Texto Portalio CD Libro

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Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida sin autorización escrita del editor, salvo en el caso de transcripciones breves incluidas en comentarios y críticas.

ISBN 958-9094-27-9

Editor tecnomundo editores Ltda..

Dirección General José Alberto Gómez Ceballos

Asesoría editorial Jaime Lopera G.

Creación Portada Luis Fernando Trujillo R.

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Para Gladys, fuente de fe y amor.

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CONTENIDO

Introducción vii

1. Variación porcentual 1

2. Conceptos y Variables básicas 17

3. Márgenes 39

4. Interés Simple 53

5. Interés compuesto 67

6. Tasas nominales y efectivas de interés y descuento 79

7. Anualidades 101

8. Anualidad vencida 111

9. Anualidad anticipada 135

10. Anualidad diferida 153

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vi

15. Bonos 221

16. Métodos de depreciación 239

17. Bienesraíces 259

18. Evaluación de descuentos 283

19. Cálculo de rentabilidad de Activos financieros 301

20. Costo del crédito 323

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Introducción

Este curso en formato VLS -Video, Libro y Software- tiene como propósito que usted aprenda a solucionar cualquier problema que implique cálculos de equivalencia financiera en el tiempo con una facilidad no imaginada.

El video le proporcionará a usted y a su grupo de colaboradores la información conceptual básica de manera clara y precisa.

Este libro conformado por veinte módulos le permitirá conocer a fondo los distintos tópicos. Cada uno de ellos esboza la importancia del tema; presenta la aplicación práctica del mismo y finaliza resumiendo la información básica: Líneas de tiempo equivalentes, fórmulas y definición de variables.

Bajo esta estructura se desarrollan los primeros dieciseis módulos; los cuatro finales están dedicados a contenidos de suma importancia en los negocios y en los cuales se aplica en forma intensiva el portafolio teórico y de formulación expuestos en los anteriores.

Tanto para el libro como para el programa, fue fundamental la síntesis conseguida en las formulas.

Este curso, no obstante presentar temas comunes a otros libros difiere sustantivamente de ellos por las innovaciones incorporadas. El software, por ejemplo ofrece:

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viii

2. Todas las conversiones posibles entre tasas de interés y descuento se sintetizaron en una sóla fórmula y en un sencillo procedimiento .

3. Los problemas de evaluación financiera cuentan con una práctica plantilla que permite estructurar con facilidad el flujo de fondos.

4. Se presentan 18 sistemas de amortización y otros tantos de Fondos de amortización que generan las tablas correspondientes.

5. Los problemas en cuyos enunciados aparezcan tasas con período distinto al período del plazo, el programa las convierte automáticamente.

6. Una robusta base de datos con cientos de ejercicios potenciados por la posibilidad de cambiar sus datos aleatoriamente y seleccionar la moneda de cada país.

Por todo lo anterior, estamos seguros de entregar un producto sin precedentes en la industria editorial que estimamos potenciará de manera significativa su autonomía y capacidad financieras de manera inmediata.

Muchas gracias por preferir nuestros productos y buena suerte en el aprendizaje y su aplicación.

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1

Variación

porcentual

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"Se aprenderá más acerca de un camino recorriéndolo que consultando todos los mapas del mundo"

Anónimo

E

n mi actividad como conferencista de matemática financiera, nunca

podré olvidar lo que aprendí del mundo real de los negocios gracias a las preguntas de los alumnos que asistían a mis seminarios. Muchos de ellos, con formación diferente a la financiera, acudían en busca de solucio-nes prácticas inmediatas acerca de sus problemas reales. Algunas pregun-tas eran de este tenor:

- Todos percibimos que invertir en bienes raíces es un excelente negocio, pero no sabemos cómo calcular el verdadero rendimiento de esas inversio-nes.

- Apareció un anuncio diciendo: “..traiga su dinero y se lo duplicaremos en 24 meses” ¿Qué tasa de interés reconoce ese anunciante para poder cum-plir lo prometido?

- Si hoy deposito un millón de pesos en un banco, ¿cuánto recibiré dentro de un año si me prometen reconocer una tasa de interés del 24 por ciento, mes vencido?

- ¿Por cuánto debo comprar una aceptación bancaria que vence dentro de 35 días, por valor de 10 millones, si considero que el rendimiento a obte-ner es del 3 por ciento mensual? (Algunos ni siquiera sabían lo que es una “Aceptación bancaria”.

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CONCEPTOS Y DEFINICIONES

Importancia práctica del tema

Este aparte constituye una puerta de acceso a la Matemática Financiera. Los aumentos y disminuciones de magnitudes son comunes en economía, administración y finanzas, su cálculo y las relaciones entre las diferentes variables que participan en este sencillo esquema son de gran utilidad al hombre de negocios en general.

Se utiliza para comparar los cambios en precios, en la devaluación, en la inflación y en los renglones de los estados financieros, entre otros muchos. Además, nos introduce en dos temas fundamentales a los propósitos de este libro: Márgenes e Interés.

Los siguientes enunciados ponen en evidencia la importancia del tema:

Devaluación frente al dólar

El precio del dólar aumentó de 409 a 540 en el plazo de 1 año, ¿Cuál es la tasa de devaluación en ese período?

Baja el precio del café

Se rompe el Pacto Cafetero. La libra de café cuyo precio era de US $ 0.95, cayó a $ 0.76 ¿Cuál es la tasa que refleja esa disminución de precio?

Disminuye la producción de petróleo

Se reduce la exploración de petróleo y la producción empieza a decaer. De 137.000 barriles de crudo diario producidos en 1998, se redujo a 116.450 en 1999 ¿Cuál es la tasa que refleja esa disminución en la producción?

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Inflación

Los precios de los bienes y servicios tienden a subir. Este fenómeno, en economía, técnicamente se denomina Inflación.

Aumento del Indice de precios

El índice de precios de los alimentos aumentó de 100 a 120 en el plazo de 12 meses, ¿Cuál fue el cambio o variación de precios en ese período?

Línea de tiempo

La representación gráfica de este hecho es la siguiente:

Observe que los valores representados por dos flechas, se han ubicado a los extremos y sobre una línea horizontal, dividida en un número (N) de períodos iguales (meses) que conforman el plazo.

Este tipo de ilustración en la cual se consigna la información de un problema de matemática financiera y su evolución en el tiempo se ha denominado tradicionalmente Línea de tiempo.

Valor Presente y Valor Futuro

Como se observa el índice inicial puede sugerir una denominación como

Valor Pasado, VP y el segundo índice una como Valor Final, VF. Que se

conviene en seguir denominando: Valor Presente y Valor Futuro, para acogernos a la convención más utilizada.

VP = 100

meses

VF = 120

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Variación, ∆

Se define como Variación cualquier cambio de magnitud que se pre-sente entre dos valores con el paso del tiempo. Se expresa con la letra griega ∆ (Léase Delta) y se encuentran en toda la actividad económica. Para nuestro ejemplo la variación se obtiene de restar el Valor Presente del Valor Futuro.

