Programación Lineal Con Solver de Excel

(1)

36

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2

2 A

A

L

a clave de las operaciones rentables consiste en aprovechar al máximo los recursos disponiblesa clave de las operaciones rentables consiste en aprovechar al máximo los recursos disponibles de personas, materiales, planta, equipo y dinero. Hoy en día, el administrador tiene a su alcance de personas, materiales, planta, equipo y dinero. Hoy en día, el administrador tiene a su alcance una potente herramienta en la programación lineal que le permite hacer modelos matemáticos. una potente herramienta en la programación lineal que le permite hacer modelos matemáticos. En este capítulo se demostrará que el uso de

En este capítulo se demostrará que el uso de Solver de Excel de Microsoft para solucionar problemas deSolver de Excel de Microsoft para solucionar problemas de la PL le abre todo un mundo nuevo al administrador innovador y, a aquellos que piensan hacer carrera la PL le abre todo un mundo nuevo al administrador innovador y, a aquellos que piensan hacer carrera de asesores, les proporciona un valioso elemento más que podrán sumar a su conjunto de habilidades de asesores, les proporciona un valioso elemento más que podrán sumar a su conjunto de habilidades técnicas. En este capítulo, se utiliza un problema de planeación de productos para explicar cómo se usa técnicas. En este capítulo, se utiliza un problema de planeación de productos para explicar cómo se usa esta herramienta. Se encontrará la mezcla óptima de productos que requieren diferentes recursos y esta herramienta. Se encontrará la mezcla óptima de productos que requieren diferentes recursos y tienen distintos costos. Por supuesto que el problema es

tienen distintos costos. Por supuesto que el problema es relevantrelevante para el mee para el mercado competitivo de hoy.rcado competitivo de hoy. Las compañías verdaderamente exitosas ofrecen una mezcla de productos que van desde los modelos Las compañías verdaderamente exitosas ofrecen una mezcla de productos que van desde los modelos

c a p í t u l o 2 A

PROGRAMACIÓN

LINE

AL UTILIZANDO

SOLVER DE EXCEL

S U M A R I O

3 377

Introducción

Definición

Definición de de programación programación lineallineal

3

388

Modelo de la programación lineal

3

399

Programación lineal gráﬁca

Definición

Definición de de programación programación lineal lineal gráficagráfica

4

411

Programación lineal utilizando Excel

de Microsoft

(2)

estándar hasta los d

estándar hasta los de lujo de las e lujo de las clases altas. Todos ellos compiten por utilizar la producción que es limi-clases altas. Todos ellos compiten por utilizar la producción que es limi-tada y otras capacidades. La emp

tada y otras capacidades. La empresa que mantiene la mezcla correcta de estos productos a lo largo delresa que mantiene la mezcla correcta de estos productos a lo largo del tiempo podría elevar sustancialmente sus ganancias y el rendimiento de sus ac

tiempo podría elevar sustancialmente sus ganancias y el rendimiento de sus activos.tivos.

Se inicia el capítulo con una breve explicación de la programación lineal y de las condiciones en las Se inicia el capítulo con una breve explicación de la programación lineal y de las condiciones en las que se pued

que se puede aplicar la técnica. A e aplicar la técnica. A continuación, se resolverá un problema simple de la mezcla de producontinuación, se resolverá un problema simple de la mezcla de produc- c-tos. A lo largo del

tos. A lo largo del libro aparecen otras aplicaciones de la plibro aparecen otras aplicaciones de la programación lineal.rogramación lineal. →→

INTRODUCCIÓN

La

Laprogramación linealprogramación lineal(o(oPLPL) se re�ere a varias técnicas matemáticas utilizadas par) se re�ere a varias técnicas matemáticas utilizadas para asignar, en formaa asignar, en forma

óptima, los recursos limitados a distintas demandas que compiten por ellos. La PL es el más popular de óptima, los recursos limitados a distintas demandas que compiten por ellos. La PL es el más popular de los enfoques que caben dentro del título general de técnicas matemáticas para la optimización y se ha los enfoques que caben dentro del título general de técnicas matemáticas para la optimización y se ha aplicado a muchos problemas de la administración de

aplicado a muchos problemas de la administración de operaciones. Algunas aplicaciones típicas son:operaciones. Algunas aplicaciones típicas son:

Planeación de operaciones y ventas agregadas:

Planeación de operaciones y ventas agregadas: encontrar el programa de producción que tenga el encontrar el programa de producción que tenga el

costo mínimo. El problema radica en preparar un plan para u

costo mínimo. El problema radica en preparar un plan para un periodo de entre tres y seis meses que,n periodo de entre tres y seis meses que, dadas las limitantes de la capacidad de producción esperada y el tamaño de la fuerza de trabajo, dadas las limitantes de la capacidad de producción esperada y el tamaño de la fuerza de trabajo, sa-tisfaga la demanda esperada.

tisfaga la demanda esperada. Los costos relevantes considerados en el problema incluyLos costos relevantes considerados en el problema incluyen los salaren los salariosios para el trabajo regular y las horas extra, las contrataciones y los despidos, la subcontratación y el para el trabajo regular y las horas extra, las contrataciones y los despidos, la subcontratación y el costo de manejo de inventarios.

costo de manejo de inventarios.

Anális

Análisis de is de la pla productiroductividad vidad en la en la producproducción/ción/servicserviciosios:: considerar el grado de e�ciencia con el cual los considerar el grado de e�ciencia con el cual los establecimient

establecimientos de servicios y de manufactura están utilizaos de servicios y de manufactura están utilizando sus recursos en comparación con la uni-ndo sus recursos en comparación con la uni-dad que tiene mejor desempeño. Para ello se utiliza un enfoque llamado análisis envolvente de datos. dad que tiene mejor desempeño. Para ello se utiliza un enfoque llamado análisis envolvente de datos.

Planeación de los productos:

Planeación de los productos: encontrar la mezcla óptima de productos, considerando que varios encontrar la mezcla óptima de productos, considerando que varios

productos requieren diferentes recursos y

productos requieren diferentes recursos y tienen distintos costos. Algunos ejemplos son encontrar latienen distintos costos. Algunos ejemplos son encontrar la mezcla óptima de elementos químicos para la gasolina, las pintur

mezcla óptima de elementos químicos para la gasolina, las pinturas, las dietas humanaas, las dietas humanas y el alimentos y el alimento para an

para animales. Este capítulo cubre algunos imales. Este capítulo cubre algunos ejemploejemplos de este problema.s de este problema.

Rutas de los productos:

Rutas de los productos: encontrar el camino óptimo para fabricar un producto que debe ser procesa- encontrar el camino óptimo para fabricar un producto que debe ser procesa-do en secuencia, pasanprocesa-do por varios centros de maquinaprocesa-do, procesa-donde cada máquina

do en secuencia, pasando por varios centros de maquinado, donde cada máquina del centro tiene susdel centro tiene sus propios costos y características de producción.

propios costos y características de producción.

Programación de vehículos/cuadrillas:

Programación de vehículos/cuadrillas: encontrar la ruta óptima pa encontrar la ruta óptima para utilizar recura utilizar recursos como aviones,rsos como aviones,

autobuses o camiones y las cuadrillas que los tripulan para ofrecer servicios de transporte a clientes autobuses o camiones y las cuadrillas que los tripulan para ofrecer servicios de transporte a clientes y llevar los materiales que se transportarán entre diferentes plazas.

y llevar los materiales que se transportarán entre diferentes plazas.

Control de procesos:

Control de procesos: minimizar el volumen de desperdicio de material generado cuando se corta minimizar el volumen de desperdicio de material generado cuando se corta

acero, cuero o tela de un rollo o de una lámina de material. acero, cuero o tela de un rollo o de una lámina de material.

Control de inventarios:

Control de inventarios:encontrar la combinación óptima de productos que se tendrán en existenciaencontrar la combinación óptima de productos que se tendrán en existencia

dentro de una red de almacenes o centros de almacenamiento. dentro de una red de almacenes o centros de almacenamiento.

Programación de la distribución:

Programación de la distribución: encontrar el programa óptimo de embarques para distribuir los encontrar el programa óptimo de embarques para distribuir los

productos entre fábricas y almacenes o entre almacenes y detallistas. productos entre fábricas y almacenes o entre almacenes y detallistas.

