Álgebra Lineal Básica con GeoGebra y wxMaxima

Álgebra Lineal Básica con

GeoGebra y wxMaxima

Álgebra Lineal Básica

con GeoGebra y

wxMaxima

Primera Edición

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Primera!Edición,!2013!

Imagen!de!portada:!!©2009!Jer!Thorp!(http://www.flickr.com/photos/blprnt/4218003108/)!

D.R.!©2013,!Universidad!de!Guadalajara!

Centro!Universitario!de!Ciencias!Exactas!e!Ingenierías!

Blvd.!Marcelino!García!Barragán!núm.!1421,!esq.!Calzada!olímpica!

44430!Guadalajara,!Jalisco.!

ISBN:!978\607\450\695\2!

Impreso!y!hecho!en!México!

Printed!and!made!in!Mexico.!

Álgebra Lineal Básica con GeoGebra y

wxMaxima

Oscar Robles Vásquez y Pedro Ortega Gudiño.

Enero de 2013

Contenido

1 Preliminares 1

1.1 Puntos y Rectas en el Plano xy . . . 1

1.2 GeoGebra . . . 5

1.3 Álgebra y Geometría con GeoGebra . . . 6

2 Sistemas de Ecuaciones Lineales 10 2.1 Ecuación lineal . . . 10

2.2 Sistema de Ecuaciones Lineales . . . 10

2.2.1 Sistema lineal . . . 10

2.2.2 wxMaxima . . . 11

2.2.3 _{Determinante de un sistema de ecuaciones lineales de 2  2 12} 2.2.4 _{Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 22 . . . 14}

2.2.5 Clasificación de Soluciones . . . 17

2.2.6 _{Sistemas de Ecuaciones Lineales de 3  3 . . . 18}

2.2.7 _{Determinante de un sistema de ecuaciones lineales de 3  3 19} 2.2.8 _{Solución Gráfica de sistemas de 3  3 . . . 20}

2.3 El Método de Eliminación . . . 21

2.3.1 Operaciones Elementales de Renglón . . . 23

2.3.2 Existencia de Soluciones . . . 32

2.3.3 Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneo . . . 33

3 Matrices y Vectores 37 3.1 Matriz . . . 37

3.1.1 Matrices Especiales . . . 37

3.1.2 Generación de Matrices con wxMaxima . . . 39

3.2 Vectores . . . 41

3.2.1 Vector renglón y vector columna . . . 41

3.2.2 Vectores y Matrices . . . 42

3.3 Multiplicación de Matrices . . . 48

3.3.1 Propiedades de la Multiplicación de Matrices . . . 49

3.4 Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . 52

3.4.1 Matrices Inversas . . . 52

3.4.2 Inversas y Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . 57

3.4.3 Matriz Transpuesta . . . 58 ii

CONTENIDO iii

3.5 Determinantes . . . 60

3.5.1 wxMaxima y determinantes . . . 63

3.5.2 Propiedades de los Determinantes . . . 64

4 Vectores en R2 _{y R}3 ₇₁ 4.1 Vectores en el plano . . . 71

4.1.1 Vectores equivalentes . . . 72

4.1.2 Magnitud y dirección de un vector . . . 74

4.1.3 _{Vectores unitarios en R}2 . . . 77

4.2 Interpretación geométrica del producto escalar . . . 78

4.3 Protocolo de la Construcción en GeoGebra . . . 80

4.4 Vectores en el espacio . . . 83

4.4.1 _{Magnitud de un vector en R}3 _{. . . . 83}

4.4.2 _{Dirección de un vector en R}3 _{. . . . 83}

4.4.3 _{Vectores unitarios en R}3 _{. . . . 85}

4.5 Producto vectorial . . . 86

4.5.1 Interpretación geométrica del producto vectorial . . . 87

4.5.2 Producto vectorial con wxMaxima . . . 87

Prefacio

La meta principal de este libro de Álgebra Lineal Básica con GeoGe-bra y wxMaximaes desarrollar en los estudiantes la comprensión de las ideas fundamentales del álgebra lineal a través del uso de programas computacionales libres. Estas herramientas de trabajo le permitirán al los estudiantes interac-tuar a través de los programas computacionales con los conceptos abstractos del álgebra lineal. Esta interacción va enfocada a dos aspectos: la resolución de problemas y la visualización geométrica; visualizar los conceptos del álgebra lineal de forma inmediata le ayudara al estudiante reforzar el enfoque construc-tivista de su aprendizaje.

La idea al utilizar Software libre en este texto se basa en las siguientes premisas: (1) el profesor tiene la seguridad de que todos los alumnos tendrán disponible una herramienta de trabajo, (2) los alumnos podrán utilizar el soft-ware en cualquier sitio, (3) el profesor podra distribuir el programa legalmente; los programas licenciados como Matlab, Maple, Mathematica, etc., no lo autor-izan. Sobre la filosofía del movimiento de software libre, es recomendable que el lector vea la referencia obligada: Proyecto Free Software Foundation, GNU (http://www.gnu.org).

La selección de software libre se decidió en función de la sencillez en su manejo, la disponibilidad para los sistemas operativos Windows y Mac, la ro-bustez del programa, etc. En el libro se utilizan las versiones más recientes de dos sistemas de álgebra computacional (CAS): GeoGebra (http://www.geogebra.org/) y wxMaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net/).

El libro está dirigido a estudiantes de ciencias básicas e ingeniería. En el texto se hace énfasis en los aspectos geométrico y computacional para la resolu-ción de problemas, omitiendose por completo las demostraciones. El enfoque en cada capítulo es la presentación del concepto de forma concisa y posteriormente la resolución de problemas a través de GeoGebra o mediante wxMaxima. El libro cubre los temas fundamentales del álgebra lineal: sistemas de ecuaciones lineales y matrices. El libro que tiene hoy en sus manos no pretende describir estos temas de forma exhaustiva, sino más bien proporcionar un herramienta útil para resolución de problemas de álgebra lineal utilizando software libre.

Los autores

Capítulo 1

Preliminares

1.1

Puntos y Rectas en el Plano xy

1. La distancia d (P1P2) entre dos puntos cualesquiera P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

en un plano coordenado esta definida por la ecuación (1.1) d (P1P2) =

q

(x2 x1)2+ (y2 y1)2 (1.1)

2. La pendiente m de una recta ( P1P2) que pasa por los puntos P1= (x1, y1)

y P2= (x2, y2) (Figura 1.1), esta definida por la ecuación (1.2)

m = y2 y1 x2 x1 para x2 x16= 0 (1.2) -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 1 2 1 2 x x y y m − − =

(

)

(

)

_x

Figura 1.1. Pendiente (m) de una recta. 1

El orden de los puntos no es importante, nótese que m = y2 y1 x2 x1 = 1 (y2 y1) 1 (x2 x1) = y1 y2 x1 x2

La pendiente mide la proporción entre lo que se eleva en el plano xy a lo que se avanza o recorre horizontalmente; se considera como una razón de cambio:

m = elevaci´on avance

3. Rectas paralelas al eje-x tiene una pendiente de cero (Figura 1.2). m = y2 y1 x2 x1 = 0 x2 x1 = 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 0 1 2 = − = x x m

(

)

₍

₎

Figura 1.2. Recta paralela al eje-x, m=0.

4. Rectas paralelas al eje-y tienen una pendiente indefinida (1), (Figura 1.3).

m = y2 y1 x2 x1

= y2 y1

0 = 1

5. Ecuación de la recta pendiente-ordenada, ecuación (1.3), ver la Figura (1.4):

y = mx + b (1.3)

Donde b es la ordenada al origen, esto es, (0, b). 6. Ecuación general de una recta, ecuación (1.4):

ax + by = c con b 6= 0 (1.4)

la pendiente es m = a b .

1.1. PUNTOS Y RECTAS EN EL PLANO XY 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3

(

)

(

)

Figura 1.3. Recta paralela al eje-y, m indefinida.

-4 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

m

(

)

( ) ( )

7. Dos rectas son paralelas sí y sólo sí tienen la misma pendiente mL1 = mL2 (Figura 1.5), -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 2

L

L

m

= m

Figura 1.5. Rectas paralelas tienen la misma pendiente.

8. Relación de pendientes en rectas perpéndiculares, ecuación (1.5), Figura (1.6), mL1 =  1 mL2 (1.5) -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 mL1 = ? 1m_L 2 2 L

m

m

Figura 1.6. Rectas perpéndiculares.

9. Distancia d de un punto P (x0, y0) a una recta ax + by = c, viene dada

por la ecuación (1.6), ver la Figura (1.7), d = |ax_p0+ by0 c|

1.2. GEOGEBRA 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 m = ?a b ax+ by = c d= |ax0+ by0? c| a2_{+ b}2 P›x0, y0fi x y

Figura 1.7. Distancia entre un punto y una recta.

