemental sobre sus columnas es cualquiera de las tres siguientes operaciones:

1. Intercambiar las columnas i-ésima y j-ésima de : Ci ↔ Cj

2. Modificar la columna i de A multiplicándola o dividiéndola por un número real k diferente de cero, k ≠ 0: kCi

3. Modificar la i-ésima fila de sumándole o restándole k veces la fila j: kCj + Ci

Dadas estas operaciones, se dice de dos matrices y que estas son equivalentes si una de ellas se puede obtener a partir de la otra mediante operaciones elementales. La

representación de esta equivalencia es .

Ejemplo:

( +

( +

( +

(24)

5. Matriz reducida

Sea una matriz cualquiera de orden m\times n tal que:

1. Si es que hubiera filas nulas (entradas igual a cero), se encuentran en la parte inferior de la matriz.

2. El número de entradas igual a cero al inicio de alguna de las filas que no sea nula, es mayor al número de entradas igual a cero de la fila previa.

Aquella matriz que cumpla estas dos condiciones es una matriz escalonada. En esta, la primera de las entradas no nula de cada fila es llamado cabecera de la fila. Esto no cumple para aquellas filas nulas.

Cualquier matriz puede ser convertida en una matriz escalonada equivalente mediante una cantidad delimitada de operaciones elementales.

Si además de cumplir estas, una matriz escalonada cumple que: 1. Todas las cabeceras que la conforman son igual a uno.

2. Todas las entradas de las columnas que contienen estas cabeceras de filas son elementos nulos.

Entonces, se dice que esta es una matriz escalonada reducida.

Ejemplo 1:

.

/

Esta matriz no es escalonada porque el primero de los elementos de las primeras filas no es 1.

(25)

. /

Esta matriz es escalonada reducida. Ejemplo 3:

Dada una matriz , aplicamos operaciones elementales para obtener una matriz escalonada reducida .

(

,

→ (

,

→ (

,

6. Rango de una matriz

Para una matriz cualquiera que pertenece a los reales, se determina una matriz escalonada reducida R equivalente a . El rango de , estará dado por la cantidad de filas no nulas dentro de la matriz R.

Dado que la obtención de una matriz R escalonada reducida es el resultado de una serie iterativa de operaciones elementales sobre , el rango de la matriz original será igual al número de filas no nulas presentes en la última de las iteraciones realizadas.

7. Inversas de matrices cuadradas

(26)

inverso multiplicativo de 5. Para definir la división de matrices, es necesario insertar un nuevo concepto, la matriz inversa, A-1, de una matriz cualquiera, A.

La matriz inversa de una matriz cuadrada de orden , es otra matriz cuadrada de orden que al ser multiplicadas en cualquier dirección, se obtiene una matriz identidad de orden . Es decir, es la inversa de si:

Si existe una única matriz que cumpla esto, se dice que es invertible o no singular. De esto, definimos a una matriz como:

1. Invertible, si existe un único 2. Regular, cuando la matriz 3. Singular, si

Nótese que lo definido cumple para una matriz cuadrada, pero también se puede determinar una matriz inversa para matrices no cuadradas, de las cuales se habla de matriz inversa derecha o matriz inversa izquierda, dependiendo del lado que multiplique a la matriz original para producir la matriz identidad. Sin embargo, para estos casos, las matrices inversas izquierda y derecha no pueden ser iguales.

Propiedades de la matriz invertible:

Si y son ambas matrices invertibles, entonces se sabe que:

1. es invertible y ( ) 2. es invertible y además, ( )

3. es invertible y ( ) ( ) para

(27)

7.1. Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada por el método de Gauss-Jordan

Dada la matriz ( ) de orden , la matriz inversa de esta, denotada por puede ser calculada mediante el método Gauss-Jordan, el cual tiene los siguientes pasos:

1. Escribir la matriz aumentada ( ) de orden .

2. Se realizan operaciones elementales entre las filas hasta obtener una matriz triangular superior. Estas mismas operaciones se realizan simultáneamente en la matriz añadida.

3. Las filas son añadidas a las filas inmediatamente superiores para producir ceros por encima de la diagonal principal.

4. Cada una de las filas se divide por el valor de esta fila que conforma la diagonal principal hasta obtenerse una matriz identidad al lado izquierdo de la matriz aumentada.