Estudios para

Estudios para ubicar la plaubicar la planta:nta: encontrar la ubicación óptima para una nueva planta evaluando los encontrar la ubicación óptima para una nueva planta evaluando los

costos de embarque entre plazas alternativas y las fuentes de suministro y de demanda. costos de embarque entre plazas alternativas y las fuentes de suministro y de demanda.

Manejo de m

Manejo de materiales:ateriales: encontrar las rutas que impliquen el costo mínimo para el manejo de mate- encontrar las rutas que impliquen el costo mínimo para el manejo de

mate-riales y máquinas (como grúas) entre los departamentos de una planta o transportar matemate-riales de un riales y máquinas (como grúas) entre los departamentos de una planta o transportar materiales de un patio de almacén a los lugares de trabajo, por ejemplo, por medio de camiones. Cada camión podría patio de almacén a los lugares de trabajo, por ejemplo, por medio de camiones. Cada camión podría tener diferente capacidad de carga y

tener diferente capacidad de carga y de desempeño.de desempeño.

La programación lineal está teniendo enorme aceptación en muchas industrias en razón de la La programación lineal está teniendo enorme aceptación en muchas industrias en razón de la disponibi-lidad de información detallada de las op

lidad de información detallada de las operaciones y el interés por optimizar los procesos para reducir loseraciones y el interés por optimizar los procesos para reducir los costos. Muchos pro

costos. Muchos proveedores de software ofrecen veedores de software ofrecen opciones de optimización que se usan opciones de optimización que se usan con los sistemascon los sistemas de planeación de recursos de las empresas. Algunas compañías los llaman

de planeación de recursos de las empresas. Algunas compañías los llaman opción de planeación avan-opción de planeación avan- zada, plan

zada, planeación sincronizadaeación sincronizada yy optimización de procesos. optimización de procesos.

Programación lineal

(PL)

(3)

nes básicas. En primer término, debe tener

nes básicas. En primer término, debe tener recursos limitadosrecursos limitados (como una cantidad limitada de trabaja-(como una cantidad limitada de trabaja-dores, equipamiento, dinero y materiales), porque de lo contrario no habría problema. En segundo, debe dores, equipamiento, dinero y materiales), porque de lo contrario no habría problema. En segundo, debe tener un

tener un objetivo explícitoobjetivo explícito (como maximizar la utilidad o minimizar el costo). En tercero, debe existir (como maximizar la utilidad o minimizar el costo). En tercero, debe existir linearidad

linearidad (dos es el doble de uno; es decir, si se necesitan tres horas para hacer una pieza, entonces dos (dos es el doble de uno; es decir, si se necesitan tres horas para hacer una pieza, entonces dos

piezas tomarían seis horas y t

piezas tomarían seis horas y tres piezas, nueveres piezas, nueve). En cuarto, debe existir). En cuarto, debe existir homogeneidad homogeneidad (los productos fa- (los productos

fa-bricados en una máquina son idénticos o todas las horas que trabaja un obrero son igual de productivas). bricados en una máquina son idénticos o todas las horas que trabaja un obrero son igual de productivas). En quinto, debe existir

En quinto, debe existir divisibilidad divisibilidad : la programación lineal normal presupone que los productos y los: la programación lineal normal presupone que los productos y los

recursos se pueden subdividir en fracciones. Si la subdivisión no es posible (como un vuelo con medio recursos se pueden subdividir en fracciones. Si la subdivisión no es posible (como un vuelo con medio avión o la contratación de un cuarto de persona) se puede utilizar una modi�cación de la programación avión o la contratación de un cuarto de persona) se puede utilizar una modi�cación de la programación lineal llamada

lineal llamada programación entera. programación entera.

Cuando el objetivo único es maximizar (por ejemplo las utilidades) o minimizar (por ejemplo, los Cuando el objetivo único es maximizar (por ejemplo las utilidades) o minimizar (por ejemplo, los costos), se puede utilizar la programación lineal. Cuando existen varios objetivos, entonces se utiliza costos), se puede utilizar la programación lineal. Cuando existen varios objetivos, entonces se utiliza la

la programación por programación por metasmetas. Si un problema se resuelve mejor por etapas o plazos de tiempo, entonces. Si un problema se resuelve mejor por etapas o plazos de tiempo, entonces

se utiliza la

se utiliza la programación d programación dinámicainámica.. Otras restricciones debidas a la naturaleza del problema tal vezOtras restricciones debidas a la naturaleza del problema tal vez

requieran que se resuelva utilizando otras variantes de la técnica, como

requieran que se resuelva utilizando otras variantes de la técnica, como la programación no lineal o lala programación no lineal o la programación cuadrática

programación cuadrática..

MODELO DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

En términos formales, el problema de la programación lineal entraña un proceso de optimización en el En términos formales, el problema de la programación lineal entraña un proceso de optimización en el cual se eligen valores no negativos para u

cual se eligen valores no negativos para una serie de vana serie de variables de la decisiónriables de la decisión X X ₁₁,, X X ₂₂,...,,..., X X _n_n de modo que se de modo que se

maximice

maximice (o minimice) una función objetivo con la fórmula:(o minimice) una función objetivo con la fórmula: Maximizar (minimizar)

Maximizar (minimizar) Z Z ==C C

1

1 X X 11++C C 22 X X 22++…… + +C C nn X X nn

sujeto a las restricciones de los recursos con la fórmula: sujeto a las restricciones de los recursos con la fórmula:

A

A₁₁₁₁ X X ₁₁++ A A₁₂₁₂ X X ₂₂++…… + + A A₁_1n

n X X nn<< B B11 A A₂₁₂₁ X X ₁₁++ A A 22 22 X X 22++…… + + A A22nn X X nn<< B B22 • • • • • • A

A_m_m₁₁ X X ₁₁ + + A A_m_m₂₂ X X ₂₂++……++ A A

mn

mn X X nn < < B Bmm

donde

dondeC C _n_n,, A A_mn_mnyy B B_m_m son constantes dadas. son constantes dadas.

Dependiendo del problema, las restricciones se pueden expresar con signo de igualdad (

Dependiendo del problema, las restricciones se pueden expresar con signo de igualdad (==) o con) o con

signo de mayor o igual que ( signo de mayor o igual que (>>).).

EJEMPLO 2A.1:

EJEMPLO 2A.1: Puck and Pawn CompanyPuck and Pawn Company

Se describen los pasos para la solución de un modelo simple de programación lineal en el contexto de un

problema de muestra: el caso de Puck and Pawn Company, fabricante de bastones de hockey y juegos de

ajedrez. Cada bastón de hockey produce una utilidad incremental de $2 y cada juego de ajedrez una de $4.

La fabricación de un bastón requiere 4 horas de trabajo en el centro de maquinado A y 2 horas en el centro de

maquinado B. La fabricación de un juego de ajedrez toma 6 horas en el centro de maquinado A, 6 horas en el

centro de maquinado B y 1 hora en el centro de maquinado C. El centro de maquinado A tiene un máximo de

120 horas de capacidad disponible por día, el centro de maquinado B tiene 72 horas y el centro de maquinado

C tiene 10 horas.

Si la compañía quiere maximizar la utilidad, ¿cuántos bastones de hockey y juegos de ajedrez debe

pro-ducir por día?

(4)

SOLUCIÓN

Plantee el problema en términos matemáticos. Si

Plantee el problema en términos matemáticos. Si H H es el número de bastones de hockey y es el número de bastones de hockey yC C es el número de es el número de

juegos de ajedrez, para maxim

juegos de ajedrez, para maximizar la utilidad la fuizar la utilidad la función objetivnción objetivo se puede expresar como:o se puede expresar como:

Maximizar

Maximizar Z Z == $2 $2 H H ++ $4 $4C C La maximización estará sujeta a las restricciones siguientes:

La maximización estará sujeta a las restricciones siguientes:

4

4 H H ++ 6 6C C ≤≤ 120 (restricción del centro de maquinado A) 120 (restricción del centro de maquinado A) 2

2 H H ++ 6 6C C ≤≤ 72 (restricción del centro de maquinado B) 72 (restricción del centro de maquinado B) 1

1C C ≤≤ 10 (restricción del centro de maquinado C) 10 (restricción del centro de maquinado C)

H

H ,,C C ≥≥ 0 0

•

Este planteamiento cumple con los cinco requisitos de una PL estándar mencionados en la primera Este planteamiento cumple con los cinco requisitos de una PL estándar mencionados en la primera sección de este capítulo:

sección de este capítulo:

Los recursos son limitados (un número

Los recursos son limitados (un número �nito de horas disponibles en �nito de horas disponibles en cada centro de maquinado).cada centro de maquinado). 1.

