Capítol 14. Corrent altern sinusoïdal

Capítol 14

Corrent altern sinusoïdal

14.1 Generació de corrent altern sinusoïdal 14.2 Característiques d’un c.a.s.

14.3 Resposta dels dipols bàsics

14.4 Impedància d’un dipol RLC en sèrie 14.5 Potència d’un dipol RLC en sèrie 14.6 Ressonància i filtres

14.7 Notació complexa del c.a.s. 14.8 Qüestions i problemes

Objectius

• Conéixer les característiques del corrent altern, i el seu efecte sobre resistències, condensadors i bobines.

• Interpretar el desfasament entre diferència de potencial i intensitat de corrent en circuits de corrent altern.

• Calcular relacions entre diferències de potencial i intensitats de corrent en dipols RLC en sèrie.

• Definir la impedància d’un circuit.

• Analitzar un circuit RLC sèrie des del punt de vista energètic. • Conéixer el significat del factor de potència.

• Estudiar la ressonància d’un circuit RLC i les seues aplicacions a filtres.

• Conéixer la notació complexa en corrent altern.

Introducció

Es parla de corrent altern en un circuit quan la intensitat i la diferència de potencial varien sinusoïdalment amb el temps i(t) = Im cos (ωt + ϕi). La utilització del corrent altern en aplicacions relacionades amb l’energia elèctrica és conseqüència dels seus diferents avantatges tecnològics.

• És de fàcil transport, les línies d’alta tensió transporten grans quantitats d’energia amb poques pèrdues comparades a les que es tindrien en corrent continu.

• Utilitzant transformadors és fàcil passar de potencials alts, mitjançant els quals es realitza el transport d’energia, a potencials baixos per a les aplicacions domèstiques o industrials, i viceversa. Els transformadors, com s’ha pogut veure en el capítol 13, són sistemes passius formats per bobines de diferent nombre d’espires, en els quals, per efectes d’inducció, s’aconsegueixen relacions de transformació iguals a les relacions entre el nombre d’espires de les seues bobines. (En la figura, un transformador de la central de Cortes de Pallars.) • El corrent altern es pot convertir fàcilment en corrent

continu, per a aplicacions d’electrònica i informàtica, mitjançant la utilització de circuits rectificadors com els estudiats en el capítol 10.

A més, el corrent altern presenta els avantatges matemàtics de les funcions trigonomètriques:

• La suma i la resta de funcions sinusoïdals de la mateixa pulsació donen una funció sinusoïdal també amb la mateixa pulsació.

• La derivació i la integració donen com a resultat una funció sinusoïdal. • I finalment, la transformació de funcions periòdiques en sèries de Fourier

permet aplicar els resultats del corrent altern sinusoïdal a qualsevol corrent que seguisca funcions periòdiques aplicant superposició. Aquesta possibilitat és molt important, ja que dóna peu a utilitzar les conclusions de l’estudi de circuits de corrent altern sinusoïdal que plantejarem en aquest tema a circuits electrònics analògics i digitals.

14.1 Generació d’un corrent altern sinusoïdal

El fonament de la generació del corrent altern ja s’ha tractat en l’apartat 13.7. El gir d’un conjunt d’espires en un camp magnètic produeix una força electromotriu induïda segons la llei de Faraday. En aquell apartat s’ha demostrat que la força electromotriu varia amb el temps en la forma

ε = NSBωcos(ωt + ϕ0)

És a dir, la força electromotriu és una funció sinusoïdal del temps amb un valor màxim que depén del nombre d’espires, de la superfície d’aquestes, del camp magnètic i de la pulsació.

El principi és el mateix en tots els generadors de corrent altern: des d’una central elèctrica (nuclear, tèrmica, hidràulica, eòlica...) fins a la dinamo d’una bicicleta.

Figura 14.1. Transformador de la central de Cortes de

14.2 Característiques d’un c.a.s. En una funció sinusoïdal, per exemple u(t) = Um cos(ωt + ϕu) que representa una diferència de potencial, podem distingir els paràmetres següents:

•

L’amplitud, Um, és el valor màxim al qual arriba la funció sinusoïdal. Tindrà les unitats de la magnitud que represente, en el nostre cas volts (vegeu la Figura 14.1).

•

El període d’una funció sinusoïdal T és la durada en temps d’un cicle complet. Tindrà per unitats les del temps, els segons (vegeu la Figura 14.1).

•

La freqüència f és el nombre de cicles de la funció sinusoïdal en una unitat de temps, és a dir, en un segon. És, per tant, l’invers del període

T

f = . La unitat és1 l’hertz (Hz), l’invers del segon s-1 ≡ (Hz).

•

La pulsació, ω, són els radians recorreguts per unitat de temps. Atés que un cicle són 2π radians, i el període és la durada d’un cicle, la

pulsació serà el quocient entre ambdós: 2 1 2 f T = π π

=

ω . Tindrà les

mateixes unitats de la freqüència, tot i que s’utilitzen els radians per segon per assenyalar la forma d’expressar els angles s-1 ≡ (radians/s). La fase és ωt + ϕu, que expressaremen radians.

•

La fase inicial és ϕu, i representa el valor de la fase en l’instant inicial. En alguns llibres, per raons de facilitat de lectura, s’expressa la fase inicial en graus i la pulsació en radians per segon. En operar s’hauran d’expressar ambdós termes en les mateixes unitats.

-2 0 2 temps D. d. p. ( V ) Um T 1 3 -1 -3

Figura 14.1. Amplitud i període d’un c.a.s.

0 Fase (radians) D.d. p. ( V ) ϕu 2π 0 4 -4 -2 2 4 6 ωt

•

El desfasament es defineix per a dues funcions sinusoïdals. Per exemple, si estudiem la relació entre una diferència de potencial u(t) = Um cos(ωt + ϕu) i una intensitat de corrent i(t) = Im cos(ωt + ϕi) en un circuit (vegeu la Figura 14.3). Generalment relacionarem la fase de la diferència de potencial respecte de la de la intensitat. El desfasament

ϕ és la diferència entre la fase inicial de la diferència de potencial i la intensitat ϕ = ϕu - ϕi.

El signe del desfasament s’utilitza per a assenyalar quina funció està avançada en temps respecte de l’altra.

•

Si ϕ és positiu voldrà dir que la diferència de potencial està avançada en el temps respecte de la intensitat.

•

Si ϕ és negatiu voldrà dir que la diferència de potencial està endarrerida, o d’una altra manera, que la intensitat està avançada.

•

Si ϕ és zero es diu que les dues magnituds estan en fase.