1.2

GeoGebra

GeoGebra1_{es un Software libre y de plataformas múltiples que se abre a la}

educación para interactuar dinámicamente, en un ámbito en que se reúnen la Geometría, el Álgebra y el Análisis o Cálculo. Por otra parte, se pueden ingre-sar ecuaciones y coordenadas directamente. Así, GeoGebra tiene la capacidad de manejarse con variables vinculadas a números, vectores y puntos; permite encontrar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio de coman-dos propios del análisis matemático para identificar puntos singulares de una función, como raíces o extremos.

Estas dos perspectivas caracterizan a GeoGebra: una expresión en la ventana algebraica se corresponde con un objeto en la ventana geométrica y viceversa.

En la Figura (1.8) se presenta el espacio de trabajo de GeoGebra, se muestran las partes más importantes de este programa:

1. Ventana algebraica. 2. Venta gráfica

3. Barra de herramientas 4. Campo de entradas

Los operadores básicos para las operaciones ariméticas son los siguientes:

+ : suma  : substracción  : mutiplicación / : división ˆ : exponenciación 1_{http://www.geogebra.org/cms/}

Figura 1.8. Ventana de trabajo de GeoGebra.

1.3

Álgebra y Geometría con

GeoGebra

Utilizaremos GeoGebra para resolver algunos ejemplos relacionados con puntos y rectas localizados en el plano coordenado xy. Algunas funciones básicas de GeoGebra las conoceremos a través del ejemplo siguiente.

Ejemplo 1 Utilizando GeoGebra. Grafique la recta L que pasa por los puntos A (3, 6) y B (4, 2), calcule distancia d (AB), la pendiente m y la ecuación de la recta L.

Solución 1 Dar clic en el ícono de GeoGebra. Teclear en el campo de

:

1. A=(3,6) + enter2 _{! introduce el punto A en el plano.} 2. B=(-4,-2) + enter ! introduce el punto B en el plano. 3. dAB=Distancia[A,B] + enter ! calcula la distancia d (AB).

4. L:Recta[A,B] + enter ! traza la recta L que pasa por los puntos A y B. 5. m=Pendiente[L] + enter ! calcula la pendiente de la recta L.

Cada entrada introducida se despliega automáticamente en la ventana al-gebraica, estas se muestran en la Figura (1.9).La ecuación de la recta en

2_{Una vez que se ha tecleado la entrada correspondiente debe teclear aceptar ( -). La flecha}

1.3. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA CON GEOGEBRA 7

Figura 1.9. Ventana algebraica de GeoGebra.

forma de pendiente-ordenada se puede obtener a partir de la ecuación 8x  7y = 18 7y = 8x  18 y = 8 7x + 18 7 y = 1.14x + 2.57

La Figura (1.10) muestra la gráfica de la ecuación de la línea recta.

Figura 1.10. Ventana gráfica de GeoGebra.

Ejemplo 2 _{Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A (3, 6)} y es paralela a la recta L cuya ecuación es 3x + 5y = 5.

Solución 2 Dar clic en el ícono de GeoGebra. Teclear en el campo de

:

1. A=(-3,6) + enter ! introduce el punto A en el plano.

2. L:-3x+5y=5 + enter ! traza la recta en el plano y asigna la ecuación a L.

3. En la barra de herramientas dar clic en , seleccionar recta

Ir a la zona gráfica y dar clic primero sobre la recta L y luego sobre el punto A. En la ventana algebraica se desplegará inmediatamente:

a: 3x  5y = 39

En la ventana gráfica se trazará la recta paralela a la recta L.

Ejemplo 3 _{Encuentre la ecuación de la recta que pasa en b = 4, y es} per-péndicular a la recta L, cuya ecuación es 6x + 3y = 2.

Solución 3 En GeoGebra teclear en el campo :

1. B=(0,-4) + enter ! introduce la ordenada al origen en el plano. 2. L:-6x+3y=2 + enter ! introduce la ecuación de la recta L.

3. L1:Perpendicular[B,L] + enter ! traza la recta que pasa por B y es per-péndicular a la recta L.

En la ventana algebraica se desplegara inmediatamente: L1: x+2y=-8

Ejercicio 1 Determine la ecuación de la recta en su forma general y pendiente ordenada de la recta que:

1. Pasa por los puntos (2, 3) y (4, 5).

2. Tiene pendiente m = 2/5 y pasa por el punto (2, 5). 3. Interseca al eje x en x = 2 y al eje y en y = 4.

4. Pasa por el punto (2, 3) y es paralela a la recta 3x  7y = 21. 5. Pasa por el punto (5, 3) y es perpendicular a la recta y = 3x + 2. 6. Pasa por el punto (8, 2) y es paralela a la recta x = 5.

Ejercicio 2 Determine si los puntos A y B dados están o no sobre la recta dada:

1. A (1, 7), B (3, 1) y la recta y = 2x + 5. 2. A (2, 1), B (1, 2) y la recta y = 2.

3. A (1, 1), B (0, 3) y la recta 3x  2y = 1. 4. A (1, 5), B (2, 3) y la recta x + 2y = 1.

Ejercicio 3 Determine si las rectas dadas son perpéndiculares, paralelas u oblicuas. 1. 3x + 4  y = 0; 3x + 9y = 18.

1.3. ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA CON GEOGEBRA 9 2. 4x  3y = 2; 3x + 4y = 5.

3. 2x  14y = 2; 4x  7y = 0.

Ejercicio 4 Determine la distancia d del punto P (x0, y0) a la recta dada.

1. Punto (3, 9), recta y = 2x + 5. 2. Punto (0, 1), recta y = 2₆x  1. 3. Punto (2, 5), recta 3x + 7y = 14. 4. Punto (10, 3), recta 8x + 9  y = 0.

Sistemas de Ecuaciones

Lineales

2.1

Ecuación lineal

Una ecuación lineal (E) con n variables o incógnitas x1, x2, ..., xn tiene la forma

siguiente

E : a1x1+ a2x2+ ... + anxn= b (2.1)

el coeficiente ai (a1, a2, ..., an ) y el término constante b son números reales.

La solución de la ecuación lineal (2.1) es un conjunto de valores para las variables o incógnitas que satisfacen la ecuación.

2.2

Sistema de Ecuaciones Lineales

2.2.1

Sistema lineal

Un sistema lineal es un conjunto de m ecuaciones lineales E1, E2, ..., Emdel tipo

(2.1). El sistema se puede representar por

E1: a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 E2: a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 .. . ... ... _{· · ·} ... ... Ei: ai1x1 + ai2x2 + · · · + ainxn = bi .. . ... ... _{· · ·} ... ... Em: am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm (2.2)

A este conjunto de ecuaciones se le llama sistema lineal de m  n. Los coeficientes aij (a11, a12, ..., a1n; a21, a22, ..., a2n; am1, am2, ..., amn) y los

términos constantes bi (b1, b2, ..., bm) son números reales. Si se tiene que todos

2.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 11 los términos son cero (b1 = b2, = ... = bm = 0) se dice que el sistema de

ecuaciones lineales es homogéneo.

Si el número de ecuaciones (m) es igual al de incógnitas (n) el sistema lineal se llama cuadrado de n  n.

Una solución de un sistema de ecuaciones lineales (2.2) es un conjunto de valores para las variables, S = {x1, x2, ...xn}, tal que satisfacen a cada una de

las ecuaciones del sistema.

2.2.2

wxMaxima

wxMaxima1 _{es un CAS (Sistema de Álgebra Computacional, por sus siglas}

en inglés). Se trata de un programa cuyo objeto es la realización de cálculos matemáticos (tanto numéricos como simbólicos) capaz de manipular expresiones algebraicas, derivar e integrar funciones y realizar diversos tipos de gráficos.

Los operadores básicos para las operaciones ariméticas son los siguientes

+ : suma

 : substracción

 : mutiplicación

/ : división

ˆ o   : exponenciación

Utilizaremos wxMaxima version 0.8.2 para operar con sistemas de ecuaciones lineales. En la Figura (2.1) se presenta la ventana principal de trabajo cuando se inicia este programa en Windows donde se muestran las partes más importantes:

1. Menú

2. Botones de acciones frecuentes 3. Área de trabajo

Un documento en wxMaxima consta de varias "Celdas", estás "Celdas" son los bloques básicos de construcción. Cada celda tiene un corchete del lado izquierdo del documento que indica el contenido de está. Para iniciar un doc-umento en wxMaxima dar clíc en el área de trabajo y utilizar el teclado para introducir la instrucción, al final oprimir la combinación de teclas shift + en-ter (" + _{- ) o también ctrl + enter (ctrl + - ), en la celda se desplegara} lineas numeradas, por ejemplo (%i1) y (%o1) las cuales indican la entrada (%i) y la salida (%o) de la instrucción, respectivamente.

Ejemplo 4 Utilizando wxMaxima. Considere el sistema de dos ecuaciones lin-eales (E1 y E2) con dos incógnitas (x1 y x2)

E1 : a11x1+ a12x2= b1 (2.3)

E2 : a21x1+ a22x2= b2

encuentre la solución algebraica.

