UTILIZACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN EMPÍRICA EN EL MÉTODO DE VALORACIÓN DE LAS DOS FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN.

UTILIZACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

EMPÍRICA EN EL MÉTODO DE VALORACIÓN DE LAS

DOS FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN.

Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa Universidad de Granada

Correo electrónico: rherreri@ugr.es

Federico Palacios González

Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa Universidad de Granada

Correo electrónico: fpalacio@ugr.es

José Manuel Herrerías Velasco

Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa Universidad de Granada

Correo electrónico: jmherrer@ugr.es

Resumen

El presente trabajo se encuadra en el método de valoración de las Dos Funciones de Distribución (MVDFD), empleándose la distribución triangular para la variable valor de mercado del bien y, como novedad, la función de distribución empírica para el índice de calidad del mismo. Posteriormente se aplica a un caso práctico, típico de la literatura de Tasación y Valoración, referente al valor de una finca plantada de almendros en el término municipal de Villajoyosa (Alicante).

Palabras clave: Método de Valoración de las Dos Funciones de Distribución, Ambiente

1.- Introducción

Es corriente en la práctica valorativa encontrarse con indicadores de la calidad de un bien o índices de un activo que pueden resumirse en una distribución de frecuencias para la muestra que los datos existentes proporcionan. Así por ejemplo ocurre cuando se tiene la antigüedad de un grupo de viviendas, Lozano, J. J. (1996), o la distancia de un conjunto de fincas a un determinado centro urbano, Alonso, R y Lozano, J. (1985). Además es frecuente que estas distribuciones no sean fácilmente ajustables a una distribución de las utilizadas en esta metodología (uniformes, triangulares, trapezoidales, betas Caballer o triparamétricas, etc...) al presentar unas gráficas muy alejadas de las representaciones de las funciones de densidad de las cuatro distribuciones citadas anteriormente.

2.- El método de valoración de las Dos Funciones de Distribución (MVDFD)

El principio básico que rige el Método de las Dos Funciones de Distribución (MVDFD), introducido por Ballestero, E. (1973), extendido por Romero, C. (1977) y estudiado con más detalle por Ballestero, E. y Caballer, V. (1982), establece que si el índice de calidad de un activo i, I , no supera al de otro activo j, _i I , el valor de mercado correspondiente _j al primer activo i, V , no superará al valor de mercado del activo j, _i V . A partir de este _j principio y supuesto conocida la función de distribución de probabilidad del valor de mercado del activo, G, y la función de distribución de probabilidad del índice de calidad, F; el valor de mercado V correspondiente a un índice de calidad de un activo _k k, I , se obtiene igualando las dos funciones de distribución de probabilidad: _k

) I ( F ) V ( G _k = _k ⇔ V_k =φ(I_k)

La dificultad del método radica en conocer la forma de la función φ =G −1_oF. Por ello, la forma que adopten F y G va a determinar la mayor o menor dificultad que supone especificar φ , ya sea mediante tablas específicas de una distribución beta triparamétrica realizadas por Caballer, V. (1998), ó analíticamente, si se suponen otras distribuciones de tipo geométrico. Este último caso, utilizando una distribución triangular para el valor

y la función de distribución empírica para el índice de calidad es el que se considera a continuación.

3.- La función de distribución empírica de una muestra

Sea Xr =(X₁,X₂ ,..., X_n) una muestra de tamaño n, se denomina función de distribución empírica de dicha muestra, a la función, Fn(x), definida, Ríos, S. (1974), por: ) x X ( P ) x ( F_n = _i ≤ i = 1,2, ... ,n (1)

si se denota por N(x) al número de observaciones de la muestra que son menores o iguales que x, resulta, Casas, J. M. (1996), que:

n ) x ( N ) x ( F_n = (2)

Aplicando la conocida ley de estabilidad de las frecuencias relativas, se tiene que el segundo miembro de (1) ó (2) tiende a unos valores fijos, que pueden considerarse las alturas (en el caso de igualdad de amplitud de intervalos) de un histograma acumulativo creciente empírico, que constituye una representación aproximada de la función de distribución, F(x), de la población básica X. Más aún, bajo condiciones de continuidad, Arnáiz, G. (1978) de la función F(x) se demuestra que si