En el posible resultado:

a) Si la matriz obtenida a la izquierda tras realizar las operaciones elementales por filas es igual a la matriz identidad I, entonces la matriz a la derecha es la matriz inversa.

( )

b) Si la matriz obtenida a la izquierda tras realizar las operaciones elementales por filas tiene una fila de ceros, entonces la matriz no tiene inversa.

Ejemplo:

Se da la matriz :

(

(28)

Procedemos a hallar la matriz inversa mediante el método de Gauss-Jordan: ( ) ( | + → ( | +→ ( | +

Obtenida la matriz triangular superior, se procede a los siguientes pasos:

→ ( | +→ ( | +

Obtenida esta matriz diagonal, se procede a dividir cada fila por el valor de cada elemento de la diagonal principal de la misma fila.

→ ( | + ( | + ( )

Por lo tanto, obtenemos la matriz inversa de es:

( +

Para comprobarlo, se debe cumplir que:

(29)

( + ( + ( +

7.2. Cálculo de la inversa de una matriz por determinantes o adjunto

Para poder determinar la inversa mediante este método, se indicarán de manera rápida unos conceptos previos:

7.2.1. Determinante de una matriz

La determinante de una matriz es un número escalar obtenido tras la realización de algunas operaciones características de la matriz. Este solo se define para matrices cuadradas y está denotado por o .

Para una matriz cuadrada :

. / | |

Para una matriz cuadrada :

( + | | | | | | | | ( ) ( ) ( )

(30)

número que multiplicará a la submatriz. Estas determinantes se conocen como menores

y el signo que los acompaña (-) o (+) se toma por el número que multiplicará

( ) .

7.2.2. Menor y cofactor de un elemento

El menor, denotado por de un elemento en una matriz, es la determinante de la matriz de orden ( ) ( ) obtenida al borrar la fila i-esima y la columna j-ésima de la matriz ( ).

Por ejemplo, para la matriz:

(

+

El menor del elemento es |

|.

El menor del elemento es |

|

Los valores escalares ( ) son los cofactores del elemento de la matriz .

Por lo tanto, la determinante de una matriz de orden también puede obtenerse mediante:

Ejemplo:

(31)

( +

(a) | | | | | | | |

( ) ( ) ( )

(b) | | | | | | | |

( ) ( )

7.2.3. Matriz adjunta

Dada una matriz cuadrada ( ) de orden , y una matriz ( ) obtenida reemplazando cada uno de los elementos por su cofactor , entonces la transpuesta

de es la matriz adjunta de la matriz .

Ejemplo 1:

Para una matriz cuadrada , halle la matriz adjunta:

. /

Calculando los cofactores de cada elemento:

( )

( )

( )

( )

(32)

. /

Y la adjunta se obtiene tras determinar la transpuesta de esta última:

.

/

Como regla general, la matriz adjunta de una matriz cuadrada :

.

/

.

/

Ejemplo 2:

Para una matriz cuadrada , halle la matriz adjunta:

(

+

Calculando los cofactores de cada elemento:

( ) . / ( ) . /

( ) . / ( ) . /

( ) . / ( ) . /

( ) . / ( ) . /

( ) . / ( ) . /

(33)

( ) . / ( ) . / ( ) . / ( ) . / ( ) . / ( ) . / Obtenemos, entonces: ( +

Y la adjunta se obtiene tras determinar la transpuesta de esta última:

(

+

Como regla general, la matriz adjunta de una matriz cuadrada :

( + ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )

7.2.4. Cálculo de la inversa

Si una matriz cuadrada cualquiera de orden tiene una determinante distinta de cero , entonces es una matriz invertible y tiene una matriz inversa dada por la matriz adjunta de esta, dividida por el valor de su determinante:

(34)

Entonces, siendo: ( , ( , ( ) Ejemplo 1:

Determinar la matriz inversa de la matriz dada:

( +

La determinante de esta matriz estaría determinada por:

| | | | | | | | ( ) ( )

Por lo tanto, existe la matriz inversa. Los cofactores de cada elemento serían:

(35)

La matriz adjunta sería:

( +

( +

(

+

8. Determinantes de matrices cuadradas

El término determinante fue introducido en el año 1801 por el matemático Gauss, mientras discutía los arreglos tomados por ecuaciones de forma cuadrática, y es en la actualidad uno de los conceptos más usados debido a su aplicación en terminación de áreas, volúmenes, resolución de sistemas de ecuaciones, entre otros.