•

Valor eficaç: Quan mesurem una magnitud sinusoïdal, evidentment els aparells de mesura no poden expressar el valor instantani, ja que varia contínuament. Tampoc podem fer ús del valor mitjà, ja que serà nul (Figura 14.4):

valor mitjà: 1 cos 0 0 = ω =

_∫

T m tdt U T u

Els aparells de mesura de magnitud sinusoïdals expressen el valor eficaç (U, I), que és l’arrel quadrada del valor mitjà del quadrat de la funció sinusoïdal durant un cicle (Figura 14.5):

∫

ω = = T m m U tdt U T u 0 2 2 2 2 2 cos 1 U U u U m EFICAÇ = = = 2 2 I I I m EFICAÇ = = 2

El significat físic del valor eficaç vindrà donat pel fet de ser el valor de la mateixa magnitud, intensitat de corrent o diferència de

0 Fase (radians) D.d. p. ( V ) ϕu 0 3 -3 -2 2 4 6 ϕi ϕ i(t) u(t) Int ensit at (mA) 0 4 -4

Figura 14.3. Diferència de fase entre la diferència de potencial i la intensitat de corrent.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 fase (radians)

Figura 14.4. El valor mitjà d’una funció sinusoïdal és nul. 0 2 4 6 8 10 12 14 fase (radians) 2 2 m U

Figura 14.5. Valor mitjà del quadrat d’una funció sinusoïdal.

potencial, que en corrent continu produiria el mateix efecte Joule en una resistència elèctrica, tal com es podrà entendre quan parlem de potència d’un dipol RLC.

14.3 Resposta dels dipols bàsics

Tal com s’ha definit en el capítol 7, en els circuits elèctrics es denominen dipols tots els elements que tenen dos extrems accessibles al circuit. En aquell mateix capítol s’han definit els dipols passius com aquells dipols que no subministren energia al circuit; en aquell moment l’únic dipol bàsic passiu que s’havia estudiat era la resistència. En corrent altern estudiarem també uns altres dos dipols bàsics que són el

condensador i la bobina, els fonaments dels quals s’han estudiat en els temes 4 i 13, respectivament. En corrent altern denominarem dipol o impedància sèrie un element format per una resistència, un condensador i una bobina connectats en sèrie, de manera que en el circuit circularà la mateixa intensitat de corrent pels tres. Serà l’element bàsic per a l’estudi del corrent

altern en circuits, i buscarem les relacions entre la diferència de potencial i la intensitat de corrent per aquest.

Per a trobar la relació entre diferència de potencial i intensitat en el dipol partirem de les relacions que hi ha en els dipols bàsics. La diferència de potencial en el dipol serà la suma de les diferències de potencial en cadascun dels tres dipols bàsics (vegeu la Figura 14.1):

u(t) = uR(t) + uL(t) + uC(t)

La relació entre la diferència de potencial i intensitat en la resistència ve donada per la resistència R a través de la llei d’Ohm:

uR(t) = Ri(t)

En la bobina, la llei de Faraday proporciona la relació entre la força electromotriu induïda, que serà la diferència de potencial entre els extrems, i la variació de la intensitat de corrent amb el temps a través de l’autoinducció L:

dt t di L t u_L( )= ( )

Els fenòmens d’inducció en la bobina actuen com una força contraelectromotriu, oposant-se sempre a les variacions de la intensitat de corrent.

En el condensador, la capacitat C és igual al quocient entre la seua càrrega i la diferència de potencial en els extrems:

C t q t u_C( )= ( )

L

R

L

C

R

C

i(t) i(t) u_R(t) u_R(t) uu_LL(t) (t) uu_CC(t) (t) u(t) u(t)

Com a nosaltres ens interessa la relació amb la intensitat, en derivar l’expressió respecte del temps, la variació de la càrrega del condensador amb el temps serà igual a la intensitat de corrent que circula pel dipol:

C t i dt t du_C( ) ( ) =

D’aquesta manera, la diferència de potencial del dipol quedarà:

C t q dt t di L t Ri t u( )= ( )+ ( ) + ( )

Expressió vàlida independentment que s’aplique en corrent altern sinusoïdal o un altre tipus de funcions.

Si apliquem una diferència de potencial sinusoïdal al dipol les expressions quedarien de la manera següent:

u(t) = Um cos (ωt + ϕu) ) cos( ) ( ) ( ) ( ) ( U_m t _u C t q dt t di L t Ri t u = + + = ω +ϕ

Com ens interessa la relació amb la intensitat, derivem l’expressió:

) sin( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 u m t U C t i dt t i d L dt t di R dt t du ϕ + ω ω − = + + = Aquesta equació diferencial de segon grau completa es pot integrar, però no ens interessa el resultat analític. En la Figura 14.2 es representa la diferència de potencial i la intensitat de corrent enfront del temps per a un cas

particular, calculada per mètodes numèrics. Del resultat destaquem que:

• Hi ha un període de temps inicial, en el qual la intensitat segueix una funció relativament complicada respecte del temps. Això és el que es denomina el règim transitori.

• Transcorregut un determinat nombre de cicles, la intensitat segueix una funció sinusoïdal d’igual freqüència que la diferència de potencial i desfasada respecte d’aquella, que és el que es denomina el règim estacionari.

En els casos reals de corrent altern el resultat serà equivalent, i el temps que durarà el transitori serà negligible per a aplicacions pràctiques reals, per la qual cosa ens centrarem en l’estudi del règim estacionari. Per tant, la conclusió és que en corrent altern la diferència de potencial i la intensitat de corrent siguen funcions sinusoïdals, d’igual freqüència i desfasades.

Temps u(t)

i(t)

D’aquesta manera, pels tres dipols bàsics circularà la mateixa intensitat: i(t) = Im cos (ωt + ϕi)

En corrent altern ens interessarà conéixer la relació entre amplituds de diferència de potencial i intensitat en els dipols, i el desfasament entre les dues magnituds sinusoïdals. Començarem per estudiar el que passa en cada dipol bàsic.

Resistència

En la resistència la diferència de potencial podem expressar-la com:

uR(t) = URm cos (ωt + ϕR) Com la relació amb la intensitat la coneixem:

uR(t) = Ri(t) = RIm cos (ωt + ϕi) Podem ara identificar termes de la igualtat anterior:

RIm cos (ωt + ϕi) = URm cos (ωt + ϕR)

URm = RIm; ϕR = ϕi

La relació entre amplituds ve donada per la llei d’Ohm, i les dues magnituds estan en fase.

