Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Repaso de todo con solución

(1)

Repaso de todo con solución

Problema 1:

El precio “p” de compra de un artículo está en función del nº de unidades “x” que se compran . El número de unidades que se compran depende del nº del día del año “d” (“d” va desde 1 a 365) x(d) = d2_{– 300d + 25000}

a) ¿A cuánto asciende la factura del día 74 del año? b) ¿Qué día se paga el mayor precio? ¿Cuál es? c) ¿Qué día se paga el menor precio? ¿Cuál es? Problema 2:

La temperatura (en °C) de un objeto viene dada por la función

donde t es el tiempo en horas. Calcula la temperatura inicial, la temperatura cinco horas más tarde y la temperatura que puede alcanzar el objeto si se deja transcurrir mucho tiempo. Problema 3:

Se considera la función . Determina los intervalos de concavidad y

convexidad y los puntos de inflexión. Problema 4:

Un 10% de quienes utilizan cierto analgésico sufren pequeñas molestias gástricas. Un nuevo producto tiene un mayor poder analgésico, pero sin embargo parece que es más fácil que ocasione esos pequeños efectos secundarios. De hecho, 21 personas afirmaron haberlos sufrido, de una muestra de 140 que habían utilizado el nuevo medicamento.

a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que con el nuevo medicamento se corre el mismo riesgo de padecer efectos secundarios que con el otro, frente a que, como parece, el riesgo es mayor. Explica qué tipo de errores se pueden cometer al obtener las conclusiones y cómo se llaman.

b) Explica claramente a qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior para un nivel de significación del 2%.

Problema 5:

Sean las matrices:

Halla el producto de A por B Problema 6:

Las ausencias en días de un empleado de una empresa para un determinado año se aproxima por una distribución normal de media μ días y desviación típica σ = 2 días. Se pretende estimar

(2)

μ usando la media de las ausencias en ese año de n trabajadores seleccionados de forma aleatoria en la empresa.

a) Si suponemos μ = 6,3 y que n = 25, ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 6,1 y 6,5 días?

b) ¿Qué tamaño n debería tener la muestra aleatoria para poder estimar μ usando la media muestral con un error máximo (diferencia entre μ y ) de ± 0,2 días con una confianza del 95%?

Problema 7:

Se lanzan dos dados A y B con las caras numeradas del 1 al 6. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea múltiplo de 4?

Problema 8:

Un fabricante comercializa 2 modelos de pantalón vaquero, uno para mujer que le proporciona un beneficio de 12 euros por unidad y otro para hombre con un beneficio unitario de 20 euros. El próximo mes desea fabricar entre 50 y 750 pantalones para mujer y siempre un número no inferior al que fabrica para hombre. Además no tiene posibilidades de fabricar mensualmente más de 1000 unidades en total. Plantea un programa lineal que permita calcular el número de unidades de cada modelo que ha de fabricar para maximizar el beneficio total. Resolviendo el programa anterior diga el máximo beneficio y cuántas unidades de cada modelo se han de comercializar. Diga la solución del apartado anterior si el beneficio unitario es de 15 euros para cada uno de los modelos.

NOTA: No es necesario considerar que las cantidades fabricadas sean números enteros. Problema 9:

Se considera la curva de ecuación cartesiana y = x2 + 8x, calcular las coordenadas del punto en el que la recta tangente a la curva es paralela a la recta y = 2x

Problema 10:

¿Qué se puede decir de la gráfica de una función f(x) si se sabe que f’(1) = 0, f’’(1) < 0, f’(3) = 0 y f’’(3) > 0? Problema 11: Dada la función a) Representa gráficamente f(x) b) Estudia su continuidad. Problema 12:

La suma de tres números positivos es 60. El primero; el doble del segundo y el triple del tercero suman 120. Halla los números que cumplen estas condiciones de manera que su producto sea máximo.

(3)

Dos estudiantes quieren contrastar si el consumo medio en teléfono móvil entre los estudiantes es como máximo de 10 euros frente a si es mayor. El primero, en una muestra de 36

estudiantes, obtuvo una media de 10,4 euros con una desviación típica de 2 euros. El segundo obtuvo, en una muestra de 49 estudiantes, una media de 10,39 con una desviación típica de 2 euros.

a) ¿Qué decisión toma el primero con un nivel de significación del 10%? b) ¿Qué decisión toma el segundo con un nivel de significación del 10%? Problema 14:

Sean las matrices

Encuentra el valor o valores de x de forma que B2 = A Problema 15:

Contesta a las siguientes cuestiones:

a) El sueldo, en euros, de los empleados de una fábrica sigue una distribución normal de media μ = 1500 euros y desviación típica σ = 400 euros. Se elige aleatoriamente una muestra de 25 empleados de esa fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que el promedio de sus sueldos esté comprendida entre 1420 y 1600 euros?

