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CIRCULO DE MOHR

CIRCULO DE MOHR

Gulcamaigua Guamushig César Augusto

Gulcamaigua Guamushig César Augusto

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cesar161861@hotmail.comcesar161861@hotmail.com

Guzmán

Guzmán

Pulamarín Fabricio Isaúl

Pulamarín Fabricio Isaúl

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fabricioguzman29@yahoo.comfabricioguzman29@yahoo.com

Toapaxi Toapaxi Luis Antonio

Toapaxi Toapaxi Luis Antonio

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toapaxitoapaxiluis@gmail.comtoapaxitoapaxiluis@gmail.com

RESUMEN:

RESUMEN:

El presente trabajo consta de unaEl presente trabajo consta de una investigación realiz

investigación realizada sobre el ada sobre el círculo de círculo de mohr mohr y susy sus  principales

 principales aplicaciones aplicaciones en en la la ingeniería. ingeniería. El El objetivoobjetivo  principal

 principal es es conocer conocer los los fundamentos fundamentos para para susu construcción y debido a que no se necesitan medidas construcción y debido a que no se necesitan medidas reales para su construcción es una forma gráfica que reales para su construcción es una forma gráfica que aún se utiliza pese a la introducción de calculadoras y aún se utiliza pese a la introducción de calculadoras y computadores. Para realizar un análisis se han resumido computadores. Para realizar un análisis se han resumido los temas princip

los temas principales que ales que intervienen en este trabaintervienen en este trabajo.jo. PALABRAS CLAVE

PALABRAS CLAVE: cargas, diagramas, esfuerzos,: cargas, diagramas, esfuerzos, tensiones

tensiones

1 INTRODUCCIÓN

1 INTRODUCCIÓN

Christian mohr hizo grandes aportaciones a la teoría de Christian mohr hizo grandes aportaciones a la teoría de estructuras siendo

estructuras siendo el un ing. el un ing. Civil. Siendo el Civil. Siendo el método demétodo de mohr el más conocido ha

mohr el más conocido hasta la actualidad sta la actualidad a pesar de losa pesar de los avances tecnológicos de los ú

avances tecnológicos de los últimos años.ltimos años.

El mismo que nos permite determinar esfuerzos El mismo que nos permite determinar esfuerzos máximos y mínimos de compresión y además tensiones máximos y mínimos de compresión y además tensiones de esfuerzos cortantes y su representación se la realiza de esfuerzos cortantes y su representación se la realiza mediante un plano de esfuerzos completos y en el mediante un plano de esfuerzos completos y en el mismo va

mismo va un circulo un circulo sT sT dibujado en dibujado en un sistun sistema de ema de ejesejes perpendiculares.

perpendiculares.  A

 A continuación continuación se se realizara realizara una una breve breve síntesissíntesis sobreveste método haciendo énfasis en los conceptos sobreveste método haciendo énfasis en los conceptos más importantes y además mediante la demostración en más importantes y además mediante la demostración en una maqueta

una maqueta de la de la teoría.teoría.

2 CIRCULO DE MOHR

2 CIRCULO DE MOHR

El Círculo de Mohr es una técnica usada en

El Círculo de Mohr es una técnica usada en  ingeniería ingeniería para

para calcular calcular con con ellaella momentos momentos dede

del

del esfuerzo cortante m esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformaciónáximo absoluto y la deformación máxima absoluta.

máxima absoluta.

2.1 CONCEPTOS GENERALES

2.1 CONCEPTOS GENERALES

La Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión La Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima.

máxima y mínima. El círculo de mohr

El círculo de mohr nos permite representar nos permite representar gráficamentegráficamente los esfuerzos normales y cortantes máximos

los esfuerzos normales y cortantes máximos El círculo de mohr es a

El círculo de mohr es a plicable a casos bidimensionalesplicable a casos bidimensionales Los círculos de Mohr permiten de forma gráfica resolver Los círculos de Mohr permiten de forma gráfica resolver problemas de tensión plana y de estados generales de problemas de tensión plana y de estados generales de tensiones.

tensiones.

El polo es aquel punto del círculo Mohr, tal que si por él El polo es aquel punto del círculo Mohr, tal que si por él trazamos una paralela al plano del que queremos conocer trazamos una paralela al plano del que queremos conocer las tensiones y lo prolongamos hasta que corte a la línea las tensiones y lo prolongamos hasta que corte a la línea límite del círculo, entonces, las coordenadas cartesianas límite del círculo, entonces, las coordenadas cartesianas del punto de intersección son precisamente las tensiones del punto de intersección son precisamente las tensiones del plano

del plano“α”“α”que buscamosque buscamos

Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones normales, es decir, perpendiculares, al área tensiones normales, es decir, perpendiculares, al área para la cual

para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal.pretendemos determinar el esfuerzo normal. Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la res

el que viene dado por la res ultante de tensiones cortantes,ultante de tensiones cortantes, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.