Bobina

En la bobina la diferència de potencial tindrà l’expressió següent:

uL(t) = ULm cos (ωt + ϕL) Com la relació amb la intensitat la coneixem: ) sin( ) ( ) ( _{m i} L LI t dt t di L t u = =− ω ω +ϕ

Transformem la funció sinus en cosinus per a poder comparar-la amb la de la diferència de potencial:

) 2 cos( ) ( = mω ω +ϕi + π L t LI t u

I ara identifiquem termes de la igualtat:

tiempo

Diferencia de potencial V Intensidad

I

Figura 14.1. Intensitat i diferència de potencial en la resistència.

tiempo

Diferencia de potencial Intensidad

V

I

Figura 14.1. Intensitat i diferència de potencial en la bobina

) cos( ) 2 cos( _{i Lm L} m t U t LI ω ω +ϕ + π = ω +ϕ 2 ; ϕ =ϕ +π ω = _{m L i} Lm L I U

La relació entre amplituds depén de la pulsació (és a dir, de la freqüència) i per tant no és constant. A freqüències baixes la diferència de potencial s’anul·la, la bobina actua com un curtcircuit. A freqüències altes actuaria com un circuit obert. A més les dues magnituds estan desfasades, la diferència de potencial està avançada 90º respecte de la intensitat.

El terme XL = Lω es denomina reactància inductiva, i té unitats de resistència elèctrica (Ω).

Condensador

En el condensador la diferència de potencial tindrà l’expressió següent:

uC(t) = UCm cos (ωt + ϕC) La relació entre les dues magnituds, l’obtenim a partir de la càrrega del condensador:

C t q t

u_C( )= ( )

Derivant obtenim la relació amb la intensitat: ) cos( 1 ) ( ) ( i m C _{I t} C C t i dt t du _{= = ω +ϕ}

Tornem a transformar el sinus en cosinus:

      π + ϕ + ω ω = ϕ + ω ω − 2 cos ) sin( _{C Cm C} Cm t U t U I identificant termes:      _{ω +ϕ +}π ω = ϕ + ω 2 cos ) cos( 1 C Cm i m t U t I C 2 ; ϕ =ϕ −π ω = m C i Cm C I U

La relació entre amplituds depén de la pulsació, igual que en la bobina, i per tant no és constant. Però la relació és la contrària, i a freqüències altes la diferència de potencial s’anul·la, el condensador actua com un curtcircuit. A freqüències baixes el condensador actuarà com un circuit obert. A més, les

tiempo

Diferencia de potencial Intensidad

V

I

Figura 14.1. Intensitat i diferència de potencial en el condensador.

dues magnituds estan desfasades, la diferència de potencial està retardada 90º respecte de la intensitat.

El terme XC = 1/(Cω) es denomina reactància capacitiva, i té també unitats de resistència elèctrica (Ω).

14.4 Impedància d’un dipol RLC en sèrie Una vegada que coneixem

la resposta dels dipols bàsics, podem plantejar la resposta d’un dipol sèrie. Com ens interessa conéixer el desfasament entre diferència de potencial i intensitat, ϕ = ϕu - ϕi, simplificarem les expressions considerant nul·la la fase inicial de la intensitat, de manera que la de la diferència de potencial siga igual al desfasament entre les dues magnituds:

u(t) = Um cos (ωt + ϕ) i(t) = Im cos (ωt)

Aplicant el resultat de l’anàlisi que hem fet dels dipols bàsics a la diferència de potencial en el dipol:

u(t) = uR(t) + uL(t) + uC(t)       π − ω ω +       π + ω ω + ω = ϕ + ω 2 cos 2 cos ) cos( ) cos( t C I t LI t RI t U m m m m

Per poder simplificar la resolució del problema, substituïm aquesta expressió en dos instants de temps singulars:

En t = 0,       π₋ ω +       π ω + = ϕ 2 cos 2 cos ) 0 cos( ) cos( C I LI RI U m m m m Um cos(ϕ) = RIm (1) i en ω π − = 2 t , ) cos( ) 0 cos( 2 cos 2 cos 2 + ω + ω −π     π₋ =      ₋π_+ϕ → π − = ω C I LI RI U t m m m m ω − ω = ϕ C I LI U m m msin( ) (2)

Si ara dividim les dues expressions (1) i (2):

fase Diferencia d e potencial _Intensida d Um Im ϕ I U

R C L ω − ω = ϕ ϕ 1 ) cos( ) sin(

obtenim l’expressió del desfasament en un dipol RLC sèrie amb pulsació ω:

            ω − ω = ϕ R C L 1 arctg Equació 14.1

D’acord amb l’expressió, el desfasament, per a un mateix dipol, pot tenir valors positius o negatius depenent de la freqüència del corrent altern.

Si ara sumem el quadrat de les expressions (1) i (2):

(

) (

) (

)

2 2 2 2 2 1 · sin cos _{m m m m} m I U C L I R U U _ =            ω − ω + = ϕ + ϕ

( )

_             ω − ω + = 2 2 2 2 1 C L R I U_{m m}

Obtenim l’expressió de la relació entre amplituds de diferència de potencial i intensitat, Z, a la qual es denomina impedància del dipol:

Z C L R I U m m _{ =}      ω − ω + = 2 2 1 _{Equació 14.2}

També la impedància depén de la freqüència del corrent altern, sempre amb valors positius però, tal com veurem en l’apartat de ressonància, amb un valor mínim per a una freqüència característica del dipol.

Una forma gràfica d’expressar les expressions de la impedància i el desfasament és el triangle impedància. Es tracta d’un triangle en el qual la impedància, Z, és la hipotenusa i el desfasament, ϕ, l’angle. D’aquesta manera, el catet contigu serà la resistència del dipol, R, i el catet oposat la reactància del dipol, X, definida com la diferència entre la reactància inductiva i la capacitiva del dipol: ω − ω = C L X 1 Equació 14.3

De l’expressió de la reactància observem que podrà ser positiva o negativa per al mateix dipol depenent del valor de la freqüència del corrent altern.

Podem deduir del triangle que el desfasament ϕ tindrà valors entre –90º i 90º, depenent dels valors de la reactància, ja que la resistència sempre serà positiva. X Z R ϕ Figura 14.2. Triangle d’impedàncies.

Tant la impedància com la reactància tenen les mateixes unitats que la resistència, l’ohm (Ω). La representació gràfica en els circuits d’un dipol RLC és en forma de caixa, com en la figura..

