D-Correlación y Análisis de Regresión

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de ventas y el n#mero de copiadoras vendidas. 6 Elabore un diagrama de ventas y el n#mero de copiadoras vendidas. 6 Elabore un diagrama de dispersión para representar la información.

de dispersión para representar la información.

Lectura. Lectura.

Con base en la información de la tabla %()%, la se2ora 4ancer sospec"a Con base en la información de la tabla %()%, la se2ora 4ancer sospec"a que "ay una relación entre el n#mero de llamadas de venta "ec"as en que "ay una relación entre el n#mero de llamadas de venta "ec"as en un mes y el n#mero de copiadoras vendidas. Soni -ones vendió m!s un mes y el n#mero de copiadoras vendidas. Soni -ones vendió m!s copiadoras el mes anterior, y fue una de las tres representantes que copiadoras el mes anterior, y fue una de las tres representantes que "icieron (& llamadas o m!s. Por otro lado, Susan 7elc" y Carlos 8am5rez "icieron (& llamadas o m!s. Por otro lado, Susan 7elc" y Carlos 8am5rez sólo "icieron %& llamadas de ventas durante el mes anterior. 'a se2ora sólo "icieron %& llamadas de ventas durante el mes anterior. 'a se2ora 7elc", junto con otros dos, tuvo el n#mero menor de copiadoras

7elc", junto con otros dos, tuvo el n#mero menor de copiadoras

vendidas entre los representantes muestreados. 'a implicación es que el vendidas entre los representantes muestreados. 'a implicación es que el n#mero de copiadoras vendidas se relaciona con el n#mero de llamadas n#mero de copiadoras vendidas se relaciona con el n#mero de llamadas de ventas. Conforme aumenta el n#mero de llamadas de venta, parece de ventas. Conforme aumenta el n#mero de llamadas de venta, parece que el n#mero de copiadoras vendidas tambi$n lo "ace. 1e este modo, que el n#mero de copiadoras vendidas tambi$n lo "ace. 1e este modo, el n#mero de llamadas de ventas se considera variable independiente, y el n#mero de llamadas de ventas se considera variable independiente, y el de copiadoras vendidas, variable dependiente.

el de copiadoras vendidas, variable dependiente. 'a variable

'a variable independienteindependiente proporciona la base para la estimación. Es la proporciona la base para la estimación. Es la variable predictora. 'a variable independiente no es un n#mero

variable predictora. 'a variable independiente no es un n#mero aleatorio.

aleatorio. 'a variable

'a variable dependientedependiente es la variable que se desea predecir o estimar. es la variable que se desea predecir o estimar. 'a variable dependiente es aleatoria, esto es, por cada valor dado a la 'a variable dependiente es aleatoria, esto es, por cada valor dado a la variable independiente, eisten muc"os posibles resultados para la variable independiente, eisten muc"os posibles resultados para la variable dependiente. En este ejemplo, note que cinco representantes variable dependiente. En este ejemplo, note que cinco representantes de ventas "icieron 9& llamadas de ventas. El resultado de realizar esta de ventas "icieron 9& llamadas de ventas. El resultado de realizar esta cantidad de llamadas se traduce en tres valores distintos de variable cantidad de llamadas se traduce en tres valores distintos de variable dependiente.

dependiente.

Es pr!ctica com#n situar la variable dependiente :copiadoras vendidas; Es pr!ctica com#n situar la variable dependiente :copiadoras vendidas; en el eje vertical o

en el eje vertical o

<6= y la variable independiente :n#mero de llamadas de ventas; en el eje <6= y la variable independiente :n#mero de llamadas de ventas; en el eje "orizontal o <>=.

"orizontal o <>=.