) x ( F ) x ( F lim _n n→∞ = ∀ x∈CF (3)

se cumple que Fn(x) converge en distribución o en ley a F(x). 4.- La función de distribución del índice de calidad del bien

Supuesto que se ha determinado Fn(x), es harto frecuente que el indicador del bien, x0, no sea exactamente uno de los valores xi de Fn(x), sino que se encuentra entre dos valores xi y xi+1, por esta razón se supondrá que Fn(x) en el intervalo (xi , xi+1) es aproximadamente lineal. Bajo este supuesto se verifica la relación siguiente:

i 1 i i n 1 i n i 0 i n 0 n x x ) x ( F ) x ( F x x ) x ( F ) x ( F − − = − − + + _{x (x ,x )} 1 i i 0∈ + ∀ (4) por tanto: ) x x ( x x ) x ( F ) x ( F ) x ( F ) x ( F _{0 i} i 1 i i n 1 i n i n 0 n = + ₋− − + + _{x (x ,x )} 1 i i 0∈ + ∀ (5)

5.- Problemática de los indicadores de calidad de un bien

El MVDFD requiere que la relación entre el valor y el índice de calidad del mismo sea directa, pero en la práctica valorativa es corriente disponer de indicadores que mantienen una relación inversa con el valor del bien, por ejemplo, antigüedad de una vivienda, distancia del piso al centro urbano, distancia de una finca agrícola a una población, distancia de una parcela al mar, distancia de un apartamento de la sierra a los remontes, etc...

En tales casos interesa transformar los indicadores mencionados en otros que si guardan relación directa con el valor. Dos maneras sencillas de lograrlo son:

i) considerar el inverso del índice original como un nuevo índice

ii) establecer una cota en la que el índice original no intervenga en el valor del bien y utilizar como nuevo indicador el complementario del índice original a la mencionada cota

esto es, supuesto que se dispone de las distancias, d, de los bienes testigo y del bien a valorar se pueden transformar en los índices d−1 ó c – d, donde c es la cota a partir de la cual la distancia no interviene o no tiene importancia para la valoración del bien.

Está claro que la elección del nuevo indicador afecta al proceso de valoración por el MVDFD, si es preciso hacer interpolación del tipo (4). Seguidamente se va a comprobar que la valoración con el índice c – d es superior a la obtenida con el índice d−1 y que esta diferencia depende solamente del cociente

d d_i+1

. A partir de (5) se tiene para los índices d−1 y c – d :

) d d ( d d ) d ( F ) d ( F ) d ( F ) d ( F ₁ 1 _i1 i 1 1 i 1 i n 1 1 i n 1 i n 1 n _{− −} − − + − − + − − ₋ − − + = (6)

[

]

Como las F_n(d_i−1)=F_n(c−d_i), salvo en las d tales que d i < d < d i+1, igualando (6) y

(7) se tiene: 1 i i i i 1 i i d d d d d 1 d 1 d 1 d 1 + + − − = − − (8)

luego, operando con el primer miembro de (8): 1 i i i 1 i i 1 i 1 i i i i i 1 i i d d d d d d d d d d d d d d d 1 d 1 d 1 d 1 + + + + + − − = − − = − − ,

que se diferencia del segundo miembro de (8) en d d_i+1

, c.q.c. 6.- Distribución triangular para el valor de mercado

Cuando se disponen de escasos datos de los valores que en el mercado han alcanzado uno pocos bienes testigo de la misma naturaleza que el bien que se pretende valorar, puede modelizarse su función de distribución a partir de la obtención de los tres valores típicos (mínimo, máximo y más probable) y con ellos determinar la función de distribución. En este trabajo se realizará el ajuste con la distribución triangular que tiene una inversión muy simple por ser algebraica la expresión de la función de distribución y no presentar ningún problema de estimación sus tres parámetros, cuando se han estimado subjetivamente o determinado, Herrerías, R.; Palacios, F. y Herrerías, J. M. (2003), los valores a, b y m.

