Gonzalez Hernandez t1

Problemas 1A.5

Viscosidades de Mezclas Cloro-aire a baja densidad. Pronosticar las viscosidades (en cp) de mezclas cloro-aire a 75°F y 1 atm, para las siguientes Fracciones molares de cloro: 0.00, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00. Considerar el aire como un componente simple y use las ecuaciones 1.4-14 a 1.4-16

Ecuación 1.4-14 𝜇 =₁₆5 √𝜋𝑚𝑘𝑇_𝜋𝜎2Ω 𝜇 O 𝜇 = 2.6693𝑋10 −5 √𝑀𝑇 𝜎2_Ω𝜇 Ecuación 1.4-15 𝜇_{𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎}= ∑ 𝑥𝛼𝜇𝛼 ∑ 𝛽𝑥𝛽𝜙𝛼𝛽 𝑁 𝛼−1 Ecuación 1.4-15 Φ_𝛼𝛽 = 1 √8(1 + 𝑀𝛼 𝑀𝛽) −1/2 [1 + (𝜇𝛼 𝜇𝛽) 1/2 (𝑀𝛽 𝑀𝛼) 1/4 ] 2 Converción de °F a K 75°F = (273.15 + (75-32)/1.8) = 297.03 K Tabla de datos Compuesto 𝑀 𝜎 (𝐴)̇ 𝜀 𝑘 (𝐾) 𝐾𝑇 𝜀 Ω_𝜇 𝜇 (𝑐𝑝) 𝐶𝑙₂ 70.91 4.115 357 0.832 1.754 0.01304 Aire 28.97 3.617 97 3.062 1.033 0.01832 Ecuación 1.4-14 para 𝐶𝑙2 𝜇 = 2.6693𝑋10−5 √70.91 × 297.03_(4.115)2_×1.754 = 1.0304 × 10−4 𝑔 𝑐𝑚∙𝑠= 0.01304 𝑐𝑝

Instituto Tecnologico de Orizaba

División de Estudios de Posgrado e Investigación

Maestría en Ciencias de Ingeniería Química

Fenomenos de Transporte

Dr. Denis Cantú Lozano

Alain Joqsan González Hernández

Ecuación 1.4-14 para aire 𝜇 = 2.6693𝑋10−5 √28.97 × 297.03 (3.617)2_×1.033 = 1.832 × 10−4 𝑔 𝑐𝑚∙𝑠= 0.01832 𝑐𝑝 Φ11 = Φ22 = 1.0 Ecuación 1.4-15 para

Φ

₁₂ Φ₁₂= 1 √8(1 + 70.91 28.97) −1/2 [1 + (0.01304 0.01832) 1/2 (28.97 70.91) 1/4 ] 2 Φ₁₂= 0.5339 Ecuación 1.4-15 para

Φ

₂₁ Φ21 = 1 √8(1 + 28.97 70.91) −1/2 [1 + (0.01832 0.01304) 1/2 (70.91 28.97) 1/4 ] 2 Φ21= 1.8360

Tabla de pronóstico de Viscosidades en cp

𝑥₁ Σ₁ Σ₂ 𝐴 𝐵 𝐴 + 𝐵 Valor real % de desviacio n 1 − 𝑥1 Σ 𝑥_𝛽Φ_1𝛽 Σ 𝑥_𝛽Φ_2𝛽 𝑥1𝜇1 Σ₁ 𝑥₂𝜇₂ Σ₂ 𝜇𝑚𝑖𝑥,𝑐𝑝.× 10 6 0.00 0.5339 1.0000 0.0000 0.0183 0.0183 0.0183 0 0.25 0.6504 1.2090 0.0050 0.0114 0.0164 0.0164 0 0.50 0.7670 1.4180 0.0085 0.0065 0.0150 0.0150 0 0.75 0.8835 1.6270 0.0111 0.0028 0.0139 0.0139 0 1.00 1.0000 1.8360 0.0130 0.0000 0.0130 0.0130 0

1A.6

Estimación de la viscosidad liquida. Estimar la viscosidad la viscosidad de agua líquida saturada a 0°C y a 100°C por medio de: a) la ecuación 1.5-9 con ΔŨvap=897.5