1.

Hay una función

Hay una función objetivobjetivo explícita (se conoce el o explícita (se conoce el valor de cada variable y la valor de cada variable y la meta para resolver elmeta para resolver el 2.

2.

problema). problema).

Las ecuaciones son lineales (no hay

Las ecuaciones son lineales (no hay exponentes ni productos cruzados)exponentes ni productos cruzados) 3.

3.

Los recursos son homogéneos (todo se

Los recursos son homogéneos (todo se ajusta a una unidad ajusta a una unidad de medida: las horas-máquina).de medida: las horas-máquina). 4.

4.

Las variables de la decisión son divisibles y no

Las variables de la decisión son divisibles y no negativnegativas (se puede fabricar una fracción de as (se puede fabricar una fracción de bastónbastón 5.

5.

de hockey o de juego de ajedrez, pero si se considerara que no es deseable, entonces se tendría que de hockey o de juego de ajedrez, pero si se considerara que no es deseable, entonces se tendría que utilizar la programación entera).

utilizar la programación entera).

PROGRAMACIÓN LINEAL GRÁFICA

Si bien la aplicación de la programación lineal grá�ca se limita a problemas que incluyen dos variables Si bien la aplicación de la programación lineal grá�ca se limita a problemas que incluyen dos variables en la decisión (o tres variables en el caso de

en la decisión (o tres variables en el caso de grá�cas trgrá�cas tridimensionalesidimensionales), la), la programación lineal gráficaprogramación lineal gráfica

proporciona una visión inmediata de la índole de la programación lineal. Se describirán los pasos que proporciona una visión inmediata de la índole de la programación lineal. Se describirán los pasos que implica el método grá�co en el contexto de Puck and

implica el método grá�co en el contexto de Puck and Pawn CompanyPawn Company. Los pasos . Los pasos que se presentan a con-que se presentan a con-tinuación ilustran el enfoque grá�co:

tinuación ilustran el enfoque grá�co: 1.

1. Plantee el problema en términos matemáticos.Plantee el problema en términos matemáticos. Las Las ecuaciones ecuaciones para para el el problema problema presentadaspresentadas antes.

antes. 2.

2. Trace las ecuaciones de las restricciones.Trace las ecuaciones de las restricciones. Las Las ecuaciones ecuaciones de de las las restricciones restricciones se se pueden pueden trazartrazar fácilmente si se deja que una variable sea igual a cero y se resuelve la intersección del eje de la otra. (En fácilmente si se deja que una variable sea igual a cero y se resuelve la intersección del eje de la otra. (En este paso no se consideran las fracciones de desigualdad de las restricciones.) En el caso de la ecuación este paso no se consideran las fracciones de desigualdad de las restricciones.) En el caso de la ecuación de la restricción del centro de maquinado A, cuando

de la restricción del centro de maquinado A, cuando H H == 0, 0,C C == 20 y cuando 20 y cuandoC C == 0, 0, H H == 30. En el caso de 30. En el caso de

la ecuación de la restricción del centro de maquinado B, cuando

la ecuación de la restricción del centro de maquinado B, cuando H H == 0, 0,C C == 12, y cuando 12, y cuandoC C == 0, 0, H H == 36. 36.

En el caso de la ecuación de la restricción del centro de maquinado C,

En el caso de la ecuación de la restricción del centro de maquinado C, C C == 10 para todos los valores de 10 para todos los valores de

H

H . La ilustración 2A.1 presenta una grá�ca con estas líneas.. La ilustración 2A.1 presenta una grá�ca con estas líneas.

3.

3. Determine el área de factibilidad.Determine el área de factibilidad. La dirección La dirección de lde los sos signos ignos de desde desigualdad de igualdad de cada restric-cada restric-ción determina el área donde se encuentra una solurestric-ción factible. En este caso, todas las desigualdades ción determina el área donde se encuentra una solución factible. En este caso, todas las desigualdades son de tipo menor o igua

son de tipo menor o igual que, lo que signi�ca que no l que, lo que signi�ca que no sería posible producir una combinación de produc-sería posible producir una combinación de produc-tos que se ubicara a la derecha de alguna de las líneas de las restricciones de la grá�ca. La zona de las tos que se ubicara a la derecha de alguna de las líneas de las restricciones de la grá�ca. La zona de las solucio

soluciones factibles está sombreada nes factibles está sombreada en la en la grá�ca y grá�ca y forma un forma un polígono convexpolígono convexo. Un polígono convexo seo. Un polígono convexo se presenta cuando una línea trazada entre dos puntos cualesquiera del polígono permanece dentro de las presenta cuando una línea trazada entre dos puntos cualesquiera del polígono permanece dentro de las fronteras del mismo. Si esta condición de

fronteras del mismo. Si esta condición de conveconvexidad no existe, xidad no existe, entonces el problema está mal planteadoentonces el problema está mal planteado o no es apto para la programación lineal.

o no es apto para la programación lineal.

Programación lineal

gráfica

(5)

4.

4. TracTrace la e la función objetivo.función objetivo. La función La función objetivobjetivo se o se puede trazpuede trazar suponiendo ar suponiendo una cifra una cifra arbitrariaarbitraria para la utilidad total y, a continuación, resolviendo la ecuación

para la utilidad total y, a continuación, resolviendo la ecuación con el �n con el �n de conocer las coordenadas delde conocer las coordenadas del eje, como se hizo en el caso

eje, como se hizo en el caso de las restricciones. Otros términos de la función objetivde las restricciones. Otros términos de la función objetivo cuando se usan eno cuando se usan en este contexto son la

este contexto son la isoutilidadisoutilidad oo línea de contribución igual línea de contribución igual, porque muestra todas las combinaciones, porque muestra todas las combinaciones

posibles de la producción para una cifra de utilidad dada. Por ejemplo, si se toma la línea punteada más posibles de la producción para una cifra de utilidad dada. Por ejemplo, si se toma la línea punteada más próxima al origen de la grá�ca, se pueden determinar todas las combinaciones posibles de bastones de próxima al origen de la grá�ca, se pueden determinar todas las combinaciones posibles de bastones de hockey y de juegos de ajedrez que rinden 32 dólares eligiendo un punto en la línea y leyendo el número hockey y de juegos de ajedrez que rinden 32 dólares eligiendo un punto en la línea y leyendo el número de cada producto que se puede fabricar en ese punto. Las combinaciones que producen 32 dólares en el de cada producto que se puede fabricar en ese punto. Las combinaciones que producen 32 dólares en el punto

puntoaa sería 10 bastones de sería 10 bastones de hockey y tres juegos de ajedrez. Se hockey y tres juegos de ajedrez. Se puede constatar lo anterior sustituyendopuede constatar lo anterior sustituyendo

H

H = 10 y = 10 yC C = 3 = 3 en la función objetivo:en la función objetivo:

$2(10) + $4(3) = $20 + $12 $2(10) + $4(3) = $20 + $12 = $32= $32

H

H C C E��E��

0

0 120/120/6 6 = = 20 20 intersección intersección de de restricción restricción (1) (1) y y ejeejeC C

120/

120/4 4 = = 30 30 0 0 intersección intersección de de restricción restricción (1) (1) y y ejeejeHH

0

0 72/6 72/6 = = 12 12 intersección intersección de de restricción restricción (2) (2) y y ejeejeC C

72/2

72/2 = = 36 36 0 0 intersección intersección de de restricción restricción (2) (2) y y ejeejeHH

0

0 10 10 intersección intersección de de restricción restricción (3) (3) y y ejeejeC C

0

0 32/32/4 4 = = 8 8 intersección intersección de de línea línea de de isoutilidad isoutilidad $32 $32 (función (función objetivo) objetivo) y y ejeejeC C

32/2

32/2 = = 16 16 0 0 intersección intersección de de línea línea de de isoutilidad isoutilidad $32 $32 y y ejeejeHH

0

0 64/64/4 4 = = 16 16 intersección intersección de de línea línea de de isoutilidad isoutilidad $64 $64 y y ejeejeC C

64/2

64/2 = = 32 32 0 0 intersección intersección de de línea línea de de isoutilidad isoutilidad $64 $64 y y ejeeje H H

5.