Por ejemplo, dadas tres ecuaciones:

(36)

Obtenemos:

( ) ( ) ( )

Que también puede ser escrita como:

| |

Notemos, entonces, que la determinante es una forma particular de expresar estas ecuaciones, usando un esquema conciso, con elementos ordenados encerrados entre dos líneas verticales. Toda esta expresión, es la determinante.

Este, es solo un valor escalar que se obtiene tras operar los elementos de los arreglos (matrices) mostrados previamente, definiendo una característica de cualquier matriz que cumpla con ser cuadrada.

Por lo tanto, para toda matriz A cuadrada de orden n\times n puede ser asociado un valor escalar llamado determinante que se denota por o , obtenido de realizar operaciones entre los elementos que la conforman.

8.1. El determinante de una matriz 2 x 2

Dada una matriz A de orden :

.

/

La determinante está dada por:

|

(37)

Ejemplo 1:

Para:

. /

| |

Ejemplo 2:

Para:

. /

| |

8.2. El Determinante de una matriz 3 x 3 (Método Sarrus)

El método o la regla de Sarrus, es una técnica matemática que ofrece un esquema de memorización para el cálculo de la determinante de una matriz , pudiendo existir dos arreglos para el correcto cálculo:

Esquema 1:

Se construye la matriz al tomar las dos primeras columnas y añadirlas a la derecha de la matriz original. Para obtener la determinante, se obtiene la

multiplicación de los elementos que pasan por las líneas continuas, y este resultado se resta con la multiplicación de los elementos que pasan por las líneas punteadas.

( +

(38)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Esquema 2:

. Se construye la matriz al tomar las dos primeras filas y añadirlas bajo la matriz original. Para obtener la determinante, se obtiene la multiplicación de los elementos que pasan por las líneas continuas, y este resultado se resta con la multiplicación de los elementos que pasan por las líneas punteadas.

( +

|| ||

( ) ( )

( ) ( ) ( )

El método definido hasta el momento, es aplicable a matrices cuadradas de orden , en las cuales se opera algebraicamente 6 factores, es decir, 3!. Sin embargo, esta puede ser extendida a matrices de mayor orden, en las que se tendría que operar

algebraicamente una cantidad de n! términos, resultando ser una tarea titánica, obviada al usar otros métodos de cálculo, como los descritos a continuación.

8.3. El Determinante de una matriz n × n (Método de Cofactores)

(39)

En general, teniendo la matriz A cuadrada de orden , podemos obtener su determinante usando el desarrollo de cofactores de la siguiente manera:

(

+

|

|

| | | | | |

La determinante de la submatriz obtenida de orden ( ) ( ), al eliminar la fila i y la columna j, es el menor i, j-ésimo, y se denota por . A este menor, acompaña un signo multiplicativo del resultado de ( ) , formando finalmente el cofactor

( )

. La determinante, será finalmente, la suma del resultado multiplicativo

entre los cofactores y los elementos respectivos que se encuentren comprendidos dentro de una fila. Esto, también cumple para una columna, dado que .

Donde, y

Por lo tanto, ahora podemos expresar la ecuación:

( ) ( ) ( )

Como:

(40)

Aunque es uno de los métodos más usados, no se puede decir que es uno de los más eficientes, pues se tendrán que hallar las determinantes de cada submatriz dentro de la matriz, a fin de poder calcular la determinante final. Para agilizar esto, resulta

conveniente el tomar una fila o una columna que contenga la mayor cantidad de ceros, pues esto permitiría reducir la cantidad de submatrices que analizar.

Ejemplo:

Obtenga la determinante de la matriz:

( +

Tomando los elementos de la primera fila:

| | | | ( ) ( )

Tomando los elementos de la primera columna:

| | | | ( ) ( )

8.4. Método del pivote o de Chio

El método del pivote consiste en sumar o sustraer filas o columnas paralelas para obtener en una de ellas una mayor cantidad de ceros, que permita el cálculo rápido de la determinante aplicando lo desarrollado en el método de los cofactores. De esta manera, la resolución se reduce a la obtención de la determinante de una matriz de orden menor.