Fórmula ∆ = VF - VP

∆ = 120 - 100

∆ = 20

Variación por unidad

Si se divide la variación por el Valor Presente que constituye la base del aumento se obtiene la fracción que representa el aumento respecto a la unidad: ∆ VP= 20 100= 0.2 1

Es decir que los precios aumentaron 0.2 (dos décimas) por cada unidad del valor base. ∆ = 20 VP = 100 meses VF = 120 0 1 11 N = 12 ∆

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Variación porcentual, ∆%

El aumento de precios que se denominó inflación, se obtuvo de la diferencia entre el Valor Futuro y el Valor Presente.

El aumento ocurrió con base en el precio pasado de 100 lo cual nos permite afirmar que el incremento fue de 0.2 por cada unidad o 20 unidades por cada ciento (100), es decir del 20 por ciento, expresión que resumimos con el símbolo de porcentaje así: 20%. Esta se consti-tuye entonces en la medida porcentual del cambio ocurrido en el pe-ríodo que se denomina Variación porcentual y se representa con el símbolo ∆%. Fórmula ∆%= VF−VP VP ⋅100 ∆%=120−100 100 ⋅100 ∆%=20% ∆ = 20 VP = 100 meses VF = 120 0 1 11 N = 12 ∆ % = 20% ∆ ∆ %

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Tasa, t

Tasa significa Medida, porque proviene del verbo Tasar que significa Medir. La variación porcentual del 20% constituye entonces la medida del cambio de precios y se denomina Tasa de inflación ( _{t i}).

La tasa de cambio se obtiene entonces de dividir la variación (∆) por el Valor Presente, VP; y su expresión puede ser decimal o porcentual. La expresión decimal (0.2) es el número que se utiliza para los cálculos y la expresión porcentual (20%) es simplemente un símbolo que se utiliza para facilitar la interpretación de los problemas, pero que de ninguna manera puede utilizarse en cálculos porque no es un número.

El procedimiento sencillo para calcularlas es el siguiente:

1. Divida la variación por el Valor Presente

20 100 =0. 20

que se puede leer así: “El cambio en el período fue de 20 centésimas por cada unidad del precio original” o “El cambio en el período fue del 20% sobre el precio original”

Cuando encuentre en los problemas esta última expresión porcentual insistimos que para operar con ellas debe dividir previamente por 100. En adelante las tasas se simbolizarán con la letra, t , acompañada de un subíndice que indicará su condición de acuerdo al tópico tratado, así: devaluación, inflación, etc..

Para las tasas de interés y descuento tratadas en este libro se utilizará ∆ = 20 VP = 100 meses VF = 120 0 1 11 N = 12 t i = 20% ∆

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Factor de incremento, f

El factor de incremento lo constituye la unidad más la tasa y se puede obtener de dos maneras:

• Sumando la tasa a la unidad

factor = 1+ 0.20 = 1.20

• Dividiendo el Valor Futuro, VF, por el Valor Presente, VP.

f=120 100 f=1.20

Se denomina factor de incremento porque al multiplicar el Valor

Pre-sente por ese factor se obtiene el Valor Futuro

Podría decirse entonces que el Factor de Incremento es el Número de veces que cabe el Valor Presente en el Valor Futuro.

Si a este factor se le resta la unidad se obtendría nuevamente la tasa decimal de 0.2. VP = 100 meses VF = 120 0 1 11 N = 12 f = 1.2

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Factor de descuento, fD

El factor de descuento se obtiene dividiendo el Valor Presente, VP por el Valor Futuro, VF f_D=VP VF f_D=200.000 250.000 f_D=0.8

Este factor se utiliza para obtener el Valor Presente con base en el Valor Futuro. VP = 200.000

meses

VF = 250.000

0 1 11 N = 12 f_D= 0.8

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2. Proporcione la información: 1. Seleccione el

Botón:

∆%

Portafolio Financiero

Archivo Modalidades Formatos Ver Ayuda

✖

Hoja Electrónica ,. _ï_ïïï_ï ?

Simple Márgenes Compuesto Conversión Evaluación Amortización Bonos Fondos Depreciación %

↓↑

?

Variación Porcentual ✖

APLICACION

En economía, en múltiples oportunidades, se utiliza el concepto de

Variación porcentual, para medir el cambio entre dos variables, a

con-tinuación se exponen algunas de ellas:

Devaluación

En general, el valor de las monedas duras de los países desarrollados tiende a subir respecto al de la moneda nacional. Esta pérdida progre-siva de valor de la moneda de un país frente a otro técnicamente se denomina Devaluación.

Aumenta el precio del dólar

El precio del dólar aumentó de 409 a 540 en el plazo de 1 año, ¿Cuál fue la tasa de devaluación en ese período?

Línea 409 tab 540 VP = 409 meses VF = 540 0 1 11 N = 12 t _D = ?

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2. Proporcione la información: 1. Seleccione el Botón: Calcular 3. Calcule la respuesta: Respuesta: ∆% Portafolio Financiero

✖ Hoja Electrónica ,_. ïïïïï _? + 1/x % ÷ 7 5 9 x 4 8 6 1 2 3 o . = ← AC + Simple Márgenes Compuesto Conversión Evaluación Amortización Bonos Fondos Depreciación Interés Simple Valor Presente Recordar Cuota uniforme Borrar datos Tasa de Interés Calcular Nº Períodos Valor Futuro Decimales % ↓↑ ? √α Variación Porcentual ✖ Calcular ✔OK X Cancel i i i i i i i i i i Corrección monetaria En algunos países se emiten Títulos-Valores que ofrecen ajustar el va-lor de compra original a fin de conservar su vava-lor de compra constante con el paso del tiempo. Este ajuste se denomina Corrección Monetaria. Cálculo de la Corrección monetaria A finales de enero de 1996 la unidad de un título de valor adquisitivo constante se adquirió por 3.000; un trimestre después su valor era de 3.180, ¿Cuál fue la tasa de corrección monetaria en ese período? Titulo-Valor 3 000 tab 3 180 La tasa de Corrección Monetaria fue de 6% en el trimestre. VP = 3.000 trimestre VF = 3.180 0 1

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2. Proporcione la información: 1. Seleccione el Botón: Calcular 3. Calcule la respuesta: ∆% Portafolio Financiero

✖ Hoja Electrónica ,_. ïïïïï _? + 1/x % ÷ 7 5 9 x 4 8 6 1 2 3 ← AC + Simple Márgenes Compuesto Conversión Evaluación Amortización Bonos Fondos Depreciación Interés Simple Valor Presente Recordar Cuota uniforme Borrar datos Tasa de Interés Calcular Nº Períodos Valor Futuro Decimales % ↓↑ ? √α Variación Porcentual ✖ Calcular ✔OK X Cancel i i i i i i i i i i Cambio de precios Es muy común que los precios internacionales de los productos agropecuarios y las materias primas bajen; a continuación se exponen algunos casos. Baja el precio del café Se rompe el Pacto Cafetero. La libra de café cuyo precio era de US $ 0.95, cayó a $ 0.76 ¿Cuál es la tasa que refleja esa disminución de precio?