Exemple 14.1

Plantegem un dipol amb una resistència R = 2 Ω, una bobina L = 1,6 mH i un condensador C = 20 µF, en sèrie. La impedància i el desfasament depenen de la pulsació, que és 5000 radians per segon:

2 6 3 2 2 2 5000 · 10 20 1 5000 · 10 6 , 1 2 1       ⋅ − ⋅ + =       ω − ω + = − ₋ C L R Z 2 2 ) 10 1 8 ( 4+ − ₁ 2 = = ₋ º 45 2 2 arctg 1 arctg =−      − =             ω − ω = ϕ R C L

Si pel dipol circula una intensitat i = 3cos(5000t – 60º) A, la diferència de potencial serà: º 105 º 60 º 45 ; ϕ_u =− − =− ϕ − ϕ = ϕ u i

u = (ImZ) cos(5000t - 60º + ϕ) = 6√2 cos(5000t - 105º) V

14.5 Potència d’un dipol RLC en sèrie Analitzarem a continuació aspectes relacionats amb l’energia en un dipol sotmés a corrent altern. La potència instantània intercanviada per les càrregues que travessen un dipol en corrent altern és igual al producte de les dues funcions sinusoïdals que representen la intensitat de corrent i la diferència de potencial: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( i t u t dt t dq t u dt t dW t p ₌ AB ₌ AB _{= AB} ) cos( ) cos( ) (t =I ωt U ωt +ϕ p _{m m}

(

cos( )·cos( ) ( ) ( )

)

) cos( ) (t I U ωt ωt ϕ sinωt sinϕ p = _{m m} − RLC

Figura 14.3. Representació d’un dipol RLC sèrie.

RLC i(t) = Im cos ωt

UAB(t) = Um cos (ωt + ϕi)

A B

Figura 14.1. Tensió i intensitat en un dipol RLC sèrie.

(

)

(

)

(

ω ϕ ϕ

)

ϕ ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ω ϕ ω cos ) 2 cos( cos ) 2 cos( 2 1 ) ( ) 2 ( 2 1 ) cos( ) ( cos ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) ( cos ) ( 2 2 + + = = + + = =       ₋ = = − = t IU t U I sin t sin t U I sin t sin t t U I t p m m m m m m

En aquesta expressió apareixen dos termes, un constant en el temps, i l’altre que varia sinusoïdalment amb el temps amb una freqüència doble que la de la tensió i la intensitat.

Calculem també el valor mitjà de la potència durant un cicle:

(

cos(2 ) cos( )

)

) ( 1 ) ( 0 = ω +ϕ + ϕ =

_∫

p t dt IU t T t p T 0 ) 2 cos( ωt+ϕ = ) cos( ) (t = IU ϕ p Equació 14.1

Per tant, i com el desfasament ϕ pot variar entre –90º i 90º, cos(ϕ) ≥ 0, un dipol sèrie consumirà energia en corrent altern.

Analitzem ara cada dipol bàsic per a conéixer què passa en cadascun d’aquests per separat:

• En la bobina sabem que la diferència de potencial està avançada 90º respecte de la intensitat:      _{ω +ϕ +}π ω = 2 cos ) ( _{m i} L t LI t u i(t) = Im cos (ωt + ϕi) La potència instantània serà:

) 2 2 cos( ) (_{t =LωI}2 _ωt+π p_{L m}

Calculant el valor mitjà per a un cicle:

0 ) (t = p_L

En la bobina no es consumeix energia al llarg del temps. Durant la meitat d’un cicle va augmentant la intensitat de corrent, i consumeix energia en formar el camp magnètic, però torna l’energia en disminuir el corrent i desaparéixer el camp magnètic. tiempo Potenci a Intensida d P I

• En el condensador sabem que la diferència de potencial està retardada 90º respecte de la intensitat:      _{ω +ϕ −}π ω = 2 cos ) ( m _i C t C I t u

La potència instantània serà: ) 2 2 cos( · ) ( 2 _π − ω ω = t C I t p m C

Calculem el valor mitjà per a un cicle:

0 ) (t = p_C

En el condensador no es consumeix energia al llarg del temps. Durant la meitat d’un cicle va augmentant la diferència de potencial, el condensador es carrega i consumeix energia en formar el camp elèctric, però torna l’energia en descarregar-se i desaparéixer el camp.

• En la resistència sabem que la diferència de potencial està en fase amb la intensitat de corrent:

uR(t) = RIm cos (ωt + ϕi) La potència instantània serà:

) ( cos ) ( 2 2 i m R t RI t p = ω +ϕ

Calculem el valor mitjà per a un cicle:

2 ) ( 2 m R I R t p =

Expressió que podem transformar:

ϕ = = = cos 2 2 ) ( IU Z R IU Z U I R t p m m R

En aquesta expressió s’ha de recordar que I representa la intensitat eficaç que recorre el dipol RLC, i U és la diferència de potencial eficaç en borns del dipol RLC.

Comparant aquesta expressió amb l’Equació 14.1 veiem que en el dipol RLC, tota la potència es consumeix en la resistència.

En la resistència es consumeix energia al llarg del

temps per efecte Joule, siga el sentit que siga el de la intensitat de corrent. En resum, en un dipol de corrent altern l’única potència que es consumeix és la de l’efecte Joule en la resistència, denominada potència activa:

Pa = IUcosϕ tiempo Potenci a Intensida d P I

Figura 14.3. Potència en el condensador.

tiempo Potenci a Intensida d I P

Cos(ϕ) es denomina factor de potència, i en instal·lacions en les quals es consumeix energia és important minimitzar-lo:

R I Z R IIZ IU P_a = cosϕ= = 2 ϕ cos IR U ct I ct P_a = ⇒ = ⇒ =

Per a un mateix consum d’energia, Pa constant, atés que la resistència és constant, la intensitat de corrent eficaç serà també constant, i un factor de potència més alt implicarà una diferència de potencial eficaç menor. Al contrari, un factor de potència baix implicarà una diferència de potencial eficaç major. De fet, les companyies elèctriques penalitzen els consumidors que presenten impedàncies en les instal·lacions amb factors de potència reduïts, tot i que el consum d’energia siga el mateix, perquè requereixen la companyia d’un subministrament amb diferències de potencial més altes que les que caldrien amb factors de potència superiors.

14.6 Ressonància i filtres

En la mecànica, la ressonància és un fenomen que consisteix en la producció d’una vibració de gran amplitud quan sobre un cos capaç de vibrar actua una força periòdica amb una freqüència característica del cos. Per exemple, en acústica seria el fenomen pel qual en situar dos diapasons d’igual freqüència pròxims, en fer vibrar un d’aquests, l’altre comença a vibrar amb una amplitud creixent.

En corrent altern la ressonància d’un dipol afecta l’amplitud de la intensitat del corrent que circula per aquest, que té un valor màxim una freqüència característica del dipol denominada freqüència de ressonància fr.

Si analitzem l’expressió de la impedància del dipol i la seua dependència amb la pulsació, o la freqüència, observarem com té un valor mínim a la freqüència en què la reactància s’anul·la (vegeu la Figura 14.1): Z C L R I U m m _{ =}      ω − ω + = 2 2 1 LC X =0→ω_r = 1 LC f_r π = 2 1 Equació 14.1 0 100 200 300 400 0 2000 4000 f (Hz) Z (Ohms) fr

Figura 14.1. Mínim de la impedància a la freqüència de ressonància.

