TEORIA DE LÍNEAS DE ESPERA

(1)

T

EORIA DE LÍNEAS DE ESPERA

Con el objeto de verificar si una situación determinada del sistema de líneas de espera se ajusta o no a un modelo Con el objeto de verificar si una situación determinada del sistema de líneas de espera se ajusta o no a un modelo conocido, se requiere de un método para clasificar las líneas de espera. Esa clasificación debe de responder

conocido, se requiere de un método para clasificar las líneas de espera. Esa clasificación debe de responder preguntas como las siguientes:

preguntas como las siguientes: 1.-¿ El sistema de

1.-¿ El sistema de líneas de espera tiene un solo punto de servicio líneas de espera tiene un solo punto de servicio o existen varios puntos de servicio en o existen varios puntos de servicio en secuencia?secuencia? 2.-¿Existe solo una instalación de servicio o son múltiples las instalaciones de servicio que pueden atender a una 2.-¿Existe solo una instalación de servicio o son múltiples las instalaciones de servicio que pueden atender a una unidad?

unidad?

3.- ¿ Las unidades que requieren el servicio llegan siguiendo algún patrón o llegan en forma aleatoria? 3.- ¿ Las unidades que requieren el servicio llegan siguiendo algún patrón o llegan en forma aleatoria?

4.- ¿El tiempo que requieren para el servicio se da en algún patrón de o asume duraciones aleatorias de tiempo? 4.- ¿El tiempo que requieren para el servicio se da en algún patrón de o asume duraciones aleatorias de tiempo?

N

OTACIÓN KENDALL

Por lo general, las tasas de llegada y de servicio no se conocen con certidumbre sino que son de naturaleza Por lo general, las tasas de llegada y de servicio no se conocen con certidumbre sino que son de naturaleza estocástica o probabilística. Es decir los tiempos de llegada y

estocástica o probabilística. Es decir los tiempos de llegada y de servicio deben describirse a través de distribucionesde servicio deben describirse a través de distribuciones de probabilidad y las distribuciones de probabilidad que se elijan deben describir la forma en que e comportan los de probabilidad y las distribuciones de probabilidad que se elijan deben describir la forma en que e comportan los tiempos de llegada o de servicio.

tiempos de llegada o de servicio.

En teoría de líneas de espera o de colas se utilizan tres distribuciones de probabilidad bastante comunes, estan se En teoría de líneas de espera o de colas se utilizan tres distribuciones de probabilidad bastante comunes, estan se mencionan a continuación: mencionan a continuación:

Markov

Determinística

Genera

ll

La distribución de Markov, en honor al matemático A.A. Markov

La distribución de Markov, en honor al matemático A.A. Markov quien identifico los eventos "sin memoria", se utilizaquien identifico los eventos "sin memoria", se utiliza para describir ocurrencias aleatorias, es decir, aquellas de las que puede decirse que carecen de memoria acerca de para describir ocurrencias aleatorias, es decir, aquellas de las que puede decirse que carecen de memoria acerca de los eventos pasados.

los eventos pasados.

Una distribución determinística es aquella en que los sucesos ocurren en forma constante y sin cambio. Una distribución determinística es aquella en que los sucesos ocurren en forma constante y sin cambio. La distribución general sería cualquier otra

La distribución general sería cualquier otra distribución de probabilidaddistribución de probabilidad. Es . Es posible describir el patrón de posible describir el patrón de llegadas por llegadas por medio de una distribución de probabilidad y el patrón de servicio a través de otra.

medio de una distribución de probabilidad y el patrón de servicio a través de otra. Para permitir un adecuado uso de los diversos sistemas de

Para permitir un adecuado uso de los diversos sistemas de líneas de espera, kendall, matemático británico elabolíneas de espera, kendall, matemático británico elabororo una notación abreviada para describir en forma sucinta los parámetros de un sistema de este tipo. En la notación una notación abreviada para describir en forma sucinta los parámetros de un sistema de este tipo. En la notación Kendall un sistema de líneas de espera se designa como

Kendall un sistema de líneas de espera se designa como

A / B / C

En donde En donde

A = se sustituye por la letra que denote la distribución de llegada. A = se sustituye por la letra que denote la distribución de llegada. B = se

B = se sustituye por la letra sustituye por la letra que denote la distribución de servicio.que denote la distribución de servicio. C = se

C = se sustituye por el entero positivo que denote el numero de canales de servicio.sustituye por el entero positivo que denote el numero de canales de servicio.

La notación kendall también utiliza M = Markoviano, D = determinística, G = General, por ejemplo un sistema de líneas La notación kendall también utiliza M = Markoviano, D = determinística, G = General, por ejemplo un sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, servicio determinístico y tres canales de servicio se

de espera con llegadas aleatorias, servicio determinístico y tres canales de servicio se identificará en notación Kendaidentificará en notación Kendallll como

como M / D / 3 M / D / 3

En todos los casos se supone que solo existe una sola línea de entrada. En todos los casos se supone que solo existe una sola línea de entrada.