$

0. 95 tab 0. 76 VP = 0.95 periodo VF = 0.76 0 1 t % = ?

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✖ Hoja Electrónica ,_. ïïïïï _? + 1/x % ÷ 7 5 9 x 4 8 6 1 2 3 o . = ← AC + Simple Márgenes Compuesto Conversión Evaluación Amortización Bonos Fondos Depreciación Interés Simple Valor Presente Recordar Cuota uniforme Borrar datos Tasa de Interés Calcular Nº Períodos Valor Futuro Decimales % ↓↑ ? √α Variación Porcentual ✖ Calcular ✔OK X Cancel i i i i i i i i i i Disminuye la producción de petróleo

Se reduce la exploración de petróleo y la producción empieza a decaer. De 137.000 barriles de crudo diario producidos en 1998, se redujo a 116.450 en 1999 ¿Cuál fue la tasa que refleja esa disminución en la producción?

137 000 tab 116 450

( - 15% ) La producción de petroleo se redujo en 15% VP = 137.000

meses

VF = 116.450

0 1 11 N = 12 t % = ?

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2. Proporcione la información: 1. Seleccione el Botón: Calcular 3. Calcule la respuesta: ∆% Portafolio Financiero

✖ Hoja Electrónica ,_. ïïïïï _? + 1/x % ÷ 7 5 9 x 4 8 6 1 2 3 ← AC +

Simple Márgenes Compuesto Conversión Evaluación Amortización Bonos Fondos Depreciación

Interés Simple

Valor Presente Recordar Cuota uniforme Borrar datos Tasa de Interés Calcular Nº Períodos Valor Futuro Decimales % ↓↑ ? √α Variación Porcentual ✖ Calcular ✔OK X Cancel i i i i i i i i i i Variación en las ventas

Las ventas aumentan o disminuyen de un período a otro. Disminuye la venta de textiles

Las ventas de textiles al exterior fueron de US $ 12.500 millones en 1997. En 1998 disminuye-ron a US $ 10.000 millones ¿Cuál es la tasa que refleja esa disminución en las exportaciones de tejidos? 12 500 tab 10 000 VP = 12.500 meses VF = 10.000 0 1 11 N = 12 t % = ?

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✖ Hoja Electrónica ,_. ïïïïï _? + 1/x % ÷ 7 5 9 x 4 8 6 1 2 3 o . = ← AC +

Interés Simple

Valor Presente Recordar Cuota uniforme Borrar datos Tasa de Interés Calcular Nº Períodos Valor Futuro Decimales % ↓↑ ? √α Variación Porcentual ✖ Calcular ✔OK X Cancel i i i i i i i i i i

El concepto de Tasa de interés

Cuando se deposita dinero en una cuenta de ahorros es normal encon-trar que, periódicamente, el banco ha abonado sumas de dinero adi-cionales que se denominan Intereses

Tasa de interés de una Cuenta de ahorros

Se depositan 500.000 en una Cuenta de ahorros. Un año después esa cuenta presenta un saldo de 675.000, ¿Cual fue la tasa de interés anual que reconoció el Banco?

500 000 675 000

La tasa de interés que reconoció el banco fue de 35 % VP = 500.000

periodo

VF = 675.000

0 1 i % = ?

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INFORMACION BASICA

Variación, ∆

Es la diferencia entre el Valor Futuro y el Valor Presente. ∆ =VF−VP Variación porcentual, ∆%

Resulta de la relación entre la variación, ∆ , y el Valor Presente, VP.

∆%= ∆VP⋅100 Factor de incremento, f

Resulta de la relación entre el valor futuro, VF y el Valor Presente, VP. Puede definirse también como la suma de la unidad y la tasa expresada como decimal.

f= VF VP Factor de descuento, f Línea de tiempo Fórmulas 0 1 N - 1 N Valor presente, VP Número de períodos, N Valor Futuro, VF

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2

Conceptos y

Variables

básicas

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Ningún problema resiste el asedio del análisis perseverante

Voltaire

E

n alguna ocasión una aventajada joven ejecutiva recién graduada visi

taba concesionarios y Compra venta de vehículos para adquirir su pri-mer automóvil. Uno de los planes para financiarlo que le ofrecieron, con cuotas iguales, se asemejaba a los demás del mercado, excepto porque el trámite era muy simple frente al cúmulo de papeles y procedimientos habi-tuales.

-Tengo mis dudas, dijo y comedidamente me solicitó que lo evaluara. Utilicé la información: Valor a financiar, Valor de la cuota mensual y meses del plazo- para realizar los cálculos y resultó una tasa del 4.9% mensual. -No puede ser, respondió sorprendida, ellos afirman que la tasa de interés cobrada es del 3%. !

Revisamos el procedimiento que la compraventa utilizaba para obtener la cuota mensual y allí estaba la respuesta. Era muy simple y aparentemente válido.

Dividían el valor a financiar por los meses del plazo y obtenían los abonos a capital, luego a cada cuota le agregaban el interés mensual que resultaba de multiplicar el 3% por el total del crédito.

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CONCEPTOS Y DEFINICIONES

Este aparte constituye el umbral de entrada a la matemática financiera. Aquí el lector encontrará el vocabulario, las definiciones básicas y lo fun-damental del interés, con un enfoque eminentemente práctico. El lector no encontrará ninguna definición o concepto que no se encuentre incorporado a un caso de la vida diaria. Esa asociación hará la comprensión de los diferentes aspectos, mucho más sencillos.

Dinero

" Se considera dinero cualquier mercancía ampliamente aceptada como un medio de cambio y medida de valor en pago de bienes y servicios o como descargo de deudas y obligaciones.

El papel moneda actúa como dinero debido a que se acepta amplia-mente como valor de cambio.

Además el dinero actúa como una medida de pagos diferidos. Los indi-viduos que convienen en recibir el pago en fechas futuras, deben estar seguros de que el valor que recibirán entonces no será inferior al valor de la fecha de la transacción." ( 1 )

Ahorro

"Es el excedente de los ingresos sobre los gastos de las personas y las empresas. Los saldos se prestan a las personas o a las instituciones financieras y en general dichos préstamos se respaldan con títulos valores." ( 1 )

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Interés

Es la suma de dinero que se paga como costo por el dinero tomado en préstamo.

Es como la renta que se paga por un inmueble tomado en alquiler. El interés se representa con la letra, I

El valor del préstamo con las letras, VP

El valor futuro, es decir, el préstamo más el interés, se representa por las letras, VF

Cuando se deposita dinero en una Cuenta de ahorros o se constituye un Depósito a término, el establecimiento financiero reconoce y cance-la, periódicamente, sumas que se denominan Interés y que se calcu-lan con base en el valor de los depósitos.

Ejemplo Se depositan 500.000 en una Cuenta de ahorros. Un año después esa cuenta presenta un saldo de 675.000, ¿Cual fue el Interés ganado por el dinero depositado?