Siguiendo el trabajo de Palacios, F.; Pérez, E.; Herrerías, R. y Callejón, J. (1999) se tienen los siguientes casos cuando se invierte una distribución triangular:

       < < − − − − − − − − ≤ < − − + = 1 a b a m si ) m b )( a b )( 1 ( b a b a m 0 si ) a m )( a b ( a x α α α α α (9) 7.- Caso práctico

Para poder realizar comparaciones entre el método de la función de distribución empírica, con otros métodos tradicionales empleados en valoración, se ha seleccionado un caso, el número 13, del excelente manual de la profesora Guadalajara, N. (1996) dedicado a 28 casos prácticos de valoración agraria de muy diversa índole. El referenciado con el número 13 trata de valorar una finca plantada de almendros, situados en tres bancales de 50 × 35 metros, por lo que la superficie total de la misma es de 5.250 m2. La finca se encuentra ubicada en el término municipal de Villajoyosa (Alicante) y dista al mar 1.800 metros.

En el cuadro siguiente aparecen los precios pagados por m2 en las 7 transacciones ocurridas en el periodo de un año para las fincas rústicas del mismo término municipal y de parecidas características de la referenciada.

Es conocido que en el municipio de Villajoyosa existe una relación inversa entre el valor unitario de la tierra y la distancia al mar, debido a las expectativas de transformación en solares para el sector turístico, por ello, y para respetar el principio básico del método de valoración DFD, se introducen unos coeficientes de proximidad al mar, transformando el de distancia mediante S=d−1ó S'=2.000−d, que evidentemente mantienen una relación directa entre el valor unitario de la tierra y la proximidad al mar. En el caso de S’ se considera que el efecto de la proximidad al mar deja de afectar a partir de distancias iguales o superiores a 2.000 metros.

Parcela Precio Venta (Ptas/m2₎ Distancia al mar (d en metros) S d 1 − = S'=2000−d 1 550 1.550 55011. 450 2 2.000 60 1₆₀ 1.940 3 600 _{850 850}1 1.150 4 550 1.000 00011. 1.000 5 550 1.500 50011. 500 6 500 1.750 75011. 250 7 100 1.000 00011. 1.000

Utilizando la función de distribución empírica de la muestra para S, se tiene:

S 1_2.000 1_1.750 1_1.550 1_1.500 1_1.000 1₈₅₀ 1₆₀

ni 0 1 1 1 2 1 1

Aplicando la expresión (6) se tiene:

(

) (

) (

) (

)(

)

Si se usa la función de distribución empírica de la muestra para S', se tiene:

'

S 0 250 450 500 1.000 1.150 1.940

ni 0 1 1 1 2 1 1

Fn 0 71 2 ₇ 3 ₇ 5 ₇ 6 ₇ 1

Como la finca a valorar dista 1.800 metros al mar, tiene un valor S'=200, al aplicar la expresión (7) queda: 1142857 , 0 ) 0 200 ( 0 250 ) 0 ( F ) 250 ( F ) 0 ( F ) 200 ( F_{n n} n n − = − − + = (11)

Obsérvese que (10) es ligeramente inferior a (11), por ello dará una valoración menor. Está claro que la v.a. precio, V, puede modelizarse por una distribución triangular T(a = 100, m = 550, b = 2.000) y se comprueba a partir de (9) que tanto (10) como (11) se encuentran en la primera rama de la función de distribución de T.

Utilizando la expresión que iguala G(V) con Fn(S), resulta:

408,22 450 900 . 1 1 , 0 100 ) a m )( a b ( a V= + α − − = + )× × = Ptas/m2 (12)

por lo que la finca se valora en 2.143.155 Ptas. Si se utiliza la Fn(S') el resultado será:

,59282 412 450 900 . 1 1142857 , 0 100 V= + × × = Ptas/m2 (13)

por lo que la finca se valora en 2.166.112 Ptas. 8.- Conclusiones

A modo de comentarios señalar lo siguiente:

1º) Los valores que se obtienen para el m2 _{partiendo de S o S' como indicadores de} calidad, son prácticamente idénticos ya que hay una diferencia de sólo 4,37 Ptas.

2º) Los valores dados por (12) y (13) están por debajo del valor modal y del valor que alcanza la parcela 6 que es la más parecida, por su distancia al mar, a la que se está valorando.