b) Si sólo conocemos la desviación típica σ = 400 euros y desconocemos el promedio μ de los sueldos de los empleados de esa fábrica, ¿qué tamaño de muestra deberíamos tomar para estimar μ con un nivel de confianza del 95% si se admite un error máximo de 100 euros? Problema 16:

Un estudio revela que el 10 % de los oyentes de radio sintoniza a diario las cadenas Music y Rhythm, que un 35 % sintoniza a diario Music y que el 55 % de los oyentes no escucha ninguna de las dos emisoras. Obtén:

a) La probabilidad de que un oyente elegido al azar sintonice la cadena Rhythm.

b) La probabilidad de que un oyente elegido al azar sintonice la cadena Rhythm pero no la Music.

c) La probabilidad de que un oyente, del que sabemos que escucha Rhythm, escuche Music. Problema 17:

En la remodelación de un centro de enseñanza se quiera habilitar un mínimo de 8 nuevas aulas, entre pequeñas (con capacidad para 60 alumnos) y grandes (con capacidad para 120). Como mucho, un 25% de las aulas podrán ser grandes. Además, el centro necesita que se habilite al menos 1 aula grande, y no más de 15 pequeñas. ¿Qué combinaciones de aulas de cada tipo se pueden habilitar? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Cuál es el número mínimo de aulas pequeñas que se pueden habilitar? Si se quiera que la capacidad total conseguida con las aulas habilitadas sea lo mayor posible ¿cuántas tendría que haber de cada tipo? ¿Cuántos alumnos cabrían en total?

Problema 18:

Dada la parábola f(x) = x2 – 5x + 8

a) ¿En qué punto de la gráfica la tangente es paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes?

(4)

c) Dibuja en unos mismo ejes, la parábola, la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, la tangente paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes y la recta tangente en el punto P(1, 4)

Problema 19:

Halla los intervalos de monotonía y los extremos relativos de la función definida por g(x) = x3 – 3x2 + 7. Con los datos anteriores haz un esbozo de la gráfica.

Problema 20:

Se considera la función f (x) = – 2x3_{– 2ln x. Calcula:}

Problema 21:

Durante los 60 minutos de duración de cierto programa de radio su índice de audiencia viene dado por la función:

Sabiendo que cuando se inicia el programa el índice de audiencia es 20 y que a los 40 minutos se alcanza el máximo índice de audiencia de 36. Determina a, b y c. Justifica la respuesta. Problema 22:

Un estudio realizado en el ámbito de la Unión Europea concluye que la edad de los propietarios de un automóvil “Mercedes” en el momento de su adquisición tiene un comportamiento Normal con media 38 años y varianza 16. Un concesionario de dicha marca, instalado recientemente en España, ha vendido sólo 150 vehículos y ha comprobado que la edad media de sus clientes es de 38,3 años. Aceptando para los clientes españoles la varianza obtenida para los clientes europeos, ¿se puede aceptar que la edad media al adquirir un vehículo de esa marca es la misma en España que en Europa, para un nivel de significación del 5%?

Problema 23:

Sea la matriz Problema 24:

En una gran ciudad se ha preguntado a 625 personas el gasto efectuado en medicinas el pasado año, obteniéndose un gasto medio de 75 euros. Se sabe que la desviación típica de esta variable es igual a 50. Calcula el intervalo que da el gasto medio con un nivel de confianza del 95%. Especifica los pasos realizados para obtener el resultado.

Problema 25:

Una fábrica tiene tres cadenas de producción, A, B y C. La cadena A fabrica el 50 % del total de los coches producidos; la B, el 30 %, y la C, el resto.

(5)

La probabilidad de que un coche resulte defectuoso es: en la cadena A, 1/2, en la B, 1/4, y en la C, 1/6. Calcule razonadamente:

a) La probabilidad de que un coche sea defectuoso y haya sido fabricado por la cadena A. b) La probabilidad de que un coche sea defectuoso.

c) Si un coche no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la cadena C?

Problema 26:

Una refinería de petróleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y pesado, a un precio de 70 euros y 65 euros por barril, respectivamente. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0,3 barriles de gasolina 95; 0,4 barriles de gasolina 98 y 0,2 barriles de gasoil. Asimismo, con cada barril de crudo pesado produce 0,1; 0,2 y 0,5 barriles de cada uno de estos tres productos, respectivamente. La refinería debe suministrar al menos 26300 barriles de gasolina 95, 40600 barriles de gasolina 98 y 29500 barriles de gasoil. Determina cuántos barriles de cada tipo de crudo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades de producción con un coste mínimo y calcula éste.