Fórmula I = VF - VP 0 N = 1 VP = 500.000 I = ? año VF = 675.000

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Tasa de interés

La tasa de interés es la "unidad de medida periódica" que se utiliza para calcular el interés. Se expresa como una porción de cada unidad prestada o la porción de cien unidades prestadas.

El dos por ciento mensual ( 2% ) se expresa: i m = 2%

Período de la tasa de interés

Las tasas de interés siempre se encuentran acompañadas del período para el cual se aplica. Son anuales, trimestrales, semestrales, men-suales, según el caso.

El símbolo que las representa se acompaña de un subíndice que seña-la ese período, así:

i_a , Tasa de interés anual i_s , Tasa de interés semestral it , Tasa de interés trimestral ib , Tasa de interés bimestral i_m , Tasa de interés mensual i_q , Tasa de interés quincenal id , Tasa de interés diaria ip , Tasa de interés periódica.

Frecuencia de la tasa en el año, f

El período de la tasa sugiere de inmediato la frecuencia o numero de veces que puede repetirse la tasa en el año. Resulta de dividir los días del año por los días del período, Así: una tasa mensual, sugiere una frecuencia de 12 veces en el año (360/30); una tasa trimestral sugiere una frecuencia de 4 veces en el año (360/90)

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Tasa de descuento

Es la tasa de interés cobrada por anticipado.

El dos por ciento de descuento mensual ( 2% ) se expresa:

d m = 2%

Para los propósitos de este libro, tanto las tasas de interés como de descuento, en conjunto, se expresarán por el símbolo t ; pero cuando se refiera a interés se reemplazará por i y cuando se refiera a descuen-to por d.

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Tasas efectivas y tasas nominales de interés y descuento Tasa efectiva

La tasa periódica con la cual se calcula la suma que efectivamente se debe pagar como interés por el dinero tomado en préstamo se denomi-na tasa efectiva periódica.

Las tasas efectivas pueden tener cualquier periodicidad y se expresan con una t acompañadas del subíndice que denota el período, así: t p

Tasa nominal

Son tasas anuales que resultan de multiplicar las tasas efectivas por la frecuencia de su período en el año. Se expresan con una t

Ejemplo ¿A qué tasa nominal corresponde una tasa efectiva del 2% mensual? t = 2 % x 12

t = 24 %

Es decir, que tasa efectiva del 2% por mes (mensual) se puede expresar como una tasa anual del 24% y se escribe 24% m.v. (léase, 24% anual, mes vencido). Es decir se precisa como debe liquidarse y pagarse, para que no existan equívocos. Porque no es lo mismo pagar los intereses mensuales, trimestrales o semestrales.

Recuerde • Las tasas nominales de interés o descuento siempre son anuales. • Las tasas efectivas periódicas de interés o descuento son las tasas de cálculo

La tasa de interés efectiva anual como medida del costo del crédito y rendimiento de las inversiones.

Se ha generalizado el uso de la tasa de interés efectiva anual como medida del costo del crédito y también como medida de rentabilidad de las inversiones. Es por eso que los organismos de control fijan topes

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La tasa de interés de equivalencia, tie Equivalencia significa igualdad en valor.

Quien presta dinero debe asegurar que el dinero entregado conserve por lo menos el poder adquisitivo con el paso del tiempo. Es decir, que el dinero de hoy sea equivalente al dinero en el futuro. Con ese propó-sito mínimo fija una tasa de interés para sus operaciones de crédito, de tal forma que reciba una suma mayor en el futuro que asegure un valor equivalente a la suma que entrega hoy.

Esta tasa se denomina tasa de interés de equivalencia.

Por consiguiente, podemos definir la tie como la "tasa de interés por la cual el ahorrador o inversionista estará dispuesto a entregar su dinero en préstamo o a invertirlo porque él considera que lo conservará equi-valente durante el plazo de colocación o la vigencia de la inversión" La tie es diferente para cada ahorrador o inversionista puesto que cada quien posee información y oportunidades diferentes.

Los establecimientos de crédito por ejemplo fijan las tie para cada una de sus líneas de crédito teniendo en cuenta el costo de los fondos, y el margen de intermediación deseado. Con base en ella diseñan los dife-rentes sistemas de amortización para otorgar los créditos.

Tasas de interés equivalentes

En general, en las operaciones de préstamo el período de la tasa de interés no coincide con el período del plazo del préstamo y se hace necesario convertir la tasa dada a otra tasa equivalente cuyo período sea el período del plazo antes de proceder a solucionar el problema.

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Líneas de tiempo equivalentes

Todo crédito implica desembolso en la entrega y pagos en la cancela-ción. Este flujo de ingresos y egresos se debe representar con ilustra-ciones para facilitar su comprensión y solución.

La figura siguiente ilustra, sobre el lado izquierdo, el depósito de un ahorrador en su cuenta de ahorros; sobre el lado derecho, el retiro de intereses más el reembolso de su dinero al culminar el año.

Observe en la representación anterior bautizada Líneas de tiempo equivalentes que: 1. Se han dispuesto dos líneas horizontales identificadas en su parte inferior por igual número

de períodos con el rótulo "meses" De esta manera se representa el plazo del préstamo. 2. El dinero depositado se representa sobre la línea del lado izquierdo con una flecha y las

sumas que se retiran se encuentran sobre la otra línea representados también por flechas pero de sentido contrario.

3. Entre las dos líneas se encuentra la tasa de interés, ubicada sobre la flecha de doble sentido que representa el l símbolo de equivalencia.

4. Los pagos se encuentran representados por 12 flechas iguales que denominaremos "Cuo-ta uniforme" o técnicamente anualidad.

5. Al final del plazo se ubica una cuota mayor que corresponde a la devolución del capital y denominaremos en adelante "Cuota global"

VP = 1'000.000 C g = 1' 000.000 i m = 2 % C = 20.000 Meses 0 1 11 12 0 1 11 12

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Modalidades de pago en los préstamos

La cancelación de los préstamos se puede convenir de dos maneras: con una sola cuota o con varias. Cuando se decide que sean varias, estas pueden ser iguales o variables.

Sobre la línea del lado izquierdo se ubica el valor del préstamo; sobre la línea del lado derecho los valores con los cuales se cancelará.

0 1 0 1 períodos VP Lp VF 0 1 N-1 N 0 1 N-1 N VP i _p períodos C 0 1 N - 1 0 1 N - 1 VP i _p C N N períodos C _g Cuota única Cuotas iguales Cuotas iguales más cuota global

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Modalidades de depósitos en los ahorros

Así como ocurre con los pagos en los créditos, ocurre con los depósitos cuando se ahorra: puden ser de una sola cuota o de varias; y estas también pueden ser iguales o variables.

Del lado izquierdo se ubican las sumas que el ahorrador presta o depo-sita en el establecimiento bancario; del lado derecho el capital más los intereses acumulados que devuelve la institución financiera.