5. Encuentre el punto óptimo.Encuentre el punto óptimo. Se puede Se puede demostrardemostrar, en , en términos términos matemáticos, matemáticos, que la que la combinacióncombinación óptima de las variables de

óptima de las variables de decisión siempre está en el decisión siempre está en el punto extremo (esquina) del polígono convexo. Enpunto extremo (esquina) del polígono convexo. En la ilustración 2A.1 hay cuatro puntos en las esquinas (excluyendo el origen) y se puede determinar cuál la ilustración 2A.1 hay cuatro puntos en las esquinas (excluyendo el origen) y se puede determinar cuál es el óptimo al tenor de los dos enfoques. El primer enfoque busca encontrar los valores de las diversas es el óptimo al tenor de los dos enfoques. El primer enfoque busca encontrar los valores de las diversas soluciones de las

soluciones de las esquinas en términos algebraicos. Esto esquinas en términos algebraicos. Esto implica resolver simultáneamente las ecuacionesimplica resolver simultáneamente las ecuaciones de los distintos pares de

de los distintos pares de líneas que se intersectan y líneas que se intersectan y sustituir las cantidades de las variables resultantes ensustituir las cantidades de las variables resultantes en la función objetivo. Por ejemplo, el cálculo para

la función objetivo. Por ejemplo, el cálculo para la intersección de 2la intersección de 2 H H ++ 6 6C C == 72 y 72 yC C == 10 son: 10 son:

Gráfica del problema de los bastones de hockey y los juegos de ajedrez Gráfica del problema de los bastones de hockey y los juegos de ajedrez

ilustración 2A.1

30 30 Juegos Juegos de ajedrez de ajedrez por día por día 20 20 16 16 12 12 10 10 8 8 4 4 (3) (3) (2) (2) (1) (1) 1 100 1166 2200 2424 3030 3322 3366 Óptimo Óptimo 2 2 H H + 6 + 6C C = 72 (2) = 72 (2) 4 4 H H + 6 + 6C C = 120 (1) = 120 (1) 2 2 H H + 4 + 4C C = $64 = $64 2 2 H H + 4 + 4C C = $32 = $32 Líneas de Líneas de la función la función objetivo objetivo C C = 10 (3) = 10 (3) a a Zona infactible Zona infactible Zona Zona factible factible

Bastones de hockey por día Bastones de hockey por día

(6)

Al sustituir

Al sustituirC C == 10 en 2 10 en 2 H H ++ 6 6C C == 72 se tendrá que 2 72 se tendrá que 2 H H ++ 6(10) 6(10)== 72, 2 72, 2 H H == 12, o 12, o H H == 6. 6.

Si se sustituye

Si se sustituye H H == 6 y 6 yC C == 10 en 10 en la función objetivo se tendrá:la función objetivo se tendrá:

Utilidad

Utilidad== $2 $2 H H ++ $4 $4C C == $2(6) $2(6)++ $4(10) $4(10)== $12 $12++ $40 $40== $52 $52

Una variante de este enfoque es leer las cantidades de

Una variante de este enfoque es leer las cantidades de H H y yC C directamente en la grá�ca y sustituirlas en directamente en la grá�ca y sustituirlas en

la función objetivo, como muestra el cálculo anterior. El inconveniente de este enfoque es

la función objetivo, como muestra el cálculo anterior. El inconveniente de este enfoque es que en proble-que en proble-mas que tienen un número considerable de ecuaciones de restricción habrá muchos puntos posibles que se mas que tienen un número considerable de ecuaciones de restricción habrá muchos puntos posibles que se deban evaluar y el procedimiento de comprobar cada uno

deban evaluar y el procedimiento de comprobar cada uno en términos matemáticos no es e�ciente.en términos matemáticos no es e�ciente. El segundo enfoque, generalmente preferido, entraña utilizar directamente la función objetivo, o línea de El segundo enfoque, generalmente preferido, entraña utilizar directamente la función objetivo, o línea de isoutilidad, para encontrar el punto óptimo. El

isoutilidad, para encontrar el punto óptimo. El procedimiento implica simplementprocedimiento implica simplemente trazar una línea e trazar una línea rectarecta

paralela

paralelaa una línea de isoutilidad, elegida de forma arbitraria, de modo que la línea de isoutilidad es laa una línea de isoutilidad, elegida de forma arbitraria, de modo que la línea de isoutilidad es la

más alejada del origen de la

más alejada del origen de la grá�ca. (En problemas de minimización de costos, grá�ca. (En problemas de minimización de costos, el objetivo sería trazar lael objetivo sería trazar la línea por el punto más cercano al

línea por el punto más cercano al origen.) En la ilustración 2A.1, la origen.) En la ilustración 2A.1, la línea punteada marcada $2línea punteada marcada $2 H H ++ $4 $4C C ==

$64 intersecta el punto más

$64 intersecta el punto más distante. Adviertdistante. Advierta que la a que la línea de isoutilidad inicial escogida arbitrariamentelínea de isoutilidad inicial escogida arbitrariamente es necesaria para presentar la pendiente de

es necesaria para presentar la pendiente de la función objetivo del problema particularla función objetivo del problema particular..11_{Esto es importan-}_{Esto es}

importan-te porque una función

te porque una función objetivo diferente (pruebe utilidadobjetivo diferente (pruebe utilidad== 3 3 H H ++ 3 3C C ) podría indicar que algún otro punto) podría indicar que algún otro punto

está más lejos del origen. Dado que $2

está más lejos del origen. Dado que $2 H H ++ $4 $4C C == $64 es óptimo, el monto de cada variable para producir $64 es óptimo, el monto de cada variable para producir

se puede leer en la

se puede leer en la grá�ca: 24 bastones de hockey y grá�ca: 24 bastones de hockey y cuatro juegos de ajedrez. Ninguna otra combinacióncuatro juegos de ajedrez. Ninguna otra combinación de productos produce

de productos produce una utilidad mayor.una utilidad mayor.

Los problemas de programación lineal se pueden resolver utilizando hojas de cálculo. Excel de Microsoft Los problemas de programación lineal se pueden resolver utilizando hojas de cálculo. Excel de Microsoft cuenta con un instrumento relacionado con la optimización que se llama

cuenta con un instrumento relacionado con la optimización que se llama SolverSolveryycuyo uso se demostrarácuyo uso se demostrará

resolviendo el problema de los bastones de hockey y

resolviendo el problema de los bastones de hockey y los juegos de ajedrez. Se llama a los juegos de ajedrez. Se llama a Solver en la BarraSolver en la Barra de datos. Un cuadro de diálogo solicita la información que requiere el programa. El ejemplo siguiente de datos. Un cuadro de diálogo solicita la información que requiere el programa. El ejemplo siguiente describe cómo resolver el problema de muestra utilizando Excel.

describe cómo resolver el problema de muestra utilizando Excel.

Si la opción Solver no aparece en su Barra de datos, haga clic en Opciones de Excel

Si la opción Solver no aparece en su Barra de datos, haga clic en Opciones de Excel →→ Agregar, Agregar,

seleccione Agre

seleccione Agregar Solver y gar Solver y haga clic en Aceptar. Solver quedará disponible directamente en haga clic en Aceptar. Solver quedará disponible directamente en la Barra dela Barra de datos para uso futuro.

datos para uso futuro.

