Peti susret Hrvatskog društva za mehaniku
Terme Jezer ica, Donja Stubica, 6.-7. lipnja 2013.
ANALIZA PULSIRAJU EG STRUJANJA U CIJEVI
Korade, I., Virag, Z. & Korbar, R.
Sažetak: U radu je izvedeno analiti ko rješenje za slu aj pulsiraju eg laminarnog, nestla ivog
strujanja u okrugloj cijevi pod djelovanjem poznatog gradijenta tlaka (zadanog harmonijskom funkcijom). Bezdimenzijsko rješenje ovisi o bezdimenzijskom Womerslyjevom broju, koji ozna uje omjer inercijske i viskozne sile. Analiziran je utjecaj Womerslyjeva broja na protok i smi no naprezanje na stijenci cijevi. Zaklju uje se da su pri niskim vrijednostima Womerslyjeva broja (kad je utjecaj viskoznosti ve i) sile tlaka uravnotežene uglavnom viskoznim silama, a pri visokim vrijednostima Womerslyjeva broja uravnotežene uglavnom inercijskim silama. Pove anjem Womerslyjeva broja dolazi do smanjenja amplituda smi nog naprezanja i protoka.
Klju ne rije i: strujanje u cijevi, pulsiraju e strujanje, Womerslyjev broj
1 UVOD
Strujanje krvi u krvožilnom sustavu je izrazito pulsiraju eg karaktera. Krvne žile su elasti ne odnosno viskoelasti ne cijevi, promjenjivog promjera i fizikalnih svojstava stijenke, te zbog toga ne postoji analiti ko rješenje toga problema. Za objašnjavanje pulsiraju eg strujanja u velikim arterijama u hemodinamici se naj eš e koristi analiti ko rješenje koje je još davne 1955. godine izveo Womersly [1] za strujanje fluida pod djelovanjem harmonijskog gradijenta tlaka. To rješenje se zasniva na pojednostavljenom matemati kom modelu u kojem je pretpostavljena beskona no velika brzina širenja tla nih poreme aja (teorija krutog stupca) što ne odgovara stvarnosti. Bez obzira na tu injenicu model može objasniti prirodu pulsiraju eg strujanja i pulsacije smi nog naprezanja na stijenci cijevi [2, 3], pri emu se pretpostavka o kona noj brzini širenja tla nih poreme aja može naknadno uvesti u analizu.
Prednost pojednostavljenog modela leži u injenici da on predstavlja linearnu diferencijalnu jednadžbu, što omogu uje princip superpozicije. Na taj na in se s pomo u Womerslyjeva rješenja mogu analizirati i stvarno izmjereni vremenski profili brzine i tlaka, na na in da se signali prikažu Fourierovim redom, te se analizira svaka frekvencija za sebe.
U literaturi se može prona i Womerslyjevo rješenje za sinusnu promjenu gradijenta tlaka, a u slu aju primjene Fourierove analize, pojavljuje se i kosinusna komponenta. Cilj ovoga rada je izvesti Womerslyjevo rješenje za slu aj obje komponente pulsiraju eg gradijenta tlaka, te sa initi ra unalni program za ra unanje brzine, protoka i smi nog naprezanja na stijenci u funkciji parametara krvne žile. Ovaj program e
2 MATEMATI KI MODEL
Nestla ivo strujanje fluida u krutoj cijevi polumjera R, pod djelovanjem harmonijskog gradijenta tlaka zadanog jednadžbom:
d
sin
cos
d
p
S
t
C
t
x
, (1)uz zanemarenje konvekcijskog lana opisano je jednadžbom koli ine gibanja, koja glasi: 2 2 1 d d u u u p t r r r x . (2)
U gornjim jednadžbama su: r, x – radijalna i aksijalna koordinata cilindarskog koordinatnog sustava, t – vremenska koordinata, p(x, t) – polje tlaka, – kružna frekvencija, S i C – amplitude gradijenta tlaka, – gusto a fluida, u r t, – aksijalna brzina i – viskoznost fluida. Ovaj model pretpostavlja beskona nu brzinu širenja tla nih poreme aja, pa zato aksijalna brzina nije funkcija x koordinate. S druge strane, tlak nije funkcija r koordinate. Uz zadani gradijent tlaka jednadžba (2) daje jednozna no rješenje za aksijalnu brzinu uz sljede e rubne uvjete: za r 0:
u
0
r
iza
r R
: u 0.Množenjem jednadžbe (2) brzinom u dobije se jednadžba kineti ke energije, koja glasi:
2 d 2 d u u u p r u t r r r x , (3)
gdje svaki lan ima dimenziju snage po jedinici volumena, a lan na lijevoj strani ozna uje brzinu promjene kineti ke energije (snagu inercijske sile), dok lanovi na desnoj strani ozna uju, redom, snagu viskozne sile (brzinu pretvorbe mehani ke energije u toplinu) i snagu sile tlaka.