Figura 2.1. Espacio de trabajo en wxMaxima

Solución 4 El sistema anterior se puede resolver con wxMaxima, en el área de trabajo teclear secuencialmente:

1. E1: a11*x1+a12*x2=b1 oprimir " + - : introduce la ecuación E1.

2. E2: a21*x1+a22*x2=b2 oprimir " + - : introduce la ecuación E2.

3. linsolve([E1, E2], [x1,x2]) oprimir " + - : resuelve el sistema de ecuaciones lineales.

En la Figura (2.2) se muestra el resultado de estas intrucciones.

Figura 2.2. Solución algebraica de un sistema de ecuaciones de lineales de 2  2 con wxMaxima.

2.2.3

Determinante de un sistema de ecuaciones lineales

de

2

_{ 2}

La solución que se presenta en la Figura (2.2) dada por la salida (%o3) se reescribe en la forma siguiente

2.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 13 x1 = a22b1 a12b2 (a11a22 a21a12) (2.4) x2 = a11b2 a21b1 (a11a22 a21a12)

nótese que el sistema (2.3) tiene solución única cuando el denominador de la ecuación (2.4) sea diferente de cero, esto es,

a11a22 a21a126= 0

a este producto se le conoce como determinante (det) del sistema de ecuaciones lineales de 2  2, su valor diferente de cero establece la existencia de solución única. La definición de determinante para este sistema de ecuaciones lineales se establece con la ecuación siguiente

det Sistema (2  2) = (a11a22 a21a12) (2.5)

Ejemplo 5 Determine la existencia de la solución única en los sistemas de ecuaciones lineales dados.

1. x1+ x2 = 10 x1+ x2 = 0 2. x1 2x2 = 3 2x1 4x2 = 8 3. x1+ x2 = 3 2x1 2x2 = 6

Solución 5 Para cada uno de los sistemas se puede aplicar la ecuación (2.5) 1.

det Sistema (2  2) = (1) (1)  (1) (1)

= 2

2.

det Sistema (2  2) = (1) (4)  (2) (2)

= 0

El sistema no tiene solución única. 3.

det Sistema (2  2) = (1) (2)  (2) (1)

= 0

El sistema no tiene solución única.

2.2.4

Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales 2

_2

En los siguiente ejemplos que se presentan se resuelven sistemas de ecuaciones lineales de 2  2 utilizando wxMaxima y GeoGebra.

Ejemplo 6 Utilizando GeoGebra. Encuentre la solución mediante un método gráfico del sistema de ecuaciones lineales de 2  2 siguiente

E1 : 7x  5y = 6 (2.6)

E2 : 3x + 8y = 10

Solución 6 El valor del determinante del sistema (2.6) es det Sistema (2  2) = ((7) (8)  (3) (5))

= 71

por lo tanto el sistema tiene solución única. Para gráficar el sistema de

ecua-ciones lineales (2.6) en GeoGebra teclee en el campo lo siguiente

1. E1: 7x-5y=6 + enter ! introduce la ecuación E1 2. E2: 3x+8y=10 + enter ! introduce la ecuación E2

3. Intersect[E1,E2] + enter ! encuentra el punto de intersección de las dos rectas, está es la solución del sistema (2.6).

La solución gráfica es: x  1. 38 y y  0.73 y se puede apreciar en la Figura (2.3).

Ejemplo 7 Utilizando wxMaxima. Determine la solución algebraica del sis-tema (2.6).

Solución 7 En wxMaxima introducir las instrucciones siguientes 1. E1: 7*x-5*y=6 oprimir " + - : introduce la ecuación E1.

2.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 15

Figura 2.3. Solución gráfica del sistema (2.6) con GeoGebra.

Figura 2.4. Solución algebraica del sistema (2.6) con wxMaxima.

2. E2: 3*x+8*y=10 oprimir " + - : introduce la ecuación E2.

3. linsolve([E1, E2], [x,y]) oprimir " + - : resuelve el sistema lineal con las variables x y y.

En la última celda se despliega la solución, Figura (2.4).

Ejemplo 8 Utilizando GeoGebra resuelva graficamente el sistema lineal sigu-iente

E1 : 3x  4y = 6 (2.7)

E2 : 6x  8y = 8

Solución 8 El cálculo del determinante del sistema (2.7) muestra que

det Sistema = _{((3) (8)  (6) (4))}

= 0

por lo tanto, el sistema (2.7) no tiene solución única. Para gráficar el sistema

de ecuaciones lineales (2.7) en GeoGebra teclear en el campo lo

siguiente

2. E2: 6x-8y=8 + enter ! introduce la ecuación E2.

En la Figura (2.5) se observa que ambas ecuaciones representan rectas paralelas sin níngun punto de coincidencia.

Figura 2.5. Sistema de ecuaciones lineales de 2  2 sin solución. Ejemplo 9 Utilizando wxMaxima. Determine la solución algebraica del sis-tema (2.7).

Solución 9 En la Figura (2.6) se presenta el resultado obtenido por wxMax-ima para un sistema incosistente o que no tiene solución (2.7).La salida (%o3)

Figura 2.6. Resolución del Sistema (2.7) por wxMaxima. muestra sólo [ ], lo cual indica que el sistema no tiene solución.

Ejemplo 10 Utilizando GeoGebra resuelva graficamente el sistema lineal sigu-iente

E1 : 3x  2y = 2 (2.8)

2.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 17 Solución 10 El valor del determinante del sistema (2.8) es

det Sistema = _{((3) (4)  (2) (6))}

= 0

como consecuencia el sistema (2.8) no tiene solución única. Para gráficar este

sistema por medio de GeoGebra teclear en el campo lo siguiente

1. E1: 3x-2y=-2 + enter ! introduce la ecuación E1. 2. E2: 6x-4y=-4 + enter ! introduce la ecuación E2.

La gráfica del sistema (2.7) muestra que las dos rectas se sobreponen, es decir, coinciden en un número infinto de puntos en el plano xy, se dice entonces que el sistema tiene soluciones infinitas.

Figura 2.7. Sistema de ecuaciones lineales de 2  2 con soluciones infinitas. Ejemplo 11 Utilizando wxMaxima. Determine la solución algebraica del sis-tema (2.8).

Solución 11 La solución obtenida por wxMaxima se muestra en la Figura (2.8)La salida (%o3) muestra que el sistema tiene infinitas soluciones, para simplificar la solución se hace t =%r1, donde t 2 R la solución se escribe:

x = 2t  2

3 , y = t

La representación gráfica de este sistema se presenta en la Figura (2.7); las rectas se intersectan en un número infinito de pares ordenados (x, y).

2.2.5

Clasificación de Soluciones

Las soluciones encontradas en un sistema de ecuaciones lineales de 2  2 pueden clasificarce de la forma siguiente:

Figura 2.8. Resolución del Sistema (2.8) por wxMaxima con sloluciones infinitas. Tipo de solución 8 > > < > > : Consistente 

Solución única, det 6= 0. Soluciones infinitas, det = 0. Inconsistente {Sin solución, det = 0. esta clasificación se puede extender a sistemas de n  n.

2.2.6

Sistemas de Ecuaciones Lineales de

3

_{ 3}

En el siguiente ejemplo que se presenta se resuelve un sistema de ecuaciones lineales de 3  3 utilizando wxMaxima.

Ejemplo 12 Utilizando wxMaxima. Considere el sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

E1: a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

E2: a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

E3: a31x1 + a32x2. + a33x3 = b3.

(2.9)

Solución 12 El sistema (2.9) puede ser resuelto con wxMaxima. En el espacio de trabajo introducir secuencialmente cada una de las ecuaciones del sistema

1. E1: a11*x1+a12*x2+a13*x3=b1 oprimir " + - : introduce la ecuación E1.

2. E2: a21*x1+a22*x2+a23*x3=b2 oprimir " + - : introduce la ecuación E2.

3. E3: a31*x1+a32*x2+a33*x3=b3 oprimir " + - : introduce la ecuación E3.

4. linsolve ([E1,E2,E3],[x1,x2,x3]) oprimir " + - : resuelve el sistema lineal con las variables x1, x2 y x3. La solución obtenida por wxMaxima se presenta en la Figura (2.9).

2.2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 19

Figura 2.9. Solución de un sistema de ecuaciones lineales de 3  3 utilizando wxMaxima.

2.2.7

Determinante de un sistema de ecuaciones lineales

de

3

_{ 3}

La solución del conjunto de ecuaciones (2.9) se presenta en la Figura (2.9), la linea de salida (%4) muestra la solución general de este sistema, el denominador de esta solución se reescribe de la forma siguiente

a11(a22a33 a23a32)  a12(a21a33 a23a31) + a13(a21a32 a22a31) (2.10)

Este producto se le denomina determinante (det) del sistema de ecuaciones de 3  3 (ecuación 2.11)

det Sistema (3  3) = a11(a22a33 a23a32) (2.11)

a12(a21a33 a23a31) + a13(a21a32 a22a31)

De igual forma que se presenta en el sistema de ecuaciones de 2  2, se establece que el sistema (2.9) tiene solución única, si se cumple que

det Sistema (3  3) 6= 0

Es importante hacer notar que el determinante sólo se puede calcular para sistemas cuadrados (n  n). En el Capítulo 5 se tratara ampliamente el tema de determinantes.