Problema 27:

Se considera la función f(x) = ax3 + b • ln x siendo a y b parámetros reales. Determina los valores de a y b sabiendo que f(1) = 2 y que la derivada de f(x) es nula en x = 1

Problema 28:

Representa gráficamente la función f(x) = x3 – 3x2 + 4 estudiando: intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativo, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.

Problema 29:

Se considera la función . Calcula sus asíntotas.

Problema 30:

Se quiere fabricar una caja de volumen máximo que sea el doble de larga que de ancha en la que, además, la suma del ancho más el largo más el alto sea igual a un metro.

a) ¿Qué medidas debe tener la caja? b) ¿Qué volumen tendrá?

Problema 31:

El departamento de extranjería detecta, en un control realizado a 169 inmigrantes, que 60 no tienen permiso de residencia. Con un nivel de significación del 5%, ¿se puede aceptar la hipótesis de que la proporción de inmigrantes que carecen de permiso de residencia es, a lo sumo, del 25%?

Problema 32:

(6)

Problema 33:

En el Juzgado de cierta ciudad se presentaron en un determinado año, un total de 5500 denuncias. Se seleccionó una muestra aleatoria de un 5% de ellas. Entre las denuncias seleccionadas se determinó que 55 habían sido producidas por violencia doméstica. Determinar, justificando la respuesta:

a) La estimación puntual que podríamos dar para el porcentaje de denuncias por violencia doméstica en esa ciudad en ese año.

b) El error máximo que cometeríamos con dicha estimación puntual con un nivel de confianza del 99%

Problema 34:

En un instituto hay 250 alumnos cursando estudios de Bachillerato, 110 de ellos son alumnos de segundo curso. El director pregunta a todos si están de acuerdo en realizar una

determinada actividad cultural. Obtiene respuesta (afirmativa o negativa) de los 250 alumnos. Un 30 % de los alumnos de primer curso le contestaron que están de acuerdo y un 40 % de alumnos de segundo curso le contestan que no están de acuerdo. Si seleccionamos al azar un alumno entre los 250 determinar, justificando la respuesta:

a) La probabilidad de que sea un alumno de segundo curso de los que están de acuerdo en realizar la actividad cultural

b) La probabilidad de que sea un alumno de los que no están de acuerdo en realizar la actividad cultural

c) Sabiendo que el alumno seleccionado pertenece al primer curso, la probabilidad de que sea de los que están a favor de realizar la actividad cultural

Problema 35:

Una papeleria quiere liquidar hasta 78 kg de papel reciclado y hasta 138 kg de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes A están formados por 1 kg de papel reciclado y 3 kg de papel normal y los lotes B por 2 kg de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote A es de 0,9 euros y el de cada lote B es de 1 euro. ¿Cuántos lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascienden estos ingresos máximos?

Problema 36:

Sea la función f definida por

a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f

b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 1

Problema 37:

Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, en euros viene dada por: R(x) = –0,01x2

+ 5x + 2500, siendo x la cantidad que se invierta. a) ¿Qué rentabilidad obtiene un inversor que invierte 1000 euros?

b) ¿Cuánto ha de invertir si quiere obtener una rentabilidad máxima? c) Calcula esa rentabilidad máxima.

(7)

Un inversor utiliza la siguiente función para reinvertir en Bolsa parte del capital que obtiene mensualmente. R(x) representa la cantidad reinvertida cuando el capital obtenido es x (tanto la cantidad como el capital en euros):

¿Es la cantidad reinvertida una función continua del capital obtenido? Problema 39:

El beneficio en euros por kilogramo de un alimento perecedero se estima que viene dado por la función B(x) = 4x – 2x2_{– 0,68 donde x es el precio en euros de cada kilogramo del alimento.}

a) ¿Entre qué precios por kilogramo se obtienen beneficios? b) ¿A qué precio se obtiene el máximo beneficio?

c) Si en un comercio se tienen 1000 kilogramos de ese alimento ¿Qué beneficio máximo puede obtener?

Problema 40:

En un barrio de una gran ciudad se inspeccionan 121 viviendas detectando que 22 están deshabitadas. Con un nivel de significación del 5%, ¿se puede aceptar la hipótesis de que la proporción de viviendas deshabitadas en el barrio es, a lo sumo, del 15%?

Problema 41:

Sean las matrices

Determina x para que A • B = I2

Problema 42:

El número de pulsaciones por minuto de los habitantes de una región sigue una variable N(μ ,10). Se toma una muestra de tamaño 121 de esos habitantes y se obtiene un número medio de pulsaciones por minuto igual a 70.

a) Halla un intervalo de confianza para μ con α = 0,02

b) Con la anterior muestra, ¿cuánto valdría α para estimar μ con un error inferior a 2 pulsaciones por minuto?

