CIRCULO DE MOHR
CIRCULO DE MOHR
Gulcamaigua Guamushig César Augusto
Gulcamaigua Guamushig César Augusto
e-mail:
e-mail:
cesar161861@hotmail.comcesar161861@hotmail.comGuzmán
Guzmán
Pulamarín Fabricio Isaúl
Pulamarín Fabricio Isaúl
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fabricioguzman29@yahoo.comfabricioguzman29@yahoo.comToapaxi Toapaxi Luis Antonio
Toapaxi Toapaxi Luis Antonio
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toapaxitoapaxiluis@gmail.comtoapaxitoapaxiluis@gmail.comRESUMEN:
RESUMEN:
El presente trabajo consta de unaEl presente trabajo consta de una investigación realizinvestigación realizada sobre el ada sobre el círculo de círculo de mohr mohr y susy sus principales
principales aplicaciones aplicaciones en en la la ingeniería. ingeniería. El El objetivoobjetivo principal
principal es es conocer conocer los los fundamentos fundamentos para para susu construcción y debido a que no se necesitan medidas construcción y debido a que no se necesitan medidas reales para su construcción es una forma gráfica que reales para su construcción es una forma gráfica que aún se utiliza pese a la introducción de calculadoras y aún se utiliza pese a la introducción de calculadoras y computadores. Para realizar un análisis se han resumido computadores. Para realizar un análisis se han resumido los temas princip
los temas principales que ales que intervienen en este trabaintervienen en este trabajo.jo. PALABRAS CLAVE
PALABRAS CLAVE: cargas, diagramas, esfuerzos,: cargas, diagramas, esfuerzos, tensiones
tensiones
1 INTRODUCCIÓN
1 INTRODUCCIÓN
Christian mohr hizo grandes aportaciones a la teoría de Christian mohr hizo grandes aportaciones a la teoría de estructuras siendo
estructuras siendo el un ing. el un ing. Civil. Siendo el Civil. Siendo el método demétodo de mohr el más conocido ha
mohr el más conocido hasta la actualidad sta la actualidad a pesar de losa pesar de los avances tecnológicos de los ú
avances tecnológicos de los últimos años.ltimos años.
El mismo que nos permite determinar esfuerzos El mismo que nos permite determinar esfuerzos máximos y mínimos de compresión y además tensiones máximos y mínimos de compresión y además tensiones de esfuerzos cortantes y su representación se la realiza de esfuerzos cortantes y su representación se la realiza mediante un plano de esfuerzos completos y en el mediante un plano de esfuerzos completos y en el mismo va
mismo va un circulo un circulo sT sT dibujado en dibujado en un sistun sistema de ema de ejesejes perpendiculares.
perpendiculares. A
A continuación continuación se se realizara realizara una una breve breve síntesissíntesis sobreveste método haciendo énfasis en los conceptos sobreveste método haciendo énfasis en los conceptos más importantes y además mediante la demostración en más importantes y además mediante la demostración en una maqueta
una maqueta de la de la teoría.teoría.
2 CIRCULO DE MOHR
2 CIRCULO DE MOHR
El Círculo de Mohr es una técnica usada en
El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería ingeniería para
para calcular calcular con con ellaella momentos momentos dede
del
del esfuerzo cortante m esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformaciónáximo absoluto y la deformación máxima absoluta.
máxima absoluta.
2.1 CONCEPTOS GENERALES
2.1 CONCEPTOS GENERALES
La Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión La Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima.
máxima y mínima. El círculo de mohr
El círculo de mohr nos permite representar nos permite representar gráficamentegráficamente los esfuerzos normales y cortantes máximos
los esfuerzos normales y cortantes máximos El círculo de mohr es a
El círculo de mohr es a plicable a casos bidimensionalesplicable a casos bidimensionales Los círculos de Mohr permiten de forma gráfica resolver Los círculos de Mohr permiten de forma gráfica resolver problemas de tensión plana y de estados generales de problemas de tensión plana y de estados generales de tensiones.
tensiones.