Coefciente de correlación de Pearson

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3 3

1escribe la fuerza de la relación entre dos conjuntos de variables en 1escribe la fuerza de la relación entre dos conjuntos de variables en

escala de intervalo o de razón. Se designa con la letra r, y con frecuencia escala de intervalo o de razón. Se designa con la letra r, y con frecuencia se le conoce como r de Pearson y coe?ciente de correlación producto) se le conoce como r de Pearson y coe?ciente de correlación producto) momento. Puede adoptar cualquier valor de )%.&& a @%.&&, inclusive. n momento. Puede adoptar cualquier valor de )%.&& a @%.&&, inclusive. n coe?ciente de correlación de )%.&& o bien de @%.&& indica una

coe?ciente de correlación de )%.&& o bien de @%.&& indica una

correlación perfecta. Por ejemplo, un coe?ciente de correlación para el correlación perfecta. Por ejemplo, un coe?ciente de correlación para el caso anterior calculado a @%.&& indicar5a que el n#mero de llamadas de caso anterior calculado a @%.&& indicar5a que el n#mero de llamadas de ventas y la cantidad de copiadoras que vende cada representante est!n ventas y la cantidad de copiadoras que vende cada representante est!n perfectamente relacionados en un sentido lineal positivo. n valor

perfectamente relacionados en un sentido lineal positivo. n valor calculado de )%.&& revela que las llamadas de ventas y el n#mero de calculado de )%.&& revela que las llamadas de ventas y el n#mero de copiadoras vendidas est!n perfectamente relacionados en un sentido copiadoras vendidas est!n perfectamente relacionados en un sentido lineal inverso. En la gr!?ca %()9 se muestra cómo aparecer5a el

lineal inverso. En la gr!?ca %()9 se muestra cómo aparecer5a el

diagrama de dispersión si la relación entre los dos conjuntos de datos diagrama de dispersión si la relación entre los dos conjuntos de datos fuera lineal y perfecta.

fuera lineal y perfecta.

Si no "ay ninguna relación entre los dos conjuntos de variables, la r de Si no "ay ninguna relación entre los dos conjuntos de variables, la r de Pearson es cero.

Pearson es cero.

n coe?ciente de correlación r cercano a & :sea &.&; indica que la n coe?ciente de correlación r cercano a & :sea &.&; indica que la relación lineal es muy d$bil. Se llega a la misma conclusión si r B

relación lineal es muy d$bil. Se llega a la misma conclusión si r B -- &.&. &.&. 'os coe?cientes de

'os coe?cientes de -- &.% y @ &.% tienen una fuerza igualD los dos &.% y @ &.% tienen una fuerza igualD los dos indican una correlación muy fuerte entre las dos variables. Por lo tanto, indican una correlación muy fuerte entre las dos variables. Por lo tanto, la fuerza de la correlación no depende de la dirección :ya sea

la fuerza de la correlación no depende de la dirección :ya sea -- o bieno bien @;.

@;.

En la gr!?ca %()( se muestran los diagramas de dispersión cuando r B En la gr!?ca %()( se muestran los diagramas de dispersión cuando r B &, una r d$bil :sea

&, una r d$bil :sea

-- &.9(;, y una r fuerte :sea @ &.;. Fbserve que, si la correlación es&.9(;, y una r fuerte :sea @ &.;. Fbserve que, si la correlación es d$bil, se presenta una dispersión considerable respecto de la recta d$bil, se presenta una dispersión considerable respecto de la recta trazada a trav$s del centro de los datos. En el diagrama de dispersión trazada a trav$s del centro de los datos. En el diagrama de dispersión que representa una fuerte relación, "ay muy poca dispersión respecto que representa una fuerte relación, "ay muy poca dispersión respecto de la recta.

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r

r B B es el es el coe?ciente de coe?ciente de correlación.correlación.

S

S_y_y B B es la es la desviación est!ndar de desviación est!ndar de 6 :la 6 :la variable dependiente;.variable dependiente;.