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Es evidente que existen otros atributos aparte de los que se analizaron antes y que deben de tomarse en Es evidente que existen otros atributos aparte de los que se analizaron antes y que deben de tomarse en consideración como por ejemplo:

consideración como por ejemplo:

El tamaño de la población de los que provienen los elementos que ingresan al sistema de líneas de espera. El tamaño de la población de los que provienen los elementos que ingresan al sistema de líneas de espera.

La forma en que las unidades llegan para ingresar al sistema de líneas de espera; por ejemplo, una por una o en forma La forma en que las unidades llegan para ingresar al sistema de líneas de espera; por ejemplo, una por una o en forma Si las unidades rechazan o no debido a la longitud de la línea de espera y no ingresan al sistema.

Si las unidades rechazan o no debido a la longitud de la línea de espera y no ingresan al sistema.

Si las unidades se arrepienten y abandonan el sistema después de haber aguardado un tiempo en la fila. Si las unidades se arrepienten y abandonan el sistema después de haber aguardado un tiempo en la fila. Si existe o no espacio suficiente para que todas las unidades que llegan aguarden en la fila.

Si existe o no espacio suficiente para que todas las unidades que llegan aguarden en la fila. Los modelos de Líneas de espera que se analizarán son los siguientes:

Los modelos de Líneas de espera que se analizarán son los siguientes: Modelo M / M / 1 Modelo M / M / 1 Modelo M / M / S Modelo M / M / S Modelo M / G / 1 Modelo M / G / 1 Modelo M / D / 1 Modelo M / D / 1

M

MODELO

ODELO

M

/

M

/

1

Este sistema trata de una distribución de llegada Markoviano, tiempo de servicio Markoviano, y un servidor. Este sistema trata de una distribución de llegada Markoviano, tiempo de servicio Markoviano, y un servidor.

Llegadas aleatorias (M / M /

Llegadas aleatorias (M / M / 1)

1)

En las

En las situaciones cotidianasituaciones cotidianas es s es fácil encontrar ejemplos de llegadas aleatorias, puesto que fácil encontrar ejemplos de llegadas aleatorias, puesto que las llegadas seránlas llegadas serán

aleatorias en cualquier caso en la que una de ellas no afecte a las otras. Un ejemplo clásico de llegadas aleatorias son aleatorias en cualquier caso en la que una de ellas no afecte a las otras. Un ejemplo clásico de llegadas aleatorias son las llamadas que arriban a un conmutador telefónico o un servicio de emergencia.

las llamadas que arriban a un conmutador telefónico o un servicio de emergencia.

Se ha determinada que las ocurrencias aleatorias de un tipo especial pueden describirse a través de una distribución Se ha determinada que las ocurrencias aleatorias de un tipo especial pueden describirse a través de una distribución discreta de probabilidad bien conocida, la distribución de

discreta de probabilidad bien conocida, la distribución de PoissonPoisson. Este tipo especial de llegadas aleatorias supone. Este tipo especial de llegadas aleatorias supone características acerca de la corriente de entrada. En primer

características acerca de la corriente de entrada. En primer lugar, se supone que las llegadas son por completolugar, se supone que las llegadas son por completo independientes entre sí y con respecto al estado del sistema.

independientes entre sí y con respecto al estado del sistema.

En segundo lugar la probabilidad de llegada durante un periodo especifico no depende de cuando ocurre el periodo, En segundo lugar la probabilidad de llegada durante un periodo especifico no depende de cuando ocurre el periodo, sino más bien, depende solo de la longitud del intervalo. Se dicen que estas ocurrencias carecen de "memoria". sino más bien, depende solo de la longitud del intervalo. Se dicen que estas ocurrencias carecen de "memoria". Si conocemos el numero promedio de ocurrencias por periodo, podemos calcular las probabilidades acerca del Si conocemos el numero promedio de ocurrencias por periodo, podemos calcular las probabilidades acerca del

numero de eventos que ocurrirán en un periodo determinado, utilizando las probabilidades conocidas de la distribución numero de eventos que ocurrirán en un periodo determinado, utilizando las probabilidades conocidas de la distribución de Poisson.

de Poisson.

En particular, existe un promedio de l llegadas en un periodo, T, la probabilidad de n llegadas en el mismo periodo En particular, existe un promedio de l llegadas en un periodo, T, la probabilidad de n llegadas en el mismo periodo esta dado por:

esta dado por:

P[n llegadas en le tiempo T] = P[n llegadas en le tiempo T] =

Por ejemplo si existe un promedio de 6 llegadas aleatorias por hora, la probabilidad de que haya solo 3 llegadas Por ejemplo si existe un promedio de 6 llegadas aleatorias por hora, la probabilidad de que haya solo 3 llegadas durante una hora esta dada por:

durante una hora esta dada por:

P

P[[6 6 lllleeggaaddaas s een n lle e ttiieemmppo o een n uunna a hhoorraa] ] = = = = 00..00889922 Tiempo de servicio aleatori

Tiempo de servicio aleatorio (M / M o (M / M / 1)/ 1)

Al igual que las llegadas aleatorias, la ocurrencia de tiempos de servicios

Al igual que las llegadas aleatorias, la ocurrencia de tiempos de servicios aleatorios, carentes de memoria, es sucesoaleatorios, carentes de memoria, es suceso bastante común en las situaciones cotidianas de líneas de espera. Y al igual que las llegadas aleatorias los tiempos de bastante común en las situaciones cotidianas de líneas de espera. Y al igual que las llegadas aleatorias los tiempos de servicio carentes de memoria se describen a través de una distribución de probabilidad.