(41)

Por el método del pivote, determine la determinante de la siguiente matriz:

(

)

(

)

(

)

Entonces:

|| || ||

||

Tomando la primera columna, con cuatro ceros:

( ) |

| |

|

Se repite en la primera columna:

( ) |

(42)

8.5. Método triangularizante

De manera similar al método previo, se realizan sobre la matriz diversas operaciones elementales para obtener una matriz triangular. En estas matrices, la determinante es el resultado de la multiplicación de los elementos que se encuentren en la diagonal principal (demostración en las propiedades).

Ejemplo 1:

Por el método triangularizante, determine la determinante de la siguiente matriz:

|| ||

→ || ||→ ||

||

Intercambiando la filas 2 y 3, cambia el signo de la determinante:

→ ||

||→ ||

||

→ ||

|

|→ ||

|

|

(43)

8.6. Propiedades de los determinantes

Al momento de evaluar la determinante de las matrices, conviene tener en cuenta las siguientes propiedades:

1. La determinante de una matriz no se altera si en esta se intercambian de posición las filas y las columnas. Es decir,

Demostración:

Considere la determinante de la matriz :

( +

( ) ( ) ( )

Ahora, sea la matriz :

( +

Tomando los elementos de la primera columna:

( ) ( ) ( )

Por lo tanto:

2. Si se toman dos columnas o dos filas de una matriz y estas se intercambian de posición, el signo de la determinante de la matriz resultante cambia, pero el valor absoluto de este es el mismo que el de la matriz original.

Demostración:

Considere la determinante de la matriz y tome los valores de la primera fila:

(44)

( ) ( ) ( )

Considere la determinante de la matriz y toma los valores de la segunda fila:

( +

( ) ( ) ( )

, ( ) ( ) (

)-Por lo tanto:

3. Si en la matriz existe por lo menos una fila o una columna que contenga elementos igual a cero, el valor de la determinante de esta es igual a 0.

Demostración:

Considere la determinante de la matriz :

( +

( ) ( ) ( )

4. Si en la matriz existe dos filas o dos columnas que sean idénticos, entonces el valor de la determinante de esta es igual a 0.

Demostración:

Considere la determinante de la matriz :

( +

( ) ( ) ( )

(45)

5. Si todos los elementos de una fila o de una columna son multiplicados por un valor escalar , entonces la determinante de la matriz resultante es igual al valor de la matriz inicial multiplicado por .

Demostración:

Considere la determinante de la matriz :

( +

( ) ( ) ( )

Considere la determinante de la matriz :

(

+

( ) ( ) ( )

, ( ) ( ) (

)-Por lo tanto:

6. Si a los valores de una fila o una columna de una matriz se le suman o restan sus elementos correspondientes de otra fila o columna, respectivamente, la

determinante de la matriz resultante es igual a la inicial.

Demostración:

Considere la determinante de la matriz :

( +

( ) ( ) ( )

(46)

(

+

( )( ) ( )( ) (

)( )

, ( ) ( ) (

, ( ) ( )

(

| | | |

| |

| |

Por lo tanto:

7. En una matriz diagonal, la determinante está determinada por la multiplicación de los elementos que conforman la diagonal principal.

Demostración:

Dada la matriz :

( +

| |

8. La determinante del producto de dos matrices es igual al valor de la

(47)

9. Transformaciones lineales y matrices

Las transformaciones lineales son de amplio uso en el campo de las matemáticas, encontrando aplicación en la modelación de objetos simétricos, representación concisa de ecuaciones, entre otros.

Para estos casos, y son dos espacios vectoriales que cuentan con dimensiones finitas, tal que la dimensión de ( ) es n y la dimensión de ( ). Para estas, tomamos dos bases: del espacio y del espacio .

* +

* +

Definimos entonces como la transformación lineal entre estos dos espacios, que será la „regla de asociación‟ entre los elementos que pertenecen al espacio y los elementos que pertenecen a , de tal manera que, a cada uno de los elementos de , se asocia un elemento único de . Estos elementos correspondientes en , conforman el conjunto imagen de la transformación .