S

S_x_x _B_{B es la}_{es la desviación est!ndar de}_{desviación est!ndar de > :la}_{> :la variable independiente;}_{variable independiente;}

>, es cualquier valor de la variable independiente que se seleccione. >, es cualquier valor de la variable independiente que se seleccione. 6, es cualquie

6, es cualquier valor de lr valor de la variabla variable dependie dependiente que se selente que se seleccione.eccione.

´ ´

X

X B es la media de > :la variable independiente;. B es la media de > :la variable independiente;.

´´

Y

Y B es la media de 6 :la variable dependiente;. B es la media de 6 :la variable dependiente;.

Ejemplos. Ejemplos.

tilice los datos de Copier Sales of America que se reportan en la tabla tilice los datos de Copier Sales of America que se reportan en la tabla %()9. Para generar el coe?ciente de correlación de este ejemplo.

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5 5

A"ora se sustituyen estos valores en la fórmula :%()%; para determinar A"ora se sustituyen estos valores en la fórmula :%()%; para determinar el coe?ciente de correlaciónG

el coe?ciente de correlaciónG r B

r B ∑∑

((

X X

−

− ´ ´

X X

)(

Y Y

−

− ´ ´

Y Y

))

((

nn

−

11

))

_S_S x xSS y y B B 900900

((

1010

−

11

)(

9.1899.189

)(

14.33714.337

))

B &.H B &.H

ICómo se interpreta una correlación de &.HJ Primero, es positiva, por ICómo se interpreta una correlación de &.HJ Primero, es positiva, por lo que se observa una relación directa entre el n#mero de llamadas de lo que se observa una relación directa entre el n#mero de llamadas de ventas y el n#mero de copiadoras vendidas. Esto con?rma el

ventas y el n#mero de copiadoras vendidas. Esto con?rma el

razonamiento basado en el diagrama de dispersión, gr!?ca %()K. El valor razonamiento basado en el diagrama de dispersión, gr!?ca %()K. El valor de &.H est! muy cercano a %.&&, y por ende se concluye que la

de &.H est! muy cercano a %.&&, y por ende se concluye que la asociación es fuerte.

asociación es fuerte.

1ebe tener muc"o cuidado con la interpretación. 'a correlación de &.H 1ebe tener muc"o cuidado con la interpretación. 'a correlación de &.H indica una asociación positiva fuerte entre las variables. 'a se2ora

indica una asociación positiva fuerte entre las variables. 'a se2ora 4ancer acierta al motivar al personal de ventas para "acer llamadas 4ancer acierta al motivar al personal de ventas para "acer llamadas adicionales, debido a que el n#mero de llamadas se relaciona con el adicionales, debido a que el n#mero de llamadas se relaciona con el n#mero de copiadoras que vende. Sin embargo, Im!s llamadas de n#mero de copiadoras que vende. Sin embargo, Im!s llamadas de

ventas ocasionan m!s ventasJ Lo, aqu5 no se "a demostrado la causa y ventas ocasionan m!s ventasJ Lo, aqu5 no se "a demostrado la causa y el efecto, sólo que "ay una relación entre las dos variables, llamadas de el efecto, sólo que "ay una relación entre las dos variables, llamadas de ventas y copiadoras vendidas.

ventas y copiadoras vendidas.

Si "ay una relación fuerte :sea &.%; entre dos variables, es factible Si "ay una relación fuerte :sea &.%; entre dos variables, es factible suponer que un aumento o una disminución en una variable causa un suponer que un aumento o una disminución en una variable causa un cambio en la otra.

cambio en la otra. Ejemplo.

Ejemplo.