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La diferencia entre las llegadas aleatorias y los tiempos de servicio

La diferencia entre las llegadas aleatorias y los tiempos de servicio aleatorios es que estos se describen a aleatorios es que estos se describen a través detravés de una distribución continua en tanto que las llegadas se describen a través de una distribución de Poisson, que es una distribución continua en tanto que las llegadas se describen a través de una distribución de Poisson, que es discreta. Si la duración de los

discreta. Si la duración de los tiempos de servicio es aleatoria, la distribución exponencial negativa describe ese tipotiempos de servicio es aleatoria, la distribución exponencial negativa describe ese tipo de servicio. Si la

de servicio. Si la m es la m es la tasa promedio de servicio entonces la distribución esta dada por:tasa promedio de servicio entonces la distribución esta dada por: F(t) = m e-m t

F(t) = m e-m t

Es posible emplear esta formula para calcular la probabilidad de que el servicio sea mas prolongado que alguna Es posible emplear esta formula para calcular la probabilidad de que el servicio sea mas prolongado que alguna duración especificada de tiempo T. En la siguiente figura se representa es modelo.

duración especificada de tiempo T. En la siguiente figura se representa es modelo.

Características de operación

Para calcular las características de operació

Para calcular las características de operación de una cola M / M n de una cola M / M / 1, primero debemos de observar que sí l = tasa/ 1, primero debemos de observar que sí l = tasa promedio de llegadas y m = tasa promedio de servicio, entonces l debe de ser menor que m . Si esto no ocurriera el promedio de llegadas y m = tasa promedio de servicio, entonces l debe de ser menor que m . Si esto no ocurriera el promedio de llegadas sería superior al numero promedio que se atienden y el numero de unidades que están

promedio de llegadas sería superior al numero promedio que se atienden y el numero de unidades que están esperando se volvería infinitamente grande. Si hacemos que r = l / m puede denominarse a r como factor de esperando se volvería infinitamente grande. Si hacemos que r = l / m puede denominarse a r como factor de utilización. Este valor es la

utilización. Este valor es la fracción promedio de que el sistema este ocupado, también sería el numero promedio defracción promedio de que el sistema este ocupado, también sería el numero promedio de unidades que están siendo atendidas en cualquier momento. En términos de probabilidad tendríamos que:

unidades que están siendo atendidas en cualquier momento. En términos de probabilidad tendríamos que: Pw = probabilidad de que el sistema esté ocupado.

Pw = probabilidad de que el sistema esté ocupado.

Entonces la probabilidad de que el sistema no esté trabajando, o esté vacío, P0, puede obtenerse por medio de: Entonces la probabilidad de que el sistema no esté trabajando, o esté vacío, P0, puede obtenerse por medio de:

A partir de esto podemos obtener la probabilidad de que haya n unidades en el sistema, Pn, mediante: A partir de esto podemos obtener la probabilidad de que haya n unidades en el sistema, Pn, mediante:

en donde n es cualquier entero no negativo. Este importante resultado nos permite calcular las características de en donde n es cualquier entero no negativo. Este importante resultado nos permite calcular las características de operación de las líneas de espera.

operación de las líneas de espera.

La primera característica de operación que calculamos es el numero promedio de unidades que se encuentran en el La primera característica de operación que calculamos es el numero promedio de unidades que se encuentran en el sistema, ya sea esperando o siendo atendidas. Denominaremos a este número promedio de unidades promedio, L. sistema, ya sea esperando o siendo atendidas. Denominaremos a este número promedio de unidades promedio, L. Entonces tenemos que:

Entonces tenemos que:

Con estos valores obtenidos podemos calcular el numero promedio de unidades que esperan ser atendidas, Lq. Dado Con estos valores obtenidos podemos calcular el numero promedio de unidades que esperan ser atendidas, Lq. Dado que L es el numero de unidades que están esperando o están siendo atendidas, y r es el numero promedio de

que L es el numero de unidades que están esperando o están siendo atendidas, y r es el numero promedio de unidades que están siendo atendidas en algún momento dado entonces:

unidades que están siendo atendidas en algún momento dado entonces: L = Lq + r

L = Lq + r

A partir de esto es fácil observar que A partir de esto es fácil observar que Lq = L - r