Problema 43:

Un estudio hecho en un cierto IES, en el que se imparte ESO y Bachillerato se recogieron los siguientes datos:

• El 60 % de los alumnos son mujeres.

• El 15 % de los hombres estudian en Bachillerato. • El 20 % de las mujeres estudian Bachillerato.

• El 30 % de las mujeres que estudian Bachillerato eligen una opción de letras.

a) Calcula la probabilidad de que un alumno del IES, elegido al azar, sea mujer, estudie Bachillerato y curse una opción de letras.

b) ¿Qué porcentaje del alumnado estudia Bachillerato?

(8)

Problema 44:

Resuelve las siguientes cuestiones

a) Representa gráficamente el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones: x ≥ 3(y – 3); 2x + 3y ≤ 36; x ≤ 15; x ≥ 0; y ≥ 0

b) Calcula los vértices del recinto.

c) Obtén el valor máximo de la función F(x, y) = 8x + 12y en este recinto e indica dónde se alcanza.

Problema 45:

Se considera la función , obtén la expresión de la recta tangente a dicha función en x = 3

Problema 46:

Dada la función , se pide:

a) Dominio y puntos de corte son los ejes de coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos. d) Utiliza la información anterior para representarla gráficamente.

Problema 47:

Resuelve las siguientes cuestiones

a) Determina el valor de a para que la siguiente función sea continua en x = –1

b) Estudia la continuidad de la función anterior en el caso a = 0 Problema 48:

La función f definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + c verifica que su gráfica pasa por el punto (–1, 0) y tiene un máximo relativo en el punto (0, 4). Determina la función f (calculando a, b y c). Problema 49:

El consumo de carne de pollo parece haberse disparado desde que hace unos meses cundió la alarma sobre otros tipos de carne. En cierta carnicería, las ventas diarias de carne de pollo seguían hasta entonces una Normal de media 19 kilos y desviación típica 3 kilos. En una muestra de 35 días posteriores a la citada alarma, se obtuvo una media de 21 kilos de carne de pollo vendidos al día. Suponiendo que las ventas siguen siendo una Normal con la misma desviación típica,

a) Plantear un test para contrastar que la venta de pollo no ha aumentado, frente a que sí lo ha hecho, como parecen indicar los datos. ¿A qué conclusión se llega a un nivel de significación del 5%?

(9)

Problema 50:

Una empresa fabrica juguetes de tres tipos diferentes T1, T2 y T3. Los precios de costo de cada

juguete y los ingresos que obtiene la empresa por cada juguete vendido vienen dados por la siguiente tabla:

T1 T2 T3

Precio de costo 4 euros 6 euros 9 euros

Ingresos 10 euros16 euros24 euros

Los números de ventas anuales son de 4500 juguetes T1, 3500 juguetes T2 y 1500 juguetes T3.

Sabiendo que la matriz de costos (C) y la matriz de ingresos (I) son matrices diagonales y que la matriz de ventas anuales (V) es una matriz fila.

a) Determina las matrices C, I y V

b) Obtén, utilizando las matrices anteriores, la matriz de costos anuales, la matriz de ingresos anuales y la matriz de beneficios anuales, correspondientes a los tres tipos de juguetes.

(10)

Solución

Problema 1:

a) Hallamos p en función del número de días d mediante la función compuesta.

b) Obtenemos el mayor precio derivando y probando en los extremos del intervalo [0, 365]

p(0) = 287,5 euros; p(365) = 168,88

Se paga el mayor precio el día 150 y es de 400 euros c) Se paga el menor precio el día 365 y es de 168,88 euros

Problema 2: f(0) = 8 °C f(5) = 17,25 °C

Problema 3:

f(1/2) = – 0,53 A(1/2, – 0,53)

f’’’ (1/2) = 24 ≠ 0 A(1/2, – 0,53) es punto de inflexión. x = 1 f’’(1) = 7 > 0

(11)

Problema 4: a)

ProporciónD. típica Tamaño

Población 0,10

Muestra 0,15 140

Se definen las hipótesis nula y alternativa

Se define la región de aceptación para el nivel de confianza dado

Para un nivel de significación α se obtiene un valor crítico zα

La región de aceptación es (– ∞; zα)

Se define el estadístico para el contraste

Se acepta o se rechaza la hipótesis nula

Si el valor de z (– ∞; zα), se acepta la hipótesis nula.