Btu/lbm a 100°C, b) la ecuación 1.5-11. Comparar los resultados con los valores de la tabla 1.1-2. Tabla de datos: compuesto T(K) Ṽ(cm3_{/mol) Δũ} vap (cal/g-mol) ρ(g/cm3_{) Δũ} vap(Btu/lbm) H2O(0°C) 273.15 18.01 8988.88 0.9998 897.5 H2O(100°C) 373.15 18.8 8988.88 0.9584 897.5 Ecuación 1.5-9: 𝜇 =Ñℎ_Ṽ 𝑒𝑥𝑝(0.408𝛥ũ𝑣𝑎𝑝/𝑅𝑇) Ecuación 1.5-11: 𝜇 =Ñℎ_Ṽ 𝑒𝑥𝑝(3.8 𝑇𝑏/𝑇) a) Donde: ℎ = 6.620 × 10−27 _{Ñ = 6.0221 × 10}23 Para H2O(0°C): 𝜇 =0.004 18.01𝑒𝑥𝑝 ( 0.408∗8988.88 1.9872∗273.15) 𝜇 = 2.22𝑥10−4_{𝑒𝑥𝑝(6.7565) = 0.1908} 𝑔 𝑐𝑚∙𝑠 𝜇 = 19.08 𝑐𝑝 Para H2O(100°C): 𝜇 =0.004 18.8 𝑒𝑥𝑝 ( 0.408∗8988.88 1.9872∗373.15) 𝜇 = 2.12𝑥10−4_{𝑒𝑥𝑝(4.9458) = 0.0298} 𝑔 𝑐𝑚∙𝑠 𝜇 = 2.98 𝑐𝑝 b) Donde: ℎ = 6.620 × 10−27 _{Ñ = 6.0221 × 10}23 _𝑇 𝑏 = 373.15 Para H2O(0°C): 𝜇 =0.004 18.01exp(3.8 ∗ 1.3661) 𝜇 = 2.22𝑥10−4_{𝑒𝑥𝑝(5.1912) = 0.0399} 𝑔 𝑐𝑚 ∙ 𝑠 𝜇 = 3.99 𝑐𝑝 Para H2O(100°C): 𝜇 =0.004 18.88exp(3.8 ∗ 1) 𝜇 = 2.12𝑥10−4_{𝑒𝑥𝑝(3.8) = 0.0095} 𝑔 𝑐𝑚 ∙ 𝑠 𝜇 = 0.95 𝑐𝑝

Este tipo de ecuaciones empíricas son deficientes para el agua y otros líquidos asociados. Por lo cual ambas formulas son inexactas.

PREGUNTAS PARA DISCUSIÓN

1- ¿Comparar la ley de viscosidad de Newton y la ley de elasticidad de Hooke? ¿Cuál es el origen de estas "leyes"?

La Ley de elasticidad de Hooke describe los fenómenos elásticos de un cuerpo y los esfuerzos a los que se encuentra sometido dicho esfuerzo y se cumple cuando las fuerzas que se aplican no exceden al límite elástico, mientras que la ley de la viscosidad de Newton se puede pbservar si se coloca un fluido entre dos capas, la fuerza es directamente prorcional al área y a la velocidad, e inversaente proporcional a la distancia de las placas. Si la velocidad de desplazamiento de la placa es mayor, sera proporcional al esfuerzo de corte.

2- Verificar que "cantidad de movimiento por área unitaria por tiempo unitario" tiene las mismas unidades que "fuerza por área unitaria".

Cantidad de movimiento por área unitaria por tiempo unitario: Cantidad de movimiento área × tiempo = N × s m2 _{× s} Donde: 𝑁 × 𝑠 =𝐾𝑔 𝑚 𝑠2 × 𝑠 Sustituyendo el Pascal 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 á𝑟𝑒𝑎 × 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 = 𝐾𝑔 ∙ 𝑚 𝑚2_{∙ 𝑠}2 Por lo tanto 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 á𝑟𝑒𝑎 × 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 = 𝐾𝑔 𝑚 ∗ 𝑠2 = 𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙

Fuerza por área unitaria

𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 á𝑟𝑒𝑎 = 𝑁 𝑚2 Donde: 𝑁 =𝐾𝑔 ∙ 𝑚 𝑠2

Sustituyendo N 𝐾𝑔∗𝑚 𝑠2 𝑚2 = 𝐾𝑔 ∙ 𝑚 𝑠2_{∙ 𝑚}2= 𝐾𝑔 𝑠2_{∙ 𝑚} Por lo tanto 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 á𝑟𝑒𝑎 = 𝐾𝑔 𝑠2_{∙ 𝑚} = 𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙

3- Comparar y contrastar los mecanismos molecular y convectivo para el transporte de cantidad de movimiento.