En el ejemplo siguiente se trabaja paso por paso, primero preparando una hoja de cálculo y después En el ejemplo siguiente se trabaja paso por paso, primero preparando una hoja de cálculo y después resolviendo el problema de Puck

resolviendo el problema de Puck and Pawn Company. La estrategia básica es primero de�nir el and Pawn Company. La estrategia básica es primero de�nir el problemaproblema dentro de la hoja de cálculo. A continuación se llama a Solver y se

dentro de la hoja de cálculo. A continuación se llama a Solver y se le alimenta la información requerida.le alimenta la información requerida. Por último, se ejecuta Solver y

Por último, se ejecuta Solver y se interpretan los resultados de los se interpretan los resultados de los informes que presenta el programa.informes que presenta el programa.

Paso 1: Defina las celdas cambiantes

Un Un punto conpunto conveniente veniente para iniciar para iniciar es ies identificar las dentificar las celdas celdas queque se utilizarán para las variables de la decisión del problema. Se trata de

se utilizarán para las variables de la decisión del problema. Se trata de H H y yC C , el número de bastones de, el número de bastones de

hockey y el número de juegos de ajedrez que se producirán. En Solver, Excel se refiere a estas celdas hockey y el número de juegos de ajedrez que se producirán. En Solver, Excel se refiere a estas celdas como celdas cambiantes. Con relación a la pantalla de Excel (ilustración 2A.2), se ha designado la B4 como celdas cambiantes. Con relación a la pantalla de Excel (ilustración 2A.2), se ha designado la B4 como la ubicación para el número de bastones de hockey y la C4 para el número de juegos de ajedrez como la ubicación para el número de bastones de hockey y la C4 para el número de juegos de ajedrez que se producirán. Advierta que, inicialmente, estas celdas están marcadas igual a 2. Se podría colocar que se producirán. Advierta que, inicialmente, estas celdas están marcadas igual a 2. Se podría colocar cualquier valor en estas celdas, pero es aconsejable usar uno que no sea cero par

cualquier valor en estas celdas, pero es aconsejable usar uno que no sea cero para que ayude a comprobara que ayude a comprobar que los cálculos están correctos.

que los cálculos están correctos.

Paso 2: Calcule la utilidad total (o el costo)

Ésta es Ésta es la la función obfunción objetivo jetivo y se y se calcula mcalcula multiplicandoultiplicando la utilidad asociada a cada producto por el número de unidades producidas. Se han anotado las la utilidad asociada a cada producto por el número de unidades producidas. Se han anotado las utilida-des de las celdas B5 y

des de las celdas B5 y C5 ($2 y $4) de modo que C5 ($2 y $4) de modo que la utilidad se cala utilidad se calcula con la ecuación siguiente: B4*Blcula con la ecuación siguiente: B4*B55 + C4*C5, la cual se calcula en la celda D5. Solver se refiere a ella como celda objetivo y corresponde a + C4*C5, la cual se calcula en la celda D5. Solver se refiere a ella como celda objetivo y corresponde a la función objetivo de un problema.

la función objetivo de un problema.

PROGRAMACIÓN LINEAL UTILIZANDO

EXCEL DE MICROSOFT

(7)

Paso 3: Establezca el uso de recursos

Los recursos Los recursos son lson los centros os centros de maquinado de maquinado A, B A, B y C, y C, comocomo se definieron en el problema original. Se han establecido tres filas (9, 10 y 11) en la hoja de cálculo, se definieron en el problema original. Se han establecido tres filas (9, 10 y 11) en la hoja de cálculo, una para cada restricción de los recursos. En el centro de maquinado A se emplean 4 horas de tiempo una para cada restricción de los recursos. En el centro de maquinado A se emplean 4 horas de tiempo de procesamiento para producir cada bastón de hockey (celda B9) y 6 horas para cada juego de ajedrez de procesamiento para producir cada bastón de hockey (celda B9) y 6 horas para cada juego de ajedrez (celda C9). Para una solución particular, el total del recurso del centro de maquinado A utilizado se (celda C9). Para una solución particular, el total del recurso del centro de maquinado A utilizado se calcula en D9 (B9*B4 + C9*C4). En la celda E9 se ha indicado que se quiere que este valor sea menor calcula en D9 (B9*B4 + C9*C4). En la celda E9 se ha indicado que se quiere que este valor sea menor a la capacidad de 120 horas del centro de maquinado A, que está asentado en F9. El uso de recursos de a la capacidad de 120 horas del centro de maquinado A, que está asentado en F9. El uso de recursos de los centros de maquinado B y C se anota exactamente de la misma manera en las filas 10 y 11.

los centros de maquinado B y C se anota exactamente de la misma manera en las filas 10 y 11.

Paso 4: Prepare Solver

VaVaya a ya a la Barra de la Barra de datos y sedatos y seleccione la leccione la opción Solopción Solverver..

Estimar Estimar Resolver Resolver Cerrar Cerrar Opciones Opciones Restablecer Restablecer Ayuda Ayuda Celda objetivo Celda objetivo V Vaalloor r ddee:: MMááxxiimmoo MíMínniimmoo VVaalloorrees s ddee:: Por celdas cambiantes

Por celdas cambiantes

Sujetas a

Sujetas a ls siguientes restriccionesls siguientes restricciones

Agregar Agregar Cambiar Cambiar Eliminar Eliminar 1.

1. Celda objetivoCelda objetivo: se selecciona la ubicación donde se calcu: se selecciona la ubicación donde se calculará el valor que se desea optimlará el valor que se desea optimizarizar. Ésta. Ésta es la utilidad calculada en D5 en la hoja de cálculo.

es la utilidad calculada en D5 en la hoja de cálculo. 2.

2. VValor de la celda objetialor de la celda objetivo: se selecciona Mávo: se selecciona Máximo porque el objetiximo porque el objetivo es maximizar lvo es maximizar la utilidad.a utilidad. 3.

3. Celdas cambiantes: soCeldas cambiantes: son las celdas que Solvn las celdas que Solver puede cambiar parer puede cambiar para maximizar la uta maximizar la utilidad. En elilidad. En el problema, las celdas cambiantes van de la B4 a la C4.

problema, las celdas cambiantes van de la B4 a la C4.

Pantalla de Excel de Microsoft para el caso de Puckand Pawn Company Pantalla de Excel de Microsoft para el caso de Puckand Pawn Company

ilustración 2A.2

Inicio Inicio Obtener datos Obtener datos externos externos Refrescar Refrescar todo todo Herr. Herr. datos datos Esbozo Esbozo Solver Solver Conexiones Conexiones OOrrddeennaar r y y ��llttrraarr AAnnáálliissiiss O r O rd ed enna ra r FFi li lt rt ra ra r I Innsseerrttaarr DDeessppll. . ppáágg FFóórrmmuullaass DDaattooss RReeppaassoo VVeerr

PL Solver Microsoft Excel

Bastones de hockey Bastones de hockey Celdas cambiantes Celdas cambiantes Utilidad Utilidad Máquina A Máquina A Máquina B Máquina B Máquina C Máquina C J Juue ge go s o s d e d e a ja jeed rd reezz TTo to ta la l B Baassttoonnees s dde e hhoocckkeeyy JJuueeggoos s dde e aajjeeddrreezz UUssaaddooss CCaappaacciiddaadd Recursos Recursos

Bastones de hockey y juegos de ajedrez

Excel: PL Solver

(8)

4.

4. Sujetas a las siguientSujetas a las siguientes restricciones: cores restricciones: corresponde a la capacidad del cresponde a la capacidad del centro de maquinado. entro de maquinado. AhíAhí se hace clic en Agregar y se indica que el total utilizado de un recurso es menor o igual a la capacidad se hace clic en Agregar y se indica que el total utilizado de un recurso es menor o igual a la capacidad disponible. A continuación se presenta un ejemplo para el centro de

disponible. A continuación se presenta un ejemplo para el centro de maquinado A. Haga clic en Aceptarmaquinado A. Haga clic en Aceptar después de especi�car cada restricción.

después de especi�car cada restricción.

Agregar Restricción Agregar Restricción R Reeffeerreenncciia a dde e lla a cceellddaa:: RReessttrriicccciióónn:: A Acceeppttaarr CCaanncceellaarr AAggrreeggaarr AAyyuuddaa 5.