La freqüència de ressonància és aquella en què la impedància pren el valor mínim, en la qual el desfasament en el dipol s’anul·la, i que, per tant, la impedància pren el valor de la resistència del dipol.

La conseqüència d’això és que l’amplitud de la intensitat de corrent, si mantenim la de la diferència de potencial constant, depén de la freqüència i passa per un màxim a la freqüència de ressonància (vegeu la Figura 14.2): 2 2 1 _      ω − ω + = C L R U I m m

Aquest fenomen té moltes aplicacions. Una de senzilla és la de posar en ressonància un circuit per a sintonitzar una emissora de ràdio. El dial d’una ràdio actua sobre un condensador de capacitat variable, que forma part d’un dipol. Modificant la capacitat del dipol modifiquem la freqüència de ressonància d’aquest, i podem fer-la coincidir amb la d’emissió d’una cadena de ràdio. El senyal captat amb aquesta freqüència tindrà una intensitat màxima, mentre que la resta de senyals, en no estar en ressonància, donaran una amplitud d’intensitat baixa.

Filtres

Una altra aplicació del fenomen de ressonància i de l’efecte de la freqüència sobre la impedància d’un dipol són els filtres. En corrent altern un filtre és un quadripol (element amb dues connexions d’entrada de corrent i dues d’eixida) que deixa passar el corrent quan la seua freqüència es troba dins d’un determinat interval. Els filtres més bàsics són el passaalt, que deixa passar corrents de

freqüència superior a una característica del filtre, el passabaix, que deixa passar corrents de freqüència inferior a una característica del filtre, i passabanda, que deixa passar corrents de freqüència compresa dins d’un interval de freqüències característiques del filtre.

Figura 14.2. Mínim de la impedància, i màxim de la intensitat a la freqüència de ressonància.

Figura 14.3. Condensador variable del dial d’una ràdio.

R

L

C

u(t) uL(t)

R

L

C

u(t) uL(t)

R

L

C

R

L

C

L

C

u(t) uL(t)

El filtre passaalt consisteix en un dipol RLC sèrie amb el qual formem un quadripol connectant el senyal altern d’entrada entre els seus extrems, i les connexions d’eixida són els extrems de la bobina (vegeu la Figura 14.1). Coneixem la relació entre la diferència de potencial i la intensitat de corrent en la bobina: 2 ; ϕ =ϕ +π ω = _{m L i} Lm LI U

I també la relació entre la diferència de potencial del dipol i la intensitat de corrent, en particular la impedància, relació entre les amplituds:

2 2 1       ω − ω + = C L R I U_{m m}

Si relacionem les amplituds de la diferència de potencial a l’eixida del filtre i a l’entrada, entre ULm i Um, el resultat és el següent:

2 2 1 _      ω − ω + ω = C L R L U U m Lm

Per a conéixer les característiques d’aquesta expressió, en determinarem el valor a freqüències altes i baixes:

0 ) ( 1 0 2 2 0 0 = ω =                     ω − ω + ω =       _ω→ → ω → ω lim _R L C L R L lim U U lim m Lm 1 =       ∞ → ω m Lm U U lim A freqüències baixes el senyal d’eixida té amplitud zero, la bobina actua com un curtcircuit, la diferència de potencial s’anul·la, mentre que a freqüències altes el senyal d’eixida té la mateixa amplitud que el d’entrada al dipol, la bobina actua com un circuit obert. En la Figura 14.2 representem la funció per a un cas determinat en el qual no es produeix sobretensió, és a dir, no hi ha freqüències a les quals el senyal d’eixida del filtre té una amplitud superior a la d’entrada. Posteriorment,

definirem el factor de qualitat que servirà per a determinar si un dipol filtre passaalt presentarà sobretensió. Les freqüències a les quals es produeix l’escaló de la relació tensió d’eixida/tensió d’entrada es troben al voltant de la freqüència de ressonància, i més endavant, utilitzant el factor de qualitat, les

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 10 100 1000 10000 100000 f (Hz) Us/U

Figura 14.2. Resposta d’un filtre passaalt a distintes freqüències.

situarem millor. El filtre deixa passar senyals de freqüència superior a la de ressonància.

El filtre passabaix consisteix en un dipol RLC sèrie amb el qual formem un quadripol connectant el senyal altern d’entrada entre els seus extrems, i les connexions d’eixida són els extrems del condensador (vegeu la Figura 14.3). Coneixem la relació entre la diferència de potencial i la intensitat de corrent en el condensador: 2 ;ϕ =ϕ −π ω = m C i Cm C I U

Si relacionem les amplituds de la diferència de potencial a l’eixida del filtre i a l’entrada, entre UCm i Um, el resultat és el següent:

2 2 1 1       ω − ω + ω = C L R C U U m Cm Analitzant l’expressió de la mateixa manera que hem fet amb el filtre passaalt, podem comprovar que a freqüències altes el senyal d’eixida té amplitud zero, s’anul·la, mentre que a freqüències baixes el senyal d’eixida té la mateixa amplitud que la d’entrada al dipol. En la Figura 14.4 representem la funció per a un cas determinat sense sobretensió. En aquest cas serà el factor de qualitat el que ens assenyale també la possibilitat que un filtre passabaix present sobretensió. Les freqüències a

les quals es produeix el salt de la funció es troben també al voltant de la freqüència de ressonància. El filtre deixa passar senyals de freqüència inferior a la de ressonància.

Finalment, el filtre passabanda consisteix en un dipol RLC sèrie amb el qual formem un quadripol connectant el senyal altern d’entrada entre els seus extrems, i les connexions d’eixida seran els extrems de la resistència. Coneixem la relació entre la diferència de potencial i la intensitat de corrent en el condensador:

Figura 14.3. Esquema d’un filtre passabaix.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 10 100 1000 10000 100000 f (Hz) Us/U

Figura 14.4. Resposta d’un filtre passabaix a distintes freqüències.

R

L C

u(t)

R

uL(t)

L C

u(t)

R

uL(t)

L C

u(t) uL(t)

URm = RIm

Si relacionem l’amplitud de la diferència de potencial a l’eixida del filtre i a l’entrada, entre URm i Um, el resultat és el següent:

2 2 1       ω − ω + = C L R R U U m Rm Analitzant l’expressió de la mateixa manera que hem fet amb els filtres passaalt i passabaix, podem comprovar que a freqüències altes el senyal d’eixida té amplitud zero, s’anul·la, i a freqüències baixes el senyal d’eixida també té amplitud zero. Si ara determinem el valor del màxim de la funció i la freqüència a què apareix, aquesta serà la freqüència de ressonància, en la qual la impedància té valor mínim: 1 1 2 2 = =       ω − ω + =    ω = ω R R C L R R U U r r m Rm r

A la freqüència de ressonància l’amplitud del senyal a l’entrada té la mateixa amplitud que a l’eixida del dipol. En la Figura 14.6 representem la funció per a un cas determinat. El filtre passabanda no presentarà mai sobretensió i deixarà passar senyals de freqüència pròxima a la de ressonància.