VF C 0 1 N - 1 N 0 1 N - 1 N i _p períodos 0 1 N - 1 0 1 N - 1 N N períodos C ₁ C N i p VF i ∆ 0 1 0 1 períodos VP Lp VF Cuota única Cuota uniforme Cuota variable

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Variables fundamentales

En la mayoría de operaciones de préstamo participan cinco magnitudes que se proporcionan al programa a través de igual número de botones identificados por rótulos que hacen referencia a cada una de ellas.

Representa el valor del préstamo. Corresponde al valor que expresa el plazo

A través de este botón se proporciona la tasa nominal o efectiva que se conviene para la operación. .

Valor de la cuota que conforma una serie de cuotas iguales A través de este botón se proporciona algunas veces el Valor futuro en operaciones de ahorro y otras veces la Cuota Global para cancelar un préstamo amortizado con cuotas iguales

Nomencaltura utilizada en las Líneas de tiempo equivalentes y en las fórmulas

VP Valor Presente VF Valor Futuro

C Valor de la cuota uniforme

i_p Tasa de interés periódica f Frecuencia anual de la tasa n Número de años

p Frecuencia anual de la cuota

N Numero total de períodos o cuotas N' Periodos Diferidos Cg Cuota global k = 0 Si la anualidad es vencida k = 1 Si la anualidad es anticipada Valor Presente Nº de Períodos Tasa de interés Cuota uniforme Valor Futuro

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Valor Presente, VP Es el valor del préstamo

Valor Futuro, VF

Es la suma del Valor Presente y el Interés.

Cuota uniforme, C

Es el valor que identifica una serie de cuotas iguales.

Cuota Global

La cuota global es una cuota mayor o menor que el valor de la cuota de la anualidad y siempre está asociada con esta.

0 1 35 N = 36 meses C = 458.000 0 1 N - 1 N = ? Cuota global Cuota uniforme período

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Períodos del Plazo, N

El plazo de una operación financiera es el tiempo que se acuerda per-manecerá el dinero en préstamo. Se compone de períodos referidos al año. El período -que puede ser mes, trimestre, semestre, etc- se con-viene de acuerdo a las necesidades del ahorrador o las exigencias del prestamista.

En general el número de períodos del plazo, N, se define como la fre-cuencia de períodos en el año, p , multiplicado por el número de años del plazo, n.

Ejemplo El crédito de un vehículo se acuerda cancelar durante tres años por medio de cuotas mensua-les (12 por año) de 500.000. El período en este caso es el mes y el plazo, N , expresado en meses será de 36.

Otras variables relacionadas con el plazo

Otras variables a tener en cuenta relacionadas con el plazo son:

N' Es el plazo que se difiere el inicio de una serie de cuota igual y durante el cual, en general, se cancelan intereses y no se realizan abonos a capital.

0 1 35 N = 36 500.000

Período

Plazo Mes

(39)

n_a Número de anualidades durante el plazo. (Anualidad es una serie de cuotas iguales)

n' Número de cuotas de cada una de las anualidades de un crédito cuya cuota aumenta o disminuye entre anualidades.

0 1 179 180 0 1 179 180 meses VP = 1.000.000 ∆ % = 15 i p = 26% M.V. n_a , Número de anualidades n'

(40)

Interés

Como se explicó el interés, en principio, se concibió para liquidarse y/ o cancelarse al culminar los períodos del plazo. A este interés se deno-mina Interés vencido ( que es una redundancia). Las tasas nodeno-minal y efectiva para calcularlo se identifica con los símbolos:

i, Cuando la tasa es nominal. ip , Cuando la tasa es efectiva

Descuento

Cuando el interés se liquida y/o cancela al iniciar los períodos del plazo, se le denomina interés anticipado o Descuento. Las tasas nomi-nal y efectiva para calcularlo se identifican con los símbolos:

d, Cuando la tasa es nominal. dp , Cuando la tasa es efectiva

0 1 11 N = 12 I = 200 meses D = 200 I = 10.000 x 2% I = 200 D = 10.000 x 2%

(41)

Relación entre el Interés y el descuento

Ejemplo Un Banco otorga crédito ordinario por 2.000.000 a una empresa industrial, pero sólo desembol-sa 1'820.000, porque cobra el interés del trimestre de modo anticipado. ¿Cuál fue el valor del descuento y cuales las tasas de descuento e interés.?

Descuento En este caso el descuento de 180.000 resulta de restar el Valor Presente del Valor futuro.

Tasa de

descuento La tasa de descuento trimestral se obtiene de dividir la suma del descuento por el valor nominal del crédito .

Tasa de interés La tasa de interés trimestral se obtiene de dividir la suma del descuento por la suma recibida por el cliente. . D = 180.000 1.820.000 d_t = 180.000 / 2.000.000 d_t = 0.09 ó 9 % 0 1 2 N = 3 VP = 1.820.000 meses VF = 2.000.000 0 1 D = 180.000 trimestre VF = 2.000.000 i_t = 180.000 / 1.820.000

(42)

Relación entre la tasa de interés y la tasa de descuento

De este resultado podemos concluir que una tasa de interés

anticipa-do (descuento) corresponde a una tasa de interés mayor. Para el

ejem-plo la tasa de descuento de 9% equivale a una tasa de interés del 9.89%. Es decir, cuando un establecimiento de crédito estipula una tasa de interés anticipado (Descuento) es una manera de cobrar una tasa de interés más alta.

El descuento tratado en este ejemplo es el que en el lenguaje financiero se denomina descuento bancario.

El ejemplo también nos sirve para percatarnos que en la Matemática Financiera los problemas pueden plantearse con tasas de interés o tasas de descuento y ambas pueden ser nominales o efectivas.

Tasa nominal de descuento = 9 % x 4 d = 36 % t.a. Tasa nominal de interés = 9.89 % x 4

i = 39.56 % t. v.

Este hecho nos permite exponer el siguiente principio:

Concordancia del período de la tasa con el período del plazo

Principio Todos los problemas de la matemática financiera se solucionan con tasas efectivas de interés, excepto los problemas de cálculo de descuento. Y el período de esa tasa de cálculo debe coincidir con el período en que se halla dividido el plazo de la operación financiera.

(43)

Categorías del interés y del Descuento

El interés y el descuento, en general, se conocen bajo dos categorías: Interés y Descuento compuestos e Interés y Descuento Simples. En las operaciones financieras en lo que se refiere al manejo de los intereses, existen dos opciones: Que el ahorrador retire los intereses en cada período o que decida agregarlos al capital a medida que se van causando, para retirarlo todo al final.

Capitalización o Reinversión de intereses

El proceso de agregación de los intereses al capital se denomina Capi-talización , es decir que los intereses se reinvierten para convertirlos en capital.

Del concepto de capitalización surge el concepto de interés compuesto.

Los intereses se agregan al capital a medida que se causan

Los intereses se retiran a medida que se causan VP período 0 1 N - 1 N 0 1 N - 1 N Interés, I VF VP 0 1 N - 1 N 0 1 N - 1 N Interés, I VF Interés Compuesto Interés Simple

(44)

Importancia de las Líneas de tiempo equivalentes

Las líneas de tiempo equivalentes son, en esencia, un método gráfico para solucionar los problemas de equivalencia financiera.