Mecanismo molecular Mecanismo convectivo

Los esfuerzos moleculares 𝝅_𝒊𝒋 = 𝒑𝜹_𝒊𝒋+ 𝝉_𝒊𝒋 Donde:

i y j puede ser x, y o z. 𝜹_𝒊𝒋 es la delta de Kronecker 𝒑 es presión

Por lo tanto, el conjunto de 𝝅_𝒊𝒋(tensor de esfuerzo molecular), nos proporcionan la densidad de flujo de cantidad de movimiento j a través de una superficie perpendicular i. ya que el tensor se puede relacionar con los gradientes de velocidad y presión, y verifica que esta relación implica dos parámetros materiales 𝝁 y 𝜿 (viscosidad dilatacional).

Al proceso en el cual la cantidad de movimiento puede trasportarse por medio del flujo volumétrico del fluido, se le conoce como trasporte convectivo.

𝜌vv = (∑ 𝛿𝑖 𝑖𝜌𝜐𝑖)v

Donde:

𝜌vv es un tensor de densidad de flujo convectivo.

𝛿_𝑖 vector unitario que indican los en las direcciones x, y, z.

4- ¿Cuáles son los significados físicos de los Paramentos de Lennard- Jones y cómo pueden determinarse a partir de datos de viscosidad? ¿La determinación es única? La fuerza intermolecular (para molécular no polares) está dada por 𝐹(𝑟) = −𝑑𝜑_𝑑𝑟 Una expresión empírica satisfactoría es el potenciañ de Lennard- Jones

𝜑(𝑟) = 4𝜀 ((𝜎 𝑟) 12 − (𝜎 𝑟) 6 )

Dónde:

𝜎 es el diámetro característico de las moléculas, denominado “diámetro de colisión”

𝜀 es la energía característica, es la máxima energía de atracción entre un par de moléculas.

La determinación no es única ya que existen tablas, en las cuales se encuentran tabulados la integral de colisión para la viscosidad dada una temperatura y se puede recurrir a esta, para cualquier compuesto que se desee determinar su viscosidad. 5- ¿Cómo dependen las viscosidades de los líquidos y de los gases a baja densidad de la temperatura y la presión?

La viscosidad de un gas a baja densidad aumenta con un incremento en la temperatura, mientras que la viscosidad de un líquido disminuye con un incremento en la temperatura.

6- El potencial de Lennard -Jones, depende solo de la separación intermolecular. ¿Para qué tipos de moléculas podría esperarse que este tipo de potencial sea inapropiado?

El potencial de Lennard- Jones, depende de las fuerzas intermoleculares: atracciones débiles a separaciones grandes y repulsiones grandes a separaciones pequeñas. Este potencial es inapropiado a moléculas polares, puede ser que no se lleven a cabo las mismas fuerzas intermoleculares.

8- Las moléculas que solo difieren en sus isotopos atómicos tienen los mismos valores de los parámetros de potencial de Lennard- Jones. ¿Esperaría usted que la viscosidad del CD4 sea mayor o menos que la de CH4 a la misma temperatura y presión?

El componente CD4 posee mayor cantidad de masa y por lo tanto es el que resulta presentar una mayor viscosidad, en comparación con el metano.

9- La viscosidad del fluido A es el doble de la viscosidad del fluido B; ¿Qué fluido esperarías que fluyese más rápido a través del tubo horizontal de longitud L y radio R cuando se impone la misma diferencial de presión?

El componente que fluye más rápido es el B ya que este posee menor resistencia a fluir y el componente A es más pesado, tardaría más en llevarse a cabo el proceso. 10- Hacer un bosquejo de la fuerza intermolecular F(r) obtenida a partir de la función de Lennard -Jones para ϕ(r). También, determinar el valor de rm en la figura 1-.4-3 en términos de los parámetros de Lennard-Jones.

