En la unidad anterior vimos cuando un conjunto de vectores linealmente

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Introducción

E

n la unidad anterior vimos cuando un conjunto de vectores linealmente independientes generaba todo el espacio vectorial. Vimos también que tener ese conjunto era muy cómodo, pues cualquier vector podía escribirse como combinación lineal de los vectores de ese conjunto. En esta unidad definiremos formalmente el concepto de base de un espacio vectorial y conoceremos sus características. Veremos también que un espacio vectorial puede tener varias bases, se mostrará cómo alguna de éstas son más cómodas que otras y el modo de cambiar de una a otra.

4.1. Definición de base de un espacio vectorial

Un espacio vectorial siempre tiene al menos un conjunto de vectores que lo generan lo que nos lleva a la siguiente definición.

Definición 4.1. Sea V un espacio vectorial y {v₁, v₂, . . .,v_n} un conjunto finito de vectores de V. Entonces {v₁, v₂, . . ., v_n} se llama base de V si satisface las siguientes condiciones:

i) {v₁, v₂, . . ., v_n} es linealmente independiente.

ii) {v₁, v₂, . . ., v_n} genera V.

Esta definición nos proporciona las características que debemos buscar en un conjunto para que sea una base.

Ejemplo 1

a) Recordemos que en la unidad pasada vimos que en R2_{los vectores i =}

(1, 0) y j = (0, 1) eran linealmente independientes y que generaban a R2 _{, por}

lo tanto podemos decir que el conjunto {i, j} es una base para R2_.

b) También recordemos que el teorema 3.9. nos indica que “cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes de Rn _{genera a R}n _{”, por lo}

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Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn _{es una base}

de Rn_.

Ahora veremos en el siguiente apartado ejemplos de bases para espacios vectoriales distintos de Rn_.

4.2. Bases en varios tipos de espacios

vectoriales

En este apartado consideraremos ejemplos de espacios vectoriales distintos a Rn_{. Para manejar más fácilmente al espacio vectorial en su conjunto,}

encontraremos también algunas de las llamadas bases canónicas.

1. Consideremos el espacio vectorial formado por H = {(x, y, z) en R3_{tales que 2x – y + 3z = 0}}

Vamos a encontrar una base para H.

Tomemos un vector (x, y, z) en H, entonces satisface el hecho de que

2x – y + 3z = 0;

podemos reescribir esta condición como y = 2x + 3z, de donde tenemos que los vectores de H los podemos escribir de la siguiente manera:

x x z z x x z z x z 2 3 2 0 0 3 1 2 0 0 3                                  ₁₁       

 de donde podemos decir que los vectores 1 2 0 0 3 1                 y generan H.

Vamos ahora a probar que 1 2 0 0 3 1                

y son linealmente independientes.

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a b 1 2 0 0 3 1                     = 0 0 0         

, entonces tenemos que a = 0; 2a + 3b = 0 y b = 0, por

lo tanto 1 2 0 0 3 1                

y son linealmente independientes.

Podemos concluir que, como son linealmente independientes y generan H,

entonces 1 2 0 0 3 1                

y son una base para H.

2. Consideremos el espacio vectorial formado por todas las matrices de

22 de la forma D a b a b 2 2 0 0                 

/

y R'

Vamos a encontrar una base para este espacio vectorial.

Tomemos una matriz de este espacio 0 0 a b       , entonces podemos reescribirla como 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 a b a b  

 _  _ _  _ _ de donde podemos afirmar que 0 1 0 0 0 0 1 0  

 _ y _ _ generan todo el espacio vectorial. Claramente observamos que también son linealmente independientes, por lo que podemos afirmar que son base del espacio D_22.

3. Consideremos el sistema homogéneo de ecuaciones lineales x y z x y z     2 0 2 3 0

Vamos a encontrar el conjunto solución S del sistema.