Su importancia se fundamenta en las ventajas que en este aspecto ofrece sobre la línea de tiempo tradicional. Ellas son:

• Permiten representar la equivalencia financiera cuando se toma la decisión de invertir dinero hoy a cambio de ingresos futuros.

• Permiten separar los ingresos de los egresos y visualizar de manera clara la equivalencia y la solución en los problemas de Cálculo de

rentabilidad de activos financieros, Cálculo del costo de créditos y los

problemas de Evaluación financiera.

En este caso el principio de equivalencia se enunciaría así: Los Ingresos

y Egresos con diferentes posiciones sobre cada una de las líneas de tiempo, son equivalentes si, al calcular los valores presentes de ambos, con la misma tasa de interés, resultan iguales.

• Aclaran la presentación de las variables y de la incognita lo que no ocurre con los enunciados tradicionales atiborrados de información confusa.

Pasos para la Construcción de las líneas de tiempo equivalentes

El procedimiento para la construcción de las Líneas de Tiempo Equivalentes es el siguiente:

(45)

En la asignación de los números de los períodos es pertinente aclarar : a. La iniciación de la línea de tiempo, que coincide con la iniciación del primer período, debe marcarse con el cero, y

b. Cuando el número de períodos es muy grande, se fraccionará la línea de tiempo poniendo puntos suspensivos a la mitad de ella y solo aparecerán dos períodos: el comprendido entre 0 y 1 y el comprendido entre, N - 1, y N. Siempre y cuando, en los puntos intermedios, no se presente algún ingreso o egreso.

2. En la parte alta, sobre la flecha que representa la equivalencia, se colocará la tasa efectiva periódica que hace equivalentes los ingresos y los egresos.

período

0 1 N - 1 N 0 1 N - 1 N i p %

3. Se ubican los ingresos y los egreso en los períodos que corresponda, distinguiédolos con flechas de sentido contrario.

período

0 1 N - 1 N 0 1 N - 1 N Cuota uniforme

C g i p %

4. Colocados los valores conocidos en el dibujo , se define cuál es la incógnita y de esta manera queda solucionado el problema gráficamente.

(46)

(47)

3

(48)

“Nada reemplaza al trabajo duro” Thomas A. Edison

R

ecién que me iniciaba como editor decidí participar en una feria

internacional del libro.

Un personaje importante en el comercio del libro a plazos se acercó al stand y solicitó en tono imperativo el precio al público y el precio al mayorista de mis productos. Luego me dijo, sin rodeos, que se interesaría en hacer nego-cios conmigo si le otorgaba el 75 por ciento de descuento, un plazo mínimo de seis meses y como garantía debía conformarme con sus referencias co-merciales porque las cartas de crédito le resultaban costosas.

Como se trataba de una exportación, me solicitó además precios CIF, que implicaba remisión con seguro y transporte cancelados. Bajo estas condi-ciones y como el libro no paga arancel, él solo invertiría en el IVA al momen-to de nacionalizar.

Quedé desconcertado; no era para menos. Pero mi sorpresa fue mayor cuan-do descubrí que el "Margen sobre el precio" del 75 por ciento , que él me exigía, en realidad equivalía a un "Margen sobre el costo" del 300 por cien-to.

En otras palabras, si él me favorecía con un pedido yo lo financiaría duran-te seis meses y él recibiría 300 por cada 100 dólares del valor total de la operación.

(49)

in-CONCEPTOS Y DEFINICIONES

El tema de los Márgenes es fundamental en las negociaciones entre empre-sas industriales, comerciales y de servicio.

Los industriales a veces fijan el precio al público y con base en él otorgan descuento a sus distribuidores; otras veces les venden a un precio base a fin de que ellos fijen el precio al público que estimen prudente. En el primer caso se trabaja con el concepto "Margen sobre el precio", en el segundo con el de "Margen sobre el costo".

Con el contenido de este capítulo se podrán evaluar las ofertas y se podrán formular propuestas con base en el cálculo de márgenes, precios y costos. Los siguientes enunciados ponen en evidencia la importancia del tema:

Cálculo del Margen

Se compran relojes a 85.000 y se decide venderlos a 136.000 .¿Cual es el Margen sobre el costo ?

Fijar precios con base en el Margen bruto

Se compran relojes a 85.000 y se decide venderlos de tal manera que se asegure un Margen sobre el precio de 50% ¿Cual debe ser el Precio de venta?

Cálculo del Costo

La industria editorial, en general, otorga a sus clientes descuentos del 70%, ¿Cual debe ser el Costo para quien vende a plazos si se estima que el Precio de venta puede ser de 300 dólares? Fijar precios

Se adquieren artículos de oficina a un Costo de 25.000 , los cuales se piensan mercadear con un 40% de Margen sobre el costo ¿Cual será el Precio de venta de tales productos?

(50)

Costo

En el comercio, Costo es la suma que paga el comerciante por la mer-cancía que adquiere.

Precio

Es la suma que debe pagar el cliente como valor por la mercancía que adquiere del intermediario.

Descuento

Para este caso es la diferencia entre el Precio y el costo. Descuento al por mayor

Un comerciante adquiere un artículo a un costo de 5.400. El precio de venta al público fijado por el fabricante es de 9.000. ¿Cual es el valor del descuento que obtiene el comerciante?

Fórmula D = Precio - Costo

Se reemplaza D = 9.000 - 5.400 D = 3.600

Como se puede observar la variación entre el Precio y el Costo constituye el descuento que recibe el comerciante.

Costo = 5.400 Precio = 9.000 D = ?

(51)

Márgenes

El descuento que recibe el comerciante puede compararse frente al costo o puede compararse frente al precio. En el primer caso se obtiene el Margen sobre el costo y en el segundo se obtiene el Margen sobre el

precio.

Margen sobre el costo, Mc

El Margen sobre el costo se obtiene con la fórmula de la variación porcentual. Fórmula MC= D Costo⋅100 Se reemplaza, M_C=3.600 5.400⋅100 M_C=66.67%

Que equivale a lo que ganaría el comerciante sobre su inversión. Es decir es Margen sobre el Costo es idéntico a la Tasa de interés que obtendría por su dinero.

Costo = 5.400 Precio = 9.000 M_C = ?%

(52)

Margen sobre el Precio, MP

El Margen sobre el precio se obtiene comparando la variación o el des-cuento frente al precio.

Fórmula MP= D Pr ecio⋅100 Se reemplaza, M_P=3.600 9.000⋅100 M_P=40%

El Margen sobre el precio equivale al descuento que otorga el fabricante al comerciante. De aquí podríamos concluir que un interés del 66.66% equivale a un descuento del 40%.