5. Un clic en Opciones permite inUn clic en Opciones permite indicar a Solver qué tipo de probldicar a Solver qué tipo de problema se desea resolver y cómema se desea resolver y cómo seo se desea solucionar. Solver tiene muchas opciones, pero aquí sólo se usarán unas cuantas. A continuación desea solucionar. Solver tiene muchas opciones, pero aquí sólo se usarán unas cuantas. A continuación se muestra la pantalla: se muestra la pantalla: Agregar Restricción Agregar Restricción Tiempo: Tiempo: Iteraciones: Iteraciones: Precisión: Precisión: To Tolerancia:lerancia: Convergencia: Convergencia: C Coonnvveerrggeenncciiaa:: UUssaar r eessccaalla a aauuttoommááttiiccaa Mostrar resultado de iteraciones Mostrar resultado de iteraciones Asumir no negativos

Asumir no negativos

segundos

segundos AceptarAceptar Cancelar Cancelar Cargar modelo... Cargar modelo... Guardar modelo... Guardar modelo... Ayuda Ayuda Estimación Estimación Lineal Lineal Cuadrática Cuadrática Progresivas Progresivas Centrales Centrales Newton Newton Gradiente Gradiente conjugado conjugado D Deerriivvaaddaass HaHallllaar r ppoorr

La mayor parte de las opciones se re�eren a la manera en que Solver trata de solucionar problemas La mayor parte de las opciones se re�eren a la manera en que Solver trata de solucionar problemas no lineales, los cuales pueden ser muy difíciles de resolver y las soluciones óptimas son difíciles de no lineales, los cuales pueden ser muy difíciles de resolver y las soluciones óptimas son difíciles de en-contrar. Por fortuna el problema es lineal. Esto se sabe porque las restricciones y la función objetivo se contrar. Por fortuna el problema es lineal. Esto se sabe porque las restricciones y la función objetivo se pueden calcular utilizando ecuaciones lineales. Haga clic en Adoptar modelo lineal para indicar a Solver pueden calcular utilizando ecuaciones lineales. Haga clic en Adoptar modelo lineal para indicar a Solver que se desea utilizar la opción de la programación lineal para resolver el problema. Además, se sabe que se desea utilizar la opción de la programación lineal para resolver el problema. Además, se sabe que las celdas cambiantes (variables de la decisión) deben ser números mayores o igual a cero, porque que las celdas cambiantes (variables de la decisión) deben ser números mayores o igual a cero, porque no tiene sentido fabricar un número

no tiene sentido fabricar un número negativnegativo de bastones de o de bastones de hockey o de juegos de hockey o de juegos de ajedrez. Se indica loajedrez. Se indica lo anterior seleccionando la opción de Asumir no

anterior seleccionando la opción de Asumir no negativnegativos. Ahora ya se os. Ahora ya se puede resolver el problema. Hagapuede resolver el problema. Haga clic en Aceptar para volver al cuadro Parámetros de Solver.

clic en Aceptar para volver al cuadro Parámetros de Solver.

Paso 5: Resuelva el problema

Haga cHaga clic en lic en ResolvResolver. er. De inmediato se De inmediato se presenta un presenta un reconocimientoreconocimiento de Resultados de Solver como el que se presenta a continuación.

de Resultados de Solver como el que se presenta a continuación.

Resultados de Solver Resultados de Solver Respuestas Respuestas Sensibilidad Sensibilidad Límites Límites A Acceeppttaarr CCaanncceellaarr GGuuaarrddaar r eesscceennaarriioo... AAyyuuddaa

Solver encontró una solución. Todas las restricciones

y condiciones de optimalidad están satisfechas.

Utilizar solución de Solver

Restaurar valores originales

Informes

Solver reconoce que se encontró una solución que parece la óptima. Del lado derecho de este cuadro Solver reconoce que se encontró una solución que parece la óptima. Del lado derecho de este cuadro aparecen opciones para tres informes: Respuestas, Sensibilidad y Límites.

(9)

Haga clic en cada informe para

Haga clic en cada informe para que Solver se lo proporcione. Después de que Solver se lo proporcione. Después de resaltar los informes, haga clicresaltar los informes, haga clic en Aceptar para volver a salir a la

en Aceptar para volver a salir a la hoja de cálculo. Se hoja de cálculo. Se han creado tres nuevos elementos que correspondenhan creado tres nuevos elementos que corresponden a estos informes.

a estos informes.

Los informes más interesantes para el problema son el Informe de respuestas y el Informe de Los informes más interesantes para el problema son el Informe de respuestas y el Informe de sensi-bilidad, como aparecen en la ilustración 2A.3. El Informe de Respuestas muestra las respuestas �nales bilidad, como aparecen en la ilustración 2A.3. El Informe de Respuestas muestra las respuestas �nales relativ

relativas a la utilidad total (64 as a la utilidad total (64 dólares) y las cantidades producidas (24 bastones de dólares) y las cantidades producidas (24 bastones de hockey y 4 juegos dehockey y 4 juegos de ajedrez). En la sección de las restricciones del Informe de respuestas aparece el estatus de cada recurso. ajedrez). En la sección de las restricciones del Informe de respuestas aparece el estatus de cada recurso. Se utiliza el total del centro de maquinado A y del centro de maquinado B y hay seis unidades de margen Se utiliza el total del centro de maquinado A y del centro de maquinado B y hay seis unidades de margen para el centro de maquinado C.

para el centro de maquinado C.

El Informe de sensibilidad está dividido en dos partes. La primera, titulada “Celdas cambiantes” El Informe de sensibilidad está dividido en dos partes. La primera, titulada “Celdas cambiantes” corresponde a los coe�cientes de la

corresponde a los coe�cientes de la función objetivo. La utilidad por unidad para los bastones de función objetivo. La utilidad por unidad para los bastones de hockeyhockey puede ir hacia arriba o hacia abajo 0.67 dólares (entre 2.67 y 1.33 dólares) sin tener repercusiones en puede ir hacia arriba o hacia abajo 0.67 dólares (entre 2.67 y 1.33 dólares) sin tener repercusiones en la solución. Por otro lado, la utilidad de los juegos de ajedrez puede ser entre 6 y 3 dólares sin cambiar la la solución. Por otro lado, la utilidad de los juegos de ajedrez puede ser entre 6 y 3 dólares sin cambiar la solución. En el caso del centro de maquinado A, el lado derecho podría incrementar a 144 (120 + 24) o solución. En el caso del centro de maquinado A, el lado derecho podría incrementar a 144 (120 + 24) o disminuir a 84 sin resultar en un incremento o decremento de $0.33 por unidad en la función objetivo. disminuir a 84 sin resultar en un incremento o decremento de $0.33 por unidad en la función objetivo. El lado derecho del centro de maquinado B puede incrementar a 90 unidades o disminuir a 60 unidades El lado derecho del centro de maquinado B puede incrementar a 90 unidades o disminuir a 60 unidades Informes de respuestas y

Informes de respuestas y sensibilidad de Solver de Excelsensibilidad de Solver de Excel

ilustración 2A.3

Informe de respuestas Informe de respuestas C�� (��) C�� (��) C�� C�� N�� N�� VV�� VV�� $D$5

$D$5 Utilidad Utilidad total total $12 $12 $64$64

C�� C�� C��

C�� N�� N�� VV�� VV��

$B$4

$B$4 Celdas Celdas cambiantes cambiantes bastones bastones hockey hockey 2 2 2424

$C$4

$C$4 Celdas Celdas cambiantes cambiantes juegos juegos ajedrez ajedrez 2 2 44

R�� R�� C��

C�� N�� N�� VV�� F�� F�� E�� E�� M��M��

$D$11

$D$11 Usando Usando máquina máquina C C 4 4 $D$11$D$11<=<=$F$11 $F$11 No No vinculante vinculante 66 $D$10

$D$10 Usando Usando máquina máquina B B 72 72 $D$10$D$10<=<=$F$10 $F$10 Vinculante Vinculante 00 $D$9

$D$9 Usando Usando máquina máquina A A 120 120 $D$9$D$9<=<=$F$9 $F$9 Vinculante Vinculante 00 Informe de sensibilidad Informe de sensibilidad �� V V�� C�� C�� C��C�� I��I�� D��D�� C�� C�� N�� N�� $B$4