Lq = L - r

O también podríamos decir que O también podríamos decir que

Ahora examinaremos el tiempo de espera. Utilizaremos W para representar el tiempo promedio o esperado que una Ahora examinaremos el tiempo de espera. Utilizaremos W para representar el tiempo promedio o esperado que una unidad se encuentra en el sistema. Para encontrar W, observaremos que se L el numero esperado de unidades de en unidad se encuentra en el sistema. Para encontrar W, observaremos que se L el numero esperado de unidades de en

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le sistema y l es el numero promedio de unidades que llegan para ser atendidas por periodo, entonces el tiempo le sistema y l es el numero promedio de unidades que llegan para ser atendidas por periodo, entonces el tiempo promedio de cualquier unidad que llega debe estar en le sistema está dado por:

promedio de cualquier unidad que llega debe estar en le sistema está dado por: W = tiempo promedio de una unidad en el sistema

W = tiempo promedio de una unidad en el sistema

De manera similar, el tiempo esperado o promedio que una unidad tiene que esperar antes de ser atendida, Wq, esta De manera similar, el tiempo esperado o promedio que una unidad tiene que esperar antes de ser atendida, Wq, esta dado por:

dado por:

En la siguiente figura se representa este modelo En la siguiente figura se representa este modelo

..

Ejercicio.

A una línea de espera llegan 20 unidades por hora y el tiempo promedio de servicio es de 30 unidades por hora, A una línea de espera llegan 20 unidades por hora y el tiempo promedio de servicio es de 30 unidades por hora, realizar un análisis de esta línea de espera.

realizar un análisis de esta línea de espera. Datos

Datos l = 20

l = 20 unidades por horaunidades por hora m = 30 unidades por hora m = 30 unidades por hora

Con los datos anteriores podemos calcular la probabilidad de que el sistema esté ocupado: Con los datos anteriores podemos calcular la probabilidad de que el sistema esté ocupado:

Pw = 20 / 30 = 2 Pw = 20 / 30 = 2 /3/3

r = Pw r = Pw Entonces la probabilidad de que el sistema no esté ocupado: Entonces la probabilidad de que el sistema no esté ocupado:

Po = 1 - r = 1 / Po = 1 - r = 1 / 33 El numero esperado de unidades en el sistema quedará definido por: El numero esperado de unidades en el sistema quedará definido por:

=

= 2 Unidades2 Unidades El numero esperado de unidades que esperan ser atendidas quedará definido por: El numero esperado de unidades que esperan ser atendidas quedará definido por:

Entonces en promedio habrá 4 / 3 de unidades esperando ser atendidas y 2 / 3 de unidad siendo atendida. Entonces en promedio habrá 4 / 3 de unidades esperando ser atendidas y 2 / 3 de unidad siendo atendida.

de hora de hora

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W = 6 minutos W = 6 minutos

De manera similar, el tiempo promedio que una unidad espera para ser atendida estará definido por: De manera similar, el tiempo promedio que una unidad espera para ser atendida estará definido por:

de hora

Wq = 4 minutos

M

MODELO

ODELO

M

/

M

/

S

Este modelo supone llegadas y tiempos de servicio aleatorios para canales de servicio múltiples, teniendo las mismas Este modelo supone llegadas y tiempos de servicio aleatorios para canales de servicio múltiples, teniendo las mismas consideraciones que le modelo de canal único de servicio (M / M / 1), excepto que ahora existe una sola fila de

consideraciones que le modelo de canal único de servicio (M / M / 1), excepto que ahora existe una sola fila de entrada que alimenta los canales múltiples de servicio con iguales tasas de servicio.

entrada que alimenta los canales múltiples de servicio con iguales tasas de servicio.

El cálculo de las características de la línea de espera para el modelo M / M / S es lago mas complicado que los El cálculo de las características de la línea de espera para el modelo M / M / S es lago mas complicado que los cálculos para el caso de canal único, y dado que primordialmente nos interesa las implicaciones de estas cálculos para el caso de canal único, y dado que primordialmente nos interesa las implicaciones de estas características mas que las formulas necesarias para calcularlos, nos apoyaremos en le uso de

características mas que las formulas necesarias para calcularlos, nos apoyaremos en le uso de tablas elaboradtablas elaboradas aas a partir de estas formulas para hacer los

partir de estas formulas para hacer los cálculos.cálculos.

Características de operación

.. En el modelo

En el modelo M / M / SM / M / S, si m es la tasa promedio de servicio para cada uno de los, si m es la tasa promedio de servicio para cada uno de los SS canales de servicio, entonces yacanales de servicio, entonces ya no se requiere que m > l , pero Sm debe ser mayor que l para evitar una acumulación infinita de líneas de espera. En no se requiere que m > l , pero Sm debe ser mayor que l para evitar una acumulación infinita de líneas de espera. En el caso de

el caso de M / M / SM / M / S, la característica que se , la característica que se utilizará para hacer los demás cálculos es la utilizará para hacer los demás cálculos es la probabilidprobabilidad de que elad de que el sistema esté ocupado. En otras palabras, la probabilidad es de que haya S o más unidades en el sistema. En este sistema esté ocupado. En otras palabras, la probabilidad es de que haya S o más unidades en el sistema. En este caso todos los canales de servicio se estarán utilizando y por ello se dice que el sistema está ocupado. Esto de puede caso todos los canales de servicio se estarán utilizando y por ello se dice que el sistema está ocupado. Esto de puede representar como:

representar como:

