Mediante el entendimiento del movimiento de las vacancias se puede explicar el proceso de difusión de átomos en un sólido cristalino.

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Vacancias

Mediante el entendimiento del movimiento de las vacancias se puede explicar el proceso de difusión de átomos en un sólido cristalino.

La difusión en un cristal se explica en términos de las vacancias, asumiendo que estas se mueven a través de la

red cristalina, por tanto produciendo variaciones aleatorias de los átomos de una posición de la red a otra.

Movimiento de una vacancia desde la posición I a la posición II

La vacancia se mueve como resultado del salto de un átomo desde su posición en la red hasta un hueco.

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Vacancias

Dos metales (Ni-Cu) que sean puestos en contacto y calentados a una temperatura suficiente, difundirán uno en el otro.

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Vacancias

Para que un átomo puede saltar hacia el hueco, debe superar la fuerza de atracción de los átomos cercanos del lado opuesto al hueco.

Se requiere hacer un trabajo para lograr el salto, equivalentemente, se debe de superar una barrera energética. La energía requerida es suministrada mediante la vibración térmica de la red.

Mayor temperatura mas intensas las vibraciones térmicas la barrera energética es superada con mayor frecuencia

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Concentración de vacancias vs T

no = numero de átomos contenidos en el cristal nv = numero de sitios vacantes en el cristal

no + nv = número total de sitios de red

Concentración de equilibrio

Suponer que las vacancias son creadas por el

movimiento de los átomos desde su posición dentro

del cristal hasta posiciones en la superficie (defecto

Shottky).

• Sea w el trabajo necesario para generar el defecto. • Un cristal que contiene nvvacancias tiene una

energía interna superior a la de un cristal libre de

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Concentración de vacancias vs T

Concentración de equilibrio

El incremento en la energía libre es: Pero:

Con vacancias Sin vacancias Energía libre:

Gv = energía libre Hv = entalpía Sv = entropía

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Concentración de vacancias vs T

Concentración de equilibrio

Contribución de las vacancias al incremento de la entropía en el cristal:

Entropía vibracional:

• Cada vacancia contribuye con una incremento s • El incremento total es nvs

Sin embargo, la contribución de la entropía vibracional tiene poco efecto en el número de vacancias presentes en el cristal.

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Concentración de vacancias vs T

Concentración de equilibrio

Entropía de mezclado:

n= número total de átomos en el sistema (nA+nB)

XA = concentración de átomos tipo A = nA/n

1-XA = concentración de átomos tipo B = nB/n

Para la mezcla de dos tipos de átomos en forma gaseosa

La misma ecuación aplica para la mezcla de puntos de la red: • Ocupados por átomos

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Concentración de vacancias vs T

Concentración de equilibrio

Entropía de mezclado:

no = numero de átomos contenidos en el cristal

nv = numero de sitios vacantes en el cristal

no + nv = número total de sitios de red

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Concentración de vacancias vs T

Concentración de equilibrio

Si el cristal está en equilibrio, la energía libre debe ser mínima.

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Concentración de vacancias vs T

Concentración de equilibrio

Dado que 𝑛𝑣 ≪ 𝑛𝑜

Multiplicando el numerador y denominador de la exponencial por N (número de Avogadro):

Hf = calor de activación

R = constante del gas ideal = 8.31 J/mol-K N= 6.03 X 1023 mol-1

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Concentración de vacancias vs T

Cobre:

Entalpía de formación de vacancias 𝐻𝑓 = 83,700 J/mol

T=0K

T=300K

T=1350K

1/4.45 x 10 15 Separación 100,000 átomos Vacancias/átomos del cristal

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Concentración de vacancias vs T

Si en el cálculo de la concentración de equilibrio se considera la contribución de la entropía vibracional:

Concentración de equilibrio

𝑆𝑉 = entropía de formación de una vacancia 𝐻𝑉 = entalpía de formación de una vacancia

Ley de Arrenius

Una forma de determinar la concentración en equilibrio de vacancias es midiendo:

el coeficiente de expansión térmica lineal Τ∆𝐿 𝐿

el coeficiente de expansión del parámetro de red Τ∆𝑎 𝑎

Incremento en el parámetro de red por efecto de la temperatura.