Para un vector cualquiera que pertenece al espacio , existen valores escalares

tal que se cumple:

Que es:

, - [ ]

Por lo tanto, la imagen de este vector v bajo la transformada es:

(48)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ∑ ( )

Si, como ha sido definido previamente, para cada uno de los elementos existe una imagen en , y además existen valores escalares que cumplen:

( )

Que es:

[ ( )] [

]

Observamos que:

, - [

] [ ]

[

]

, (

)-Esta matriz A es la matriz de la transformación con respecto a las bases y , que cumple con la propiedad de que, al ser multiplicada por la matriz de las coordenadas del vector v que pertenece a con respecto a la base , se obtiene una matriz de

coordenadas del vector ( ) que pertenece a con respecto a la base del espacio :

[, ( )- , ( )- , ( )- ]

,

(49)

Se tiene y las siguientes relaciones, determinar , -:

{[ ] [ ] [ ]} {[ ] [ ] [ ]} [

]

Hacemos:

, ( )- [

] (

+ ( +

Dando como resultado:

( ) ( + ( + ( + ( +

10. Sistemas de ecuaciones lineales

En el campo de las matemáticas, un sistema de ecuaciones lineales, o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales que tienen en común el uso de un mismo conjunto de variables, cuyo valor debe cumplir para cada una de las ecuaciones definidas.

Por ejemplo, las siguientes ecuaciones:

forman un sistema de tres ecuaciones lineales, cuyas variables son y . La solución correcta a este sistema es aquella compuesta de números que, al ser reemplazadas en cada una de estas ecuaciones, cumple con las igualdades simultáneamente. Para el caso presentado, la solución que hace válida las tres ecuaciones es:

(50)

En las matemáticas, esta teoría es una de las bases fundamentales del álgebra lineal, que hoy resulta de gran uso en diversas áreas, como la ingeniería, la matemática moderna, física, química y economía. Es por esto que, son diversos los métodos estudiados para la resolución de estos sistemas, que pueden estar compuestos por 3, 4 o n

variables/ecuaciones.

10.1. Ecuación Lineal

Una ecuación lineal que contiene variables , se expresa como:

En esta, los valores son números reales. De estos, decimos que es el término constante y cualquier valor de , el coeficiente de su

correspondiente . Las incógnitas, o variables, de esta ecuación, están dadas por

.

Si se tiene los números reales y se cumple que:

{

podemos decir que:

(51)

10.2. Sistema lineal

Un sistema de ecuaciones lineales, o sistema lineal, es una colección finita de ecuaciones que contienen las mismas variables. Por ejemplo, un sistema lineal de m ecuaciones y n variables ( ), puede ser denotado por:

{

Donde y son números reales, y 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

La solución de este sistema lineal, es una tupla de números dada por:

( )

Los cuales al reemplazar cada una de las variables a las que corresponde, cumple con todas las ecuaciones que conforman el sistema.

Este sistema, puede además ser expresado de una manera más concisa usando matrices, obteniéndose:

(

, ( , ( ,

Donde, es la matriz de coeficientes, la matriz columna (o vector) de incógnitas y , la matriz columna de resultados o términos independientes.

(52)

, - (

,

10.3. Clasificación de los sistemas lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser clasificados en función del tipo de solución que puedan tener, siendo estos estructurados de la siguiente manera:

Existe un caso particular en el que el sistema de ecuaciones lineales toma la forma:

{

En estas, el término independiente es igual a 0, y en conjunto toman el nombre de

ecuaciones homogéneas. Estas son clasificadas como compatibles, debido a que siempre admiten una solución trivial:

10.4. Interpretación grafica de un sistema lineal

Considerando un sistema conformado por dos ecuaciones y dos incógnitas:

(53)

Donde son constantes reales tal que, ni son igual a cero. Se dice de estas, que las gráficas de cada una de estas en un sistema cartesiano es una línea continua, tal que la solución del sistema es igual punto de intersección entre ambas gráficas, valor que cumple para ambas ecuaciones.

Dadas estas dos gráficas y , vemos que solo puede darse una y solo una de las siguientes situaciones:

1. y no son paralelas se intersectan en exactamente un solo punto.

2. y son paralelas y coinciden en todos sus puntos

(54)

En el primero de los casos, el sistema presentado tiene una y solo una solución igual al punto de intersección entre ambas líneas. En el segundo caso, el sistema tiene infinitas soluciones, dado que son infinitos los puntos en los que ambas gráficas coinciden. En el tercer caso, el sistema no presenta solución alguna, puesto que las dos gráficas no coinciden en ningún punto.