P(Sistema ocupado) = P(Sistema ocupado) = Y lo podemos calcular por medio de la siguiente ecuación:

Y lo podemos calcular por medio de la siguiente ecuación:

P(Sistema ocupado) = P(Sistema ocupado) = En donde

En donde PoPo estará representado por estará representado por

Con las ecuaciones anteriores podemos calcular los demás datos que requiera el sistema. En el modelo

Con las ecuaciones anteriores podemos calcular los demás datos que requiera el sistema. En el modelo M / M / SM / M / S, al, al igual que el modelo

igual que el modelo M / M / 1M / M / 1, se tiene que, se tiene que L = Lq + r,L = Lq + r, pero aquí utilizaremos el valor pero aquí utilizaremos el valor P(sistema ocupado) para calcular P(sistema ocupado) para calcular Lq:

Lq:

Lq = P(sistema ocupado) x Lq = P(sistema ocupado) x Ahora calcularemos el valor L

Ahora calcularemos el valor L

Lq = P(sistema ocupado) x Lq = P(sistema ocupado) x En el caso de

(6)

En la siguiente figura se representa este modelo. En la siguiente figura se representa este modelo.

Ejercicio.

Para ejemplificar el modelo M

Para ejemplificar el modelo M / M /

/ M / S, suponga que existen cinco canales de servicio

S, suponga que existen cinco canales de servicio con tasas promedio

con tasas promedio

de servicio m = 6 y

de servicio m = 6 y una tasa de llegada de l = 24 unidades por hora, esto implica que S = 5.

una tasa de llegada de l = 24 unidades por hora, esto implica que S = 5.

Datos

m = 6

l = 24

S = 5

Entonces tenemos que

Nota: Para encontrar los valores de Po con una mayor rapidez nos podemos auxiliar de la tabla que se anexa a este Nota: Para encontrar los valores de Po con una mayor rapidez nos podemos auxiliar de la tabla que se anexa a este sistema, la cual nos proporciona este valor teniendo como parámetros los valores de

sistema, la cual nos proporciona este valor teniendo como parámetros los valores de SS y de r .y de r .

Considerando los valores obtenidos podemos calcular el valor de Po = 0.0130, la probabilidad de que el sistema este Considerando los valores obtenidos podemos calcular el valor de Po = 0.0130, la probabilidad de que el sistema este ocupado será P(sistema ocupado) = 0.5547, utilizando este valor obtenemos que:

ocupado será P(sistema ocupado) = 0.5547, utilizando este valor obtenemos que:

Unidades Unidades L = 2.2188 + 4 = 6.2188

L = 2.2188 + 4 = 6.2188 unidadesunidades Ahora el tiempo promedio en del sistema quedará definido de la siguiente forma: Ahora el tiempo promedio en del sistema quedará definido de la siguiente forma:

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M

MODELO

ODELO

M

/

G

/

1

1 Descripción.

Descripción.

Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, distribución general de los tiempos de servicio (para el cual se Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, distribución general de los tiempos de servicio (para el cual se supone conocida la desviación estándar), un canal de servicio y una línea de espera.

supone conocida la desviación estándar), un canal de servicio y una línea de espera. En este modelo las llegadas se distribuyen de acuerdo con la

En este modelo las llegadas se distribuyen de acuerdo con la distribución de Poisson, al igual a los casos distribución de Poisson, al igual a los casos anteriores,anteriores, pero los tiempos de servicio no necesariamente se distribuyen de acuerdo con la distribución exponencial negativa. Si pero los tiempos de servicio no necesariamente se distribuyen de acuerdo con la distribución exponencial negativa. Si consideramos el caso en que solo existe un solo canal, estamos considerando el caso M / G / 1, es decir, llegadas de consideramos el caso en que solo existe un solo canal, estamos considerando el caso M / G / 1, es decir, llegadas de tipo Markov, tiempo de servicio general y un

tipo Markov, tiempo de servicio general y un canal de servicio.canal de servicio. La razón por la que podemos conside

La razón por la que podemos considerar el caso M / rar el caso M / G / 1 es G / 1 es que las formulas que se utilizan para calcular susque las formulas que se utilizan para calcular sus

características de operación son bastantes simples. Al igual que en el caso M / M / S, no es posible calcular en forma características de operación son bastantes simples. Al igual que en el caso M / M / S, no es posible calcular en forma directa el numero esperado de unidades en el sistema (L). Para esto primero debe de calcularse el numero de

directa el numero esperado de unidades en el sistema (L). Para esto primero debe de calcularse el numero de unidades que están esperan

unidades que están esperando a ser do a ser atendidas (Lq), y utilizar este resultado para calcular el atendidas (Lq), y utilizar este resultado para calcular el valor de L. valor de L. Para calcular Para calcular el valor de Lq debemos de conocer le valor de la desviación (s ) estándar de la distribución que distingue los tiempos el valor de Lq debemos de conocer le valor de la desviación (s ) estándar de la distribución que distingue los tiempos de servicio. Si no

de servicio. Si no se conoce la distribución de los tiempos de se conoce la distribución de los tiempos de servicio no es posible determinar las características deservicio no es posible determinar las características de operación.

operación.