Incremento de sitios de red debido a la generación de vacancias.

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Concentración de vacancias vs T

Incremento del punto de fusión

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Movimiento de vacancias

Si la temperatura es baja, el tiempo requerido para alcanzar la concentración de equilibrio es muy largo; por el contrario, si la temperatura es alta, el tiempo es muy corto.

q0

La probabilidad de que un átomo tenga una energía superior a q0 es:

Distribución de Maxwell-Boltzmann

Los átomos en la red cristalina tienen una energía vibracional

La probabilidad de que un átomo salte a un sitio vacante es

proporcional a la ec. anterior, entonces:

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Movimiento de vacancias

q0 = es la energía de activación por átomo

k = contante de Boltzmann, 1.38 E-23 J/K T = temperatura, K.

Multiplicando por N (número de Avogadro):

Hm = entalpía de activación para el movimiento de un mol vacancias

R = contante del gas ideal, 8.311 J/mol-K

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Movimiento de vacancias

A = 1015 s-1 Hm = 121 kJ/mol R = 8.311 J/mol-K Cobre: T = 1,350 K 𝑟𝑣 = 2 𝑋 1010 saltos/s T = 300 K 𝑟𝑣 = 10−6 saltos/s

A 1,350 K, una vacancia se mueve 20,000,000,000 veces en un segundo. A 300 K, una vacancia se mueve cada 106 segundos, 11 días.

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Movimiento de vacancias

El número de saltos que realiza un átomo promedio por segundo en condiciones de equilibrio es:

La razón a la cual un átomo salta o se mueve de un lugar a otro dentro del cristal depende de dos energías: • Hf el trabajo necesario para formar un mol de vacancia (entalpía de formación)

• Hm la barrera de energía que un mol de átomos debe de superar para moverse hacia una vacancia (entalpía de activación)

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Movimiento de vacancias

A = 1015 s-1 Hm = 121 kJ R = 8.311 J/K Cobre: T = 1350 K 𝑟𝑣 = 2 𝑋 1010 saltos/s T = 300 K 𝑟𝑣 = 10−6 saltos/s

A 1,350 K, una vacancia se mueve 20,000,000,000 veces A 300 K, una vacancia se mueve cada 106 segundos, 11 días.

Aquellas propiedades del cobre que depende del movimiento de vacancias, a temperatura ambiente se verán inalteradas

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Átomos intersticiales

Átomo intersticial: es aquel que ocupa un lugar en el cristal que normalmente estaría desocupado.

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Átomos intersticiales

Como el volumen del sitio intersticial es mucho menor que el volumen del átomo, la energía de formación de un

átomo intersticial siempre es grande, superior que la energía de formación de una vacancia. Cobre: 4 eV intersticial

1 eV vacancia. Mismo tipo de átomo

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Átomos intersticiales

Aunque la generación de átomos intersticiales es poco probable, su movimiento en el cristal, una vez presentes, es muy rápido.

La barrera de energía para el

movimiento de un átomo intersticial es de 0.1 eV

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(a) Given a small-angle tilt boundary whose angle of tilt is 0.1°, find the spacing between the dislocations in the boundary if the Burgers vector of the dislocations is 0.33 nm.

(b) On the assumption that the dislocations conform to the conditions involved in Eq. 4.20, that r´= d/2, 𝜇 = 8.6 x 1010 MPa and 𝜈 = 0.3, determine an approximate value for the surface energy of the tilt boundary.

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The following data are taken from Jones, R. L. And Conrad, H., TMS-AIME, 245 779 (1969) and give the flow stress 𝜎, at 4 percent strain, as a function of the grain size of a very high purity titanium metal. Make a plot of 𝜎 versus d1/2, and from this determine the Hall-Petch parameters k and 𝜎

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Figure

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