Si ara analitzem el valor de l’amplitud d’eixida del filtre passaalt a la freqüència de ressonància: C L R R LC L R L C L R L U U _r r r r m Lm r 1 1 1 2 2 = = ω =       ω − ω + ω =    ω = ω

Si fem el mateix amb el valor de l’amplitud d’eixida del filtre passabaix a la freqüència de ressonància: 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 10 100 1000 10000 100000 f (Hz) Us /U

Figura 14.6. Resposta d’un filtre passabanda a distintes freqüències.

C L R R LC C R C C L R C U U r r r r m Cm r 1 1 1 1 1 1 2 2 = = ω = =       ω − ω + ω =    ω = ω

Aquest valor, que caracteritza els dos filtres a la freqüència de ressonància es denomina factor de qualitat del filtre Q.

C L R

Q= 1 Equació 14.1

En la figura representem per a un cas particular les tres funcions representatives dels filtres. El factor de qualitat i la freqüència de ressonància caracteritzen els filtres. El factor de qualitat ens assenyala també si hi ha sobretensió en el filtre. Com depén de R, L i C, amb una mateixa freqüència de ressonància podem tenir diferents factors de qualitat, modificant els elements del filtre. En les figures apareixen tres casos diferents amb la mateixa freqüència i factor de qualitat creixent. Factors de qualitat superiors a la unitat

impliquen que en el filtre tindrem freqüències en les quals el senyal d’eixida tindrà amplitud superior a la del senyal d’entrada, efecte que es denomina de sobretensió, i amb el qual s’ha de tenir cura per a no arribar a danyar els circuits. Aquesta conclusió i aquest advertiment amb el funcionament és general per als dipols: depenent de la freqüència i dels valors dels components, la diferència de potencial entre els extrems d’un dipol pot ser inferior a la diferència de potencial en el condensador o la bobina que el formen.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 10 100 1000 10000 100000 f (H z) Us/U L C R Q fr Figura 14.7. Relació entre la tensió a l’eixida (en l’autoinducció, resistència o condensador) i a l’entrada en un

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 10 100 1000 10000 100000 f (Hz) Us/U L C R Q fr 0 0,5 1 1,5 2 2,5 10 100 1000 10000 100000 f (Hz) Us/U L C R Q fr

Figura 14.8. Relació entre la tensió a l’eixida (en l’autoinducció, resistència o condensador) i a l’entrada per a dos circuits RLC sèrie diferents.

14.7 Notació complexa del c.a.s. Un nombre complex es pot expressar en forma binomial, amb el terme real i l’imaginari, o en forma mòdul argumental. En la representació gràfica del pla complex podem veure la relació entre les dues formes d’expressió: De la forma binomial1: j a a A = r + i ⋅ 2 2 r i r i a a A a a tan + = = α

fent ús de les transformacions d’Euler:

α α α _{+ j⋅sin =e}j cos α α α_{− j⋅sin =e}−j cos

passem a la forma mòdul–exponencial o mòdul–argumental, aquesta última molt utilitzada en corrent altern, serà:

α = =_Ae α _A

A j( )

En corrent altern és de gran utilitat considerar les funcions sinusoïdals com la part real d’un nombre complex, que quedaria representat per un vector giratori amb velocitat angular igual a la pulsació i denominat fasor. D’aquesta manera, un corrent altern de valor instantani atés per la funció i(t) = Im cos (ωt + ϕi), quedaria expressat de forma simbòlica com un fasor de valor:

1 _{Observeu que el nombre imaginari − el representem mitjançant la lletra j en lloc de i atés1}

que la lletra i la reservem per a representar la intensitat de corrent.

A α ar Imaginari Real ai

) ( ) cos( _{i m i} m t j I sin t I I = ω +ϕ + ⋅ ω +ϕ

o en forma mòdul exponencial: i m t j me I t I I = (ω+ϕi) = ω +ϕ

En corrent altern tant les intensitats de corrent com les diferències de potencial es poden expressar en forma simbòlica i operar amb aquestes d’una manera molt senzilla.

Repassem les operacions bàsiques amb nombres complexos:

En les operacions s’ha de tenir en compte que j⋅ j = −1 −1=−1 • Suma: ) ( ) ( ) ( ) (a_r + j ⋅a_i + b_r + j⋅b_i = a_r +b_r + j a_i +b_i • Producte: • En forma binomial: ) ( ) ( ) ( ) (a_r + j⋅a_i ⋅ b_r + j ⋅b_i = a_r ⋅b_r −a_i ⋅b_i + j a_r ⋅b_i +a_i ⋅b_r • En forma exponencial:

(

_A⋅ejα

) (

_{⋅ B⋅e}jβ

)

₌(_A⋅B)_⋅ej(α+β) ₌(_A⋅B)(_{α +β}) • Quocient • En forma binomial:

(

)(

)

(

)(

)

2 2 2 2 ) ( ) ( i r i r r i i r i i r r i r i r i r i r i r i r b b b a b a j b b b a b a b j b b j b b j b a j a b j b a j a + ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + = ⋅ + ⋅ + • En forma exponencial: ) (α−β β α ⋅       = ⋅ ⋅ j j j e B A e B e A

D’acord amb aquest plantejament, en forma simbòlica, per a un dipol en corrent altern expressarem la diferència de potencial i la intensitat com:

ϕ + ω = =_{U e} ω+ϕ _{U t} U _m j( t ) _m t I e I I = _m j(ω )t = _mω

La relació entre ambdues és el que es denomina llei d’Ohm simbòlica: ϕ = ϕ = ω ϕ + ω = Z I U t I t U I U m m m m ϕ = Z I U

El quocient entre la diferència de potencial i la intensitat de corrent en un dipol dóna un nombre complex de mòdul la impedància i argument el

Real ω Imaginari i(t) = Im cos (ωt + ϕi) ωt + ϕi

I

desfasament. Es defineix com impedància complexa d’un dipol aquest nombre complex:

ϕ = Z Z

És fàcil demostrar que en forma binomial tindrà la resistència com a terme real i la reactància com a l’imaginari:

Xj R Z = +

Es defineix com admitància complexa d’un dipol l’invers de la impedància complexa: ϕ − = = 1 (1) Z Z Y

Amb aquest plantejament simbòlic la manera d’operar en corrent altern és la mateixa que en corrent continu, però substituint les resistències per impedàncies complexes. Per exemple, en tenir dipols connectats en paral·lel parlarem d’impedàncies en paral·lel, i de la seua impedància equivalent que es calcula de manera anàloga a l’associació en paral·lel de resistències:

Zn Z1 Z2 Z3 Zeq U I I I1 I2 I3 In U

Figura 14.3. Associació en paral·lel d’impedàncies.