Analicemos cada uno de estos casos:

a) Sistema de ecuaciones con exactamente una solución: Consideremos el siguiente sistema:

(55)

Para resolverlo, tomamos la primera de estas ecuaciones y sustituimos la variable despejada en la siguiente:

( )

Con el valor determinado, reemplazamos este en cualquiera de las dos ecuaciones originales para obtener la siguiente variable:

( )

Por lo tanto, vemos que para este, solo existe una solución:

Geométricamente, se ve que estas dos gráficas se intersectan en un solo punto y que este es igual al hallado previamente:

( ) ( )

b) Sistema de ecuaciones con infinitas soluciones: Consideremos el siguiente sistema:

(56)

Para resolverlo, tomamos la primera de estas ecuaciones y sustituimos la variable despejada en la siguiente:

( )

Esta última igualdad es verdadera y es el resultado de dos ecuaciones iguales que son equivalentes, dado que la segunda es igual a la primera, multiplicada enteramente por un factor de 3. Vemos entonces, que ambas ecuaciones son equivalentes a:

Por lo tanto, cualquier par de puntos que satisfaga a la ecuación también será solución de la ecuación .

Geométricamente, se ve que estas dos gráficas se encuentran representadas por líneas que pasan por los mismos puntos, recibiendo el nombre de sistema dependiente.

(57)

Siendo la gráfica en el sistema cartesiano:

Para resolverlo, tomamos la primera de estas ecuaciones y sustituimos la variable despejada en la siguiente:

( )

Esta última igualdad es imposible, por lo que diremos que no hay solución alguna para el sistema de ecuaciones presentado.

Geométricamente, vemos que ambas ecuaciones también pueden ser expresadas por:

(58)

Paralelamente, situaciones similares pueden plantearse para un sistema de ecuaciones lineales conformado por tres ecuaciones y tres variables :

Así como las ecuaciones de dos variables pueden ser graficadas como una sola línea en un plano, las ecuaciones de la forma (donde no pueden ser igual a cero) representan un plano en un sistema tridimensional.

Por lo tanto, cada una de las ecuaciones presentadas previamente será un plano en un espacio tridimensional, y la solución del sistema será igual a los puntos en los que estos tres planos se intersectan. Como en el caso mostrado previamente, esta solución puede ser única, infinita o simplemente, no contar con ninguna. Estas tres posibilidades se ilustran por las siguientes posibilidades:

(59)

b) Los tres planos se intersectan a lo largo de una línea, existiendo una cantidad infinita de puntos que pertenecen a esta línea de intersección, y por lo tanto, una cantidad infinita de soluciones.

c) Los tres planos son paralelos y distintos, no existiendo ni un punto de inserción entre los tres planos, por lo que un sistema con esta gráfica no presentaría ninguna solución.

10.5. Teorema de Rouché-Frobenius

(60)

En este, dado el siguiente sistema de m ecuaciones y n incógnitas:

{

(

, ( , ( ,

Donde A es la matriz de coeficientes, definimos la matriz ampliada del sistema a la matriz obtenida al añadir la matriz de términos independientes al final de la matriz de coeficientes:

, - (

,

De esta sabemos que:

a) Si el rango de es igual al rango de la matriz ampliada, y estos son iguales al número de incógnitas, ( ) ( ) entonces el sistema es compatible determinado y tiene una única solución (S.C.D.).

b) Si el rango de A es igual al rango de la matriz ampliada, y estos son menores al número de incógnitas ( ) ( ) , entonces el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones (S.C.I.). En estas, la diferencia de n-r(A) coincide con el número de parámetros libres existentes.

c) Si el rango de A es diferente y menor al rango de la matriz ampliada, ( )

(61)

Ejemplo 1:

Determinar la compatibilidad del siguiente sistema:

La matriz de coeficientes es:

(

+

De esta, tomamos una submatriz de orden 2:

| |

( )

Si tomamos una submatriz de orden 3:

|

|

( )

Entonces, deducimos que:

(

+

( )

(62)

Ejemplo 2:

Determinar la compatibilidad del siguiente sistema:

La matriz de coeficientes es:

(

+

|

|

( )

Entonces, deducimos que:

(

+

( )

Dado que ( ) ( ) , entonces decimos que el sistema es compatible determinado.