2.2.8

Solución Gráfica de sistemas de

3

_{ 3}

El sistema lineal (2.9) forman un conjunto de planos que pueden intersectarse, sobreponerse o intercalarse; la solución gráfica para estos sistemas se ilustra en la figuras siguientes,

1. Solución única, los tres planos se intersectan en un solo punto, ver Figura (2.10).

2. Soluciones infinitas, los planos se intersectan a lo largo de una recta común, ver Figura (2.11).

3. Sin solución, se tienen planos paralelos, en este caso el sistema es inco-sistente, ver Figura (2.12).

Figura 2.10. Solución única

2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 21

Figura 2.12. Sin solución.

2.3

El Método de Eliminación

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales del tipo

E1: a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 E2: a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 .. . ... ... _{· · ·} ... ... Ei: ai1x1 + ai2x2 + · · · + aijxj = bi .. . ... ... _{· · ·} ... ... Em: am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm (2.2)

se utiliza una generalización sitemátizada del método de eliminación. Antes de proseguir se aclara lo relacionado con la notación utilizada.

Notación 1 En el sistema de ecuaciones (2.2) aij representa cualquier

coe-ficiente del sistema en la ecuación i que multiplica a la incógnita j. Así por ejemplo, el coeficiente a21, se encuentra en la ecuación E2 multiplicando a la

incógnita x1. Por otro lado, bi identifica a cualquier término constante en la

ecuación i.

Cuando se efectúan operaciones en cada una de las ecuaciones del sistema (2.2) sólo se afectan los coeficientes aij y los términos bi, las incógnitas no se

ven afectadas, por esta razón, para evitar repetición al escribir cada una de las ecuaciones del sistema, los coeficientes aij y los términos bi se escriben en un

arreglo rectangular ordenado llamado matriz aumentada, de la forma siguiente

˜ A = 0 B B B @ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... _{· · ·} ... am1 am2 · · · amn          b1 b2 .. . bm 1 C C C A (2.12) = _{(A |b )} (2.13)

La matriz aumentada se dice que es de tamaño u orden m  (n + 1), esto es, m-renglones por (n + 1)-columnas. La matriz aumentada esta formada por una matriz de coeficientes (A) de orden m  n y una matriz de términos constantes (b) de orden m  1. La representación matricial de cada una de ellas es

A = 0 B B B @ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... _{· · ·} ... am1 am2 · · · amn 1 C C C A b= 0 B B B @ b1 b2 .. . bm 1 C C C A

Notación 2 De forma similar, los subíndices ij en los elementos a de la matriz de coeficientes (2.12) indican la ubicación del elemento en el renglon i y la columna j.

Ejemplo 13 En la matriz aumentada siguiente 0 @ 50 75 16 _32 8 _6 10 _9       b1 b2 b3 1 A Identificar los elementos a23, a34, a22 y a55.

Solución 13 Los elementos identificados son

a23 = 6

a34 = 9

a22 = 5

a55 = no existe

Es importante resaltar, que un sistema de ecuaciones lineales (2.2) puede ser representado en forma equivalente mediante una matriz aumentada ( ˜A), y viceversa, una matriz aumentada tiene su sistema de ecuaciones equivalente, este hecho se muestra en los ejemplos siguientes.

Ejemplo 14 Determine ˜A para el sistema de ecuaciones lineales siguiente

x1  2x2 + x3 = 0

2x2  8x3 = 8

4x1 + 5x2 + 9x3 = 9

Solución 14 La equivalencia entre el sistema de ecuaciones lineales y la matriz aumentada es x1  2x2 + x3 = 0 2x2  8x3 = 8 4x1 + 5x2 + 9x3 = 9  0 @ 10 22 _81 4 5 9       0 8 9 1 A

2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 23 Ejemplo 15 Determine el sistema de ecuaciones lineales equivalente de la ma-triz aumentada siguiente

 1 _6 0 0 3 _9     _70 

Solución 15 El sistema de ecuaciones equivalente es  1 _6 0 0 3 _9     _70   x1  6x_3x2 = 0 2  9x3 = 7

En adelante para facilitar el manejo de una matriz aumentada en wxMax-ima se omitirá la línea vertical, así que la últwxMax-ima columna corresponderá a los términos constantes (bi).

2.3.1

Operaciones Elementales de Renglón

En el método de eliminación se aplican sobre la matriz ˜A tres operaciones cono-cidas como operaciones elementales de renglón, estas son:

1. Multiplicar un renglón por una constante diferente de cero. 2. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.

3. Permutar o intercambiar renglones.

Notación 3 Las operaciones elementales se pueden denotar de la forma sigu-iente

1. Ri ! cRi, c 6= 0: El renglón i puede ser sustituido al multiplicar ese

renglón por una constante c 6= 0.

2. Rj ! Rj+ cRi, c 6= 0: El renglón j, puede ser sustituido al sumar al

renglón j el multiplo de otro renglón i.

3. Ri Rj: Los renglones i y j pueden intercambiarse o permutar.

En los ejemplos siguientes se explicara con detalle el proceso de eliminación sobre sistemas de ecuaciones lineales de 3  3, llevando los registros de la opera-ciones elementales efectuadas con la notación antes mencionada.

Ejemplo 16 Describa el algorítmo del proceso de solución mediante opera-ciones elementales de renglón de la matriz aumentada siguiente

0 @ aa1121 aa1222 aa1323 a31 a32 a33       b1 b2 b1 1 A

Solución 16 Los elementos a11, a22y a33se identifican como elementos pivote

ubicados en los renlgones pivote, ellos forman la diagonal principal. El algoritmo simple de este proceso es

Paso 1. Hacer a11= 1 (1er. pivote).

Paso 2. Hacer "ceros" los elementos por debajo del elemento pivote a11

(a) Hacer a21= 0

(b) Hacer a31= 0

Paso 3. Hacer a22= 1 (2do. pivote).

Paso 4. Hacer "ceros" los elementos por debajo y por arriba del elemento pivote a22

(a) Hacer a12= 0

(b) Hacer a32= 0

Paso 5. Hacer a33= 1 (3er. pivote).

Paso 6. Hacer "ceros" los elementos por arriba del elemento pivote a33

(a) Hacer a13= 0

(b) Hacer a23= 0

Paso 7. ¿Tiene solución el sistema?

Ejemplo 17 Resuelva mediante el método de eliminación el sistema de ecua-ciones

2x1+ 4x2+ 8x3 = 6

3x1 2x2 3x3 = 4

8x1+ 2x2+ 5x3 = 1

Solución 17 Aplicando operaciones elementales de renglón se tiene 0 @ 23 _{2 3}4 8 8 2 5       6 4 1 1 A R1! 1₂R1 ! hacer a11=1 0 @ 13 _{2 3}2 4 8 2 5       3 4 1 1 A R2! R2 3R1 ! hacer a21=0 0 @ 10 _{8 15}2 4 8 2 5       3 5 1 1 A R3! R3 8R1 ! hacer a31=0 0 @ 10 _82 _154 0 _{14 27}       3 5 23 1 A R2! 1₈ R2 ! hacer a22=1 0 @ 10 21 154 8 0 _{14 27} 3 5 8 23 1 A R3! R3+ 14R2 ! hacer a32=0 0 @ 10 21 154 8 0 0 _3 4       3 5 8 57 4 1 A F R1! R1 2R2 !_{hacer a} 12=0 0 @ 1 0 1 4 0 1 15₈ 0 0 _3₄       7 4 5 8 574 1 A R3! 4₃ R3 !_{hacer a} 33=1 0 @ 1 0 1 4 0 1 15₈ 0 0 1       7 4 5 8 19 1 A R2! R215₈R3 ! hacer a23=0 0 @ 1 0 1 4 0 1 0 0 0 1       7 4 35 19 1 A R1! R11₄R3 ! hacer a13=0 0 @ 10 01 00 0 0 1       3 35 19 1 A

2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 25 El conjunto solución es

S = {x1, x2, x3} = {3, 35, 19} .

El algoritmo de eliminación implementado se conoce como eliminación de Gauss-Jordan. Note que se hacen "ceros" por arriba y "ceros" por abajo de la diagonal principal. Si el proceso de eliminación sólo contemplara hacer "ceros" por debajo de la diagonal principal y luego sustitución hacia atrás, se trataría del método de eliminación gaussiana.

Ejemplo 18 Resuelva mediante el método de eliminación gaussiana el ejemplo anterior.