Se pueden cometer dos errores:

Error de tipo I es el que se comete cuando se rechaza la hipótesis nula siendo verdadera. La

probabilidad de cometer este error es el nivel de significación α

Error de tipo II es el que se comete cuando se acepta la hipótesis nula siendo falsa.

b)

Se definen las hipótesis nula y alternativa

Se define la región de aceptación para el nivel de confianza dado

α = 0,02 1 – α = 0,98 zα = 2,05

La región de aceptación es (– ∞; 2,05)

Se define el estadístico para el contraste

Se acepta o se rechaza la hipótesis nula

Como 1,97 (– ∞; 2,05), se acepta la hipótesis nula. Es decir, se puede aceptar que el nuevo analgésico no produce más efectos secundarios que el antiguo con un nivel de confianza del 98%

Problema 5:

(12)

b) El tamaño de la muestra es:

Al nivel de confianza 1 – α = 0,95 zα/2 = 1,96

Se debe tomar una muestra de 16 trabajadores. Problema 7:

Se dibuja el diagrama cartesiano:

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Problema 8:

a) Tabla con los datos del problema.

PV mujerPV hombre Restricciones

Nº de pantalones x y 50 ≤ x ≤ 750; y ≥ 0

Limitación PV mujer-hombre x y x ≥ y

Total pantalones x y x + y ≤ 1000

Beneficios 12x 20y f(x, y) = 12x + 20yMáximo

b) Región factible.

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. A(50, 0); B(750, 0); C(750, 250); D(500, 500): E(50, 50). El máximo es f(500, 500) = 16000 euros

d) La solución óptima es D(500, 500), es decir, x = 500 pantalones vaqueros de mujer e y =

(13)

e) El máximo es f(750, 250) = f(500, 500) = 15000 euros. La solución óptima se alcanza en C(750, 250) y D(500, 500); por tanto en todos los puntos del segmento CD. Beneficios =

15000 euros

Problema 9:

La pendiente de la recta tangente tiene que ser 2 por ser paralela a la recta y = 2x Como la pendiente de la recta tangente viene dada por la derivada de la función: y’ = 2x + 8 2x + 8 = 2 2x = – 6 x = – 3 y = (–3)2 + 8(–3) = 9 – 24 = – 15 El punto es P(– 3, –15)

Problema 10: Podemos afirmar:

a) En x = 1 tiene un máximo relativo porque se anula la primera derivada y es cóncava porque f”(1) < 0

b) En x = 3 tiene un mínimo relativo porque se anula la primera derivada y es convexa porque f”(3) > 0

Problema 11:

a)

b) La función f(x) está definida por tres funciones polinómicas que son continuas en sus dominios. Solo debemos estudiar los valores x = – 1, x = 2

Para que sea continua en Se estudian los límites laterales:

(14)

a) Datos e incógnitas. 1er número: x

2º número: y 3er número: z

b) Función que hay que maximizar f(x, y, z) = x • y • z

sujeta a las restricciones:

Se tiene que: x = 60 – (60 – 2z) – z = z c) Se escribe la función con una sola variable f(z) = z • (60 – 2z) • z = – 2z3

+ 60z2 d) Se calculan los máximos y los mínimos f’(z) = – 6z2_{+ 120z; – 6z}2 + 120z = 0 z = 0, z = 20 e) Se comprueba en la 2ª derivada f’’(z) = – 12z + 120 f’’(0) = 120 > 0 (+) se alcanza un mínimo. f’’(20) = – 120 < 0 (–) se alcanza un máximo. f) Solución

El producto máximo se alcanza para x = 20, y = 20, z = 20 Problema 13:

a)

MediaD. típicaTamaño

Población 10 2

Muestra 10,4 36

• Se definen las hipótesis nula y alternativa

• Se define la región de aceptación para el nivel de confianza dado 1 – α = 90% = 0,90 zα = 1,28

La región de aceptación es (– ∞; 1,28) • Se define el estadístico para el contraste

• Se acepta o se rechaza la hipótesis nula

Como 1,2 (– ∞, 1,28) se acepta la hipótesis nula con una probabilidad del 90%. Se puede aceptar que el consumo medio en teléfono móvil es como máximo 10 euros con un error del 10%

b)

Población 10 2

Muestra 10,39 49

• Se definen las hipótesis nula y alternativa

• Se define la región de aceptación para el nivel de confianza dado 1 – α = 90% = 0,90 zα = 1,28

La región de aceptación es (– ∞; 1,28) •Se define el estadístico para el contraste

(15)

• Se acepta o se rechaza la hipótesis nula

Como 1,37 (– ∞, 1,28) se rechaza la hipótesis nula con una probabilidad del 90%. Se rechaza que el consumo medio en teléfono móvil es como máximo 10 euros

Problema 14:

Se calcula B2 y se igualan los términos con los de A

Problema 15:

a)

b) El tamaño de la muestra es:

Se debe tomar una muestra mayor o igual de 62 trabajadores. Problema 16:

Se aplican las propiedades de la probabilidad y la probabilidad condicionada. M = “Sintoniza Music”; R = “Sintoniza Rhythm”

Diagrama de Venn

Problema 17:

(16)

A. pequeñasA. grandes Restricciones

Nº de aulas x y 0 ≤ x ≤ 15; y ≥ 1

Limitación ambas x y x + y ≥ 8

Limitación grandes-pequeñas x y 0,25(x + y) ≥ y

Nº de alumnos 60x 120y f(x, y) = 60x + 120yMáximo

c) Se pueden habilitar todas las aulas correspondientes a las coordenadas enteras del interior y de la frontera de la región factible, cuyos vértice son: A(7, 1); B(15, 1); C(15, 5); D(6, 2)

d) El número mínimo de aulas pequeñas es de 6

e) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. El máximo es f(15, 5) = 1500 alumnos

f) La solución óptima es C(15, 5), es decir, x = 15 aulas pequeñas e y = 5 aulas grandes.

Número de alumnos = 1500

Problema 18:

a) La pendiente de la bisectriz del primer y tercer cuadrante es 1

Como la pendiente de la recta tangente viene dada por la derivada de f(x):

y’ = 2x – 5 2x – 5 = 1 2x = 6 x = 3 y = 32 – 5 • 3 + 8 = 9 – 15 + 8 = 17 – 15 = 2 El punto es Q(3, 2)

b) Ecuación de la recta tangente en el punto P(1, 4) Ecuación punto pendiente: y – f(a) = f’(a)(x – a) f’(x) = 2x – 5 f’(1) = 2 • 1 – 5= – 3 y – 4 = – 3(x – 1) y – 4 = – 3x + 3 y = – 3x + 7 c) Representación gráfica: Problema 19: Máximos y mínimos f’(x) = 3x2_{– 6x}

3x2 – 6x = 0 x = 0, x = 2 raíces reales simples. f(0) = 7, A(0, 7)

f”(x) = 6x – 6

f”(0) = – 6 < 0 A(0, 7) Máximo relativo. f(2) = 3, B(2, 3)

f”(2) = 6 > 0 B(2, 3) mínimo relativo. Monotonía o crecimiento

(17)

f’(1) = – 3 < 0 (–)

Problema 20:

Problema 21:

Cuando se inicia el programa, t = 0 I(0) = 20 c = 20 (1) Para t = 40, I(40) = 36 1600a + 40b + c = 36 (2) Para t = 40, I’(40) = 0; I(t) = 2at + b 80a + b = 0 (3) Resolviendo el sistema formado por (1), (2) y (3), se tiene:

Problema 22:

Población 38 4

Muestra 38,3 150

a) Se definen las hipótesis nula y alternativa

b) Se define la región de aceptación para el nivel de confianza dado

1 – α = 95% = 0,95 zα/2 = 1,96

La región de aceptación es (– 1,96, 1,96)

c) Se define el estadístico para el contraste

d) Se acepta o se rechaza la hipótesis nula

(18)

Problema 23:

Problema 24:

El intervalo de confianza para la media de la población μ con un nivel de confianza 1 – α, es:

a) Como 1 – α = 0,95 se tiene que zα/2 = 1,96

b) El intervalo es:

El gasto medio en medicinas se encuentra entre los 71,08 euros y los 78,92 euros con una confianza del 95%

Problema 25:

D = “coche defectuoso” Árbol de probabilidades

a) Se aplica la regla del producto o de probabilidad compuesta b) Se aplica la regla de la suma o de probabilidad total

P(D) = P(A) • P(D/A) + P(B) • P(D/B) + P(C) • P(D/C) = = 0,5 • 1/2 + 0,3 • 1/4 + 0,2 • 1/6 = 0,36

c) Se aplica el teorema de Bayes

Problema 26:

a) Tabla con los datos del problema.

Crudo ligeroCrudo pesado Restricciones

Nº de barriles x y x ≥ 0; y ≥ 0

Gasolina 95 0,3x 0,1y 0,3x + 0,1y ≥ 26300

Gasolina 98 0,4x 0,2y 0,4x + 0,2y ≥ 40600

(19)

Coste 70x 65y f(x, y) = 70x + 65y Mínimo

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. A(147500, 0); B(90000, 23000); C(60000, 83000); D(0, 263000). El mínimo es f(90000, 23000) = 7795000 euros d) La solución óptima es B(90000, 23000), es decir, x = 90000 barriles de crudo ligero e y =