1 1 − =         =

∑

n i i eq Z Z

Si tenim dipols en sèrie, parlarem d’associació d’impedàncies en sèrie, la impedància equivalent de la qual ve donada per la mateixa expressió que per al cas de resistències en sèrie:

Z1 Z2 Z3 Zn Zeq U I U I

∑

= = n i i eq Z Z

En circuits de corrent altern els generadors tindran una força electromotriu sinusoïdal:

) cos(

)

( =ε ⋅ ω +ϕ_ε

ε t _m t

El signe positiu i la fletxa assenyalen la polaritat del generador quan la funció sinusoïdal pren valors positius. Evidentment, la força electromotriu també es plantejarà de forma simbòlica:

ε ϕ + ω _{=ε ω +ϕ} ε = ε e ε t m t j m ( )

Amb aquest plantejament podrem fer ús de les expressions deduïdes per a corrent continu, i substituir intensitats de corrent, diferències de potencial i forces electromotrius per la forma simbòlica, i les resistències per les impedàncies complexes dels dipols, com són:

• L’equació del circuit:

∑

∑

ε = j i Z I • La diferència de potencial:

∑

∑

− ε = _{j i} AB I Z U

Expressions en les quals els criteris de signes i polaritats tenen el mateix significat que en corrent continu.

També s’utilitza la mateixa metodologia per a l’anàlisi de xarxes elèctriques en corrent altern, utilitzant les lleis de Kirchhoff, els mètodes de malles i els teoremes d’equivalència. Alguna de les expressions utilitzades quedarien de la manera següent:

• Llei de nucs: 0 1 =

∑

n Ii • Llei de malles: 0 1 1 , =

∑

+ n i i U • Mètode de malles:

[ ] [ ] [ ]

εi = Zij ⋅Jj • Impedància equivalent: 11 Z Z Z_eqAB =

Hem de recordar que una vegada està resolt el problema de manera simbòlica, hem de transformar les diferències de potencial i intensitats a la seua forma real, que és la instantània:

ϕ + ω = =_{U e} ω+ϕ _{U t} U _m j( t ) _m → u(t)=U_m⋅cos(ωt+ϕ) t I e I I = _m j(ω )t = _mω _{→ i(t) I cos( t)} m ⋅ ω = - +

Exemple 14.1

Plantegem novament el dipol amb una resistència R = 2 Ω, una bobina L = 1,6 mH i un condensador C = 20 µF, en sèrie, i la pulsació 5000 radians per segon. La impedància complexa serà:

2 2 = Z 4 º 45 =−π − = ϕ j e Z _{2 2} 4 π − =

Si pel dipol circula una intensitat i = 3cos(5000t - 60º) A, la diferència de potencial serà: j e I =3 −60º j j j _{e e} e Z I U= · =3 −60º·2 2 −45º =6 2 −105º u = 6√2 cos(5000t - 105º) V

Transmissió de senyals per un cable conductor

La línia de transmissió de senyals elèctrics pot considerar-se en una primera aproximació com un llarg conductor amb una resistència total R, una autoinducció total L en sèrie amb la resistència i una capacitat C en paral·lel entre els dos conductors (vegeu la Figura 14.5).

El senyal u(t) que s’ha de transmetre consisteix en una tensió variable en el temps produïda per un generador i aplicada a un extrem del conductor. La tensió uC(t) en

l’altre extrem, en borns del condensador, es considerarà l’eixida de la línia de transmissió (aquest model seria més apropiat per a un petit segment del cable). A més se suposa l’eixida en circuit obert.

Figura 14.5. Línia de transmissió (dalt) i model (baix).

Considerant, doncs, el circuit com un RLC en sèrie, els senyals d’entrada i d’eixida en la línia de transmissió estan relacionats, és a dir, la tensió en el condensador uC(t) està relacionada amb la del generador u(t)

depenent de les característiques del circuit. En aquest cas, les amplituds d’oscil·lació estan relacionades per

2 2 1 1       ω − ω + ω = C L R C U U m Cm

Per exemple, si el senyal digital que s’ha de transmetre consisteix en una successió alternada de 0 i 1 (Figura 14.6) pot desenvolupar-se la funció en sèrie de Fourier com una suma de funcions sinusoïdals amb distintes freqüències

[

]

∑

∞ = + − ω + π = 0 0 1 2 º 90 ) 1 2 ( cos 2 ) ( n m n t n U t u 0,5 1,0 1,5 2 t (ms) -3 -2 -1 1 2 3 V (V)

Figura 14.6. Senyal d’entrada rectangular, calculat amb els primers 100 termes de la sèrie.

La tensió d’eixida corresponent a cada terme sinusoïdal amb diferents freqüències depén de la impedància a aquesta freqüència. La tensió d’eixida total és la superposició de tots els termes amb les seues amplituds i fases. Per a realitzar el càlcul convé utilitzar la representació fasorial o complexa de la tensió d’entrada

[

]

_∑

[

]

∑

∞ ω = ω ∆=ω ω ∞ = ω ω − ω π = + − ω + π = 0 0 2 0 0 0 / º 90 exp 2 1 2 º 90 ) 1 2 ( exp 2 U j t n t n j U U m n m i de la tensió d’eixida

[ ]

∑

∞ ω = ω ∆=ω ω ω ω ω π ω − = ω − = 0 0 2 2 0 ) ( exp 2 Z t j C U Z C U j U m C

de manera que la part real d’aquesta última magnitud complexa correspon a la tensió real en borns del condensador.

Tot i que les sèries mostrades contenen una infinitat de termes, en els càlculs per a realitzar les figures s’han pres únicament els 100 primers termes de cada sèrie. Pot observar-se com en aquest senzill model el senyal d’eixida depén de la impedància del sistema, és a dir, de la resistència, l’autoinducció i la capacitat de la línia de transmissió. Per exemple, per al senyal rectangular d’entrada amb Um = 5 V i ω0 = 2π 1000 s-1 s’obtenen senyals d’eixida diferents depenent dels valors de la resistència, capacitat i autoinducció de la línia de transmissió.