3 ANALITI KO RJEŠENJE
Jednadžbu (2) emo riješiti u frekvencijskoj domeni, pri emu emo gradijent tlaka prikazati pomo u kompleksne amplitude (fazora): ˆP S iC, gdje je i 1. U tom slu aju izraz (1) se može prikazati realnim dijelom izraza:
d
ˆ
d
i tp
iPe
x
Re
. (4)Rješenje za aksijalnu brzinu emo pretpostaviti u obliku [1]:
ˆ
,
i tu r t
Re
U r e
. (5)Uvrštavanjem izraza (3) i (4) u jednadžbu (2) slijedi diferencijalna jednadžba:
2 2
ˆ
1
ˆ
ˆ
ˆ
U
U
i
iP
U
r
r r
, (6)iji homogeni dio ozna uje Besselovu jednadžbu [4, 5]. Rješenje jednadžbe (6) je oblika: 3 4 0
ˆ
ˆ
P
iU
CJ r
e
, (7)Gdje je C konstanta integracije, J z0 ozna uje Besselovu funkciju prve vrste, nultog reda, a z je kompleksni broj. Uvo enjem bezdimenzijskog Womerslyjevog broja Wo, bezdimenzijskog radijusa y, brzine u0, te parametra prema izrazima:
Wo R
,y
r
R
, 2 0 ˆ 4 R u P i 3 4Wo
e
i, (8) te primjenom rubnih uvjeta dobije se kona no rješenje za aksijalnu brzinu koje glasi:0 2 0 0
ˆ
4
1
ˆ Wo
i tJ
y
u
P
u
e
u
Re
P
J
(9)Protok fluida kroz popre ni presjek cijevi
0 2 d R Q ur r, definiran je izrazom: 2 1 2 4 0 0
ˆ 8
Wo
ˆ Wo
2
i tJ
Q
P
i
i
Q
e
u R
Re
P
J
, (10)a smi no naprezanje na stijenci cijevi w
r R u r definirano je izrazom: 3 4 1 0 0
ˆ
4
ˆ Wo
i i t w we J
P
e
u
P
J
R
Re
(11)U izrazima (10) i (11) J z1 ozna uje Besselovu funkciju prve vrste, prvog reda, koju se može jednostavno izra unati u programskom paketu Matlab, ili s pomo u algoritama danih u [4]. Za izra un vrijednosti brzine, protoka i smi nih naprezanja u ovom se radu koristi programski paket Matlab. Jednom kad se odredi polje brzine, mogu se numeri kom integracijom jednadžbe (3) po presjeku, odrediti snage pojedinih sila, tako da je snaga P sile tlaka i snaga p P inercijske sile: i
2 0 1 d ˆ ˆ d p p P p P Q x P u R P (12) 1 2 0 2 0 0 d ˆ i ˆ i P u P yu y t P u R P , (13)
a snaga viskoznih sila
1 0 2 2 0 0 2 d ˆ ˆ P u u P y y y y y P u R P R . (14)
4 ANALIZA RJEŠENJA
Iz rješenja postavljenog problema je jasno da e brzina strujanja fluida zavisiti od gradijenta tlaka i Womerslyjeva broja. Ovdje emo u svim primjerima imati isti gradijent tlaka (zadan sa S=1 Pa/m i C=0 ), a mijenjat emo vrijednosti Womerslyjeva broja pri emu on poprima vrijednosti: Wo=1, 2, 4 i 8. Rezultati prora una (bezdimenzijski protok, prema jednadžbi (9) i bezdimenzijsko smi no naprezanje prema jednadžbi (10)) su prikazani na slici 1 u funkciji kuta
t