23000 euros barriles de crudo pesado. Coste = 7795000 euros

Problema 27: f(1) = 2 a • 13 + b • ln 1 = 2 a • 1 + b • 0 = 2 a = 2 f’(x) = 3ax2_{+ b/x, como f’(1) = 0} _{3a • 1}2 + b/1 = 0 3a + b = 0 b = – 3a b = – 6 Problema 28: Máximos y mínimos f’(x) = 3x2_{– 6x}

3x2 – 6x = 0 x = 0, x = 2 raíces reales simples. f(0) = 4, A(0, 4)

f”(x) = 6x – 6

f”(0) = – 6 < 0 A(0, 4) Máximo relativo. f(2) = 0, B(2, 0) f”(2) = 6 > 0 B(2, 0) mínimo relativo. Monotonía o crecimiento f’(1) = – 3 < 0 (–) Punto de inflexión f”(x) = 6x – 6 6x – 6 = 0 x = 1 f(1) = 2, C(1, 2) f’”(x) = 6 f”’(1) = 6 ≠ 0 C(1, 2) punto de inflexión. Curvatura: f”(0) = – 6 < 0 (–)

(20)

Problema 29:

Es la hipérbola trasladada 1 unidad hacia arriba y 2 unidades hacia la derecha. Luego:

Asíntota vertical: x = 2 Asíntota horizontal: y = 1 Asíntota oblicua: no tiene Problema 30:

a) Datos, incógnita y dibujo.

Función que hay que maximizar es: f(x, y) = 2x2y

sujeta a la restricción: 3x + y = 1 y = 1 – 3x Se escribe la función con una sola variable f(x) = 2x2(1 – 3x) = 2x2 – 6x3

Se calculan los máximos y los mínimos f’(x) = 4x – 18x2_{; 4x – 18x}2

= 0 x = 2/9, x = 0 (x = 0 no tiene sentido) Se comprueba en la 2ª derivada

f’’(x) = 4 – 36x f’’(2/9) = – 4 < 0 (–) Para x = 2/9 se alcanza el máximo. Solución

Para x = 2/9 , y = 1/3, se tiene que las dimensiones de la caja son 2/9 m de ancho, 4/9 m de largo y 1/3 m de alto.

b) El volumen será: Problema 31:

Población 0,25

Muestra 0,36 169

(21)

α = 0,05 1 – α = 0,95 zα = 1,65

Como 3,3 (– ∞, 1,65), se rechaza la hipótesis nula. No hay evidencia de que carezcan de permiso de residencia a lo sumo el 25%

Problema 32:

No es posible porque si la matriz es de tamaño 3 x 2, su traspuesta es de tamaño 2 x 3

Una matriz de tamaño 3 x 2 no es cuadrada y no tiene inversa. Por tanto, no puede coincidir con su inversa.

Problema 33:

a) El tamaño muestral fue del 5% de 5500 denuncias; es decir, 5500 • 0,05 = 275 denuncias. La proporción de denuncias por violencia doméstica fue:

b) El error admitido viene dado por:

El porcentaje por denuncias por violencia doméstica estará entre el 14% y el 26% con una confianza del 99%

Problema 34:

Se resuelve mediante una tabla de contingencia: A = “están de acuerdo”;

NA = “no están de acuerdo”

A = Están de acuerdoNo están de acuerdoTotal

1º Curso 0,3 • 140 = 42 98 140

2º Curso 66 0,4 • 110 = 44 110

Total 108 142 250

(22)

b)

c)

Problema 35:

a) Tabla con los datos del problema.

Lote ALote B Restricciones

Nº de lotes x y x ≥ 0; y ≥ 0

kg papel reciclado x 2y x + 2y ≤ 78

kg papel normal 3x 2y 3x + 2y ≤ 138

Ingresos 0,9x y f(x, y) = 0,9x + yMáximo

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. O(0, 0); A(46, 0); B(30, 24); C(0, 39). El máximo es f(30, 24) = 51 euros

d) La solución óptima es B(30, 24), es decir, x = 30 kg de papel reciclado e y = 24 kg de

papel normal.

Problema 36:

a) Continuidad

La función está definida por una función racional y una polinómica que no tienen puntos de discontinuidad en sus dominios de definición. El único punto problemático es x = 0

Para que la función sea continua, los límites laterales deben existir y ser iguales al valor de la función.