Solución 18 Para esto, el proceso puede continuarse a partir de la marca F de la forma siguiente 0 B B @ 1 2 4 0 1 15₈ 0 0 _3₄         3 5 8 574 1 C C A F R3!4₃ R3 ! hacer a33=1 0 B @ 1 2 4 0 1 15₈ 0 0 1        3 5 8 19 1 C A Luego: ₀ B B @ 1 2 4 0 1 15₈ 0 0 1         3 5 8 19 1 C C A  E1 : E2 : E3 : x1+ 2x2+ 4x3= 3 x2+15₈x3=5₈ x3= 19

El sistema obtenido es más simple que el original, este último se puede resolver por sustitución hacia atrás. De la ecuación E3 se tiene que

x3= 19

De la ecuación E2 resolvemos para x2 y sustituimos x3

x2 = 5 8 15 8 x3 = 5 8 15 8 (19) = _35

Resolviendo de la ecuación E1 para x1 y sustituyendo los valores de las

incog-nitas x2 y x3 se tiene:

x1 = 3  4x3 2x2

= _{3  4 (19)  2 (35)}

= _3

Operaciones Elementales de Renglón con wxMaxima

En wxMaxima una matriz se define mediante una instrucción muy simple, por ejemplo la matriz aumentada ˜_{A de 2  3}

˜ A =  1 _{2 3} 4 7 6 

se puede introducir con wxMaxima con la instrucción A: matrix ([1,2,3],[4,7,6]) oprimir " +

-desplegándose en el espacio de trabajo como lo muestra la Figura (2.13).

Figura 2.13. Introducir una matriz en wxMaxima. la introducción de matrices es por renglones entre corchetes.

Nótese que las matrices también pueden ser introducida a partir del Menú, la secuencia de instrucciones es la siguiente:

1. _{! Enter Matriz...! Matriz ! Aceptar !}

2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 27 wxMaxima permite realizar operaciones elementales de reglón mediante las instrucciones siguientes

1. Función: rowop ( M,i,j,): Si M es una matriz y un  escalar, devuelve la matriz que resulta de realizar la transformación Ri ! Ri Rj con los

renglones Ri y Rj. Si M no tiene estos renglones, devuelve un mensaje

de error.

2. Función: rowswap ( M,i,j): Si M es una matriz, intercambia los renglones i y j, R1  Rj. Si M carece de estos renglones, devuelve un mensaje de

error.

Note que la operación elemental de renglones de Ri ! cRi, no tiene una

operación directa en wxMaxima, pero está se puede obtener mediante la op-eracion rowop ( M, i, j, ), en el ejemplo siguiente se muestra el uso de éstas instrucciones.

Ejemplo 19 Resuelva mediante operaciones elementales de renglón aplicando wxMaxima el sistema lineal siguiente

2x1+ 4x2+ 8x3 = 6

3x1 2x2 3x3 = 4

8x1+ 2x2+ 5x3 = 1

Solución 19 Una vez introducida la matriz aumentada (Figura 2.14) del sis-tema, es importante que le asigne un nuevo nombre a cada matriz que resulte de esa instrucción, al final de cada instrucción oprima la combinación de teclas " + - .

Figura 2.14. Matriz Aumentada. Secuencialmente introduzca las operaciones siguientes Paso 1. A1: rowop(A,1,1,1/2): R1 ! R1

1 2R1. Paso 2. A2: rowop(A1,2,1,3): R2 ! R2 3R1.

Paso 4. A4: rowop(A3,2,2,9/8): R2 ! R2

9 8R2. Paso 5. A5: rowop(A4,3,2,-14): R3 ! R3 (14) R2.

Paso 6. A6: rowop(A5,1,2,2): R1 ! R1 2R2.

Paso 7. A7: rowop(A6,3,3,7/3): R3 ! R3

7 3R3. Paso 8. A8: rowop(A7,2,3,15/8): R2 ! R2

15 8 R3. Paso 9. A9: rowop(A8,1,3,1/4): R1 ! R1

1 4R3.

Las instrucciones que se introducen secuencialmente despliegan en wxMax-ima las celdas siguientes:

Paso 1. Paso 2.

Paso 3. Paso 4.

2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 29

Paso 7. Paso 8.

Paso 9.

La matriz obtenida en la salida %o10 (paso 9) es equivalente a 0 @ 10 01 00 0 0 1       3 35 19 1 A  xx21= 35= 3 x3= 19

Una forma directa para obtener la matriz escalonada por renglones es medi-ante la instrucción echelon de wxMaxima. La función echelon (M) d evuelve la forma escalonada de la matriz M, obtenida por eliminación gaussiana.

La aplicación de la función echelon (M) al ejemplo anterior es

a partir de matriz obtenida en la salida (%o2) se aplica sustitución hacia atrás para obtener la solución completa.

Ejemplo 20 Encuentre la solución del sistema lineal siguiente x1+ x2 x3 = 2

4x1 x2+ 5x3 = 5

Solución 20 La matriz aumentada del sistema es: 0 @ 14 _11 15 6 1 3       2 5 1 1 A Se aplican las operaciones elementales siguientes

1. R2! R2 4R1 2. R3! R3 6R1 3. R2! R2 5 4. R3! R3+ 5R2 5. R3! R3 2

matriz equivalente obtenida es 0 B B @ 1 1 _1 0 1 9₅ 0 0 0         2 13 5 1 1 C C A  x1+ x2 x3= 2 x29₅x3=13₅ 0 = 1 el útimo renglón presenta una incosistencia, el sistema no tiene solución. Con wxMaxima se obtiene

Ejemplo 21 Resolver el sistema lineal siguiente x1+ x2 x3 = 2

4x1 x2+ 5x3 = 5

6x1+ x2+ 3x3 = 1

Solución 21 La matriz aumentada del sistema es 0 @ 14 _11 15 6 1 3       2 5 1 1 A Efectuando operaciones elementales de renglón se obtiene

R2! R2 4R1 R3! R3 6R1 ! 0 @ 10 _51 19 0 _5 9       2 13 13 1 A R2! R2 5 ! 0 B B @ 1 1 _1 0 1 9 5 0 0 0         2 13 5 0 1 C C A

2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 31 Aquí R2 y R3 son igulales, por lo tanto, se sustituye el renglón 3 por un renglón

de ceros, y se obtiene el último pivote en R2, esto es,

R1! R1 R2 ! 0 B B @ 1 0 4₅ 0 1 9₅ 0 0 0         4 5 13 5 0 1 C C A

El proceso de operaciones elementales no puede continuar ya que no existe otro elemento pivote. El sistema equivalente es:

E1 : E2 :

x1+4₅x3= 4₅

x29₅ x3=13₅

Este sistema equivalente se tienen dos ecuaciones con tres incognitas, en este caso existen soluciones infinitas. El procedimiento para reportar la solución de estos sistemas es

1. Del sistema equivalente de n ecuaciones y r variables o incógnitas deter-mine las variables libres al calcular

variables libres = _{r  n}

= _{3  2}

= 1

2. De las tres incógnitas x1, x2, o x3 seleccionar una variable, está incógnita

será la varible libre, por ejemplo

x3= t, donde t 2 R

t es un parámetro que puede tomar cualquier valor en el conjunto de los reales.

3. Despejar las incognitas x1 y x2 en función de la variable libre:

De la ecuación E1 x1 =  4 5x3 3 5 = _4 5t  3 5 De la ecuación E2 x2 = 9 5x3+ 13 5 = 9 5t + 13 5

La solución se escribe como: (x1, x2, x3) =  4₅t 3₅,9 5t + 13 5 , t 

o en notación de conjunto, aquí S es el conjunto solución:

S =  4₅t  3₅,9 5t + 13 5 , t ; donde t 2 R 

2.3.2

Existencia de Soluciones

Algunas conclusiones obtenidas de la resolución de sistemas de ecuaciones lin-eales de 2  2 y de 3  3, se pueden generalizar a sistemas de ecuaciones linlin-eales de n  n y de m  n, así se tiene

1. Existe solución única sí y sólo sí el det Sistema (n  n) 6= 0.

2. Existe solución única sí y sólo sí se tienen n pivotes en la matriz aumentada de n  (n + 1).

3. Existen soluciones infinitas o se presenta inconsistencia sí y sólo sí el det Sistema (n  n) = 0

4. Existen soluciones infinitas si en la matriz aumentada n  (n + 1) se tiene por lo menos un renglón de ceros.

5. Inconsistencia se presenta en la matriz aumentada de n  (n + 1) si se tiene un renglón de ceros sólo en la matriz de coeficientes.