/avertyMs Nurniture es un negocio familiar que vende a clientes /avertyMs Nurniture es un negocio familiar que vende a clientes

minoristas en el !rea de C"icago desde "ace muc"os a2os. Oanto en minoristas en el !rea de C"icago desde "ace muc"os a2os. Oanto en radio como en televisión e internet, la compa25a destaca sus precios radio como en televisión e internet, la compa25a destaca sus precios bajos y f!ciles t$rminos de cr$dito. El propietario desea analizar la bajos y f!ciles t$rminos de cr$dito. El propietario desea analizar la

relación entre las ventas y la suma de dinero que gastó en publicidad. A relación entre las ventas y la suma de dinero que gastó en publicidad. A continuación se presenta la información de las ven)tas y de los gastos continuación se presenta la información de las ven)tas y de los gastos publicitarios durante los #ltimos cuatro meses.

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3es 3es 0astos 0astos publicitari publicitari os os ngresos ngresos por por ventas ventas -ulio -ulio 99  A Aggoossttoo %% (( Septiemb Septiemb rree ((  F

Fccttuubbrree KK %%&&

O

Orace un dirace un diagrama dagrama de dispersión e dispersión y determy determine el coe?ine el coe?ciente deciente de correlación. correlación. 8espuesta. 8espuesta. r B .QK r B .QK

Análisis de regresión

El an!lisis de regresión se da mediante una ecuación para epresar la El an!lisis de regresión se da mediante una ecuación para epresar la relación

relación lineal lineal entre entre dos dos variables. Adem!s, variables. Adem!s, se se desea estimar desea estimar el el valorvalor de la variable dependiente <6= con base en un valor seleccionado de la de la variable dependiente <6= con base en un valor seleccionado de la variable independiente <>=.

variable independiente <>=.

Principio de los mínimos cuadrados

En el an!lisis de regresión, el objetivo es utilizar los datos para trazar En el an!lisis de regresión, el objetivo es utilizar los datos para trazar una l5nea que represente mejor la relación entre las dos variables. una l5nea que represente mejor la relación entre las dos variables. Luestro primer enfoque es utilizar un diagrama de dispersión para Luestro primer enfoque es utilizar un diagrama de dispersión para visualizar la posición de la l5nea recta que probablemente ajustar5a los visualizar la posición de la l5nea recta que probablemente ajustar5a los datos.

(6)

7 7

n t$cnica que nos proporciona esta l5nea de regresión es el m$todo de n t$cnica que nos proporciona esta l5nea de regresión es el m$todo de minimos cuadrados, llamada comunmente recta del mejor ajuste.

minimos cuadrados, llamada comunmente recta del mejor ajuste.

Para ilustrar este concepto, se trazan los mismos datos en las tres Para ilustrar este concepto, se trazan los mismos datos en las tres gr!?cas siguientes. 'os

gr!?cas siguientes. 'os

puntos son los valores reales de 6, y los asteriscos son los valores puntos son los valores reales de 6, y los asteriscos son los valores predic"os

predic"os de de 6 6 para para unun valor dado de

valor dado de >. 'a r>. 'a recta de regrecta de regresión de la gr!?ca esión de la gr!?ca %() se determinó%() se determinó con el m$todo de los m5nimos cuadrados. Es la recta de mejor ajuste con el m$todo de los m5nimos cuadrados. Es la recta de mejor ajuste porque la suma de los cuadrados de las des)viaciones verticales

porque la suma de los cuadrados de las des)viaciones verticales respecto de s5 misma es m5nima.

respecto de s5 misma es m5nima.

1ondeG 1ondeG

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^ ^

Y

Y , que se , que se lee lee 6 prima, es el 6 prima, es el valor de la valor de la estimación de la variable 6estimación de la variable 6

para

para un un valor valor > > selec)cionadselec)cionado.o. a,

a, es la es la intersección 6intersección 6. Es . Es el valor el valor estimado de estimado de 6 cuando 6 cuando > > B B &. En&. En otras

otras palabras, palabras, <a= <a= eses el valor

el valor estimado de estimado de 6 donde 6 donde la rla recta de ecta de regresión cruza regresión cruza el eje el eje 66 cuando

cuando > > es es cero.cero. b,

b, es la pendiente de la es la pendiente de la recta, o el recta, o el cambio promedio encambio promedio en Y Y ^^ por cada por cada

cambio de una unidad :ya sea aumento o reducción; de la variable cambio de una unidad :ya sea aumento o reducción; de la variable independiente >.

independiente >.