Ahora si conocemos la desviación estándar y la media de la distribución de los tiempos de servicio, puede obtenerse Ahora si conocemos la desviación estándar y la media de la distribución de los tiempos de servicio, puede obtenerse formula para el valor de Lq

formula para el valor de Lq a partir de a partir de la siguiente ecuación.la siguiente ecuación.

Si utilizamos Lq podemos determinar el valor de

Si utilizamos Lq podemos determinar el valor de L, por medio de

L, por medio de la siguiente ecuación:

la siguiente ecuación:

Al igual que las características de operación de los modelos M / M / 1

Al igual que las características de operación de los modelos M / M / 1 y M /

y M / S / 1, podemos calcular el

S / 1, podemos calcular el

tiempo esperado en el sistema de líneas de espera (W), y el tiempo que se invierte antes de ser

atendido (Wq), esto lo podemos realizar por medio de

atendido (Wq), esto lo podemos realizar por medio de las siguientes ecuaciones:

las siguientes ecuaciones:

M

MODELO

ODELO

M

/

D

/

1

1 Descripción.

Descripción.

Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, tiempo de servicio constante, una línea de servicio y una línea de Sistema de líneas de espera con llegadas aleatorias, tiempo de servicio constante, una línea de servicio y una línea de espera.

espera.

En este modelo los tiempos de servicio son determi

En este modelo los tiempos de servicio son determinísticos, este es un caso especial de la situación M / G / nísticos, este es un caso especial de la situación M / G / 1 que se1 que se analizó con anterioridad, en donde la desviación estándar es igual a cero. En este caso se puede conocer el numero analizó con anterioridad, en donde la desviación estándar es igual a cero. En este caso se puede conocer el numero de unidades que están esperando a ser atendidas (Lq), a través de la siguiente ecuación:

de unidades que están esperando a ser atendidas (Lq), a través de la siguiente ecuación:

Todas las demás características de operación pueden determ

Todas las demás características de operación pueden determinarse a partir de inarse a partir de este valor. Si utilizamos Lq podemoseste valor. Si utilizamos Lq podemos determinar el valor de L, por medio de la siguiente ecuación:

(8)

Al igual que las características de operación de los model

Al igual que las características de operación de los modelos M / M os M / M / 1 y M / 1 y M / S / 1, / S / 1, podemos calculpodemos calcular el tiempo esperadoar el tiempo esperado en el sistema de líneas de

en el sistema de líneas de espera (W), y espera (W), y el tiempo que se invierte antes de el tiempo que se invierte antes de ser atendido (Wq), esto lo podemosser atendido (Wq), esto lo podemos realizar por medio de las siguientes ecuaciones

realizar por medio de las siguientes ecuaciones

::

E

JERCICIOS

Problema A.

Debido a un reciente incremento en el negocio una secretaria de una cierta empresa tiene que mecanografiar 20 Debido a un reciente incremento en el negocio una secretaria de una cierta empresa tiene que mecanografiar 20 cartas por día en promedio (asuma una distribución de Poisson). A ella le toma aproximadamente 20 minutos cartas por día en promedio (asuma una distribución de Poisson). A ella le toma aproximadamente 20 minutos mecanografiar cada carta (asuma una distribución exponencial). Suponiendo que la secretaria trabaja ocho horas mecanografiar cada carta (asuma una distribución exponencial). Suponiendo que la secretaria trabaja ocho horas diarias. diarias. Datos Datos l = 20 / l = 20 / 8 = 2.5 cartas/hora8 = 2.5 cartas/hora m = (1 /

m = (1 / 20 min)(60 min/ 1 hora) = 3 cartas/hora20 min)(60 min/ 1 hora) = 3 cartas/hora

La tasa de utilización de la

La tasa de utilización de la secretaria estará definida por:secretaria estará definida por:

El tiempo promedio de espera antes de que la secretaria mecanografíe una carta se deducirá de la siguiente manera: El tiempo promedio de espera antes de que la secretaria mecanografíe una carta se deducirá de la siguiente manera:

horas horas Ahora el numero promedio de cartas que estarán en la línea de espera:

Ahora el numero promedio de cartas que estarán en la línea de espera:

Si deseáramos conocer la probabilidad de que a la secretaria tenga mas de cinco

Si deseáramos conocer la probabilidad de que a la secretaria tenga mas de cinco cartas que mecanografiar, secartas que mecanografiar, se determinaría de la siguiente manera:

determinaría de la siguiente manera:

K K 0 0 00..883344 1 1 00..669944 2 2 00..557788 3 3 00..448822 4 4 00..440011 5 5 00..333344 6 6 00..227799

(9)

Problema B.