Ejemplo 22 Elija valores de h y k en el conjunto de los reales para los cuales el sistema x1+ hx2 = 1 2x1+ 3x2 = k presente 1. Solución única 2. Inconsistencia 3. Soluciones infinitas

Solución 22 Las operaciones elementales de renglón son  1 h 2 3     1k  R2! R2 2R1 ! paso A  1 h 0 _{3  2h}     _{k  2}1  R2! _32hR2 ! n ote qu e 32h6=0

2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 33  1 h 0 1     1 k2 32h  R1! R1 hR2 1 0 0 1      1  h(k32h2) k2 32h ! simplificando se tiene  1 0 0 1     3k 32 k2 32   x1= 3hk 32h x2= ₃k_2h2

1. Para que el sistema tenga solución única 3  2h 6= 0, h 6= 3₂, con cualquier valor de k. Probemos por ejemplo, h = 2 y k = 3

1 0 0 1      3(2)(3) 32(2) 32 32(3) !   1 0 0 1     _31 3  La solución es:(x1, x2)=  3,1 3  . 2. Si h = 3

2 y k  2 6= 0 ó k 6= 2, al sustituir en en el sistema aumentado obtenido en el paso A 1 3₂ 0 0     _{k  2}1 !

se obtiene una inconsistencia. 3. Cuando h = 3

2 y k = 2, al sustituir en en el sistema aumentado obtenido en el paso A 1 3 2 0 0     10 !

se obtiene el sistema equivalente x1+

3

2x2= 1 que tiene por solución

x1 = 1 

3 2t x2= t, t 2 R

2.3.3

Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneo

Un sistema de ecuaciones lineales homogéno es un sistema ecuaciones similar a (2.2), donde todos los términos constantes son cero (b = 0).

Po ejemplo el sistema de ecuaciones lineales de 4 4 siguiente, es homogéneo ya que bi = 0 para todo i.

a11x1+ a12x2+ a13x3+ a14x4 = 0 (2.14)

a21x1+ a22x2+ a33x3+ a34x4 = 0

a31x1+ a32x2+ a33x3+ a34x4 = 0

a41x1+ a42x2+ a43x3+ a44x4 = 0

La representación de este sistema en una matriz aumentada esta dado por: 0 B B @ a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a42 a44         0 0 0 0 1 C C A  0 B B @ a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a42 a44 1 C C A

por cuestiones prácticas la columna de "ceros" no se escribe. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales homogéno se recurre al algorítmo de eliminación gaussiana o Gauss-Jordan visto anteriormente.

Para cualquier sistema lineal homogéneo com m-ecuaciones y n-incógnitas, existen dos posibilidades de solución:

la solución única o trivial

x1= x2= . . . = xn= 0

que se presenta para un sistema de ecuaciones lineales cuadrado cuando det Sistema (n  n) 6= 0

y las soluciones infinitas o no triviales.

El cálculo de determinantes de n  n se analizará en el capítulo 5.

Ejemplo 23 Utilizando wxMaxima. Resuelva el sistema homogéneo siguiente x1+ x2 x3 = 0

4x1 x2+ 5x3 = 0

6x1+ x2+ 3x3 = 0

Solución 23 La matriz aumentada del sistema 0

@ 14 _11 15

6 1 3

1

A se introduce en wxMaxima con las instrucciones siguientes

1. Ah: matrix ([1,1,1],[4,1,5],[6,1,3) oprimir " + 2. echelon (Ah) oprimir " +

-Se despliega9₅ 0 @ 10 11 19 5 0 0 0 1 A

2.3. EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN 35 La operación elemental adicional R1! R1 R2produce el sistema

equiv-alente x1+ 4 5x3 = 0 x2 9 5x3 = 0

donde las variables libres son (r  n) = 3  2 = 1, si x3 = t, t 2 R;

x1=  4 5x3 y x2= 9 5x3 o de otra forma (x1, x2, x3) =  4 5t, 9 5t, t 

Ejemplo 24 Determine la solución para el sistema lineal homogéneo siguiente 3x1 7x2+ 9x3 5x4+ 8x5 = 0

6x3+ 6x4+ 4x5 = 0

3x1 7x2+ 8x3 5x4+ 8x5 = 0

Solución 24 En wxMaxima teclear secuencialmente las instrucciones siguientes 1. E1: 3*x17*x2+9*x35*x4+8*x5=0 oprimir " +

2. E2: 6*x3+6*x4+4*x5=0 oprimir " +

3. E3: 3*x17*x2+8*x35*x4+8*x5=0 oprimir " + 4. linsolve ([E1, E2, E3], [x1,x2,x3,x4,x5]) oprimir " +

-La solución por wxMaxima es

[x1=%r2, x2=(9*%r2+34*%r1)/21, x3=0, x4=-(2*%r1)/3, x5=%r1] Si t=%r2 y s=%r1 con t,s 2 R, la solución dada para el sistema se escribe como x1 = t x2 = 9t + 34s 21 x3 = 0 x4 = 2s 3 x5 = s Finalmente se tiene: (x1, x2, x3, x4, x5) =  t,9t + 34s 21 , 0, 2s 4 , s 

en el Capítulo 3 se dará otra forma de escribir la solución mediante vec-tores.

En general un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene un número infinito de soluciones.

Capítulo 3

Matrices y Vectores

3.1

Matriz

Una Matriz es un operador matemático de m  n elementos ordenados en m-renglones y n-columnas, se dice entonces que la matriz es de orden m  n, los elementos de una matriz pueden ser números reales o complejos, funciones reales o complejas, derivadas o integrales de funciones, etc.

Cualquier elemento de una matriz A1 _{de m  n localizado en el renglón i}

y la columna j se le dedomina aij. De está manera a todos elementos de la

matriz A, ecuación (3.1), se les representa en forma compacta por A = (aij).

A = 0 B B B B B B B B @ a11 a12 · · · a1j · · · a1n a21 a22 · · · a2j · · · a2n .. . ... _{· · ·} ... _{· · ·} ... ai1 ai2 · · · aij · · · ain .. . ... _{· · ·} ... _{· · ·} ... am1 am2 · · · amj · · · amn 1 C C C C C C C C A = (aij) (3.1)

Así se tiene que la matriz A es 2  3, mientras que B es 2  4 A =  6 3 8 9 0 _5  B =  2 0 1 6 7 9 3 _4 

3.1.1

Matrices Especiales

Algunas matrices, en razón de sus dimensiones o de las características de los el-ementos que la componen, reciben denominaciones particulares. A continuación se hace mención solamente de algunas de las más comunes.

1_{A las matrices las identificaremos con letras mayúsculas.}

1. Matriz Cuadrada. Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de renglones que de columnas, por ejemplo:

A = 0 @ _{1 5 3}0 2 1 7 4 9 1 A B =  4 2 4 8 

donde A es una matriz cuadrada de 3  3, o simplemente de orden 3 y B es una matriz cuadrada de 2  2, o de orden 2.

2. Matriz diagonal, matriz triangular inferior y matriz triangular superior. (a) La matriz diagonal D, es una matriz cuadrada de orden n, donde

cada elemento dij cumple la siguiente regla:

D = (dij) =



0 si i 6= j dij si i = j

Así D3y D4son matrices diagonales de orden 3 y 4, respectivamente:

D3= 0 @ d011 d022 00 0 0 d33 1 A D4= 0 B B @ d11 0 0 0 0 d22 0 0 0 0 d33 0 0 0 0 d44 1 C C A

(b) La matriz triangular inferior es una matriz cuadrada de orden n, donde

A = (aij) =



0 si i < j aij si i  j

Las matrices A y B cumplen este requisito

A =  a11 0 a21 a22  B = 0 @ bb1121 b022 00 b31 b32 b33 1 A

(c) La matriz triangular superior es una matriz cuadrada de orden n, donde

A = (aij) =



0 si i > j aij si i  j

Matrices triangulares superiores son las siguientes:

C = 0 @ a011 aa1222 aa1323 0 0 a33 1 A D = 0 B B @ c11 c12 c13 c14 0 c22 c23 c24 0 0 c33 c34 0 0 0 c44 1 C C A

3.1. MATRIZ 39 3. Matriz Identidad de orden n, In.:

La matriz Identidad de orden n tiene elementos tales que In= (ij) =



1 si i = j 0 si i 6= j Matrices Identidad I2, I3 e I4 son las siguientes

I2=  1 0 0 1  I3= 0 @ 10 01 00 0 0 1 1 A I4= 0 B B @ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 C C A

3.1.2

Generación de Matrices con

wxMaxima

wxMaxima genera matrices cuyos elementos son calculados a partir de una fun-ción de dos variables, por ejemplo h (i, j), g (i, j), etc.

Para generar una matriz es necesario primero definir la función; en wxMax-ima se utiliza el operador ":=" para definir funciones, por ejemplo, la función f(x)=sen x se escribe como

f(x):=sin(x)

Se pueden definir funciones de dos variables, por ejemplo, la función h (i, j) definida por

h(i, j) = 1

1 + j + i en wxMaxima es equivalente a

h[i,j]:=1/(-1+j+i)

Una vez definida la función se utiliza el comando genmatrix (h,m,n) de wx-Maxima, h es la función definida, m y n indican el orden de la matriz. A la matriz generada se le puede asignar un nombre para identificarla.

Ejemplo 25 _{Utilizando wxMaxima. Genere la matriz A de 3 4 con la función}

definida por h(i, j) = 1

1 + j + i.