Derivabilidad

(23)

f’(0–) ≠ f’(0+

) La función no es derivable en x = 0

b) Ecuación de la recta tangente:

Ecuación punto pendiente: y – f(a) = f’(a)(x – a) x = 1 f(1) = 12 + 1 = 2 P(1, 2)

f’(x) = 2x + 1 f’(1) = 2 • 1 + 1 = 3

y – 2 = 3(x – 1) y – 2 = 3x – 3 y = 3x – 1 Problema 37:

a) R(1000) = – 0,01 • 10002_{+ 5 • 1000 + 2500 = – 2500 euros, pierde dinero.}

b) R’(x) = – 0,02x + 5 – 0,02x + 5 = 0 x = 250 R(250) = 3125, A(250, 3125)

R”(x) = – 0,02; R”(250) = – 0,02 < 0 A(250, 3125) Máximo relativo. c) La rentabilidad máxima es 3125 euros

Problema 38:

La función R(x) está definida por una función polinómica que es continua en su dominio y por una función racional que es continua en su dominio siempre que el denominador sea distinto de cero. Como el denominador es distinto de cero para todo x ≥ 600, se estudia el caso en x = 600 Para que sea continua en

Se estudian los límites laterales:

no es continua en x = 600

Problema 39:

a) La función beneficio viene dada por una parábola que tiene un máximo. Produce beneficios cuando B(x) > 0. B(x) = 0 4x – 2x2 – 0,68 = 0 x = 0,19, x = 1,81. En el intervalo (0,19; 1,81) es donde se obtienen beneficios.

b) El beneficio máximo se obtiene en el vértice

Para x = 1 euro/kg se obtiene el máximo beneficio de 1,32 euros (El resultado también se puede obtener resolviendo B’(x) = 0) c) 1000 • 1,32 = 1320 euros

(24)

Población 0,15

Muestra 0,18 121

α = 0,05 1 – α = 0,95 zα = 1,65

Como 0,92 (– ∞, 1,65), se acepta la hipótesis nula Problema 41:

Se calcula A • B y se igualan los términos con los de I2

Problema 42:

a) El intervalo de confianza para la media de la población μ con un nivel de confianza 1 – α,

es:

Como α = 0,02 1 – α = 0,98 se tiene que zα/2 = 2,325 = 2,33

El intervalo es:

El número medio de pulsaciones se encuentra entre las 67,88 y las 72,12 con una confianza del 98%

b) El error máximo admisible es:

Si 1 – α = 0,9722 α = 0,0278 Problema 43:

(25)

M = “ser mujer”, H = “ser hombre”, L = “elegir opción de letras” Árbol de probabilidades

a) Se aplica la regla del producto o de probabilidad compuesta b) Se aplica la regla de la suma o de probabilidad total

P(B) = P(M) • P(B/M) + P(H) • P(B/H) = 0,6 • 0,2 + 0,4 • 0,15 = 0,18 = 18% c) Se aplica el teorema de Bayes

Problema 44: a) Región factible.

b) Vértices de la región factible: O(0, 0); A(15, 0); B(15, 2); C(9, 6); D(0, 3)

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. El máximo es F(15, 2) = F(9, 6) = 144. La solución óptima se alcanza en B(15, 2) y C(9, 6); por tanto en todos los puntos del segmento BC

Problema 45:

Ecuación punto pendiente: y – f(a) = f’(a)(x – a)

y – 3 = – 2(x – 3) y – 3 = – 2x + 6 y = – 2x + 9 Problema 46:

a) Dominio: nunca se anula el denominador, Dom(f) = R = (– ∞, + ∞). Corta a los ejes en O(0, 0)

b) Asíntotas

• Verticales: son las raíces del denominador, no tiene. • Horizontales:

(26)

Tiene una asíntota horizontal en y = 0

• Asíntotas oblicuas: no tiene porque el grado del numerador no es uno más que el grado del denominador.

c) Máximos y mínimos relativos

raíces reales simples. f(–1) = –1, A(–1, –1)

f”(–1) = 1 > 0 A(–1, –1) mínimo relativo. f(1) = 1, B(1, 1)

f”(1) = –1 < 0 B(1, 1) Máximo relativo. Monotonía o crecimiento

d) Gráfica de la función

Problema 47:

a) Para que la función sea continua en Se estudian los límites laterales:

b) Para a = 0 se tiene:

(27)

Se estudian los límites laterales: la función no es continua en x = 1 Problema 48: Como f(– 1) = 0 – 1 + a – b + c = 0 (1) f’(0) = 0 f’(x) = 3x2 + 2ax + b b = 0 (2) f(0) = 4 c = 4 (3)

Resolviendo el sistema formado por (1), (2) y (3), se tiene:

Problema 49:

Población 19 3

Muestra 21 35

1 – α = 95% = 0,95 zα = 1,65

Como 3,94 (– ∞; 1,65) se rechaza la hipótesis nula con una probabilidad del 95%. Se puede aceptar que el consumo de carne de pollo ha aumentado con un nivel de significación del 5% Problema 50:

a) Matrices C, I y V

(28)

Matriz de ingresos anuales

Matriz de beneficios anuales