Para encontrar el conjunto solución consideremos la matriz aumentada asociada al sistema y llevémosla a la forma escalonada reducida por renglones.

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De aquí obtenemos el siguiente sistema x z

y z    00 de donde x z y z    , de manera que todas las soluciones del sistema son de la forma

x y z z z z z                           1 1 1 , por lo que          1 1 1

es una base para S.

Probaremos que S es un subespacio vectorial:

Sean a y b en S, entonces existen a y b números tales que a = a(–1,1,1) = (–a, a, a) y b = b (–1,1,1) = (–b, b, b).

i) a + b = (–a, a, a) + (–b, b, b) = (–a–b, a+b, a+b) = (–(a+b), a+b, a+b)

está en S.

ii a = (–a, a, a) = (a), a, a) = (–a, a, a) está en S.

Entonces, por el teorema 3.2, S es un subespacio vectorial de R3_.

4. Consideremos el espacio vectorial P₂ (los polinomios de grado menor o igual a 2). Vamos a encontrar una base para P₂.

Sea p un polinomio de P₂, entonces p = ax2_{+bx+c de donde podemos}

observar que el conjunto formado por { x2_{, x, 1} genera a P} 2.

Probemos ahora que { x2_{, x, 1} es un conjunto linealmente independiente.}

Tomemos una combinación lineal igual a cero, entonces ax2_{+ bx +c = 0 de}

donde obtenemos que existe la solución trivial para a = b = c = 0 por lo que el conjunto es linealmente independiente.

Podemos entonces concluir que { x2_{, x, 1} es una base para P} 2.

5. Sea P₃ un espacio vectorial,detemina si el conjunto B = {1, 1+x, 1+x2_,

1+x3_{}es una base para P} 3. 1 2 1 0 2 1 3 0 1 2 1 0 0 5 5 0 1 2 1 0 0 1 1 0          _        _       _      1 0 1 0 0 1 1 0

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Sea p un polinomio de P₃, entonces p = a₁x3_{+ a} 2x

2_{+ a} 3x + a4.

Si B es una base, entonces genera a P₃ y, por lo tanto, p es una combinación lineal de B.

Sea la combinación lineal p = b₁1 + b₂(1+x) + b₃(1+x2_{) + b} 4(1 + x 3_), entonces p = b₁ + b₂ + b₂x + b₃ + b₃x2_{+ b} 4 + b4x 3_{= (b} 1 + b2 + b3 + b4) + b2x + b3x 2_{+ b} 4x 3

de donde igualando ambas expresiones tenemos que:

a₁= b₄; a₂ = b₃; a₃ = b₂; a₄ = b₁ + b₂ + b₃ + b₄ = b₁ + a₃ + a₂ + a₁

por lo tanto B sí genera a P₃.

Veamos ahora si B es linealmente independiente.

Consideremos una combinación lineal igual a cero,

b₁1 + b₂(1+x) + b₃(1+x2_{) + b} 4(1 + x 3_{) = 0} entonces b₁ + b₂ + b₂x + b₃ + b₃x2_{+ b} 4 + b4x 3_{= (b} 1 + b2 + b3 + b4) + b2x + b₃x2_{+ b} 4x 3_{= 0}

de tal manera, b₁ + b₂ + b₃ + b₄ = 0; b₂ = 0; b₃ = 0; b₄ = 0 de donde

b₁ = 0.

Por lo tanto, B es linealmente independiente y B es base de P₃.

6. Vamos a probar que {(1, 0), (0, 1)} es base para R2_.

Sea (x, y) en R2_{, entonces (x, y) = x (1, 0) + y (0, 1) por lo tanto genera a R}2_.

Si a(1, 0) + b(0, 1) = (0, 0) entonces a = 0 y b = 0, y es linealmente independiente, por tanto {(1, 0), (0, 1)} es una base para R2 _{y recibe el nombre}

de base canónica.

7. De igual manera se puede probar que {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es la base canónica para R3_.