$B$4 Celdas Celdas cambiantescambiantes

bastones

bastones de de hockey hockey 24 24 0 0 2 2 0.666666667 0.666666667 0.6666666670.666666667

$C$4

$C$4 Celdas Celdas cambiantes cambiantes juegos juegos ajedrez ajedrez 4 4 0 0 4 4 2 2 11

R�� R�� V V�� P�� P�� R�� R�� I�� I�� D��D�� C�� C�� N�� N�� .�. �.�. �� $D$11

$D$11 Usando Usando máquina máquina C C 4 4 0 0 10 10 1E+30 1E+30 66

$D$10

$D$10 Usando Usando máquina máquina B B 72 72 0.333330.333333333 3333 72 72 18 18 1212

$D$9

(10)

con el mismo cambio de 0.33 dólares para cada unidad de la función objetivo. En el caso del centro de con el mismo cambio de 0.33 dólares para cada unidad de la función objetivo. En el caso del centro de maquinado C, el lado derecho podría incrementar al in�nito (1E+30 es una notación cientí�ca para una maquinado C, el lado derecho podría incrementar al in�nito (1E+30 es una notación cientí�ca para una cifra muy alta) o disminuir a

cifra muy alta) o disminuir a 4 unidades sin cambio alguno 4 unidades sin cambio alguno en la función objetivo.en la función objetivo.

V

OCABULARIO

BÁSICO

Programación lineal (PL)

Programación lineal (PL) Se re�ere a varias técnicas matemáticasSe re�ere a varias técnicas matemáticas

utilizadas para asignar, en forma óptima, recursos limitados entre

demandas que compiten por ellos.

Programación lineal gráfica

Programación lineal gráfica Proporciona una visión rápida de laProporciona una visión rápida de la

naturaleza de la programación lineal.

P

ROBLEMAS

RESUELTOS

PR

OBLEMA R

ESUELTO 1

Una mueblería elabora tres productos: mesas, sofás y sillas. Estos productos son procesados en cinco

de-partamentos: el de serrado de madera, el

partamentos: el de serrado de madera, el de corte de tela, el de de corte de tela, el de lijado, el de entintado y el de montaje. Laslijado, el de entintado y el de montaje. Las

mesas y las sillas sólo llevan madera, y los sofás llevan madera y tela. Se requiere mucho

mesas y las sillas sólo llevan madera, y los sofás llevan madera y tela. Se requiere mucho pegamento e hilopegamento e hilo

y éstos representan un costo relativamente insigni�cante que queda incluido en el gasto de operaciones. Los

requerimientos especí�cos de cada producto son los

requerimientos especí�cos de cada producto son los siguientes:siguientes: R��

R�� R�� R�� R�� R�� R��R�� (��

(�� ) ��) ��

Madera

Madera (4 (4 350 350 pies pies de de tablones) tablones) 10 10 pies pies de de tablones tablones a a 7.5 7.5 pies pies de de tablones tablones a a 4 4 pies pies de de tablones tablones aa

$10/pie

$10/pie = = $100/ $100/ mesa mesa $10/pie $10/pie = = $75 $75 $10/pie $10/pie = = $40$40

Tela

Tela (2 (2 500 500 yardas) yardas) Ninguno Ninguno 10 10 yardas yardas a a NingunaNinguna

$17.50/

$17.50/yarda yarda = = $175$175

Serrar

Serrar la la madera madera (280 (280 horas) horas) 30 30 minutos minutos 24 24 minutos minutos 30 30 minutosminutos

Cortar

Cortar la la tela tela (140 (140 horas) horas) Ninguno Ninguno 24 24 minutos minutos NingunoNinguno

Lijar

Lijar (280 (280 horas) horas) 30 30 minutos minutos 6 6 minutos minutos 30 30 minutosminutos

Entintar

Entintar (140 (140 horas) horas) 24 24 minutos minutos 12 12 minutos minutos 24 24 minutosminutos

Montar

Montar (700 (700 horas) horas) 60 60 minutos minutos 90 90 minutos minutos 30 30 minutosminutos

Los gastos de trabajo directo de la compañía suman

Los gastos de trabajo directo de la compañía suman 75 000 dólares por mes por concepto de las 75 000 dólares por mes por concepto de las 1 540 horas1 540 horas

de trabajo, a 48.70 dólares por hora.

de trabajo, a 48.70 dólares por hora. Basándose en la demanda actual, la empresa Basándose en la demanda actual, la empresa puede vender 300 mesas,puede vender 300 mesas,

180 sofás y 400 sillas por mes. Los precios de venta son 400 dólares para las mesas, 750 dólares para los

sofás y 240 dólares para

sofás y 240 dólares para las sillas. Suponga que el costo de mano las sillas. Suponga que el costo de mano de obra es �jo y de obra es �jo y que, durante el próximoque, durante el próximo

mes, la empresa no proyecta contratar ni des

mes, la empresa no proyecta contratar ni despedir a empleados.pedir a empleados.

Se desea saber:

¿Cuál es el recurso más

¿Cuál es el recurso más limitante para la compañía mueblera?limitante para la compañía mueblera?

1.

Determine la mezcla de productos necesaria para maximizar la utilidad de la compañía mueblera. ¿Cuál

2.

es el número óptimo de mesas, sofás

es el número óptimo de mesas, sofás y sillas que debe producir por y sillas que debe producir por mes?mes?

Solución

De�na

De�na X X 11 como el número de mesas, como el número de mesas, X X 22 como el número de sofás y como el número de sofás y X X 33 cono el número de sillas que se cono el número de sillas que se

producirían cada mes. La utilidad se calcula como

producirían cada mes. La utilidad se calcula como el ingreso por cada artículo menos el ingreso por cada artículo menos el costo de materia-el costo de

materia-les (madera y tela), menos el costo de mano de obra. Dado que la mano de obra es �ja, se resta como una

les (madera y tela), menos el costo de mano de obra. Dado que la mano de obra es �ja, se resta como una

cantidad total. En términos matemáticos se tiene (400

cantidad total. En términos matemáticos se tiene (400 −− 100) 100) X X ₁₁++ (750 (750−− 75 75 −− 175) 175) X X ₂₂++ (240 (240−− 40) 40) X X ₃₃−− 75 000. La utilidad se calcula así:

75 000. La utilidad se calcula así:

Utilidad

Utilidad== 300 300 X X ₁₁++ 500 500 X X ₂₂++ 200 200 X X ₃₃−− 75 000 75 000 Las restricciones son las siguientes:

Las restricciones son las siguientes:

Madera: 10 Madera: 10 X X ₁₁++ 7.5 7.5 X X ₂₂++ 4 4 X X ₃₃<< 4 350 4 350 Tela: 10 Tela: 10 X X ₂₂<< 2 500 2 500 Serrado: 0.5 Serrado: 0.5 X X ₁₁++ 0.4 0.4 X X ₂₂++ 0.5 0.5 X X ₃₃<< 280 280 Cortado: 0.4 Cortado: 0.4 X X ₂₂<< 140 140 Lijado: 0.5 Lijado: 0.5 X X ₁₁++ 0.1 0.1 X X ₂₂++ 0.5 0.5 X X ₃₃<< 280 280 Entintado: 0.4 Entintado: 0.4 X X ₁₁++ 0.2 0.2 X X ₂₂++ 0.4 0.4 X X ₃₃<< 140 140 Montaje: 1 Montaje: 1 X X ₁₁++ 1.5 1.5 X X ₂₂++ 0.5 0.5 X X ₃₃<< 700 700 Demanda: Demanda: Mesas: Mesas: X X ₁₁<< 300 300 Sofás: Sofás: X X ₂₂<< 180 180 Sillas: Sillas: X X ₃₃<< 400 400

(11)

establecidas en igual a cero.