Sam el veterinario maneja una clínica de

Sam el veterinario maneja una clínica de vacunación antirráb

vacunación antirrábica para perros,

ica para perros, en la preparatoria local.

en la preparatoria local.

Sam puede vacunar un perro cada tres

Sam puede vacunar un perro cada tres minutos

minutos. Se

. Se estima que los perros llegarán en

estima que los perros llegarán en forma

forma

independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de un perro cada seis minutos, de

acuerdo con la distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de Sam están

distribuidos exponencialmente. Determinar:

Datos

λ λ

= 1 / 6

= 1 / 6 = 0.167 perros/min

= 0.167 perros/min

µ µ

= 1 / 3

= 1 / 3 = 0.34 perros/min

= 0.34 perros/min

La probabilidad de que Sam este de ocioso definirá de la siguiente manera:

Ahora la proporción de tiempo en que Sam está ocupado.

El número total de perros que están siendo vacunados y que esperan a ser vacunados

El numero promedio de perros que esperan a ser vacunados.

Problema C.

Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una tasa de dos por minuto, él tiempo promedio para manejar Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una tasa de dos por minuto, él tiempo promedio para manejar cada una de estás es de 20 segundos. Actualmente solo hay un operador del conmutador. Las distribuciones de cada una de estás es de 20 segundos. Actualmente solo hay un operador del conmutador. Las distribuciones de Poisson y exponencial parecen ser relevantes en

Poisson y exponencial parecen ser relevantes en esta situación.esta situación. Datos

Datos l = 2

l = 2 llamadas/mllamadas/minutosinutos m = (1 /

m = (1 / 20 seg)(60 seg) = 3 llamadas/minuto20 seg)(60 seg) = 3 llamadas/minuto

La probabilidad de que el operador este ocupado se definirá La probabilidad de que el operador este ocupado se definirá

::

El tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser tomada por él operador

El numero de llamadas que esperan ser contestadas

(10)

Problema D.

Al principio de la temporada de futbol, la oficina de boletos se ocupa mucho el día anterior al primer juego. Los clientes Al principio de la temporada de futbol, la oficina de boletos se ocupa mucho el día anterior al primer juego. Los clientes llegan a una tasa de cuatro llegadas cada 10 minutos y el tiempo promedio para realizar la transacción es de dos llegan a una tasa de cuatro llegadas cada 10 minutos y el tiempo promedio para realizar la transacción es de dos minutos minutos

..

Datos

λ λ

= (4 / 10) = 0.4 c/min

µ µ

= (1 /2 ) = 0.5 c/min

El numero promedio de gente en línea se definirá de la forma siguiente:

personas

El tiempo promedio que una persona pasaría en la oficina de boletos

minutos

La proporción de tiempo que el servidor está ocupado

Problema E.

Electronics Corporation retiene una brigada de servicio para reparar descomposturas de máquinas que ocurren con Electronics Corporation retiene una brigada de servicio para reparar descomposturas de máquinas que ocurren con promedio de tres por día (aproximadamente de naturaleza de Poisson). La brigada puede servir a un promedio de promedio de tres por día (aproximadamente de naturaleza de Poisson). La brigada puede servir a un promedio de ocho máquinas por día, con una distribución de tiempo de reparación que se asemeja la distribución de exponencial. ocho máquinas por día, con una distribución de tiempo de reparación que se asemeja la distribución de exponencial. Datos Datos l= 3 repar. /día l= 3 repar. /día m = 8 repar. /día m = 8 repar. /día

La tasa de utilización de

La tasa de utilización de este sistema se encontrará de la

este sistema se encontrará de la siguiente forma:

siguiente forma:

El tiempo promedio de descompostura para cada máquina que está descompuesta

Las máquinas que están esperando a ser reparadas el cualquier momento dado

(11)

La probabilidad de que haya una máquina en el sistema, dos, tres o más máquinas en el sistema.

K K 0 0 00..337755 1 1 00..114400 2 2 00..005522 3 3 00..001199 4 4 00..000077 5 5 00..000022

Problema F.

El Barry’s Car Wash está abierto seis días a l

El Barry’s Car Wash está abierto seis días a la semana, pero el día del negocio mas pesado es siempre el

a semana, pero el día del negocio mas pesado es siempre el

sábado. A partir de datos históricos, Barry’s estima que los coches sucios llegan a una tasa de 20 por

hora, todo el día sábado. Con una brigada completa trabajando la línea de lavado a mano, él calcula que

los automóviles se pueden lavar a una

los automóviles se pueden lavar a una tasa de uno cada dos minutos. Este

tasa de uno cada dos minutos. Este ejemplo se tiene una línea de

ejemplo se tiene una línea de

espera de canal sencillo, los automóviles se lavan de uno en uno. Suponga llegadas de Poisson y

tiempos exponenciales de servicio.