Solución 25 Para generar la matriz A siga las intrucciones 1. h[i,j]:=1/(-1+j+i) oprimir " + - : define la función h (i, j).

2. A=genmatrix (h,3,4) oprimir " + - : genera la matriz A de 3  4 cuyos elementos son calculados mediante la función h.

En la Figura (3.1) se presenta la entrada secuencial de las instrucciones y el resultado desplegado en wxMaxima.

Figura 3.1. Generación de Matriz la matriz A con wxMaxima.

Si la función h ha sido introducida, entonces se puede generar la matriz A

a través del menu de wxMaxima con los íconos siguientes _!Generate

Matrix !..., deplegándose la figura siguiente

Ejercicio 5 Utilizando wxMaxima. Genere la matrices especiales siguientes 1. Matriz nula de orden 3, donde se cumple que aij = 0.

2. Matriz simétrica de orden 3, donde se cumple que aij= aji.

3. Matriz antisimétrica de orden 4, donde se cumple aij = aji. Note que

los elementos de la diagonal principal deben ser nulos, pues sólo se cumple 0 = 0.

4. Matriz de Vandermonde de orden 4 con elementos dados por g(i, j) = xj_i1

5. Matriz A de orden 3 con elementos

a (i, j) = i

3.2. VECTORES 41 6. Matriz B de orden 2 con elementos

b (i, j) = 2 + i

j

i + j  1 7. Matriz A de orden 4 con elementos

a(i, j) = a10i+j

3.2

Vectores

Los vectores son una clase particular de matrices, de tal forma que el álgebra elemental de matrices se puede aplicar a los vectores. El interés en este tema se centra en vectores con componentes reales.

3.2.1

Vector renglón y vector columna

Se define un vector renglón de n componentes como un conjunto ordenado de n números reales escrito de la forma siguiente

(x1, x2, · · · , xn) o también como



x1 x2 · · · xn

 Un vector renglón es una matriz de orden 1  n.

Se define un vector columna de n componentes como un conjunto ordenado de n números reales escrito de la manera siguiente

0 B B B @ x1 x2 .. . xn 1 C C C A

Un vector columna es una matriz de orden n  1.

Cada componente de un vector se le identifica como primera componente x1, segunda componente x2, sucesivamente hasta la n-ésima componente xn; en

este curso trataremos vectores sólo con componentes reales, esto es xi2 R.

Notación: Los vectores se representan con letras minúsculas en negritas; así por ejemplo tendremos los vectores u, w, x, y, etc.

Vectores en Rn

Los vectores renglón o columna con dos componentes reales pertenecen al con-junto de vectores R2_{estos vectores se pueden visualizar en un plano cartesiano,}

por ejemplo los vectores y, u, z 2 R2_{, estos son}

y=  y1 y2  , u= (u1, u2) y z=  z1 z2 

De forma similar los vectores columna o renglón con tres componentes reales pertenecen al conjunto R3_{, estos vectores se pueden visualizar en el espacio, por}

ejemplo, los vectores a, w, b 2 R3_{, estos son}

a= 0 @ aa12 a3 1 A , w= (w1, w2, w3) , y b=  b1 b2 b3 

En general, un vector con n componentes reales pertence al conjunto Rn.

3.2.2

Vectores y Matrices

Los vectores son matrices de n  1 o 1  n; las matrices están formadas por vectores renglón y vectores columna, por ejemplo, la matriz A de 3  4,

A = 0 @ aa1121 aa1222 aa1323 aa1424 a31 a32 a33 a34 1 A

la cual se compone de los vectores columna o matrices de 3  1 siguientes c1= 0 @ aa1121 a31 1 A, c2= 0 @ aa1222 a32 1 A, c3= 0 @ aa1323 a33 1 A y c4= 0 @ aa1424 a34 1 A. Note que cada ci2 R3.

En forma similar se tiene los vectores renglón o matrices de orden 1  4 siguientes r1=  a11 a12 a13 a14 , r2=  a21 a22 a23 a24  y r3=  a31 a32 a33 a34  Note que cada ri2 R4.

Una representación alterna de una matriz en términos de vectores columna o renglón es A = c1 c2 c3 c4 = 0 @ rr12 r3 1 A

Operaciones elementales con vectores

Sean x = x1 x2 · · · xn y y = y1 y2 · · · yn dos vectores en Rn

y  un escalar.

1. Igualdad de vectores, x = y si y sólo si

3.2. VECTORES 43 2. Adición x + y =  x1 x2 · · · xn  + y1 y2 · · · yn  =  x1+ y1 x2+ y2 · · · xn+ yn 

la suma se lleva a cabo sólo entre vectores renglón o vectores columna. 3. Producto de un vector por un escalar

x =  x1 x2 · · · xn 

=  x1 x2 · · · xn 

4. Producto escalar de vectores, por definición

x_{· y =}  x1 x2 · · · xn · y1 y2 · · · yn  = x1y1+ x2y2+ · · · + xnyn = n X i=1 xiyi

Este producto se lleva a cabo aplicando la definición entre vectores renglón, entre vectores columna o entre vector renglón y columna, con igual número de componentes.

El producto escalar también se conoce como producto punto o producto interno. En forma matricial el producto escalar puede llevarse a cabo como el producto de una matriz 1  n y una matriz de n  1

x_{· y =}  x1 x2 · · · xn  m atriz de 1n 0 B B B @ y1 y2 .. . yn 1 C C C A m atriz de n1 = x1y1+ x2y2+ · · · + xnyn

Nótese que el resultado es un solo número y no un arreglo de números como lo es un vector.

Propiedades de vectores

Sean a, b, c vectores en Rn_{,  y  escalares. Entonces}

1. a+ 0 = a.

2. 0 a = 0, donde 0 2 Rn.

3. a+ b = b + a (ley conmutativa).

4. (a + b) + c = a + (b + c) (ley asociativa).

5. ( + ) a = a+a (Ley distributiva de la multiplicación por un escalar). 6. () a =  (a).

Vectores conwxMaxima

En wxMaxima un vector renglón o columna se define mediante una lista de números, agrupados entre corchetes las componentes del vector separados por comas. Así por ejemplo, los vectores renglón u y v, los vectores columna w y z, dados por u =  3 _{2 3}  v =  4 1 5  w = 0 @ 53 1 1 A z = 0 @ 17 9 1 A

se introducen en wxMaxima uno a uno con la instrucción u:[3,2,3] oprimir " +

-o c-on la instrucción

u:[3,2,3]; v:[4,1,5] ; w:[5,3,1] ; z:[1,7,6] oprimir " + -se introducen todos a la vez.

Una vez definidos estos vectores se pueden realizar operaciones según se han definido, por ejemplo

1. Adición de vectores

2. Multiplicación de vectores por un escalar

3.2. VECTORES 45 Los operadores "" y "." se utilizan para la mutliplicación, el operador "" para efectuar una multiplicación de un vector por un escalar, el operador "." (punto) para efectuar el producto escalar entre vectores.

Como los vectores es una clase especial de matrices, entonces se pueden in-troducir en wxMaxima mediante el comando "matrix ". Así los vectores renglón u_{y v serán matrices 1  3}

u:matrix([3,2,3]) oprimir " + ; v:matrix([4,1,5]) oprimir " + -desplegándose

y los vectores columna w y z matrices de 3  1

w:matrix([5],[3],[1]) oprimir " + ; z:matrix([1],[7],[9]) oprimir " + -desplegándose

Los vectores también pueden ser introducidos a partir del Menú, la secuencia de instrucciones es la siguiente: _{! Enter Matriz...! Matriz (introducir} vector)! Aceptar.

wxMaxima puede llevar a cabo el cálculo de producto escalar mediante la Función: dotproduct(u,v), donde u y v deben ser definidos sólo como vectores columna, esto es como matrices de n  1.

Propiedades del producto escalar

Sean a, b y c vectores en Rn_{,  y  dos escalares. Entonces,}

1. a· 0 = 0, donde 0 2 Rn_.

2. a · b = b · a, ley conmutativa del producto escalar. 3. a · (b + c) = a · b + a ·c.

4. (a) · b =  (a · b) . Ejercicio 6 Dados los vectores

v1 = 0 @ 22 1 1 A , v2= 2 3 1 , v3 = 0 @ 73 11 1 A y v4=  2 9 4 

Efectuar las operaciones siguientes 1. v1· v3

2. v3· v2

3. v2· v1

4. v2· v4

Operaciones elementales con matrices

Sean A = (aij) y B = (bij) matrices de orden m  n y  un escalar, definimos

la operaciones elementales siguientes

1. Igualdad: A = B si ambas matrices son del mismo orden y se cumple (aij)

= (bij).

2. Adición: C = A+ B = (aij) + (bij) = (aij+ bij) = (cij), donde C es una

matriz de orden m  n, de manera equivalente se define la sustracción de matrices: A  B.

3. Multiplicación por un escalar: C = A =  (aij) = (aij), donde C es

una matriz de orden m  n.