El polo es aquel punto del círculo Mohr, tal que si por él El polo es aquel punto del círculo Mohr, tal que si por él trazamos una paralela al plano del que queremos conocer trazamos una paralela al plano del que queremos conocer las tensiones y lo prolongamos hasta que corte a la línea las tensiones y lo prolongamos hasta que corte a la línea límite del círculo, entonces, las coordenadas cartesianas límite del círculo, entonces, las coordenadas cartesianas del punto de intersección son precisamente las tensiones del punto de intersección son precisamente las tensiones del plano
del plano“α”“α”que buscamosque buscamos
Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones normales, es decir, perpendiculares, al área tensiones normales, es decir, perpendiculares, al área para la cual
para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal.pretendemos determinar el esfuerzo normal. Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la res
el que viene dado por la res ultante de tensiones cortantes,ultante de tensiones cortantes, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
determinar el esfuerzo cortante. La
La tensión normal tensión normal es es el esfuerzo el esfuerzo normal (tracción normal (tracción oo compresión) que implica la existencia de tensiones compresión) que implica la existencia de tensiones normales
normales La tensión t
3 CÍRCULO
DE
MOHR
PARA
ESFUERZOS
En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90°
Ha de hacer notar que el eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal (σ) y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial (τ) para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera
Centro del círculo de Mohr:
Radio de la circunferencia de Mohr:
Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:
Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:
4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE
LAS LEYES DE TRANSFORMACIÓN
DE ESFUERZOS DEL CÍRCULO DE
Los esfuerzos normales de tracción son positivos
Los esfuerzos normales de compresión son negativos.
Y para la aplicación a la mecánica de suelos se aplicara la convención contraria (los esfuerzos normales de compresión será positivos).
El esfuerzo cortante τxy donde: (X: cara positiva y Y:
dirección positiva) si es positivo tendrá una rotación del elemento en sentido anti horario.
De acuerdo con lo antes dicho el eje de ordenadas será positivo.
Estado de esfuerzos en equilibrio:
Notaciónτxy:esfuerzo cortante que actuando en la cara
5 IMÁGENES DEL CIRCULO DE MOHR
Notese que para determiar el sigo de τxybasta con
observar siτxyesta actuando en cara positiva de X y en
direccion positiva del eje Y; entonces sera positivo y si actua en la cara negativa de X y en direccion negativa del eje Y tambien sera pósitivo
6 ECUACIONES
Asbista del centro c del circulo de mohr:
Radio del círculo de mohr
Ecuación de un circulo de radio R y centro (σprom,R)
Esfuerzos normales máximos
Esfuerzos cortantes máximos
Calculo del ángulo de la ecuación
7 CONSTRUCCIÓN DEL CIRCULO DE
MOHR
Para construir un círculo de Mohr que sirva en la solución de problemas, se usa el siguiente procedimiento:
1. Se traza un par de ejes coordenadas tomando aσcomo eje de las abscisas ya τ como eje de las ordenadas. 2. Se trazan los valores de τ y σ correspondientes a dos superficies mutuamente perpendiculares del cubo elemental, tales como las caras cd y ac de la Fig. 6.24 (a), obteniendo dos puntos en la periferia del círculo. De acuerdo con la convención de signos, los esfuerzos de tensión son positivos y los esfuerzos de compresión, negativos. Los esfuerzos cortantes que tienden a hacer girar al bloque en sentido de las manecillas del reloj, tales como los de las caras ac y bd, se consideran negativos. En el círculo de la Fig. 6.24 (b), el punto V con coordenadas (+ σ x, + τ), y el punto H con coordenadas (+σ y, - τ) son los puntos que se trazarán 3. Se traza la línea recta HCV que une estos dos
8 EJERCICIO DE APLICACIÓN
Del estado mostrado en la figura determine: Los esfuerzos normales y tangenciales máximos
Cálculo del centro:
Calculo del radio: √
Calculo de los esfuerzos principales:
( ) √ ( )
( ) √ ( ) √
√ √
Calculo del ángulo de la ecuación: ( √ )
Calculo del esfuerzo cortante máximo: Corresponde al radio del círculo
Representación del círculo de mohr
Representación de los esfuerzos principales y cortante máximo.
9 CONCUSIONES
El círculo de mohr nos permite representar los esfuerzos normales y cortantes máximos mediante la representación de un plano completo.
Es una técnica muy utilizada en ingeniería para la resolución de ejercicios de esfuerzos y deformaciones pese al avance de la tecnología.
Para determinar el círculo de mohr es necesario calcular primero sigma(σ) y tau (τ).
El esfuerzo cortante máximo es igual al radio del circulo de mohr.