3º) Los valores (12) y (13) aún estando por debajo de todas las parcelas, salvo una, no están muy alejados de los precios pagados. Por el contrario, si se compara con los valores determinados por Guadalajara, N. (1996) si que existen grandes diferencias. Así, según el método sintético el valor de la parcela es 1.009.100 Ptas., por lo que el m2 sale a 192,20952 ≈ 192,21 Ptas. Aún es mayor la diferencia si se compara con el método estadístico que valora la parcela en 796.163 Ptas., por lo que el m2 vale 157,65 Ptas. y si la comparación se realiza con el valor que es asignado finalmente a la finca como media de los valores del método sintético y estadístico que es de 902.632 Ptas., resultando el m2 a 177,9299 ≈ 172,93 Ptas.; valor que está muy alejado de los valores (12) y (13). 4º) ¿Qué hubiera ocurrido si la distancia al mar de la finca fuera de 800 metros? La interpolación para el índice S se haría entre 8501 y 601 resultando:

( ) ( ) ( ) ( )(

)

Por el contrario, si la interpolación se realiza con el índice S' se tiene:

8661843 , 0 ) 150 . 1 200 . 1 ( 150 . 1 940 . 1 ) 150 . 1 ( F ) 940 . 1 ( F ) 150 . 1 ( F ) 200 . 1 ( F_{n n} n n − ≈ − − + = (15)

En este caso se comprueba a partir de (9) que tanto (14) como (15) se encuentran en la segunda rama de la función de distribución de la variable valor de mercado.

Igualando a la segunda rama de la función de distribución de la Triangular que modeliza el valor se tienen para (14) y (15) respectivamente las valoraciones por m2 _siguientes:

1378 , 374 . 1 450 . 1 900 . 1 1421791 , 0 000 . 2 ) m b )( a b )( 1 ( b V= − −α − − = − × × = Ptas/m2

por lo que la finca se valora en 7.214.224 Ptas.

8243 , 392 . 1 450 . 1 900 . 1 ) 1338157 , 0 000 . 2 V= − × × = Ptas/m2

por lo que la finca se valora en 7.312.328 Ptas.

Valores que corroboran la importancia del índice”proximidad al mar” utilizado en el caso práctico mediante el MVDFD.

Referencias bibliográficas

1. Alonso, R. y Lozano, J. (1985): “El método de las dos funciones de distribución: una aplicación a la valoración de fincas agrícolas en las comarcas Centro y Tierra de Campos de Valladolid”. Anales de INIA, Economía, 9, 295-325.

2. Arnaiz Vellando, G. (1978): Introducción a la estadística teórica. Lex-Nova. Valladolid.

3. Ballestero, E. (1973): “Nota sobre un nuevo método rápido de valoración“. Revista

de Estudios Agrosociales, 85, 75-78.

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5. Caballer, V. (1998): (4ª Edición) Valoración agraria, teoría y práctica. Ediciones Mundi-Prensa. Madrid.

6. Casas, J. M. (1996): Inferencia Estadística para Economía y Administración de

empresas. Editorial Ceura, S.A.

7. Guadalajara, N. (1996): (2ª Edición) Valoración Agraria. Casos Prácticos. Ed. Mundi-Prensa. Madrid.

8. Herrerías, J. M. (2002): Avances en la Teoría General de Valoración en Ambiente

de Incertidumbre. Tesis Doctoral. Universidad de Granada.

9. Herrerías, R.;Palacios, F. y Herrerías, J. M. (2003): ”Una variante práctica del Método de Valoración de las Dos Funciones de Distribución”. IV Seminario

ASEPELT: Programación, selección, control y valoración de proyectos. (Actas Pendientes de publicar).

10. Lozano, J. J. (1996): Tasación urbana: una metodología para informes de tasación

masiva. Tesis Doctoral. Universidad Politécnica Madrid.

11. Palacios, F.; Pérez, E.; Herrerías, R. Y Callejón, J. (1999): ”Estimación no paramétrica de la distribución del VAN en proyectos de inversión con tasas de descuento aleatorias”. XIII Reunión anual de la Asociación Científico Europea de

Economía Aplicada ASEPELT-ESPAÑA, celebrada por la Universidad de Burgos. 12. Ríos, S. (1974): (6ª Edición) Métodos Estadísticos. Ediciones del Castillo S.A. 13. Romero, C. (1977) “Valoración por el método de las dos distribuciones Beta: una