En la figura anterior se puede apreciar la función de energía, con respecto a los parámetros de Lennard – Jones. La expresión empírica que satisface este potencial es la siguiente 𝜑(𝑟) = 4𝜀 [(𝜎_𝑟)12− (𝜎_𝑟)6]

El valor de rm se puede obtener mediante el grafico con ayuda de las propiedades

de los fluidos, en este caso se puede determinar mediante

𝑟_𝑚 = 3 ∗ 𝜎 = 3 ∗ 0.841 𝑉̃_{𝑚,𝑠𝑜𝑙}

1 3

11- ¿Qué conceptos básicos se utilizarán al pasar de la ley de viscosidad de newton en la ecuación 1.1-2 a la generalización en la ecuación 1.2-6?

Viscosidad de Newton: 𝜏𝑥𝑦 = −𝜇𝑑𝑣_𝑑𝑦𝑥 (1.1-2).

Donde es referida a un plano en el cual se presentan términos en estado estacionario en el que 𝑣_𝑥 es función de 𝑦, donde 𝑣_𝑦 y 𝑣_𝑧 son cero. Si se presenta un fluido en el cual su velocidad tome direcciones distintas en diversos sitios y que dependa del tiempo; los componentes de velocidad estarán dadas por lo siguiente:

𝑣𝑥 = 𝑣𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡); 𝑣𝑦= 𝑣𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡); 𝑣𝑧 = 𝑣𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

Hay 9 componentes del esfuerzo 𝜏𝑖𝑗donde i y j pueden tomar las designaciones de

x, y, y z, este puede ser sustituido en la ecuación 1.1-2.

La fuerza que somete a una partícula que se encuentra en el centro del volumen (en la posición x, y y z). Si al volumen se le otorga un pequeño movimiento, este presentará dos fuerzas que actúan sobre el volumen, estas serán la presión (será siempre perpendicular a la superficie expuesta) y las fuerzas viscosas que se presentan cuando se presenta un gradiente de velocidad.

Los esfuerzos viscosos son generados por el movimiento de las moléculas y por lo tanto:

𝜋

_𝑖𝑗

= 𝑝𝛿

_𝑖𝑗

+ 𝜏

_𝑖𝑗

Con las siguientes restricciones para 𝜏𝑥𝑦:

Esfuerzo viscoso (combinaciones lineales de los gradientes de velocidad) 𝜏𝑖𝑗 = − ∑ ∑ 𝜇𝑘 𝑙 𝑖𝑗𝑘𝑙𝜕𝑣_𝜕𝑥𝑘

𝑙

𝜏𝑖𝑗 sea una combinación simétrica de los gradientes de velocidad.

(𝜕𝑣𝑗 𝜕𝑥𝑖+ 𝜕𝑣𝑖 𝜕𝑥𝑗) y ( 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑧) 𝛿𝑖𝑗

Fluido isotrópico (sin dirección referida) 𝜏𝑖𝑗 = 𝐴 ( 𝜕𝑣𝑗 𝜕𝑥_𝑖 + 𝜕𝑣_𝑖 𝜕𝑥_𝑗) + 𝐵 ( 𝜕𝑣_𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣_𝑧 𝜕𝑧) 𝛿𝑖𝑗

Se simplifica 𝜏𝑖𝑗 = 𝐴𝑑 𝑣_{𝑑 𝑦}𝑥 de la ecuación anterior para un flujo elemental

La constante A debe ser la misma que el negativo de la viscosidad y B = 2₃𝜇 − 𝑘

Por lo tanto tenemos 𝜏𝑖𝑗 = −𝜇 ( 𝜕𝑣𝑗 𝜕𝑥𝑖+ 𝜕𝑣𝑖 𝜕𝑥𝑗) + ( 2 3𝜇 − 𝜅) ( 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑧) 𝛿𝑖𝑗 (1.2-6)

12- ¿Qué obras de referencia pueden consultarse para encontrar más información acerca de la teoría cinética de los gases y los líquidos, y también para obtener empirismos útiles para calcular la viscosidad?

W. Green, Don Perry´s chemical engineers´ Handbook. 7 th ed. McGraw Hill. 1997C. Reid, R., M. Prausnitz, J. & E. Poling, B., The propieties of gases & liquids. Fourth edition 1987.

W. Kauzmann. Teoria de la cinetica de los gases. Reverté, 1970. Bibliografia:

R. Byron Bird, Warren E. Stewart, Edwin N. Lighfoot. Fenómenos de transporte, Segunda edición, Lymusa Wiley