0,5 1,0 1,5 2 t (ms) -3 -2 -1 1 2 3 V (V)

Figura 14.7. Senyal d’eixida amb R = 20 Ω, L = 0,5 mH i C =1 µF 0,5 1,0 1,5 2 t (ms) -3 -2 -1 1 2 3 V (V)

Figura 14.8. Senyal d’eixida amb R = 200 Ω, L = 0,5 mH i C =1 µF -7,5 -5 -2,5 2,5 5 7,5 0,5 1,0 1,5 2 t (ms) V (V)

Figura 14.9. Senyal d’eixida amb R = 2 Ω, L = 0,5 mH i C =1 µF 0,5 1,0 1,5 2 t (ms) -4 -2 2 4 V (V)

Figura 14.10. Senyal d’eixida amb R = 20 Ω, L = 5 mH i C =1 µF 0,5 1,0 1,5 2 t (ms) -6 -4 -2 2 4 6 V (V)

Figura 14.11. Senyal d’eixida amb R = 2 Ω, L = 50 µH i C =100 nF

14.8 Qüestions i problemes

1. Per un circuit compost per dos elements purs en sèrie alimentats per una font de tensió u = 150 cos(500t + 10º) V, circula una intensitat de corrent i = 13,42cos(500t - 53,4º) A, determineu els elements esmentats.

Sol:

R = 5 Ω, L = 0,02 H.

2. Per un circuit compost per dos elements purs en sèrie i una font de tensió u = 200sin(2000t + 50º) V, circula una intensitat i = 4cos(2000t + 13,2º) A, determineu els elements esmentats.

Sol:

3. En un circuit RL en sèrie, amb R = 5 Ω i L = 0,06 H, la tensió entre els borns de la bobina és uL = 15cos200t V. Calculeu:

a) La intensitat de corrent.

b) L’angle de fase, el mòdul de la impedància. c) La tensió total.

Sol:

a) i = 1,25 cos(200t - 90º) A; b) ϕi = 67,38º; Z = 13 Ω ;

c) u = 16,25cos(200t - 22,62º) V

4. Per un circuit amb una resistència R = 2 Ω, una bobina L = 1,6 mH i un condensador C = 20 µF, en sèrie, circula una intensitat i = 3cos(5000t - 60º) A. Calculeu la caiguda de tensió en cada element i la caiguda de tensió total. Sol:

uR = 6cos(5000t - 60º) V, uL = 24cos(5000t + 30º) V, uC = 30cos(5000t - 150º) V, u = 6√2cos(5000t - 105º) V

5. Una resistència de 5 Ω i un condensador es connecten en sèrie. La tensió entre els borns de la resistència és uR = 25 cos(2000t + 30º) V, si la tensió total està endarrerida 60º respecte del corrent, quin és el valor de la capacitat C del condensador?

Sol: C = 57,7 µF

6. La tensió aplicada a un circuit RLC en sèrie està avançada 30º respecte del corrent que circula per aquest. El valor màxim de la tensió en la bobina és el doble de la corresponent al condensador, i uL = 10cos1000t V. Calculeu els valors de L i C, sabent que R = 20 Ω.

Sol: L = 23,1 mH, C = 86,6 µF.

7. Pel circuit de la figura circula una intensitat i(t) =10cos(100t + 90º) A.

a) Representeu gràficament d’acord amb ωt les funcions: i(t), uR(t), uL(t), uC(t).

b) Si R = 10 Ω, L = 0,5 H i C = 200 µF, determineu la potència instantània en cadascun dels tres elements per a valors de t corresponents a: ωt = 0, ωt = π/2, ωt = π,ωt = 2π.

c) Calculeu la potència mitjana durant mig període en cadascun dels tres elements.

8. Escriviu l’equació de dimensions i la unitat de les magnituds següents: XL, R, L, C, ε Sol:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

1 2 4 2

[ ]

2 3 1 2 2 2 2 3 2 2 3 2 ; ; ; ; − − − − − − − − − − − − = ε = = = = I T ML I T L M C I T ML L I T ML R I T ML X_L

9. En un circuit RL sèrie, amb L = 0,05 H, circula una i = 2√2cos500t A. Amb un voltímetre es mesura la ddp en borns de la resistència; sent VR = 50 V, determineu: R i(t) L C uR uL uC A B

a) El valor de R.

b) L’expressió complexa de la tensió en borns del generador. c) L’expressió del valor instantani v(t).

d) Si a continuació es connecta un condensador en sèrie amb R i L, la capacitat perquè el desfasament entre la tensió v en borns del generador i la intensitat i1 que circula en aquest cas siga 30º.

e) L’expressió complexa de la nova intensitat. Sol:

a) R = 25 Ω b) V = 50 √245º V, c) v = 100cos(500t + 45º) V, d) C = 189,2 µF, e) I1= 2,4515ºA

GLOSSARI

Freqüència: És el nombre de cicles de la funció sinusoïdal per una unitat de temps.

Fase inicial: És la fase de la funció sinusoïdal en l’instant inicial.

Desfasament ϕ: És la diferència entre la fase inicial de dues funcions sinusoïdals ϕ = ϕu - ϕi.

Valor eficaç: Arrel quadrada del valor mitjà del quadrat de la funció sinusoïdal durant un cicle.

2 m EFICAÇ U U = 2 m EFICAÇ I I =

Impedància: Relació entre amplituds de diferència de potencial i intensitat en un dipol RLC. m m I U Z =

Reactància inductiva: Relació entre amplituds de diferència de potencial i intensitat en una bobina.

XL = Lω

Reactància capacitiva: Relació entre amplituds de diferència de potencial i intensitat en un condensador.

XC = 1/Cω

Potència activa: És la potència consumida per efecte Joule en un dipol RLC.

Pa = IUcosϕ

Factor de potència: cosϕ és la relació entre la potència activa i el producte entre tensió eficaç i intensitat eficaç. Un circuit amb factor de potència baix, encara que consumisca la mateixa energia que un altre amb factor de potència alt, requereix un

subministrament de més diferència de potencial.

Freqüència de ressonància d’un circuit és aquella que produeix una impedància mínima en aquest. Depén de R, L i C.

LC f_r π = 2 1

Filtre passaalt: Quadripol que a freqüències baixes, el senyal d’eixida té amplitud zero, mentre que a freqüències altes el senyal d’eixida té la mateixa amplitud que la d’entrada al dipol. Filtre passabaix: Quadripol que a freqüències altes, el senyal d’eixida té amplitud zero, mentre que a freqüències baixes el senyal d’eixida té la mateixa amplitud que el d’entrada al dipol. Filtre passabanda: Quadripol que a freqüències altes i baixes, el senyal d’eixida té amplitud zero, mentre que a freqüències pròximes al de ressonància el senyal d’eixida té la mateixa amplitud que el d’entrada al dipol.

Factor de qualitat d’un filtre passabaix i passaalt, és la relació entre l’amplitud d’eixida del filtre i l’amplitud d’entrada a la freqüència de ressonància.

C L R Q= 1

Sobretensió: en un filtre es produeix quan l’amplitud d’eixida del filtre és superior a l’amplitud d’entrada.