determinar el esfuerzo cortante. La

La tensión normal tensión normal es es el esfuerzo el esfuerzo normal (tracción normal (tracción oo compresión) que implica la existencia de tensiones compresión) que implica la existencia de tensiones normales

normales La tensión t

(2)

3 CÍRCULO

DE

MOHR

PARA

ESFUERZOS

En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90°

Ha de hacer notar que el eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal (σ) y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial (τ) para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera

Centro del círculo de Mohr:

Radio de la circunferencia de Mohr:

Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:

4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE

LAS LEYES DE TRANSFORMACIÓN

DE ESFUERZOS DEL CÍRCULO DE

Los esfuerzos normales de tracción son positivos

Los esfuerzos normales de compresión son negativos.

Y para la aplicación a la mecánica de suelos se aplicara la convención contraria (los esfuerzos normales de compresión será positivos).

El esfuerzo cortante τxy donde: (X: cara positiva y Y:

dirección positiva) si es positivo tendrá una rotación del elemento en sentido anti horario.

De acuerdo con lo antes dicho el eje de ordenadas será positivo.

Estado de esfuerzos en equilibrio:

Notaciónτxy:esfuerzo cortante que actuando en la cara

(3)

5 IMÁGENES DEL CIRCULO DE MOHR

Notese que para determiar el sigo de τxybasta con

observar siτxyesta actuando en cara positiva de X y en

direccion positiva del eje Y; entonces sera positivo y si actua en la cara negativa de X y en direccion negativa del eje Y tambien sera pósitivo

6 ECUACIONES

 Asbista del centro c del circulo de mohr:

Radio del círculo de mohr

Ecuación de un circulo de radio R y centro (σprom,R)

Esfuerzos normales máximos

(4)

Esfuerzos cortantes máximos

Calculo del ángulo de la ecuación

7 CONSTRUCCIÓN DEL CIRCULO DE

MOHR

Para construir un círculo de Mohr que sirva en la solución de problemas, se usa el siguiente procedimiento:

1. Se traza un par de ejes coordenadas tomando aσcomo eje de las abscisas ya τ como eje de las ordenadas. 2. Se trazan los valores de τ y σ correspondientes a dos superficies mutuamente perpendiculares del cubo elemental, tales como las caras cd y ac de la Fig. 6.24 (a), obteniendo dos puntos en la periferia del círculo. De acuerdo con la convención de signos, los esfuerzos de tensión son positivos y los esfuerzos de compresión, negativos. Los esfuerzos cortantes que tienden a hacer girar al bloque en sentido de las manecillas del reloj, tales como los de las caras ac y bd, se consideran negativos. En el círculo de la Fig. 6.24 (b), el punto V con coordenadas (+ σ x, + τ), y el punto H con coordenadas (+σ y, - τ) son los puntos que se trazarán 3. Se traza la línea recta HCV que une estos dos

8 EJERCICIO DE APLICACIÓN

Del estado mostrado en la figura determine: Los esfuerzos normales y tangenciales máximos

Cálculo del centro:

Calculo del radio: √ 

(5)

Calculo de los esfuerzos principales:

( ) √ ( )

( ) √ ( ) √ 

√  √ 

Calculo del ángulo de la ecuación: ( √ )

Calculo del esfuerzo cortante máximo: Corresponde al radio del círculo

Representación del círculo de mohr 

Representación de los esfuerzos principales y cortante máximo.

9 CONCUSIONES

El círculo de mohr nos permite representar los esfuerzos normales y cortantes máximos mediante la representación de un plano completo.

Es una técnica muy utilizada en ingeniería para la resolución de ejercicios de esfuerzos y deformaciones pese al avance de la tecnología.

Para determinar el círculo de mohr es necesario calcular primero sigma(σ) y tau (τ).

El esfuerzo cortante máximo es igual al radio del circulo de mohr.

10 BIBLIOGRAFIA

[1]

http://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/

[2]

http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/mecanica-y-mecanismos/Contenidos/Teoria/1.3.Circulo-Mohr.pdf

[3]

http://ocw.uc3m.es/mecanica-de-medios-continuos- y-teoria-de-estructuras/elasticidad-resistencia-de- materialesii/material-de-clase-1/materiales-compuestos/anexoA.circulo.mohr.pdf

[4]

http://fisica.laguia2000.com/conceptos-basicos/el-circulo-de-mohr-y-sus- características

[5]

http://materiales.azc.uam.mx/gjl/Clases/MA10_I/S6.pdf

[6]

http://es.scribd.com/doc/49369439/Mecanica-de-Materiales-Circulo-de-Mohr-y-Columnas

Referencias

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