(za jedan period).(stupanj) dp/ dx ,w Q 0 60 120 180 240 300 360 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 dp/dx Q w Wo = 1 (stupanj) dp/ dx ,w Q 0 60 120 180 240 300 360 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 dp/dx Q w Wo = 2 (stupanj) dp/ dx ,w Q 0 60 120 180 240 300 360 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 dp/dx Q w Wo = 4 (stupanj) dp/ dx ,w Q 0 60 120 180 240 300 360 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 dp/dx Q w Wo = 8
Sl. 1. Promjena protoka i smi nog naprezanja unutar jednog perioda, za razli ite Wo brojeve Fizikalno je jasno da Womerslyjev broj ozna uje odnos inercijske sile (uslijed lokalnog ubrzanja) i viskozne sile, pa e niske vrijednosti Wo broja ozna avati veliki utjecaj viskoznosti (ili mali utjecaj inercijskih sila), dok e visoke vrijednosti Wo broja ozna avati mali utjecaj viskoznosti (ili veliki utjecaj inercijskih sila). Prema tome može se o ekivati da e kod niskih vrijednosti Wo broja u ravnoteži biti sile tlaka i viskozne sile (jer se inercijske sile mogu zanemariti), dok e kod visokih vrijednosti Wo broja u ravnoteži biti sile tlaka i inercijske sile.
Kao što je vidljivo iz slike 1, pri Wo=1, u fazi su gradijent tlaka i smi no naprezanje, što ozna uje ravnotežu sila tlaka i viskoznih sila, dok je kod Wo=8 o it fazni pomak protoka u odnosu na gradijent tlaka od približno 90°, što ukazuje da su u fazi sile tlaka i inercijske sile (jer inercijske sile odgovaraju vremenskoj derivaciji protoka, a
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
vremenska derivacija protoka je za 90° pomaknuta u odnosu na sam protok). Slu aj kada Wo teži k nuli, odgovara stacionarnom režimu strujanja, u kojem je amplituda bezdimenzijske vrijednosti smi nog naprezanja jednaka 2, a amplituda bezdimenzijskog protoka jednaka 0,5. O ito je da s pove anjem Wo broja (uz zadani promjer cijevi i svojstva fluida, to zna i s pove anjem frekvencije ) dolazi do smanjivanja amplitude smi nih naprezanja i amplitude protoka, što je vidljivo i iz slike 2(a). Jasno je da je rad inercijske sile unutar jednog takta jednak nuli, pa je prosje na snaga te sile jednaka nuli. Iz toga slijedi da se prosje na snaga sile tlaka
sr 0 1 d T p P P t
T , troši isklju ivo na svladavanje viskozne sile, tj. da se disipira u toplinu. Slika 2(b) prikazuje promjenu te snage s Wo brojem, a o ito je da porastom Wo broja ta snaga teži k nuli (zbog smanjenja amplituda protoka i smi nog naprezanja).