Costo = 5.400 Precio = 9.000 M_P = ?%

(53)

3. Proporcione la información: 1. Seleccione Modulo: Calcular Márgenes 2. Limpie memorias, _Margen/Costo Margen/Precio Precio Costo 4. Calcule la respuesta: Borrar Datos Respuesta: Portafolio Financiero

Márgenes % ↓↑ ? √α Margen/Costo Recordar Margen/Precio Borrar datos Precio Venta

Calcular Costo

Decimales APLICACION

El tema plantea cuatro tipos de problema de acuerdo a la variable que queramos calcular.

Cálculo del Margen sobre el Costo

Se compran relojes a 85.000 y se decide venderlos a 136.000 .¿Cual es el Margen sobre el costo ?

85 000 136 000

Margen/Costo

El Margen sobre el costo es del 60 %

Costo = 85.000 Precio = 136.000 M_C = ?

(54)

3. Proporcione la información: 1. Seleccione Modulo: Calcular Márgenes 2. Limpie memorias, _Margen/Costo Margen/Precio Precio Costo 4. Calcule la respuesta: Borrar Datos Portafolio Financiero

Calcular Costo

Decimales Cálculo del Margen sobre el Precio

Se compran relojes a 85.000 y se decide venderlos a 136.000 .¿Cual es el Margen sobre el Precio ? 85 000 136 000 Margen/Precio Costo = 85.000 Precio = 136.000 M_P = ?

(55)

Calcular Costo

Decimales Cálculo del Costo conocido el Precio y el M_C

La Librería Panamericana recibe oferta de libros cuyo precio de venta al público será de 20.000 por unidad . ¿Cual es el costo máximo que debe pagar la librería si su política de compras establece que su Margen sobre el Costo debe ser del 60% ?

20 000

60

Costo

El Costo debe ser de 12.500

Costo = ? Precio = 20.000 M_C = 60%

(56)

Calcular Costo

Decimales Cálculo del Precio conocido el M_C

Se adquieren artículos de oficina a un costo de 25.000 , los cuales se piensan mercadear con un 40% de Margen sobre el costo ¿Cual será el Precio de tales productos?

25 000

40

Precio Costo = 25.000 Precio = ?

(57)

Calcular Costo

Decimales Cálculo del Costo conocido el M_P

La industria editorial, en general, otorga a sus clientes descuentos del 70%, ¿Cual debe ser el Costo para el placista (quien vende a plazos) si se estima que el Precio al público puede ser de 300 dólares?

300 70

El Costo para el distribuidor es 90

Costo

Costo = ? Precio = 300

(58)

Calcular Costo

Decimales Cálculo del Precio conocido el M_P

Se compran relojes a 85.000 y se decide venderlos de tal manera que se asegure un Margen sobre el precio de 50% ¿Cual debe ser el Precio de venta?

85 000 50

Precio Costo = 85.000 Precio = ?

(59)

Margen sobre el Costo, M c

Expresión porcentual que resulta de dividir la Variación, ∆ , por el Costo, C

Margen sobre el Precio, M_p

Expresión porcentual que resulta de dividir la Variación, ∆ , por el Precio, P.

Factor de incremento, f

Resulta de dividir el Precio por el Costo.

f= Pr ecio

Costo Factor de descuento, f_D

Resulta de dividir el Costo, por el Precio .

f =Costo Fórmulas Línea de tiempo MC= Pr ecio−Costo

(

)

100 Costo MP= Pr ecio−Costo

(

)

100 Pr ecio Costo, C Precio, P ∆ = P - C ∆

(60)

(61)

4

Interés

Simple

(62)

"Un optimista ve una oportunidad en cada calamidad”

Churchill

C

omo consultor de una empresa, me correspondió ofrecer una fórmula

excepcional a un instituto de fomento para cancelar una obligación de crédito en mora.

– Estamos dispuestos a cancelar el total de la obligación, propuse, si nos condonan los intereses pendientes de pago.

Al gerente financiero no le gustó para nada la propuesta. Mi oferta de pagar de inmediato la suma de dos millones, a cambio de condonar los intereses que ascendían a doscientos cuarenta mil, debía ser consultada con la junta directiva que autorizaba este tipo de operaciones. Las posibilidades de una reunión de la junta eran lejanas, pero el cobro jurídico se insinuaba inmi-nente.

Las circunstancias exigían una solución inmediata. A marchas forzadas, consulté la tasa de interés que me reconocerían en una corporación financie-ra y reelaboré la propuesta. Volví a entrevistarme con el financiero. —Muy bien, le dije: estamos en condiciones de pagar el doble de los intere-ses, pero nos otorga un año más de plazo para pagar la suma adeudada. –¿Cómo garantizaría este pago?, repuso el gerente denotando interés. –Con un certificado de depósito a término, a ese plazo, añadí.

(63)

Este tema tiene poca importancia para los especialistas, pero seguirá siendo de gran utilidad para la gente común, quienes de alguna manera deben realizar sus cuentas con procedimientos sencillos, y aunque sus cálculos no resulten exactos les permiten formarse una buena idea de la operación fi-nanciera que realizan y continuar haciendo negocios.

No obstante, algunas instituciones bancarias lo utilizan en el cálculo de los intereses por sobregiros.

Los siguientes enunciados señalan aplicaciones del tema:

Intereses de un CDT

Retiro periódico del intereses en los Certificados de Depósito a Término de un Banco Comer-cial

Plazo de emisión de un bono

La empresa Noel emitió bonos, que reconocen una tasa de interés del 23% anual y liquidación mensual de interés. Si María Cristina compró un bono de 5.000 y obtuvo 5.750 por concepto de interés en todo el plazo, ¿Cuál fue el plazo de emisión, en años, del bono?

(64)

Certificados de Deposito a término

Los certificados de depósito a término son títulos expedidos por las instituciones financieras y entregados a los ahorradores cuando ellos depositan su dinero a un plazo fijo que los acredita como propietarios de ese dinero. Las condiciones del depósito como plazo, tasa de interés, forma de liquidación de los intere-ses están contenidas en ese documento.

Retiro periódico del interés

Sara y Carlos deciden constituir, cada uno por su lado, depósitos a término por la misma suma (100) , en el mismo banco , a la misma tasa de interés (2.5% mensual), el mismo día y al mismo plazo (tres meses). Pero, con una sola diferencia, Sara necesita retirar los intereses cada mes y Carlos decide reinvertirlos para retirarlos al culminar el plazo.

Cuando concluye el plazo, frente al funcionario liquidador, ambos verifican que Carlos recibe por los tres meses 7.69 de intereses y Sara, solamente 7.5 , que resulta de sumar lo que recibió en cada uno de los meses, ¿por qué?

Lo primero que debe dejarse en claro es que el banco aplica para ambos la misma tasa pero sobre el saldo que tenga cada uno al momento de la liquidación, así:

Sara recibe 2.5 cada mes porque la tasa se aplica siempre sobre el mismo valor:

Interés periódico 0 1 2 N = 3 0 1 2 3 Valor depósito = 100 _i m = 2.5% meses I = 2.5 Líneas de tiempo equivalentes

(65)

Interés del plazo

El interés recibido al cabo de los tres meses es,

Intereses del plazo = N x I Intereses del plazo = 3 x 2.5 Intereses del plazo = 7.5

Valor total recibido

Valor total recibido = 100 + 7.5

Como se observa se calculan los intereses multiplicando el interés pe-riódico por el número de períodos y el Valor futuro sumando los intere-ses al Valor Presente.