Datos

λ

= 20 automóvil /hora

µ

= (1 / 2 min)(60 min) = 30 automóvil / hora

El numero promedio de automóviles en la línea

El numero promedio de automóviles en la línea se definirá de la

se definirá de la siguiente manera:

siguiente manera:

El tiempo promedio que un automóvil espera antes de ser lavado

El tiempo promedio que un automóvil pasa en el

El tiempo promedio que un automóvil pasa en el sistema de servicio

sistema de servicio

La tasa de utilización del

La tasa de utilización del lavado de automóviles

lavado de automóviles

La probabilidad de que no haya automóviles en el sistema

Problema G.

(12)

Una empleada administra un gran complejo de cines llamados Cinema I , II, III y IV. Cada uno de los cuatro Una empleada administra un gran complejo de cines llamados Cinema I , II, III y IV. Cada uno de los cuatro auditorios proyecta una película diferente, el programa se estableció de tal forma que las horas de las auditorios proyecta una película diferente, el programa se estableció de tal forma que las horas de las funciones se encuentren escalonadas para evitar las

funciones se encuentren escalonadas para evitar las multitudes que ocurrirían si los cuatro cines comenzaránmultitudes que ocurrirían si los cuatro cines comenzarán a la misma hora. El cine tiene una sola taquilla y un cajero que puede mantener una tasa de promedio de

a la misma hora. El cine tiene una sola taquilla y un cajero que puede mantener una tasa de promedio de servicio de 280 clientes

servicio de 280 clientes por hora. Se supone que los tiempos de spor hora. Se supone que los tiempos de s ervicio siguen una distribución exponencial.ervicio siguen una distribución exponencial. La llegadas en un día

La llegadas en un día son distribución de Poisson y promedian 210 por hora.son distribución de Poisson y promedian 210 por hora. Encontrar el numero promedio de cinéfilos esperando en la línea

Encontrar el numero promedio de cinéfilos esperando en la línea para adquirir un boletopara adquirir un boleto Que porcentaje del tiempo esta ocupado el cajero.

Que porcentaje del tiempo esta ocupado el cajero.

Cual es el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema. Cual es el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema.

Cual es el tiempo promedio que pasa esperando en la línea para llegar a la taquilla. Cual es el tiempo promedio que pasa esperando en la línea para llegar a la taquilla. Cual es la

Cual es la probabilidad de que haya mas de dos personas enprobabilidad de que haya mas de dos personas en la cola.la cola.

Problema H.

Kamal’s Deparment Store mantiene satisfactoriamente un departamento de ventas por catalogo en le cual el Kamal’s Deparment Store mantiene satisfactoriamente un departamento de ventas por catalogo en le cual el empleado toma las ordenes por teléfono: Si el empleado esta ocupado en la línea, las llamadas telefónicas entran empleado toma las ordenes por teléfono: Si el empleado esta ocupado en la línea, las llamadas telefónicas entran automáticamente al departamento de catálogos y son contestadas por una grabadora y solicita esperar. Tan pronto el automáticamente al departamento de catálogos y son contestadas por una grabadora y solicita esperar. Tan pronto el operador este libre y se comunica con el cliente que ha esperado mas. Las llamadas llegan a una tasa de 12 por hora. operador este libre y se comunica con el cliente que ha esperado mas. Las llamadas llegan a una tasa de 12 por hora. El empleado es capaz de tomar una orden en un promedio de cuatro minutos. Las llamadas tienen que seguir una El empleado es capaz de tomar una orden en un promedio de cuatro minutos. Las llamadas tienen que seguir una distribución de Poisson y los tiempos de servicio

distribución de Poisson y los tiempos de servicio tienden a ser exponenciales.tienden a ser exponenciales.

Al empleado se le pagan a 5 pesos la hora, pero debido a la buena voluntad, perdida y las ventas, la empresa pierde Al empleado se le pagan a 5 pesos la hora, pero debido a la buena voluntad, perdida y las ventas, la empresa pierde aproximadamente 25 dólares por hora de tiempo que el cliente pasa esperando para que el empleado le tome la aproximadamente 25 dólares por hora de tiempo que el cliente pasa esperando para que el empleado le tome la orden.

orden. a.

a. Cual es eCual es el tiempo l tiempo promedio qpromedio que los clue los clientes de ientes de catálogo catálogo deben de deben de esperar, anesperar, antes de qtes de que sus llamue sus llamadas seaadas seann transferidas al empleado que recibe las ordenes

transferidas al empleado que recibe las ordenes b.

b. Cual es el nuCual es el numero pmero promeromedio de lladio de llamadmadores quores que espere esperan paran para colocaa colocar la ordenr la orden.. c.

c. La empresa esta coLa empresa esta considerando nsiderando añadir uañadir un segunn segundo empledo empleado para ado para tomar las tomar las llamadas. Lllamadas. La tienda a tienda pude ppude pagar aagar a esa persona 5 dólares la hora.¿ Debe de contratar otro empleado?