11. Solución de sistemas lineales

11.1. Métodos de resolución elementales de sistemas lineales: Sustitución, Reducción e Igualación

(63)

prácticas e inmediatas para sistemas de entre 2 y 3 incógnitas, resultando poco

recomendables para sistemas con una mayor cantidad de variables. Para estos casos de sistemas más complejos, existen otras metodologías que serán discutidas más adelante.

11.1.1.Método de sustitución

El método de sustitución se basa en tomar una de las ecuaciones que integran el sistema y despejar por completo una de las variables, es decir, el dejar a una de las incógnitas a un lado de la ecuación con un coeficiente igual a uno.

Esta incógnita despejada se encuentra ahora en función de todas las incógnitas restantes y es tomada para reemplazarse en las otras ecuaciones, obteniéndose ahora un sistema con una ecuación menos con respecto al inicio y, de igual manera, una incógnita menos. Este proceso se repite iterativamente, hasta quedar finalmente con una única ecuación que contenga solo una incógnita.

Ejemplo 1:

Dado el siguiente sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:

{

De estas dos ecuaciones, tomamos la primera y despejamos la incógnita , dejándola en función de :

Esta incógnita es ahora reemplazada en la siguiente ecuación para despejar la segunda y última variable:

(64)

( )

El valor obtenido de ahora puede ser reemplazado en la expresión de la incógnita para hallar su valor:

11.1.2. Método de reducción o eliminación

El método de la reducción basa su operación en la obtención de otra ecuación

equivalente como resultado de multiplicar alguna de las ecuaciones por un factor que no altera la solución de esta.

En este caso, el procedimiento se repite tantas veces sean necesarias hasta obtener un sistema con ecuaciones de las que el resultado pueda ser inmediato de obtener.

El método inicia tomando alguna de las ecuaciones y multiplicarla por algún valor que permita encontrar el mismo coeficiente que acompaña a la misma incógnita en otra ecuación. Estas dos ahora, son restadas, de tal manera que la incógnita objetivo de la multiplicación previa es eliminada, dejando una ecuación adicional con una incógnita menos. El procedimiento se repite cuantas veces sea necesario para eliminar las incógnitas y dejar solo una en la última ecuación.

(65)

Dado el siguiente sistema:

{

De estas, vemos que es posible el multiplicar la primera ecuación por 5, de tal manera que la incógnita en ambas ecuaciones tiene el mismo coeficiente. Estas dos, tras realizarse la operación, pueden ser restadas:

Y así obtener la segunda incógnita:

Con este resultado, podemos obtener el valor de la segunda y última variable:

11.1.3. Método de igualación

Bajo esta metodología, el procedimiento consiste en despejar alguna de las incógnitas en las ecuaciones e igualarlas, para obtener una ecuación adicional con una incógnita menos. Si bien puede ser utilizado para sistemas de más de dos ecuaciones, esto resulta poco práctico, pues sería necesario el complementar las ecuaciones obtenidas con el método de sustitución para poder obtener los resultados.

Ejemplo 1:

Dado el siguiente sistema:

(66)

Se toma ambas y en estas se despeja la incógnita :

Dado que ambas son iguales, estas pueden ser igualadas, obteniéndose una ecuación con solo una incógnita que ahora puede ser resuelta:

Este valor obtenido para ahora puede ser reemplazado en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales para obtener el valor final de :

11.2. El método de Gauss para la resolución de sistemas lineales

Los métodos presentados previamente, son buenos para resolver rápidamente sistemas de ecuaciones con un número de ecuaciones e incógnitas pequeño, pero que se vuelve poco práctico cuando se requiere operar sistemas con una cantidad mayor de ecuaciones e incógnitas. El método de eliminación de Gauss es una de las técnicas más

(67)

una serie de operaciones entre las ecuaciones para transformarlas en una forma más adecuada para su resolución.

Para llevarse a cabo, depende en gran parte de análisis matricial y una serie de operaciones de pivote, cuyo procedimiento puede ser dividido en dos fases:

1. Las incógnitas son eliminadas mediante una manipulación de ecuaciones, obteniéndose una matriz triangular superior.

2. Se realiza un proceso reverso de sustitución de incógnitas para obtener las soluciones de las ecuaciones de manera consecutiva.