Con ayuda de este sencillo ejemplo se han desarrollado los cálculos bajo la modalidad de interés simple que podemos definirlo como sigue.

Interés simple

Es el concepto que define el retiro periódico de los intereses causados en cada período. Por esta circunstancia, las operaciones que derivan de este hecho se reducen a simples multiplicaciones y divisiones, como se apreció en el ejemplo precedente.

En las páginas siguientes se ilustra la solución de cada uno de los problemas posibles con ayuda del programa.

(66)

3. Proporcione la información: 1. Seleccione Modulo: Calcular Simple 2. Limpie memorias, Valor Futuro Valor Presente Interés Tasa de interés Nº de Períodos 4. Calcule la respuesta: Borrar Datos Portafolio Financiero

Interés Simple

Valor Presente Recordar Interés Borrar datos Tasa de Interés

Calcular Nº Períodos Valor Futuro Decimales % ↓↑ ? √α APLICACION

Cálculo del Interés

Intereses de los Certificados de Depósito a Término -CDTs

Carlos hace un depósito a término de US $ 5.000, por 6 meses, en el Banco Andino que le reconoce una tasa de interés de 8% trimestral, con retiro de interés cada trimestre. ¿Qué inte-rés recibe Carlos? 2 8 5 000 5 000 Interés Líneas de tiempo equivalentes 0 1 N = 2 VP = 5.000 5000 i t = 8% trimestre I = ? 0 1 N = 2

(67)

3. Proporcione la información: 1. Seleccione Modulo: Calcular Simple 2. Limpie memorias, Valor Futuro Valor Presente Interés Tasa de interés Nº de Períodos 4. Calcule la respuesta: Borrar Datos Respuesta Portafolio Financiero

Interés Simple

Calcular Nº Períodos Valor Futuro Decimales % ↓↑ ? √α

Cálculo de la Tasa de interés

Certificados de depósito a término en una corporación financiera.

Por un deposito de 500.000, la Corporación Financiera de Occidente liquida 10.000 de interés mensual, durante dos meses. ¿Qué tasa de interés reconoce dicha corporación para ese período?

2% es la tasa mensual reconocida por la C.F.O.

2 10 000 500 000 500 000 Tasa de interés Líneas de tiempo equivalentes _{0 1 N = 2} _{0 1 N = 2} VP = 500.000 I = 10.000 meses i m = ? %

(68)

Interés Simple

Cálculo del Valor Presente

Cuentas de ahorro en los Bancos comerciales

La sección de ahorros del Banco Popular liquida el interés a sus clientes, sobre saldos en trimestre calendario y reconoce una tasa de interés del 5.25% trimestral. Si Luz Myrian recibió 600 de interés en el trimestre, ¿Qué suma depositó?

1 5.25 600 Valor Presente Líneas de tiempo equivalentes 0 1 0 1 VP = ? I = 600 trimestres i _t_{= 5.25%}

(69)

3. Proporcione la información: 1. Seleccione Modulo: Calcular Simple 2. Limpie memorias, Valor Futuro Valor Presente Interés Tasa de interés Nº de Períodos 4. Calcule la respuesta: Borrar Datos Respuesta Portafolio Financiero

Interés Simple

Cálculo del Número de períodos Años de redención de un bono

La empresa Noel emitió bonos, que reconocen una tasa de interés del 23% anual y liquidación mensual de interés. Si María Cristina compró un bono de 5.000 y obtuvo 5.750 por concepto de interés en todo el plazo, ¿Cuál fue el plazo de emisión, en años, del bono?

Sesenta meses o cinco años es el plazo de redención del bono. 23 5 750 5 000 Nº de Períodos Líneas de tiempo equivalentes 0 1 N - 1 N = ? 0 1 N - 1 N = ? VP = 5.000 i = 23 % M.V. meses I = 5.750

(70)

Interés Simple

Cálculo del Valor Futuro Cancelación de una deuda

Cuánto dinero se recibirá al cabo de cinco años por una deuda de 500.000 , que reconoce una tasa de interés del 24% anual ?

5 24 500 000 Líneas de tiempo equivalentes 0 1 4 0 1 4 VP = 500.000 i _a_{= 24 %} N = 5 N = 5 años VF = ? Valor Futuro

(71)

Interés simple exacto y ordinario

El año tiene 365 días, el año bisiesto 366 días y el comercial 360. El día se considera como 1/ 365 de año y 1/366 de año bisiesto.

Cuando se desea calcular el interés simple exacto, para fracciones de año, debe utilizarse como divisor el número real de días del año. O sea que el período N, como una fracción de año, se calcula según el caso así:

dc / 360 ; dc / 365 ; dc / 366

donde, dc , representa el número de días transcurridos entre fechas.

Bajo esta condiciones, el interés simple, se denomina ordinario para el primer caso y exacto para los dos segundos.

(72)

3. Proporcione la información: 1. Seleccione Modulo: Simple 2. Limpie Interés Tasa de interés Nº de Períodos Portafolio Financiero

✖

Hoja Electrónica ,_. ïïïïï _?

%

↓↑

?

Cálculo del interés ordinario

Sobregiros y Descubiertos

Los sobregiros o descubiertos son modalidades de crédito transitorio cuyo otorgamiento es eventual. Tienen como objetivo incentivar, con este mecanismo de reciprocidad, a los mejores clientes y estimular la apertura de cuentas corrientes.

Costo de un Sobregiro

Si se otorga un sobregiro por 500.000, por 8 días y la tasa de interés es de 48% anual, ¿Cuál es el interés cobrado, que representa el costo del sobregiro?

Líneas de tiempo equivalentes 8 48 0 1 7 0 1 7 VP = 500.000 i = 48 % N = 8 N = 8 días I = ?

(73)

I= VP⋅ip⋅N VF= VP+I VF=VP 1

(

+ip⋅N

)

Valor presente, VP

Es el valor que se entrega en préstamo, se denomina Principal o Capital.

Valor futuro, VF

Resulta de sumar el Valor presente y el Interés. que se recibe durante el plazo.

Tasa de interés periódica, i_p

Es la tasa de interés efectiva convenida en la operación financiera, que se utiliza para calcular el INTERES y cuyo período debe concordar con el período del plazo.

Número de períodos del plazo, N

Es el plazo de la operación expresado en períodos.

Líneas de tiempo equivalentes Fórmulas Definición de variables

Para períodos inferiores a un año, N= dc

d_a

Donde, d_c, Días corrientes da= 360, 365, 366

0 1 N - 1 0 1 N - 1

Valor del préstamo, VP

tasa de interés, i _p_% Interés, I

N N

Valor del préstamo

(74)

(75)