>, es cualquier valor de la variable independiente que se seleccione. >, es cualquier valor de la variable independiente que se seleccione. 'a forma general de la ecuación de la regresión lineal es eactamente la 'a forma general de la ecuación de la regresión lineal es eactamente la misma que la

misma que la ecuación de cualquier l5nea. ecuación de cualquier l5nea. <a= es la intersección con 6 <a= es la intersección con 6 yy b es la pendiente. El propósito de un an!lisis de regresión es calcular los b es la pendiente. El propósito de un an!lisis de regresión es calcular los valores de

valores de a a y y b para b para desarrollar undesarrollar una ecuación a ecuación lineal que lineal que se ajustese ajuste mejor a

mejor a los datos. 'as fórlos datos. 'as fórmulas de a mulas de a y y b sonGb sonG

1óndeG 1óndeG r

r B B es el es el coe?ciente de coe?ciente de correlación.correlación.

S

S_y_y _B_{B es la}_{es la desviación est!ndar de}_{desviación est!ndar de 6 :la}_{6 :la variable dependiente;.}_{variable dependiente;.}

S

S_x_x _B_{B es la}_{es la desviación est!ndar de}_{desviación est!ndar de > :la}_{> :la variable independiente;}_{variable independiente;}

1óndeG 1óndeG

´´

Y

Y B es la media de 6 :la variable dependiente;. B es la media de 6 :la variable dependiente;.

´ ´

X

X B es la media de > :la variable independiente;. B es la media de > :la variable independiente;.

Ejemplo. Ejemplo.

8ecuerde el ejemplo de Copier Sales of America. Con el m$todo de los 8ecuerde el ejemplo de Copier Sales of America. Con el m$todo de los m5nimos cuadrados, determine una ecuación lineal que eprese la m5nimos cuadrados, determine una ecuación lineal que eprese la relación entre ambas variables. ICu!l es el n#mero esperado de relación entre ambas variables. ICu!l es el n#mero esperado de copiadoras vendidas de un representante de ventas que "izo 9& copiadoras vendidas de un representante de ventas que "izo 9& llamadasJ

llamadasJ 8espuesta. 8espuesta.

El primer paso para determinar la ecuación de regresión es encontrar la El primer paso para determinar la ecuación de regresión es encontrar la pendiente de la recta de regresión de m5nimos cuadrados. Es decir, se pendiente de la recta de regresión de m5nimos cuadrados. Es decir, se necesita el valor de b.

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9 9 b B b B

rr

((

SS y y S S_x_x

))

B &.H B &.H

((

14.337 14.337 9.189 9.189

))

B %.%K9B %.%K9

1espu$s necesita encontrar el valor de a. Para "acerlo, utilice el valor de 1espu$s necesita encontrar el valor de a. Para "acerlo, utilice el valor de b que reci$n se calculó, as5 como las medias del n#mero de llamadas de b que reci$n se calculó, as5 como las medias del n#mero de llamadas de ventas y del n#mero de copiadoras vendidas.

ventas y del n#mero de copiadoras vendidas. a B

a B Y Y

´´

) b ) b X X

´´

B KH R %.%K9 :99; B %.KQ B KH R %.%K9 :99; B %.KQ

As5, la ecuación de regresión es

As5, la ecuación de regresión es Y Y ^^ B %.KQ @ %.%K9>. Por lo tanto, B %.KQ @ %.%K9>. Por lo tanto,

si un vendedor "ace 9& llamadas, deber5a vender K9.Q(%Q copiadoras, si un vendedor "ace 9& llamadas, deber5a vender K9.Q(%Q copiadoras, n#mero que se determina por

n#mero que se determina por

^ ^

Y