El método de Gauss transforma el sistema inicial (empezando con una matriz ampliada de la matriz de incógnitas) en uno equivalente que tenga la forma triangular superior, al aplicar de manera conveniente e iterativamente, unas serie de operaciones elementales sobre las filas o las mismas columnas. El objetivo, es obtener una matriz en la que, la última fila contiene una sola incógnita que ya puede ser resuelta, y cuyo valor es luego reemplazado en la penúltima fila, que contiene esta misma incógnita y una adicional. El resultado de esta segunda incógnita y de la primera, es llevada a la ecuación

antepenúltima, que contiene a estas dos incógnitas y a una más, que ahora ya puede ser hallada. Este proceso se repite hasta llegar a la primera ecuación y reemplazar en estas las incógnitas ya halladas previamente.

Por lo tanto, si se parte de un sistema de ecuaciones:

(68)

, - (

,

La cual debe de ser transformada en una de forma escalonada:

, - (

,

Que es equivalente a:

Ejemplo 1:

Dado el siguiente sistema:

Cuya expresión matricial es:

( + ( + (

+

A la cual intentaremos dar la forma de:

(

+ ( + ( +

(69)

(

+→ (

+→ (

+

→ (

+→ (

+

Dado que esta última ya presenta una forma escalonada, podemos determinar el valor de las incógnitas:

( + ( + (

+

De la tercera ecuación obtenemos que:

Reemplazando este en la segunda ecuación:

( )

Tomando estos dos valores, reemplazamos la primera ecuación:

( )

(70)

Dado el siguiente sistema:

Cuya expresión matricial es:

(

+ ( + ( +

Realizaremos las siguientes operaciones elementales a la matriz aumentada:

(

+

→ (

+

→ ( +

→ ( +

Dado que esta última ya presenta una forma escalonada, podemos determinar el valor de las incógnitas, usando una variable secundaria para :

( + ( + ( +

De estas obtenemos que:

(71)

Reemplazando este en la segunda ecuación:

Tomando estos dos valores, reemplazamos la primera ecuación:

( )

11.3. El método de Gauss Jordan para la resolución de sistemas lineales

De manera similar a como se realiza el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss Jordan se sirve de operaciones elementales en la representación matricial de un sistema de ecuaciones, con el objetivo final de convertir la matriz de coeficientes en una matriz identidad. Sumas, restas y multiplicación de escalares entre filas y columnas, hace este método posible.

De esta manera, las incógnitas finales pueden ser halladas directamente, sin requerir operaciones adicionales tras la obtención de esta forma identidad.

Por lo tanto, si se parte de un sistema de ecuaciones:

Se tiene la matriz ampliada:

, - (

,

(72)

, - ( ,

Que es equivalente a:

Ejemplo 1:

Dado el siguiente sistema:

Cuya expresión matricial es:

( + ( + (

+

A la cual intentaremos dar la forma de:

( + ( + ( +

Para lo cual realizaremos las siguientes operaciones elementales:

(

+→ (

+→ (

(73)

→ (

+→ (

+→ ( +

→ (

+→ (

+→ (

+

Dado que esta última ya presenta una matriz de coeficientes unitaria, podemos decir que:

( + ( + (

+

Ejemplo 2:

Dado el siguiente sistema:

Cuya expresión matricial es:

(

+ ( + ( +

(74)

( + ( + ( +

Para lo cual realizaremos las siguientes operaciones elementales:

( +→ ( , → ( + → ( + → ( + → ( + → ( + → ( +

Dado que esta última ya presenta una matriz de coeficientes unitaria, podemos decir que: ( + ( + ( + Ejemplo 3:

(75)

Cuya expresión matricial es:

( + ( + ( +

A la cual intentaremos dar la forma de:

( + ( + ( +

Para lo cual realizaremos las siguientes operaciones elementales:

( +→ ( +

→ (

+

→ (

+

→ (

+→ ( +

→ ( +

→ ( +

(76)

( + ( + ( +

Ejemplo 4:

Dado el siguiente sistema:

Cuya expresión matricial es:

(

+ ( + ( +

A la cual intentaremos dar la forma de:

( + ( + ( +

Para lo cual realizaremos las siguientes operaciones elementales:

(

+

→ (

+

→ (

Figure

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