Q w -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 -2 -1 0 1 2 Wo = 0 Wo = 1 Wo = 2 Wo = 4 Wo = 8 Wo =50 Wo Psr 0 5 10 15 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Sl. 2. (a) Zavisnost smi nog naprezanja na stijenci o protoku kroz cijev, (b) Zavisnost prosje no disipirane snage od Wo broja
Slika 3 prikazuje promjene snage sile tlaka, inercijske sile i viskozne sile za Wo=1 i Wo=8. O ito je kod niskog Wo broja snaga viskozne sile približno jednaka snazi sile tlaka, što zna i da se gotovo sva snaga sile tlaka disipira u toplinu, dok kod visokog Wo broja snaga inercijske sile slijedi snagu sile tlaka, a snaga viskozne sile teži k nuli. (stupanj) P 0 60 120 180 240 300 360 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Pp Pi -P Wo = 1 (stupanj) P 0 60 120 180 240 300 360 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Pp Pi -P Wo = 8
Sl. 3. Promjena snaga sile tlaka, inercijske sile i viskozne sile za dva razli ita Wo broja
~
~
(a)
Slika 4 prikazuje profile aksijalne brzine za dva Wo broja. Ponovno se uo ava da je pri nižem Wo broju amplituda brzine ve a.
u/u0 y -1 -0.5 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 simetrala cijevi 60° 0° 360° 30° 90° 300° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 330° Wo = 1
stijenka cijevi u/u0
y -0.1 0 0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 simetrala cijevi 60° 0° 360° 30° 90° 300° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 330° Wo = 8 stijenka cijevi
Sl. 4. Promjena profila brzine unutar jednog perioda, za dva razli ita Wo broja
5 ZAKLJU AK
U radu je prikazano analiti ko rješenje pulsiraju eg, laminarnog, nestla ivog strujanja u okrugloj cijevi pod djelovanjem zadanog gradijenta tlaka (zadanog sinusnom i kosinusnom komponentom koja se može pojaviti pri razvoju funkcije gradijenta tlaka u Fourierov red). Ilustriran je utjecaj Womerslyjeva broja na brzinu, protok i smi no naprezanje na stijenci cijevi. Zaklju eno je da su pri niskim vrijednostima Womerslyjeva broja sile tlaka uravnotežene uglavnom viskoznim silama, a pri visokim vrijednostima Womerslyjeva broja inercijskim silama. Pove anjem Womerslyjeva broja dolazi do smanjenja amplituda smi nog naprezanja i protoka. Prikazano rješenje e u daljnjem radu biti dobra osnova za analizu stvarnog strujanja krvi u cirkulacijskom sustavu.
Literatura:
[1] Womersley, J.R., “Method for the Calculation of Velocity, Rate of Flow and Viscous Drag in Arteries when the Pressure Gradient is Known, J. Phys.. No.127, 1955, str. 553-563. [2] Nichols, W.W; O’Rourke, M.F.: McDonald’s Blood Flow in Arteries, (5th ed.) Oxford
Univ. Press, New York, USA, 2005.
[3] Westerhof, N; Stergiopulos, N.; Noble, M.I.M: Snapshots of Hemodynamics, (2nd ed.)
Springer, New York, USA, 2010.
[4] Shanjie, Z., Jianming, J.:“Computation of Special Functions”, John Wiley & Sons Inc., New York, USA, 1996, str. 126-201.
[5] Web stranica: http://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html Autori:
Ivan Korade, Sveu ilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zavod za energetska postrojenja, energetiku i ekologiju, I. Lu i a 5, 10000 Zagreb, tel. 01/6168166, fax 01/6156940, e-mail: ivan.korade@fsb.hr,
Zdravko Virag, Sveu ilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zavod za energetska postrojenja, energetiku i ekologiju, I. Lu i a 5, 10000 Zagreb, tel. 01/6168137, fax 01/6156940, e-mail: zdravko.virag@fsb.hr,
Radoslav Korbar, Veleu ilište u Karlovcu, Ivana Meštrovi a 10, 47000 Karlovac, e-mail: rkorbar@vuka.hr.