Ejemplo 26 Dadas la matrices siguientes A =  5 7 6 _6  B = 0 @ 10_10 15 _41 1 10 2 1 A C = 0 @ 1 9_5 10 _28 7 7 _7 1 A Hallar B + C, B  C y 2A.

3.2. VECTORES 47 Solución 26 Las operaciones se muestran a continuación

B+C = 0 @ 1010 15 _41 1 10 2 1 A+ 0 @ 1 95 10 _28 7 7 _7 1 A = 0 @ 11 815 15 _69 6 _{3 5} 1 A BC = 0 @ 10_10 15 _41 1 10 2 1 A 0 @ 1 9_5 10 _28 7 7 _7 1 A = 0 @ 9_{5 5}10 7_2 8 17 9 1 A 2A = 2  5 7 6 _6  =  10 14 12 _12 

Algunas de las operaciones que no se pueden realizar, ya que las matrices no son del mismo orden, son por ejemplo, A + B, A + C, A  B, A  C, etc. Propiedades del álgebra de matrices

Sean A, B y C matrices de m  n,  y  escalares, entonces, 1. A + 0 = A donde 0mn.

2. 0A = 0mn donde  = 0.

3. A + B = B + A (ley conmutativa para la suma de matrices).

4. (A + B) + C = A + (A + B) (ley asociativa para la suma de matrices). 5.  (A + B) = A + B (Ley distributiva para la multiplicación por un

escalar).

6. ImA = AIn (I: matriz identidad de orden n o m).

7. ( + ) A = A + A Ejercicio 7 Sea A =  1 2 3 2 1 4  , B = 0 @ 12 01 3 2 1 A , C = 0 @ 34 1 31 5 2 1 3 1 A D =  3 _2 2 4  , E = 0 @ 20 4 51 4 3 2 1 1 A y F = 4 5 2 3 

de ser posible, cálcule 1. E + C

2. D  F 3. 2C  3E 4. A + B 5. 2B + F

3.3

Multiplicación de Matrices

Sean A = (aij) una matriz de orden m  n y B = (bij) una matriz de orden

n  q, se obtiene una matriz C = (cij) de orden m  q al efectuar el producto

matricial AB,

C

(mq)=(mAn)(nBq) (3.2)

donde cada elemento de cij de C se obtiene de la operación siguiente

cij = ri· cj cij = (renglón i de A) · (columna j de B) o en forma matricial cij =  ai1 ai2 · · · ain  0 B B B @ b1j b2j .. . bnj 1 C C C A cij = ai1b1j+ ai2b2j+ · · · + ainbnj cij = n X k=1 aikbkj

Note que el producto de dos matrices, ecuación (3.2), puede realizarse sólo si el número de columnas de A es igual al número de renglones de B; se dice que A y B son compatibles mediante la multiplicación.

Ejemplo 27 Dadas las matrices

A =  a b , B =  c d  , C =  a b u v  D =  1 2 4 3  y E =  5 6 8 7 

lleve a cabo las operaciones siguientes. 1. AB

2. CB 3. DE

Solución 27 Las operaciones son

1. AB = a b   c d  = ac + bd

3.3. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES 49 2. CB =  a b u v   c d  =  ac + bd uc + vd  3. DE =  1 2 4 3   5 6 8 7  = 0 B B B B @  1 2   5 8  _ 1 2   6 7   4 3   5 8  _ 4 3   6 7  1 C C C C A =  21 20 44 45 

3.3.1

Propiedades de la Multiplicación de Matrices

Sean A, B y C matrices y  un escalar; si todas las sumas y productos indicados están definidos, entonces son válidas las propiedades siguientes

1. AB 6= BA (en general).

2. AB = AC no implica que B = C.

3. (AB) C = A (BC) (ley asociativa de la multiplicación).

4. A (B + C) = AB + AC (ley distributiva izquierda de la multiplicación de matrices bajo la adición).

5. (B + C) A = BA + CA (ley distributiva derecha de la multiplicación de matrices bajo la adición).

6.  (AB) = (A) B = A (B) (ley asociativa de la multiplicación de matri-ces y escalar).

Potencia de Matrices

Sean A, B matrices cuadradas de orden n; entonces son válidas las propiedades siguientes 1. Ap_{= AA · · · A} | {z } p-factores 2. A0_{= I} n 3. Ap_Aq _{= A}p+q 4. (Ap₎q = Apq

Operaciones con Matrices en wxMaxima

En los ejemplos siguientes se muestra como wxMaxima trabaja con las opera-ciones matriciales antes definidas.

Ejemplo 28 Utilizando wxMaxima. Dadas las matrices siguientes

A =  1 8 _9 0 10 _1  , B = 0 @ 82 10 1 5 1 A C =  1 7 1 3  y D =  7 _4 4 5 

efectue las operaciones matriciales siguientes 1. Adición de matrices, C + D.

2. Multiplicación de una matriz por un escalar, 6  A. 3. Producto de matrices, A.B.

4. Potencia de matrices cuadradas, C ˆˆ2.

5. Operaciones combinadas, 2  (C + D)  3  A.B.

Solución 28 Las matrices dadas se introducen en wxMaxima con la instrucción siguiente, A:matrix([1,8,-9],[0,10,-1]); B:matrix([8,1],[2,0],[-1,5]); C:matrix([-1,7],[-1,3]); D:matrix([7,-4],[4,5]); al final de la instrucción oprimir " + - . Una vez definidas estas matrices se pueden realizar las operaciones siguientes,

1. Adición de matrices

2. Multiplicación de una matriz por un escalar

3.3. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES 51 4. Potencia2 _{de matrices cuadradas}

5. Operaciones combinadas

Está última operación es

2 (C + D)  3AB = 2  1 7 1 3  +  7 _4 4 5   3  1 8 _9 0 10 _1 0 @ 82 10 1 5 1 A =  87 138 57 31 

Ejercicio 8 Utilizando wxMaxima. Dadas las matrices

A =  1 2 _3 4 0 _2  , B = 0 @ 32 14 1 5 1 A C =  2 3 1 2  y D =  2 _3 4 1 

de ser posible, cálcule 1. AB + CD 2. (AB)2+ CD 3. D (AB) 4. BA + CF 5. (C + D) A 6. CD2

3.4

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales

El sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas siguiente

E1: a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

E2: a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

..

. ... ... _{· · ·} ... ...

Em: am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

puede ser representado en forma matricial por la ecuación (3.3) 0 B B B @ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... _{· · ·} ... am1 am2 · · · amn 1 C C C A | {z } A 0 B B B @ x1 x2 .. . xn 1 C C C A | {z } x = 0 B B B @ b1 b2 .. . bm 1 C C C A | {z } b (3.3)

Donde A es la matriz de coeficientes de orden m  n, x es el vector de incognitas en Rn _{(matriz de n  1) y b es el vector de términos constantes en}

Rm_{(matriz de m  1), así la representación del sistema de ecuaciones lineales}

en su forma matricial compacta es,

Ax = b (3.4)

La utilidad de está notación abreviada la veremos en la sección siguiente.

3.4.1

Matrices Inversas

La inversa de una matriz A de n  n, es la matriz B de n  n tal que

AB = BA = In

Entonces B se le llama la inversa de A y se escribe por A1_{. Así se tiene que la}

inversa de una matriz A cuadrada de orden n es aquella que cumple AA1 = A1A = In

Si una matriz tiene inversa su inversa es única, se dice entonces que la matriz es invertible o no singular. Las matrices que no tienen inversas son llamadas singulares.

En los ejemplos siguientes utilice wxMaxima para comprobar la operación. Ejemplo 29 Muestre que la inversa de la matriz

A = 

5 6

8 7

3.4. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 53 es B =  7 13 6 13 8 13  5 13 !

Solución 29 Se debe probar AB = BA = I2.

AB = I2  5 6 8 7  7 13 6 13 8 13  5 13 ! =  1 0 0 1  y BA = I2 7 13 6 13 8 13  5 13 !  5 6 8 7  =  1 0 0 1 

se muestra entonces que A1 _{= B.}

Ejemplo 30 Cálcule la inversa de la matriz A = 

2 5

3 1

 .

Solución 30 El cálculo de su inversa implica que AA1 _{= A}1_{A = I2. Suponemos}

que A1₌



a b

c d



entonces debe cumplirse:

AA1 = I2  2 5 3 1   a b c d  =  1 0 0 1   2a + 5c 2b + 5d 3a + c 3b + d  =  1 0 0 1 

Está igualdad matricial plantea los sistemas de ecuaciones lineales siguiente 2a + 5c = 1 3a + c = 0   2 5 3 1     10  2b + 5d = 0 3b + d = 1   2 5 3 1     01 

Note que los sistemas aumentados tienen los mismos coeficientes, de tal modo que se pueden resolver simultáneamente en una sóla matriz aumentada:

0 B B B @ 2 5 3 1 | {z } A          1 0 0 1 | {z } I2 1 C C C A