Compañía mueblera Compañía mueblera Celdas Cambiantes Celdas Cambiantes Utilidad Utilidad Madera Madera Tela Tela Serrar Serrar Cortar tela Cortar tela Lijar Lijar Entintar Entintar Montar Montar Demanda mesas Demanda mesas Demanda sofás Demanda sofás Demanda sillas Demanda sillas M Meessaass SSooffááss SSiillllaass TToottaall LLíímmiittee Problema resuelto Problema resuelto Listo Listo

Paso 2: Calcule la utilidad total

Paso 2: Calcule la utilidad total Ésta es E4 (es igual a B3 multiplicado por 300 dólares del ingresoÉsta es E4 (es igual a B3 multiplicado por 300 dólares del ingreso

asociado a cada mesa, más C3 multiplicado por 500 dólares del ingreso

asociado a cada mesa, más C3 multiplicado por 500 dólares del ingreso por cada sofá, más D3 multiplicadopor cada sofá, más D3 multiplicado

por 200 dólares del ingreso asociado a cada silla). Advierta que, para calcular la utilidad, el gasto �jo de

75 000 dólares se ha restado del ingreso.

Paso 3: Establezca el uso de recursos

Paso 3: Establezca el uso de recursos En las celdas que van de la E6 a la E15, el uso En las celdas que van de la E6 a la E15, el uso de cada recursode cada recurso

se calcula multiplicando B3, C3 y D3 por

se calcula multiplicando B3, C3 y D3 por el monto que se necesita parel monto que se necesita para cada artículo y sumando el a cada artículo y sumando el produc-

produc-to (por ejemplo, E6

to (por ejemplo, E6== B3*B6 B3*B6++ C3*C6 C3*C6++ D3*D6). Los límites de estas restricciones están anotados e D3*D6). Los límites de estas restricciones están anotados en lasn las celdas que van de la F6 a la F15.

celdas que van de la F6 a la F15.

Paso 4. Establezca Solver

Paso 4. Establezca Solver VVaya a aya a Herramientas y seleccione Herramientas y seleccione la opción la opción SolverSolver..

Parámetros de Solver Parámetros de Solver Celda objetivo: Celda objetivo: Valor de Valor de Celdas cambiantes Celdas cambiantes Sujetas a las

Sujetas a las siguientes restriccionessiguientes restricciones::

Resolver Resolver Cerrar Cerrar Estimar Estimar Agregar Agregar Cambiar Cambiar Eliminar Eliminar Opciones Opciones Restablecer Restablecer Ayuda Ayuda M Mááxxiimmoo MMíínniimmoo VVaalloorrees ds dee:: a

a) ) Celda objetivCelda objetivo: se establece en la ubicación do: se establece en la ubicación donde se calcula el valor que onde se calcula el valor que se desea optimizarse desea optimizar. Ésta es la. Ésta es la

utilidad calculada en E4 en esta hoja de

utilidad calculada en E4 en esta hoja de cálculo.cálculo.

b

b) ) VValor de la celda objetialor de la celda objetivo: se establece en Mvo: se establece en Máximo porque la meta es áximo porque la meta es maximizar la utilimaximizar la utilidad.dad. c

c) ) Celdas cambiantes: son Celdas cambiantes: son las celdas que Solvlas celdas que Solver puede cambiar para maxier puede cambiar para maximizar la utilimizar la utilidad (de la celda Bdad (de la celda B33

a la D3 en este problema).

d

d ) ) Sujeta a las siguientes Sujeta a las siguientes restricciones: es donde se suma el restricciones: es donde se suma el conjunto de restricciones, se iconjunto de restricciones, se indica que elndica que el

rango que va de E6 a E15 debe ser menor o igual al rango de F6 a F15.

Agregar restricción Agregar restricción R Reeffeerreenncciia a dde e lla a cceellddaa:: RReessttrriicccciióónn:: A Acceeppttaarr CCaanncceellaarr AAggrreeggaarr AAyyuuddaa

(12)

Paso 5: Marque las opciones

Paso 5: Marque las opciones Aquí hay muchas opciones, pero para los prAquí hay muchas opciones, pero para los propósitos que se buscan sóloopósitos que se buscan sólo

se necesita señalar Adoptar modelo lineal y Asumir no negativos. Adoptar modelo lineal signi�ca que todas

las fórmulas son simples ecuaciones lineales. Asumir no negativos indica que las celdas cambiantes deben

ser mayores o iguales a

ser mayores o iguales a cero. Con un clic en Aceptar estará listo para resolver el cero. Con un clic en Aceptar estará listo para resolver el problema.problema.

Agregar Restricción Agregar Restricción Tiempo: Tiempo: Iteraciones: Iteraciones: Precisión: Precisión: To

Tolerancia:lerancia:

Convergencia:

A

Addooppttaar r mmooddeello o lliinneeaall:: UUssaar r eessccaalla a aauuttoommááttiiccaa

Mostrar resultado de

Mostrar resultado de iteracionesiteraciones

Asumir no negativos

segundos

segundos AceptarAceptar

Cancelar Cancelar Cargar modelo... Cargar modelo... Guardar modelo... Guardar modelo... Ayuda Ayuda Estimación Estimación Lineal Lineal Cuadrática Cuadrática Progresivas Progresivas Centrales Centrales Newton Newton Gradiente Gradiente conjugado conjugado D Deerriivvaaddaass HHaallllaar r ppoorr

Paso 6: Resuelva el problema

Paso 6: Resuelva el problema Haga clic en Resolver. Se puede ver la solución y dos informes es-Haga clic en Resolver. Se puede ver la solución y dos informes

es-peciales resaltando los elementos en el reconocimiento de Resultados de Solver que aparece después de

peciales resaltando los elementos en el reconocimiento de Resultados de Solver que aparece después de

que se encuentra una

que se encuentra una solución. Adviertsolución. Advierta que en el a que en el informe siguiente, Solver indica que ha encontrado unainforme siguiente, Solver indica que ha encontrado una

solución y que se han cumplido todas las restricciones y las condiciones de optimalidad. En el cuadro de

Informes a la derecha, las opciones Respuestas, Sensibilidad y Límites han sido resaltadas, indicando así

que se desea ver estos

que se desea ver estos elementoselementos. Tras resaltar los informes, haga clic en Aceptar para regresar a la hoja. Tras resaltar los informes, haga clic en Aceptar para regresar a la hoja de cálculo. de cálculo. Resultados de Solver Resultados de Solver Respuestas Respuestas Sensibilidad Sensibilidad Límites Límites A Acceeppttaarr CCaanncceellaarr GGuuaarrddaar r eesscceennaarriioo... AAyyuuddaa Solver encontró una

Solver encontró una solución. Tsolución. Todas las restriccionesodas las restricciones y condiciones de

y condiciones de optimalidad están satisfechas.optimalidad están satisfechas.

Utilizar solución de Solver Utilizar solución de Solver Restaurar valores originales Restaurar valores originales

Informes Informes

Advierta que se han creado tres nuevos elementos: un Informe de respuestas, un Informe de sensibilidad

y un Informe de

y un Informe de límites. El Informe de respuestas indica en límites. El Informe de respuestas indica en la sección de la Celda objetivo que la utilidadla sección de la Celda objetivo que la utilidad

asociada a la solución es de 93 000 dólares (se inició con −75 000 dólares). Según la sección de la Celda

objetivo

objetivo, se deberían fabricar , se deberían fabricar 260 mesas, 180 sofás 260 mesas, 180 sofás y ninguna silla. Según la sección de y ninguna silla. Según la sección de las Restricciones,las Restricciones,

advierta que las únicas restricciones que afectan la utilidad son la capacidad de entintado y la demanda de

sofás. Es posible ver lo anterior en

sofás. Es posible ver lo anterior en la columna que indica si una la columna que indica si una restricción limita o no limita. Las restric-restricción limita o no limita. Las

restric-ciones que no limitan tienen un margen, como indica la última columna.

ciones que no limitan tienen un margen, como indica la última columna.

Celda objetivo (Máx) Celda objetivo (Máx)

C��

C�� N�� N�� VV�� VV��

$E$4

$E$4 Total Total utilidadutilidad −−$75 $75 000 000 $93 $93 000000 Celdas ajustables

Celdas ajustables

C��

C�� N�� N�� VV�� VV��

$B$3

$B$3 Celdas Celdas cambiantes cambiantes mesas mesas 0 0 260260

$C$3

$C$3 Celdas Celdas cambiantes cambiantes sofás sofás 0 0 180180

$D$3